Liouville Brownian motion and quantum cones in dimension $d > 2$
针对d > 2维情况，研究了与全空间对数相关高斯场相关的刘维尔布朗运动，计算其谱维数，构造高维β-量子锥并证明特定α-量子锥的平移不变性。
2025-02-13 math-ph math.MP math.PR
Approximation to multifractional Riemann-Liouville Brownian sheet
在本文中，我们首先引入多分数Riemann-Liouville布朗单。然后，我们给出了多分式Riemann-Liouville布朗单的一个逼近律结果。这些近似的构造基于I.I.D随机变量的序列。
2012-12-25 math.PR
Two-sided heat kernel bounds for $\sqrt{8/3}$-Liouville Brownian motion
Technische Universität Braunschweig（布伦瑞克工业大学）；Kobe University（神户大学）；Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University（京都大学数理科学研究所在）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；University of Cambridge（剑桥大学）
本文研究了当γ=√(8/3)时，Liouville Brownian motion的热核上界和下界，基于√(8/3)-LQG度量，结果在指数上至多相差多项对数因子。
2026-04-15 math-ph math.CV math.MP
The Tutte embedding of the Poisson-Voronoi tessellation of the Brownian disk converges to $\sqrt{8/3}$-Liouville quantum gravity
最近的工作表明，一个布朗曲面（如布朗映射或布朗圆盘）的实例a.s.具有正则共形结构，在该结构下它等价于$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力（LQG）曲面。特别地，布朗曲面上的布朗运动是定义良好的。在这些作品的建设是间接的，但是，并留下了一个基本的问题：布朗运动的布朗表面上的限制简单的随机游动越来越精细的离散化的表面，布朗运动的方式$\mathbb R^2$是$ε\to 0$限制简单的随机游动$ε\mathbb Z^2$？我们肯定地回答这个问题，表明布朗运动的布朗表面上（随时间变化）的$λ\to \infty$限制的简单随机游动的Voronoi镶嵌诱导的泊松点过程的强度是$λ$倍相关的面积测量。除此之外，这意味着作为$λ\to \infty$，Tutte嵌入（a.k.a.调和嵌入）收敛到连续布朗圆盘的正则共形嵌入，这又对应于$\sqrt{8/3}$ -LQG。一路上，我们得到其他独立有趣的事实共形嵌入的布朗曲面，包括信息的欧氏形状嵌入度量球和Voronoi细胞。例如，我们得到的矩估计值在某种精确意义上意味着这些形状不太可能很长很细。
2019-09-23 math-ph math.CV math.MP
Liouville distorted Brownian motion
在\cite{GRV}中引入Liouville布朗运动作为平面布朗运动$(B_t)_{t \ge 0}$的时变过程$B_{A_t^{-1}}$，其中$(A_t)_{t \ge 0}$是$(B_t)_{t \ge 0}$在严格意义下的正连续可加泛函. Liouville措施。我们首先考虑一个扭曲的布朗运动$(X_t)_{t\ge0}$从所有点的$\R^2$相关联的狄利克雷形式$(\E, D(\E))$（见\cite{ShTr14}）。本文证明了$(X_t)_{t \ge 0}$的正连续可加泛函$(F_t)_{t \ge 0}$在严格意义下是正的.可以构造Liouville扭曲测度。
2019-01-23 math.PR
Heat kernel for Liouville Brownian motion and Liouville graph distance
本文证明了在$\mathbb V =[0,1]^2 $上的$γ<2$参数的亚临界二维Liouville量子引力的图距离标度指数$χ\in (0,4[(1+γ^2/4)- \sqrt{1+γ^4/16}]/γ^2]$的存在性.我们还证明了对于任何固定的$u,v\in \mathbb V^o$，Liouville热核满足短时间估计$$ \lim_{ t \to 0} \frac{\log |\log {\mathsf p}_t^γ(u,v)| }{|\log t|}=\fracχ{2-χ}, \ \mbox{\rm a.s.} $$
2018-07-02 math.PR
Metric gluing of Brownian and $\sqrt{8/3}$-Liouville quantum gravity surfaces
在最近的一系列工作中，Miller和Sheffield在$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力（LQG）上构造了一个度量，在该度量下，$\sqrt{8/3}$ -LQG表面（例如，LQG球、楔、锥和盘）与它们的布朗表面对应物（例如，布朗映射、半平面、平面和圆盘）。我们确定的度量胶合的某些集合的独立的$\sqrt{8/3}$ -LQG表面的边界确定在一起，根据LQG长度沿其边界。我们的研究结果特别意味着，度量胶合的两个独立的布朗半平面沿其正边界的等距到一定的LQG楔装饰由一个独立的弦SLE $_{8/3}$曲线。如果我们确定了一个布朗半平面边界的两边，我们就得到了一个由独立的全平面SLE $_{8/3}$装饰的LQG锥。如果确定两个布朗半平面的整个边界，则得到不同的LQG锥，并且它们之间的界面是全平面SLE $_{8/3}$的双侧变体。结合作者的另一项工作，本文研究了在$\sqrt{8/3}$ -LQG上的$_{8/3}$随机四边形上自回避游动的标度极限.
