Local monotonicity and mean value formulas for evolving Riemannian manifolds
我们推导出一般流动的黎曼度量，可以被视为局部均值，单调性，或李雅普诺夫公式的身份。这些推广了第一作者以前的工作中曲率流和其他非线性扩散。我们的结果特别适用于里奇流，在那里，它们产生一个局部单调量直接类似于Perelman的约化体积V和一个局部恒等式有关的Perelman的平均能量F。
2006-08-18 math.AP math.DG
Finsler manifolds with Positive Weighted Flag Curvature
该研究引入基于$T$-曲率修正的加权旗曲率概念，证明两类具正/非负加权旗曲率的Finsler流形分别微分同胚于欧氏空间与欧氏球，推进了Finsler几何的曲率与拓扑关联研究。
2025-06-18 math.DG
Finsler Manifolds with Nonpositive Flag Curvature and Constant S-curvature
旗曲率是黎曼几何中截面曲率的自然扩张，S-曲率是一个非黎曼量，对于黎曼度量，S-曲率为零. R^n中具有负旗曲率和常S曲率的开子集上存在（不完全）非黎曼Finsler度量。本文证明了一个整体刚性定理，即如果流形是紧的，则每个具有负旗曲率和常S曲率的Finsler度量必是黎曼度量。我们还研究了非正旗曲率的情况。
2003-11-14 math.DG math.MG
$W$-entropy formula for the Witten Laplacian on manifolds with time dependent metrics and potentials
本文利用黎曼流形上的翘曲积给出了Witten Laplacian的$W$ -熵公式的一种新的证明方法，并对$W$ -熵公式中的一个量给出了自然的几何解释.证明了具有不定常度量和位势的紧致黎曼流形上Witten Laplacian的PDMATHAMM-熵公式，并导出了具有Lott修正里奇流的紧致黎曼流形上Witten Laplacian的后向热方程的$W$ -熵公式.我们还将结果推广到具有负$m$维Bakry-Emery里奇曲率的完备黎曼流形和具有$K$ -超$m$维Bakry-Emery里奇流的紧致黎曼流形.作为应用，我们证明了具有$K$ -超$m$维Bakry-Emery里奇流的紧致流形上的最优对数Sobolev常数随时间递减.
2014-11-03 math.DG
Mass, Staticity, and a Riemannian Penrose Inequality for Weighted Manifolds
本文基于加权曲率映射推导出加权质量，并定义加权质心，通过共形关系证明静态度量与加权静态度量等价，进而推导出加权流形上的黎曼Penrose不等式。
2026-04-29 math.DG
On the flag curvature of Finsler metrics of scalar curvature
芬斯勒度量的旗曲率被称为黎曼量，因为它是黎曼几何中截面曲率的推广。在芬斯勒几何中，有几个非黎曼量，如（平均）Cartan挠率、（平均）Landsberg曲率和S-曲率，它们对于黎曼度量都为零。理解这些量的几何意义是很重要的。本文研究了数量曲率的Finsler度量，旗曲率是狭缝切丛上的标量函数），并且当某些非黎曼量是各向同性时部分地确定旗曲率。使用所获得的公式的旗曲率，我们分类局部射影平坦的Randers度量与各向同性的S-曲率。
2003-03-12 math.DG math.MG
A New Monotone Quantity in Mean Curvature Flow Implying Sharp Homotopic Criteria
本文在高余维图形平均曲率流中发现新单调量，利用面积递减条件证明其递增性，并据此得到复射影空间及球面相关映射的尖锐同伦判定准则。
2025-09-28 math.AP math.DG math.GT
Absence of embedded eigenvalues for Riemannian Laplacians
本文研究了非紧连通黎曼流形上薛定谔算子嵌入特征值的不存在性。一个主要的例子是一个流形的结束（可能不止一个），其中测地坐标自然定义。在这种情况下，我们的几何条件之一是角子流形在无穷远端内的第二基本形式的正下界。另一个条件可以被看作（至少在特殊情况下）是这个量的迹的界限，而类似地，第三个条件是这个迹的导数的界限。除了几何边界，我们还需要势的条件，薛定谔算子域的正则性和唯一的连续性。例子包括年底赋予渐近欧几里德或双曲度量研究以前在文献中。
2011-09-09 math-ph math.DG math.MP
Pólya--Szegö Inequality on Submanifolds of Riemannian Manifolds with Nonnegative Curvature and Applications
