Extremals in nonlinear potential theory
Ryan Hynd, Francis Seuffert
我们考虑偏微分方程$-Δ_pu=ρ$，其中$ρ$是$\mathbb{R}^n$上的带符号Borel测度。对于每个$p>n$，我们将解刻画为由$ρ$确定的广义Morrey不等式的极值.
We consider the PDE $-Δ_pu=ρ$, where $ρ$ is a signed Borel measure on $\mathbb{R}^n$. For each $p>n$, we characterize solutions as extremals of a generalized Morrey inequality determined by $ρ$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Extremal solutions for a broad spectrum of nonlinear elliptic systems
本文研究了m参数强耦合椭圆型方程组解的存在性和不存在性。
Regularity of Extremal Solutions in Fourth Order Nonlinear Eigenvalue Problems on General Domains
我们研究了$ \IR^N$中一般有界域$Ω$上的非线性特征值问题$Δ^2 u = λf(u)$的极解的正则性，其中Navier边界条件为$ \pOm$上的$ u=Δu =0 $。这里，$ λ$是正参数，$f$是与$f(0)=1$的非递减非线性。我们给出了一般的逐点界和能量估计，证明了对于任何凸的超线性非线性$f$，只要$N\leq 5$，其极值解$ u^*$是光滑的。
Relative Entropy Contractions for Extremal Shocks of Nonlinear Hyperbolic Systems without Genuine Nonlinearity
该研究针对无真正非线性的一维双曲守恒律系统的极值激波，应用a-收缩理论证明了满足Lax熵条件的弱解类中这类激波的平移L²稳定性，结果可应用于2×2非线性弹性动力学系统。
Oscillating solutions for nonlinear equations involving the Pucci's extremal operators
本文讨论了下列非线性方程\[ \mathcal{M}_{λ,Λ}^\pm(D^2 u)+g(u)=0 \qquad \hbox{ in }\mathbb{R}^N, \]，其中$\mathcal{M}_{λ,Λ}^\pm$是Pucci极值算子，对于$N \ge 1$，在假设$g'(0)>0$下.我们证明了振荡解的存在性，即具有一个无界的零点序列。此外，如果是$N=1$，则这些解是周期性的，而如果是$N\ge 2$，则它们是径向对称的，并且在无穷远处与它们的导数一起衰减到零。
Regularity of the extremal solution for a fourth-order elliptic problem with singular nonlinearity
本文考虑半线性方程$$\{\begin{array}{lllllll} βΔ^{2}u-τΔu=\fracλ{(1-u)^{p}} & in\ \ B, 0<u\leq 1 & in\ \ B, u=Δu=0 & on\ \ \partial B, \end{array} . $$的$p > 1$与极值解的临界维数之间的关系，其中$B$是$R^{n}$中的单位球，$λ>0$是参数，$τ>0, β>0,p>1$是固定常数.通过Hardy-Rellich不等式，我们发现当$p$足够大时，临界维数为13。
Singular Extremal Solutions on Thin Ellipsoids with Varying Nonlinearities
本文在薄椭球上构造了变化非线性项，证明了存在无界极值解，并结合Dancer定理解决了Brézis开放问题6.1。
Nonlinear scalar perturbations of extremal Reissner-Nordström spacetimes
我们提出了第一个严格的研究极端黑洞时空的非线性波动方程没有任何对称性假设的解决方案。具体地说，我们证明了非线性波动方程的解的整体存在性与渐近爆破满足零条件的极值Reissner-Nordström背景。这一结果表明，极值视界不稳定性在模型非线性理论中仍然存在。我们的证明关键依赖于一个新的向量场的方法，使我们能够获得几乎尖锐的衰减估计。
Bounds for the extremal parameter of nonlinear eigenvalue problems and application to the explosion problem in a flow
