Minimal permutation representations for ${\rm GL}_2(\mathbb F_q)$
Neelima Borade, Ramin Takloo-Bighash
本文确定了${\rm GL}_2(\mathbb F_q)$的所有极小置换表示。
In this paper we determine all minimal permutation representations of ${\rm GL}_2(\mathbb F_q)$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Generating minimally transitive permutation groups
我们改进了[9]和[13]中关于生成$n$度的极小传递置换群所需的最小元素数的上界（以$n$表示）.
Bochert's results on the minimal degree of multiply transitive permutation groups
我们给一个现代帐户阿尔弗雷德Bochert的结果从1892年的最小程度的双重，三重和四重传递置换群。
Minimal Faithful Permutation Degrees for Irreducible Coxeter Groups and Binary Polyhedral Groups
本文计算了所有不可约Coxeter群的最小忠实置换度。我们还展示了新的例子，有限群，拥有商的最小程度是严格大于的组。
Comparing the order and the minimal number of generators of a transitive permutation group
证明了：若$G$是可迁的置换群，则$d(G)\log{|G|}/n^{2}$趋于$0$，正如$n$趋于$\infty$ .
Minimal generation of transitive permutation groups
文[21]证明了存在一个常数$c$，使得每个度为$d\ge 2$的可迁置换群可以由$\lfloor cd/\sqrt{\log{d}}\rfloor$元生成.在本文中，我们明确估计$c$。
Minimal sized generating sets of permutation groups
本文提出一种随机化算法，用于在有限置换群中寻找最小规模生成集，并证明其期望运行时间为多项式时间。
Minimal degrees for faithful permutation representations of groups of order $p^6$ where $p$ is an odd prime
本文确定了奇素数 $p$ 下所有 $p^6$ 阶群的忠实置换表示的最小次数，并给出了构造方法。
Minimal permutation representations for linear groups
本文研究了线性群 $SL_n(\mathbb F_q)$ 和 $GL_n(\mathbb F_q)$ 的最小忠实置换表示。
Finding Minimal Permutation Representations of Finite Groups
有限群G的最小置换表示是具有最小可能大小的忠实G-集。我们研究了这种表示的结构，并表明，对于某些群体，他们可能会得到一个贪婪的建设。在这些情况下（除了当中心对合介入时），所有最小置换表示具有相同的轨道大小集。利用同样的思想，我们还证明了：如果一个极小忠实G-集的大小d（G）至少是c |G|（对于某个c>0），则d（G）= |G| /m + O（1）（对于一个整数m），隐含常数依赖于c.
Bounds for Finite Semiprimitive Permutation Groups: Order, Base Size, and Minimal Degree
本文研究有限半本原置换群，即每个正规子群是可迁或半正则的群。我们给出了任意有限半本原群的阶、基大小、最小度、不动点和主长的界。为了建立这些界限，我们对有限半本原群进行分类，这些半本原群在不传递正规子群的轨道集合上诱导交替群或对称群。
The minimal degree of permutation representations of finite groups
本文研究了有限群G的如下性质：G嵌入Sn的最小数n。我们从阿贝尔群的数n的显式公式开始。然后，我们研究了这个群性质关于直积的性质。最后，我们定义和探讨“压缩比”的有限群G的措施有多少更好的嵌入相对于嵌入凯莱定理。
Sharp upper bounds on the minimal number of elements required to generate a transitive permutation group
证明了若$G$是次数为$n\geq 2$的传递置换群，则$G$可由$\lfloor cn/\sqrt{\log{n}}\rfloor$元生成，其中$c:=\sqrt{3}/2$ .由于次数为$8$的传递群$D_8\circ D_8$，这个上界是最可能的。我们的新结果改进了作者2018年的一篇论文，并利用了最近对度为$48$的传递群的分类。
Quotients of permutation groups by nonabelian minimal normal subgroups
本文证明了 Sym(n) 的子群关于非交换极小正规子群的商可嵌入更小次数的置换群，并在传递情况下给出了次数的上界 m \le 2n/5。
On faithful quasi-permutation representations of $VZ$-groups and Camina $p$-groups
对于有限群$G$，我们用$μ(G)$和$c(G),$表示$G$的最小忠实置换表示度和$G$在复数域$\mathbb{C}$上的拟置换矩阵的最小忠实表示度.本文研究了$VZ$ -群和Camina $p$ -群的$c(G)$.