University of Connecticut（康涅狄格大学）；Memorial University of Newfoundland（纽芬兰纪念大学）；Federal University of ABC（ABC联邦大学）
本文证明了非负曲率黎曼流形子流形上的Pólya--Szegö不等式，并由此推导出多种函数不等式，其常数与欧氏情形一致。
2026-09-22 math.AP math.DG
Evolution of Functionals Under Extended Ricci Flow
本文在紧致黎曼流形上研究扩展Ricci流下涉及标量量高次幂的泛函演化，通过推导积分时间导数的显式表达式，揭示几何量与标量函数的相互作用，且无需对流形、标量场或函数作假设。
2024-11-04 math.DG
The classical Weyl law for Schrödinger operators on complete Riemannian manifolds
Northeastern University（东北大学）；UCSB（加州大学圣塔芭芭拉分校）
本文提出一个判断Schrödinger算子在完备黎曼流形上经典Weyl定律成立的准则，不依赖传统几何或分析假设，引入几何-分析不变量量化几何、势函数增长与振荡尺度的平衡。
2026-05-08 math.AP math.DG math.SP
Maximal stretch and Lipschitz maps on Riemannian manifolds of negative curvature
Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学）；Ruhr University Bochum（波鸿鲁尔大学）
本文在负曲率黎曼流形上定义最大拉伸，研究其Mather集的结构，并与测地线层流和最佳Lipschitz映射理论建立联系。
2026-05-26 math.DG math.DS math.GT
Area-minimizing projective planes in three-manifolds
设（M，g）是三维紧致黎曼流形，\mathscr{F}表示与\mathbb{RP}^2同胚的所有嵌入曲面的集合.研究了\mathscr{F}中所有曲面面积的下确界。这个量与（M，g）的收缩期有关。只要\mathscr{F}不为空，它就有意义。本文根据（M，g）的数量曲率的最小值给出了这个量的一个上界。此外，我们证明了等式成立当且仅当（M，g）是等距的\mathbb{RP}^3缩放。证明中使用了面积的二阶变分公式和Hamilton的里奇流。
2010-01-04 math.AP math.DG
Magnitude of metric measure spaces and integrals over geodesics
本文提出了一种针对具有Borel测度的长度空间的大小定义，该定义涉及测地线集合上的积分，并证明了与有限度量空间大小的一致性以及齐次大小定理。
2026-05-22 math.DG math.MG
Asymptotic quantization on Riemannian manifolds via covering growth estimates
该研究针对黎曼流形上的渐近量化问题，提出了基于球面覆盖数增长的更一般积分条件，并估计了Ricci曲率下界等情形下的覆盖增长，为非光滑空间的相关研究提供了思路。
2025-05-21 math.DG math.MG math.OC
Minimal hypersurfaces and boundary behavior of compact manifolds with nonnegative scalar curvature
关于边界具有正平均曲率的紧致黎曼流形，Shi和Tam的一个基本结果是：如果流形具有非负数量曲率且边界等距于欧氏空间中的一个严格凸超曲面，则边界的总平均曲率不大于相应欧氏超曲面的总平均曲率.在$3$维中，Shi-Tam的结果已知等价于黎曼正质量定理。在本文中，我们提供了一个补充Shi-Tam的结果，包括最小超曲面的影响的边界。更精确地说，给定一个具有非负数量曲率的紧致流形$Ω$，假设它的边界由$Σ_h$和$Σ_o$两部分组成，其中$Σ_h$是$Ω$中所有闭极小超曲面的并，$Σ_o$等距于正质量空间Schwarzschild流形$m$中的一个适当的$2$ -凸超曲面$Σ$，我们建立了一个关于$m$的不等式，$Σ_h$的面积以及$Σ_o$和$ Σ$的两个加权总平均曲率。在$3$ -维中，该不等式对等距嵌入和拟局部质量问题都有意义。在相对论背景下，我们的结果可以解释为$ Σ_o$的准定域质量类型量大于或等于$Σ_h$的霍金质量。我们进一步分析了这种准局部质量量的极限与适当选择等距嵌入的大坐标球的渐近平坦的$3$ -流形$M$到空间史瓦西流形。我们表明，该限制等于ADM质量的$M$。证明了我们在紧致流形$Ω$上的结果等价于RiemannianPenrose不等式.