本文研究了Dirichlet边界条件下光滑有界区域$ Ω\subseteq \Bbb{R}^{N} $中的非线性特征值问题$ L u = λf(u) $，其中$ L $是一致椭圆型二阶线性微分算子，$ λ> 0 $和$ f:[0,a_{f}) \rightarrow \Bbb{R}_{+} $ $ (0 < a_{f} \leqslant \infty)$是光滑的、递增的凸非线性算子，使得$ f(0) > 0 $和在$ a_{f} $处爆破.首先，我们提出了一些极值参数$ λ^{*} $和极值解$ u^{*} $的上界和下界。然后我们将结果应用于算子$ L_A = - Δ+ A c(x) $与$ A>0 $，$ c(x) $是$ Ω$中的无发散流。我们证明了，如果$ψ_{A,Ω}$是方程$ L_A u = 1 $在$Ω$中的解$ψ_{A}(x)$的最大值，那么对于任何不可压缩流$ c(x) $，我们有，$ψ_{A,Ω} \longrightarrow 0$作为$A \longrightarrow \infty$当且仅当$c(x)$在$H_{0}^{1}(Ω)$中没有非零的第一积分.此外，考虑$ c(x)=-xρ(|x|) $，其中$ρ$是$[0,1]$上的光滑实函数，则$c(x)$在单位球$ B\subset \Bbb{R}^{N} $中永远不会发散，但我们的结果完全确定了极值参数…
Nonlinear diffusions: extremal properties of Barenblatt profiles, best matching and delays
在本文中，我们考虑了基于矩和非线性熵的泛函，在快扩散或多孔介质方程的源型解的情况下，这些泛函随时间线性增长，也称为Barenblatt解.作为时间的函数，这些泛函具有凸性的一般解决方案，使其渐近斜率是极值巴伦布拉特配置文件。该方法依赖于演化方程的标度性质，给出了标度不变形式的尖锐Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式的一个简单而直接的证明.该方法还给出了二阶矩增长的精确估计，因此，建立了与具有相同初始二阶矩的Barenblatt解相比，最佳匹配Barenblatt解对应的延迟的单调性。这里，最佳匹配的概念根据相对熵来定义。
Regularity of extremal solutions of semilinear elliptic problems with non-convex nonlinearities on general domains
考虑半线性椭圆方程$-Δu =λf(u)$在$R^{n}$的光滑有界区域$Ω$中的Dirichielt边界条件，其中$f$是$[0,\infty)$中的$C^{1}$正非减函数，使得$\frac{f(t)}{t}\rightarrow\infty$为$t\rightarrow\infty$ .当$Ω$是一个任意区域，$f$不一定是凸的，极值解$u^{*}$的有界性只知道$n= 2$，由X建立。Cabré \cite{C1}。在本文中，我们证明了这对于更高的维度依赖于非线性$f$。特别地，我们证明了，如果$$\frac{1}{2}<β_{-}:=\liminf_{t\rightarrow\infty} \frac{f'(t)F(t)}{f(t)^{2}}\leq β_{+}:=\limsup_{t\rightarrow\infty} \frac{f'(t)F(t)}{f(t)^{2}}<\infty$$，其中$F(t)=\int_{0}^{t}f(s)ds$，那么$u^{*}\in L^{\infty}(Ω)$，对于$n\leq 6$。此外，如果为$β_{-}=β_{+}>\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}<β_{-}\leqβ_{+}<\frac{7}{10}$，则为$n\leq 9$的$u^{*}\in L^{\infty}(Ω)$。此外，如果$β_{-}>\fr…
On The Extremal Parameters Curve of a Quasilinear Elliptic System of Differential Equations
考虑一类具有不定超线性非线性项的拟线性椭圆型方程组，其非线性项依赖于两个实参数$λ,μ$。利用Nehari流形和极值参数的概念，推广了关于正解存在性的一些结果.
$W^{1,q}$ estimates for the extremal solution of reaction-diffusion problems
在$\mathbb{R}^n$的光滑有界区域$Ω$中，对任意正的且递增的非线性项$f\in C^1(\mathbb{R})$，建立了$-Δu=λf(u)$的极值解的一个新的$W^{1,2\frac{n-1}{n-2}}$估计，满足$\lim_{t\rightarrow +\infty}f(t)/t=+\infty$ .
Nonlinear instability of scalar fields on extremal black holes
证明了一类半线性波动方程在极值黑洞上的一种新的有限时间爆破。初始数据可以任意接近于平凡数据。第一个奇点发生在（退化的）未来事件视界。在次极值黑洞或闵可夫斯基时空中，没有类似的不稳定性。
Nonlinear Wave Equations With Null Condition On Extremal Reissner-Nordström Spacetimes I: Spherical Symmetry