Virtual braids and permutations
令VB $_n$为$n$链上的虚拟辫子群，令$\mathfrak{S}_n$为$n$字母上的对称群。令$n,m \in \mathbb{N}$，使得$n \ge 5$、$m \ge 2$和$n \ge m$。我们确定所有可能的同态从VB $_n$到$\mathfrak{S}_m$，从$\mathfrak{S}_n$到VB $_m$和从VB $_n$到VB $_m$。作为推论，我们得到Out（VB $_n$）同构于$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，VB $_n$既是Hopfian又是co-Hofpian.
Absorption of Direct Factors With Respect to the Minimal Faithful Permutation Degree of a Finite Group
有限群$G$的最小忠实置换度$μ(G)$是使$G$嵌入对称群$\Sym(n)$的最小非负整数$n$。本文证明了：若$H$是群，则对于某个群$G$，$μ(G)=μ(G\times H)$嵌入$A\times Q^k$，对于某个奇阶阿贝尔群，某个广义四元数$2$ -群和某个非负整数$k$ .因此，对于某个非负整数$n$，有$μ(G^{n+1})=μ(G^n)$当且仅当$G$是平凡的。
A remark on the permutation representations afforded by the embeddings of $O_{2m}^\pm(2^f)$ in $Sp_{2m}(2^f)$
证明了$Sp_{2m}(2^f)$在其自然模上的作用所给出的$\mathbb{C}$上的置换模同构于$Sp_{2m}(2^f)$在$O_{2m}^+(2^f)$和$O_{2m}^-(2^f)$的右陪集的并上的作用所给出的$\mathbb{C}$上的置换模.
On minimal degree of transitive permutation groups with stabiliser being a $2$-group
置换群$G$的最小度定义为置换群$G$的非平凡元素的非不动点的最小数目。本文证明了：若$G$是一个不含非平凡正规$n$-子群的传递置换群，且点的稳定子是$2$ -群，则$G$的最小次数至少为$\frac{2}{3}n$ .证明依赖于有限单群的分类。
Permutation groups, minimal degrees and quantum computing
研究了给定最小次数的置换群，在不需要经典的置换性假设的情况下。我们提供了清晰的上界的顺序置换群的最小程度的m和它的元素的数量的任何给定的支持。这些结果有助于非交换编码理论的基础。我们的结果的一个主要应用涉及量子计算中对称群的隐子群问题。我们完全刻画了对称群的隐子群，这些隐子群可以用弱量子傅立叶采样从恒等式中区分出来，证明了它们是具有有界极小度的子群。这意味着对称群的弱标准方法与经典的穷举搜索相比没有任何优势。
Minimal operations over permutation groups
本文对任意置换群上极小运算的可能类型进行分类，证明非平凡置换群上至多存在四种类型，改进了Bodirsky和Chen关于寡形置换群的结果，并回答了三个先前未解决的问题。
Minimal Faithful Quasi-Permutation Representation Degree of p-Groups with Cyclic Center
本文研究具有循环中心的有限非交换 p-群的最小忠实置换与拟置换表示次数，推广已有二类 p-群结论并计算若干亚交换情形。
Complexity of Minimal Faithful Permutation Degree for Fitting-free Groups
本文研究无 Abel 正规子群的群的最小忠实置换度计算复杂度，证明该问题在以置换群商给出时属于 P，并在置换群设定下获得 NC 上界，改进了 Das 和 Thakkar 的先前工作。
On the group of alternating colored permutations
交替色置换群是经典交替群的自然类似物，在圈积$\mathbb{Z}_r \wr S_n$内。我们提出了一个“考克斯特样”的介绍，这组和计算长度函数的介绍。然后，我们把这个群看作是$\mathbb{Z}_{\frac{r}{2}} \wr S_n$的一个覆盖，并利用这个观点给出了长度函数的另一种表达式。我们也使用这个覆盖提升几个已知的参数的$\mathbb{Z}_{\frac{r}{2}} \wr S_n$的交替着色排列。