2017-05-22 gr-qc math.DG
Schrödinger Operators, Integral Curvature, and the Euler Characteristic of Riemannian Manifolds
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Anhui University（安徽大学）
本文通过薛定谔型算子与积分曲率界的关系，揭示了黎曼流形欧拉特征与曲率条件之间的拓扑联系，并给出了相关特征值下界及Yau问题的解答。
2026-01-18 math.DG math.SP
Quantum confinement on non-complete Riemannian manifolds
考虑了非完备黎曼流形$M$上的量子完备性问题，即量子粒子的限制问题，该流形具有光滑测度$ω$，在$M$的度量边界附近可能退化或奇异，并且存在实值势$V\in L^2_{\mathrm{loc}}(M)$ .本文的主要优点是识别的内在量，有效势$V_{\mathrm{eff}}$，它允许制定简单的量子限制的标准。令$δ$为到$M$的可能非紧凑度量边界的距离。主要结果的一个简化形式保证了当$V\ge -cδ^2$远离度规边界和\[ V_{\mathrm{eff}}+V\ge \frac3{4δ^2}-\fracκδ, \qquad \text{close to the metric boundary}. \]时的量子完全性。这些准则使我们能够：（i）得到在$M$的度规边界附近具有简并或奇异性的测度的量子限制结果;（ii）将强奇异势的Kalf-Walter-Schmincke-Simon定理推广到任意维奇异性的黎曼情形;（iii）给出了第一个，据我们所知，Laplace-Beltrami算子自伴性的基于曲率的标准;（iv）在温和的正则性假设下，证明几乎黎曼几何中的Laplace-Beltrami算子本质上是自伴的，部分解决了在[Boscain，Laurent -Ann. Inst. Fourier，2013]中提出的猜想。
2017-08-28 math-ph math.AP math.DG
Parabolic frequency monotonicity on compact manifolds
本文研究了黎曼流形上热方程解的抛物频率。证明了在具有非负截面曲率的紧致流形上抛物频率泛函几乎是增的，推广了C. Poon和L.倪证明是基于R.小时间Hamilton矩阵Harnack不等式作为应用，我们得到了一个唯一的延拓结果.在二维里奇流下，得到了与抛物频率泛函密切相关的一个新量的单调性。
2018-04-25 math.AP math.DG
Learning Weighted Submanifolds with Variational Autoencoders and Riemannian Variational Autoencoders
Stanford University（斯坦福大学）
流形值数据自然出现在医学成像中。例如，在认知神经科学中，大脑连接组对不同大脑区域之间的共激活模式的分析是基于对功能性磁共振成像（fMRI）时间序列相关性的分析--这一对象因此受到结构的限制，属于对称正定矩阵的流形。自然产生的挑战之一是找到一个低维子空间来表示这种流形值数据。传统的技术，如主成分分析，不适合处理非欧几里德空间，并且可能无法实现数据的低维表示-因此可能指向缺乏数据的低维表示。然而，这些技术的限制在于：（i）它们不利用连接体属于预先指定的流形的假设，因此丢弃信息;（ii）它们只能将线性子空间拟合到数据。在本文中，我们感兴趣的变体学习潜在的高度弯曲的流形值数据的子流形。受大脑连接体例子的启发，我们研究了一个潜在变量生成模型，它具有为我们提供不确定性估计的额外好处-这是我们正在考虑的医学应用中的一个关键数量。虽然潜变量模型已经被提出来学习欧几里得数据的线性和非线性空间，或流形数据的测地线子空间，但不存在内在潜变量模型来学习流形数据的非测地线子空间。本文填补了这一空白，并制定了一个黎曼变分自动编码器与流形值数据的内在生成模型。我们通过引入加权黎曼子流形的形式来评估它在合成数据集和真实数据集上的性能。
2019-11-19 cs.LG math.DG stat.ML
Monotone Volume Formulas for Geometric Flows
我们考虑一个具有黎曼度量g（t）的闭流形M在方向-2S（t）上演化，其中S（t）是（M，g（t））上的对称双张量.我们证明了如果S满足一定的张量不等式，那么可以构造一个向前和向后的约化体积量，前者沿着流动不增加，后者沿着流动不减少。在S=Ric是M的里奇曲率的情况下，结果对应于Perelman著名的里奇流的约化体积单调性。本文的第二部分给出了一些其他的例子，主要的例子和动机是List的推广里奇流系统，里奇流与调和映射热流的耦合以及具有非负截面曲率的Lorentz流形中的中曲率流。我们的方法，我们发现这些流量的新的单调性公式。
2010-09-06 math.DG
Second Variation Formula for the Laplace Eigenvalue Functional on Closed Manifolds
National Institute of Technology, Yonago College（米子工业高等专门学校）
本文研究闭流形上拉普拉斯特征值与体积的乘积泛函的二阶变分公式，证明了在特定条件下平坦度量不是该泛函在共形类中的极大点。
2026-03-17 math.DG math.SP