研究了极端Reissner-Nordstrom黑洞时空中非线性项满足零条件的半线性波动方程的球对称解。我们表明，解决方案所产生的足够小的compensarity支持的光滑数据上的柯西hypersfurace \widetilde{Σ}_0跨越未来事件视界\mathcal{H}^{+}是全球性的外部通信领域，并包括\mathcal{H}^{+}。我们的方法使我们能够关闭所有的自助估计非常弱的衰减结果（与已知的线性情况下兼容）。此外，我们建立了一定数量的非衰变和爆破的结果沿视界\mathcal{H}^{+}推广已知的线性情况下的不稳定性结果。我们的结果适用于广泛的一类目标空间的球对称波映射。
A dynamical system approach to a class of radial weighted fully nonlinear equations
本文研究了一类含Pucci极值算子的加权完全非线性方程径向正解的存在性、不存在性及分类。我们的结果完全是基于一个自治的二次系统，这是经过适当的变换后得到的动力学分析。该方法允许以统一的方式处理正则解和奇异解，而不使用能量参数。特别地，我们恢复了已知的结果正则解的完全非线性非加权问题的替代证明。我们还稍微改进了极值算子$\mathcal{M}^-$解的分类。
Representation Formula for Viscosity Solution to a PDE Problem involving Pucci's Extremal Operator
本研究借助源自Denis、Hu与Peng（2010）的动态规划原理，推导了含Pucci极值算子的椭圆Dirichlet问题粘性解的表示公式，该公式是Feynman-Kac公式的非线性推广。
Asymptotic behavior of extremal functions to an inequality involving Hardy potential and critical Sobolev exponent
本文研究了一类含Hardy势和临界Sobolev指数的不等式的径向极值函数的渐近性态。基于原点和无穷远处的渐近性态，我们将推出两个最佳常数之间的严格不等式。最后，作为这个严格不等式的应用，我们考虑了一类具有Hardy势和临界Sobolev指数的拟线性Brezis-Nirenberg型问题非平凡解的存在性。
Regularity of the extremal solutions associated to elliptic systems
本文研究了由[（G）_{λ，γ} \quad -Δu = λ f '（u）g（v），\quad -Δv = γf（u）g'（v）\quad in $ Ω$，]和[（H）_{λ，γ} \quad -Δu = λf（u）g '（v），\quad -Δv = γ f'（u）g（v）\quad in $ Ω$ }，]给出的两个椭圆型方程组，其中$ λ,γ$为正参数，Dirichlet边界条件为零.我们证明了对于任意非线性$f$和$g$，只要$ Ω$是$ \mathbb R^N$中的凸域，其中$ N \le 3$，则与$ (G)_{λ,γ}$相关的极值解是有界的.在径向区域的情况下，我们证明了极值解是有界的提供$ N <10$。与$ (H)_{λ,γ}$相关联的极值解在$ f$是任意的情况下是有界的，$ g(v)=(v+1)^q$其中$ 1 <q<\infty$和其中$ Ω$是$ \mathbb R^N$中的有界凸域，$ N \le 3$。结果也得到在更高的维度$ (G)_{λ,γ}$和$(H)_{λ,γ}$的情况下，明确的非线性形式$ f(u)=(u+1)^p$和$ g(v)=(v+1)^q$。
Regularity of the extremal solution in a MEMS model with advection
本文考虑非线性特征值问题（S）_λ \qquad {rcr} -Δu + c（x）\cdot \nabla u &= \frac λ{（1-u）^2} \qquad {in $ Ω$ }，u &= 0 \qquad {on $ \pOm$ }极值解的正则性，其中$ Ω$是$ \IR^N$中的光滑有界区域，$ c(x)$是$\bar Ω$上的光滑有界向量场.我们证明了，就像在对流自由模型（$c\equiv 0$），所有的半稳定的解决方案是光滑的，当（且仅当）的尺寸$N\leq 7$。这里的新颖性来自于缺乏一个合适的半稳定性假设变分表征。我们克服了这个困难，通过使用一个一般版本的哈代不等式。在即将发表的论文\cite{CG2}中，我们指出这种方法如何适用于许多其他非线性特征值问题，涉及平流（包括Gelfand问题），表明他们都基本上有相同的临界尺寸为他们的对流免费同行。
Nonlinear stability of explicit self-similar solutions for the timelike extremal hypersurfaces in R^{1+3}
本文研究了Minkowski时空$\mathbb{R}^{1+3}$中类时极值超曲面的奇异现象。我们发现Minkowski时空$\mathbb{R}^{1+3}$中的类时极值超曲面的图形表示存在两个显式类光自相似解，它们的几何形状是两个球面.给出了径向对称膜方程类光自相似解的线性模不稳定性。然后，我们证明了径向对称膜方程的自相似解在后向光锥的严格真真子集内是非线性稳定的。这意味着这两个球体的动力学行为是吸引子。同时，在对线性算子进行谱分析时，通过构造牛顿多边形，克服了求解差分方程时的二重根情况（不能使用Poincaré定理）.