Diagonal $p$-permutation functors
设$k$是正特征$p$的代数闭域，$\mathbb{F}$是特征为0的代数闭域.考虑有限群的$\mathbb{F}$ -线性范畴$\mathbb{F} pp_k^Δ$，其中从$G$到$H$的态射集是$p$ -置换$(kH,kG)$ -对角顶点为（扭）的双模的Grothendieck群$T^Δ(H,G)$的$\mathbb{F}$ -线性扩张$\mathbb{F} T^Δ(H,G)$.从$\mathbb{F} pp_k^Δ$到$\mathbb{F}\hbox{-Mod}$的$\mathbb{F}$ -线性函子称为{ \em对角$p$ -置换函子}.它们构成一个阿贝尔范畴$\mathcal{F}_{pp_k}^Δ$。我们特别研究了$p$ -置换$kG$ -模的Grothendieck群$\mathbb{F}T(G)$的函子$\mathbb{F}T^Δ$发送一个有限群$G$，证明了$\mathbb{F}T^Δ$是$\mathcal{F}_{pp_k}^Δ$的半单对象，等于由有限$p$ -群$P$的对$(P,s)$和忠实作用于$P$的$p'$ -子群的生成元$s$的同构类参数化的特定单函子的直和。这导致了对这些简单函子求值的精确描述。特别是，我们表明，简单的函子索引的平凡对$(1,1)$是同构的函子发送一个有限群$G$到$\mathbb{F} K_0(kG)$，其中$K_0(kG)$是一组…
On the cardinality of irredundant and minimal bases of finite permutation groups
本文研究有限置换群无冗余基与极小基的基数集合，证明前者为自然数区间而后者未必，并给出使两类群实现给定集合的条件。
New results on linear permutation polynomials with coefficients in a subfield
研究系数限定于子域的有限域线性置换多项式，利用商环上一般线性群子群的同构像刻画其族、计算规模，并给出 F_{q^{2p}} 情形的构造准则。
Asymmetric colouring of locally compact permutation groups
设$G \leq \mathrm{Sym} (X)$为可数集$X$ .如果恒等式是$G$中唯一保留所有颜色的元素，则称$X$的着色为不对称。$G$的运动（也称为最小次数）是元素$g \in G \setminus\{\mathrm{id}\}$移动的元素的最小数量。我们证明了每一个具有无限运动的局部紧闭置换群都有一个非对称的$2$ -着色.这推广了Babai最近的一个结果，并证实了Imrich、Smith、Tucker和Watkins在2015年提出的一个猜想。
On the relation of character codegrees and the minimal faithful quasi-permutation representation degree of $p$-groups
本文研究有限$p$-群的最小忠实拟置换表示次数$c(G)$与不可约特征标余次数的关系，建立了奇数阶非阿贝尔$p$-群中$c(G)$与特征标余次数非负有理和的等式，并探讨多类非阿贝尔$p$-群的对应关系。
Diagonal $p$-permutation functors, semisimplicity, and functorial equivalence of blocks
设$k$是特征为$p>0$的代数闭域，$R$是交换环，$\mathbb{F}$是特征为0的代数闭域.考虑$R$上对角$p$ -置换函子的$R$ -线性范畴$\mathcal{F}^Δ_{Rpp_k}$.我们首先表明，类别$\mathcal{F}^Δ_{\mathbb{F}pp_k}$是半简单的，我们给它的简单对象的参数化，连同他们的评价的描述。其次，对于有限群$G$的任何一对$(G,b)$和$kG$的块幂等元$b$，我们在$\mathcal{F}^Δ_{Rpp_k}$中关联对角$p$ -置换函子$RT^Δ_{G,b}$。我们发现函子$\mathbb{F}T^Δ_{G,b}$分解为$\mathcal{F}^Δ_{\mathbb{F}pp_k}$中简单函子的直和。这导致在$\mathcal{F}^Δ_{\mathbb{F}pp_k}$的幂零块在其相关的函子方面的一个特征。最后，对于有限群和块幂等元的这种对$(G,b)$，我们引入了$R$上函子等价的概念，（在$R=\mathbb{Z}$的情况下）比$p$ -置换等价稍弱，并且我们证明了相应的有限性定理：对于给定的有限$p$群$D$，只有有限数目的对$(G,b)$，其中$G$是有限群，$b$是$kG$的带亏同构于$D$的块幂等元，直到$\mathbb{F}$上的函子等价。