2018-10-03 math-ph math.CV math.MP
Liouville quantum gravity and the Brownian map II: geodesics and continuity of the embedding
我们赋予$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力球一个度量空间结构，并证明由此得到的度规测度空间与布朗映射符合律.回想一下，刘维尔量子引力球是由欧几里得球${\mathbf S}^2$先验地自然参数化的。本系列以前的工作使用量子Loewner演化（QLE）在${\mathbf S}^2$的可数稠密子集上构造了一个度量$d_{\mathcal Q}$。在这里，我们表明，$d_{\mathcal Q}$ a.s.唯一且连续地扩展到所有${\mathbf S}^2$上的度量$\bar{d}_{\mathcal Q}$。设$d$表示${\mathbf S}^2$上的欧几里德度量，证明了$({\mathbf S}^2, d)$与$({\mathbf S}^2, \bar{d}_{\mathcal Q})$之间的恒等映射是a. s. Hölder连续的两个方向。我们建立了$({\mathbf S}^2, \bar{d}_{\mathcal Q})$的其他几个性质，最终的事实是（作为一个随机度量测度空间），它同意在法律上的布朗映射。我们建立类似的结果布朗盘和平面。我们的证明包括对QLE球和相关量子表面的大小和形状的新估计，以及对$({\mathbf S}^2, \bar{d}_{\mathcal Q})$测地线的仔细分析。
2021-04-19 math-ph math.CV math.MP
Liouville Brownian Motion and Thick Points of the Gaussian Free Field
我们找到了一个下界的豪斯多夫维数的刘维布朗运动花在$α$厚点的高斯自由场，其中$α$不一定等于所使用的参数的建设的几何。这完成了\cite{berestycki2013diffusion}中的一个猜想，其中给出了相应的上界。在证明的过程中，我们得到的（欧几里德）扩散指数，这强烈依赖于性质的起点的估计。对于刘维典型点，它是$1/(2 - \frac{γ^2}{2})$。特别地，对于$γ> \sqrt{2}$，路径是勒贝格-几乎处处可微的，几乎必然的。这提供了一个详细的描述刘维布朗运动的多重分形性质。
2014-12-04 math.PR
Large deviations for local times and intersection local times of fractional Brownian motions and Riemann-Liouville processes
本文证明了分数阶布朗运动和Riemann-Liouville过程局部时和交局部时的大偏差的精确形式。我们还表明，分数布朗运动和相关的Riemann-Liouville过程的行为就像对方的本地和交叉本地时间的大偏差的常数倍。由于我们的大偏差的估计，我们得到相应的当地时间的重对数律。我们的方法的关键点是：（1）分数布朗运动的指数随机局部时的归一化矩序列的对数超可加性，（2）Riemann-Liouville过程的指数随机相交局部时的归一化矩序列的对数次可加性;（3）将分数阶布朗运动的一部分嵌入到Riemann-Liouville过程的再生核希尔伯特空间中，比较了局部时和交局部时。
2010-05-27 math.PR
Liouville quantum gravity and the Brownian map III: the conformal structure is determined
本系列以前的工作已经证明了$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力（LQG）球的一个实例具有一个定义良好的距离函数，并且由此得到的度量测度空间（mm-空间）与布朗映射（TBM）在定律上一致。在这项工作中，我们表明，只要给定的mm空间结构，可以a.s.找回LQG球体这意味着有一种规范的方法可以通过欧几里德球面（直到莫比乌斯变换）来参数化TBM的实例。换句话说，TBM的实例具有规范共形结构。结论是，TBM和$\sqrt{8/3}$ -LQG球等效。它们最终编码相同的结构（一个具有测度、度量和共形结构的拓扑球），并具有相同的定律。从这个角度来看，事实上，共形结构a.s.确定度量，反之亦然，可以理解为这个统一定律的一个属性。这一工作的结果也意味着类似的事实适用于布朗和$\sqrt{8/3}$ -LQG曲面与其他拓扑结构。