Nonlinear stability of extremal Reissner-Nordström black holes in spherical symmetry
本文证明了极小Reissner-Nordström黑洞在球对称情况下的非线性稳定性，并验证了Aretakis不稳定性在非线性模型中的存在。
Nonlinear Eigenvalues and Bifurcation Problems for Pucci's Operator
本文推广了关于Pucci极值算子的广义本征值的已有结果。在径向的情况下，我们也给出了一个完整的描述，连同一个等价的Rabinowitz的整体分歧定理。这使我们能够解决涉及普奇算子的方程。
Global well-posedness for radial extremal hypersurface equation in $\left(1+3 \right)$-dimensional Minkowski space-time in critical Sobolev space
本文通过推导新的div-curl型引理并结合能量与“动量”平衡律获取非线性项时空估计，证明了（1+3）维Minkowski时空中径向类时极值超曲面方程在临界Sobolev空间中的整体适定性。
Nonlinear Fokker-Planck equation: stability, distance and corresponding extremal problem in the spatially inhomogeneous case
我们从一个全球麦克斯韦$M_{k}$，这是一个固定的解决方案，具有恒定的总密度（$ρ(t)\equiv \wt ρ$），福克-普朗克方程。引入了函数$M_{k}$与Fokker-Planck方程任意解$f$（在固定矩$t$具有相同的总密度$\wt ρ$）之间距离的概念。通过这种方式，我们基本上推广了以前研究过的重要的Kullback-Leibler距离。利用这一推广，我们证明了局部稳定性的全球麦克斯韦在空间非齐次的情况下。我们还比较了经典和量子情况下的能量和熵。
Lipschitz regularity for a homogeneous doubly nonlinear PDE
本文研究了双非线性偏微分方程$$ |\partial_t u|^{p-2}\,\partial_t u-\textrm{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)=0. $$。该方程是在研究索伯列夫空间中Poincaré不等式的极值时产生的。我们证明了黏性解的空间Lipschitz连续性和时间上的Hölder连续性，其阶为$(p-1)/p$.作为我们的估计的应用，我们获得了逐点控制的大时间行为的解决方案。
Extremal Functions for Singular Moser-Trudinger Embeddings
研究了奇异势存在下的Moser-Trudinger型泛函。特别地，我们利用Onofri不等式对$\mathbb{R}^2$中的单位圆盘给出了一个奇异Carleson-Chang型估计的证明.此外，我们考虑了具有圆锥奇点的紧致曲面上的Adimurthi-Druet型泛函，并讨论了这类泛函极值的存在性，推广了Castleman和Roy以前的结果。
Existence and Multiplicity results for Weakly coupled system of Pucci's extremal operator
本文研究了由Pucci极值算子支配的弱耦合非线性椭圆方程组的多个正解的存在性，通过上下解方法、固定点论证和分支技术，证明了参数μ足够大时解的存在性和多重性。
Periodic solutions for a class of evolution inclusions
考虑定义在演化空间三元组上的周期演化包含。包含还涉及次微分项。我们证明存在定理的凸和非凸问题，我们也产生极值轨迹。此外，我们表明，凸问题的每一个解决方案可以近似一致的某些极值轨迹（强松弛）。我们通过研究一个非线性抛物型控制系统来说明我们的结果。
Abstract nonlinear sensitivity and turnpike analysis and an application to semilinear parabolic PDEs
我们分析了非线性最优控制问题的一阶必要最优性条件所引起的极值方程对动力学和初始数据扰动的敏感性。为此，我们提出了一个抽象的隐函数方法与缩放空间。我们将把这种抽象方法应用于由半线性偏微分方程控制的问题。在这种情况下，我们证明了一个指数收费公路的结果，并表明，扰动的极值方程的动态，例如，离散化误差随时间呈指数衰减。后者可以用于非常有效的离散化计划在模型预测控制器，其中只有一部分的解决方案需要准确计算。我们展示的理论结果，通过两个例子与一个非线性热方程的二维区域。
Extremal maps in best constants vector theory - Part I: Duality and Compactness
利用一类局部几何Sobolev不等式和适当的De Giorgi-Nash-Moser估计，对二阶锐势型Riemannian Sobolev不等式进行了全面的研究.特别是，我们讨论的问题，如连续依赖的最佳常数和存在性和紧性的极值映射。在目前的设置中出现的主要障碍在于相当弱的条件下的规则性假设的势函数。
Gelfand-type problem for turbulent jets: sharp $L^\infty$ bound on extremal solutions
研究湍流射流中热爆炸模型的Gelfand型问题，通过获得极值解\(L^{\infty}\)范数的匹配上下界，填补[GMN]中在强流渐近极限下相关界未完全解决的空白。
Extremal properties of the first eigenvalue and the fundamental gap of a sub-elliptic operator
该研究针对带Dirichlet边界的次椭圆算子，在势函数p-范数约束下探讨第一特征值与基本间隙的极值问题，给出相关理论结果并刻画最优势函数特征。
Painlevé Universality classes for the maximal amplitude solution of the Focusing Nonlinear Schrödinger Equation with randomness
研究揭示了聚焦非线性薛定谔方程在随机扰动下极值解的普遍性，通过两种Painlevé方程描述其鲁棒性。
Extremal domains in $\mathbb{S}^2$: Geometric and Analytic methods
本文研究$\mathbb{S}^2$上支持过定问题的极值领域，通过几何与分析方法证明其对称性及特定非线性情况下的旋转对称性。
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