Permutations that Destroy Arithmetic Progressions in Elementary $p$-Groups
给定一个阿贝尔群$G$，自然会问是否存在$G$的置换$π$，它“破坏”所有非平凡的3项等差数列（AP），在这个意义上，对于满足$b-a = c-b \neq 0$的每个有序三元$(a,b,c) \in G^3$，$π(b) - π(a) \neq π(c) - π(b)$。Hegarty在无限群$G$中解决了这个问题，他证明了存在$G$的AP-破坏置换当且仅当$G/Ω_2(G)$与$G$具有相同的基数，其中$Ω_2(G)$表示$G$中所有元素的子群，其阶划分$2$。然而，在$G$是有限的情况下，迄今为止只得到了部分结果。Hegarty证明了$G$的AP破坏置换存在，如果对所有$n \neq 2,3,5,7$都有$G = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，并且他和Martinsson一起证明了对所有$n > 1.4 \times 10^{14}$的猜想。本文证明了：若$p$是素数，$k$是正整数，则初等$p$ -群$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^k$存在AP-破坏置换当且仅当$p$是奇数，且$(p,k) \not\in \{(3,1),(5,1), (7,1)\}$ .
Local Statistics of Random Permutations from Free Products
令$α$和$β$分别是$S_{N}$中$2$和$3$阶的均匀随机置换，并考虑置换$αβαβ^{-1}$。这个随机排列平均有多少个固定点？目前的文件研究这种问题，并涉及到令人惊讶的拓扑和代数不变量的元素在自由积的群体。形式上，设$Γ=G_{1}*\ldots*G_{k}$是群的自由积，其中每个$G_1,\ldots,G_k$要么是有限的，要么是可定向的双曲曲面群。对于固定元素$γ\inΓ$，对称群$S_{N}$中的$γ$ -随机置换是$γ$通过一致随机同态$Γ\to S_{N}$的像。本文研究了$γ$ -随机置换的局部统计量及其随$N$增长的渐近性.我们首先考虑$\mathbb{E}\left[\mathrm{fix}_γ\left(N\right)\right]$，在$γ$中不动点的期望数量-在$S_{N}$中的随机置换。证明了除非$γ$有有限阶，否则$\mathbb{E}\left[\mathrm{fix}_γ\left(N\right)\right]$作为$N\to\infty$的极限是一个整数，并且等于包含$γ$的子群$H\leΓ$的个数，使得$H\cong\mathbb{Z}$或$H\cong C_{2}*C_{2}$ .等价地，这是包含$γ$并具有（有理）欧拉特征零的子群$H\leΓ$的数目。证明了$\mathbb{E}\left[\mathrm{fix}_γ\left(…
On a permutation problem for finite abelian groups
设$G$是一个有限可加阿贝尔群，其指数为$n>1$，令$a_1,\ldots,a_{n-1}\in G$ .我们证明了存在一个置换$σ\in S_{n-1}$使得所有元素$sa_{σ(s)}\ (s=1,\ldots,n-1)$非零当且仅当$$\left|\left\{1\le s<n:\ \frac{n}{d}a_s\ne 0\right\}\right|\ge d-1\ \ \textrm{ for every positive divisor }\ d\ \textrm{ of }\ n.$$当$G$是循环群$\mathbb Z/n\mathbb Z$时，这证实了Z. W.太阳
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