2020-11-20 math-ph math.CV math.MP
Elliptic regularity results: n-regularized Liouville Brownian motion and non-symmetric diffusions associated with degenerate forms
我们将改进的椭圆正则性结果应用于一个具体的对称Dirichlet形式和各种可能退化对称扩散矩阵的非对称Dirichlet形式。在给定（非）对称Dirichlet形式的条件下，利用椭圆正则性结果和随机分析，证明了相应的奇异随机微分方程对R^d的某个子集E中的任意起始点的弱存在性.作为我们方法的一个应用，我们可以从R^2中的所有点出发，通过Dirichlet形式理论证明n-正则化刘维布朗运动的存在性。
2016-06-19 math.PR
Multiplicative chaos of the Brownian loop soup
本文构造了布朗环汤厚点上的乘法混沌测度，证明在临界强度下其与高斯自由场的双曲余弦一致，从而揭示布朗乘法混沌、高斯自由场与刘维尔测度间的深刻联系，并发现精确可积性。
2022-10-20 math-ph math.MP math.PR
Liouville quantum gravity and the Brownian map I: The QLE(8/3,0) metric
刘维尔量子引力（LQG）和布朗映射（TBM）是两种不同的赋测度随机曲面模型。LQG是根据实参数$γ$定义的，并且长期以来一直认为当$γ= \sqrt{8/3}$时，LQG球应该等价于（在某种意义上）TBM。然而，LQG球配备了共形结构，而TBM配备了度量空间结构，并且赋予其中一个结构另一个结构已经是一段时间的公开问题。本文是三部分系列中的第一部分，通过赋予每个对象以另一个对象的结构并显示所产生的定律一致来统一LQG和TBM。目前的工作使用的量子Loewner演化（QLE）的形式来构建一个度量的一个稠密子集的$\sqrt{8/3}$ -LQG球，并建立一定的事实，这个度量的法律，这是在协议与类似的事实已知的TBM。随后的论文将证明，这个度量唯一地和连续地扩展到整个$\sqrt{8/3}$ -LQG曲面，并且所得到的赋予测度的度量空间是TBM。
2019-07-29 math-ph math.CV math.MP
Forward stochastic integration for adapted processes w.r.t. Riemann-Liouville fractional Brownian motion (Full version)
本文研究了针对Riemann-Liouville分数布朗运动的前向随机积分的$L^2$-鞅表示及其精确等距性。
2025-12-14 math.PR
Operator Fractional Brownian Sheet and Martingale Differences
本文受Riemann-Liouville型分数布朗单的启发，引入了Riemman-Liouville型算子分数布朗单，研究了它的一些性质，并基于鞅差给出了它的一个逼近律.
2018-01-19 math.PR
Stochastic evolution equations driven by Liouville fractional Brownian motion
设H是希尔伯特空间，E是巴拿赫空间.本文建立了区间（0，1）上具有任意Hurst参数的H柱Liouville分数布朗运动（fBm）的L（H，E）值函数的随机积分理论.对于（0，1/2）中的Hurst参数，我们证明了函数F：（0，T）\to L（H，E）关于H-柱面Liouville fBm随机可积当且仅当它关于具有相同Hurst参数的H-柱面fBm随机可积.作为应用，我们证明了在（d/4，1）中Hurst参数的时空白噪声和时间Liouville分数噪声驱动下，\mathbb{R}^d中有界区域上的二阶抛物型随机微分方程存在空间和空间都是Hölder连续的温和解.
2012-03-07 math.FA math.PR
Riemann-Liouville fractional Brownian motion with random Hurst exponent
本文研究了具有随机Hurst指数的Riemann-Liouville分数阶布朗运动（RL FBMRE）的概率性质，包括自协方差函数和时间平均均方位移，并与FBMRE对比，为区分过程和参数估计奠定理论基础。
2024-10-15 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Diffusion in planar Liouville quantum gravity
我们构造了平面刘维尔量子引力随机几何中的自然扩散。形式上，这是复平面的区域$D$中的布朗运动，其中点$z \in D$处的黎曼度量张量由$\exp (γh(z) - \frac12 γ^2 \E (h(z)^2))$给出。这里$h$是$D$上高斯自由场的一个实例，而$γ\in (0,2)$是一个参数。我们证明了该过程几乎必然是连续的，并具有一定的共形不变性。我们还估计了Hausdorff维数的时间，扩散花在厚点的高斯自由场，并表明，它花勒贝格几乎所有的时间在一组$γ$厚点，几乎肯定。扩散是由高斯自由场正则化后的限制程序。证据的灵感来自参数的Duplantier-谢菲尔德的收敛的刘维量子引力措施，以前的工作多重分形随机措施，并依赖于估计的占领措施的平面布朗运动Dembo，佩雷斯，罗森和Zeitouni。一个类似但更深刻的结果已经被加尔班、罗兹和巴尔加斯同时独立地证明。
2013-01-15 math-ph math.MP math.PR
Volume of metric balls in Liouville quantum gravity
研究了Liouville量子引力中度规球的体积。对于$γ\in (0,2)$，自从Kahane（1985）和Molchan（1996）的早期工作以来，人们已经知道欧几里得球的LQG体积对于$p \in (-\infty, 4/γ^2)$具有精确的有限矩。在这里，我们证明了LQG度量球的LQG体积允许所有有限矩。这回答了Gwynne和Miller的一个问题，推广了Le Gall关于布朗映射的一个结果，即$γ= \sqrt{8/3}$情形.我们利用这个矩界证明了在紧集上尺寸为$r$的度量球的体积由$r^{d_γ+o_r(1)}$给出，其中$d_γ$是LQG度量空间的维数。利用类似的技巧，我们证明了Liouville布朗运动首次离开度量球的时间的类似结果。Gwynne-Miller-Sheffield（2020）证明了$γ$ -LQG a.s.当$γ=\sqrt{8/3}$时，确定其共形结构;他们的论证和我们的估计产生所有$γ\in (0,2)$的结果。
2020-11-30 math-ph math.MP math.PR
Liouville quantum gravity as a metric space and a scaling limit
在过去的几十年里，物理学和数学中出现了两种自然随机表面模型。第一个是刘维尔量子引力，它起源于20世纪80年代和90年代的弦理论和共形域论。第二个是布朗映射，它起源于20世纪60年代的平面映射组合学以及最近的标度极限结果。本文综述了Sheffield的一系列工作，其中证明了具有参数$γ=\sqrt{8/3}$的Liouville量子引力（LQG）与布朗映射是等价的。我们还简要介绍了一系列的工作与Gwynne使用的$\sqrt{8/3}$ -LQG度量证明收敛的自避免行走和渗流随机平面映射对SLE $_{8/3}$和SLE $_6$，分别在布朗曲面。
2017-12-05 math.PR
Characterizations of SLE$_κ$ for $κ\in (4,8)$ on Liouville quantum gravity
我们证明了在独立的$γ=4/\sqrtκ$ -Liouville量子引力（LQG）曲面上的SLEPDMATHABMM对$κ\in (4,8)$的唯一特征在于它的LQG边界长度过程的形式和未探测的量子曲面的条件律的形式，该条件律给出了直到每次$t$的已探测的曲线修饰的量子曲面。我们证明了这两个全平面空间填充SLE $_κ$的无限体积的LQG表面和弦SLE $_κ$的有限体积的LQG表面的边界上的特征的变体。利用布朗曲面和$\sqrt{8/3}$ -LQG曲面的等价性，我们推导出布朗圆盘上的SLE $_6$的边界长度过程的形式唯一地刻画了该边界长度过程，并且在给定该边界长度过程的情况下，该边界长度过程的曲线直到每次$t$的互补连通分量本身都是条件独立的布朗圆盘.本文的结果在同一作者的另一篇论文中被用来证明随机四边形化上渗流的标度极限由SLE $_6$在$\sqrt{8/3}$ -LQG上关于Gromov-Hausdorff-Prokhorov一致拓扑给出，Gromov-Hausdorff-Prokhorov一致拓扑是曲线修饰度量测度空间的Gromov-Hausdorff拓扑的自然模拟。
2021-02-10 math-ph math.CV math.MP
Mating of trees for random planar maps and Liouville quantum gravity: a survey
我们综述了随机平面映射的配对树双射的理论和应用及其连续模拟：Duplantier，Miller和Sheffield（2014）的配对树定理。后一个定理给出了由Schramm-Loewner演化曲线修饰的Liouville量子引力（LQG）曲面用一对相关线性布朗运动进行编码的方法.我们假设对SLE和LQG理论的熟悉程度最低。树的匹配理论使人们能够把SLE和LQG的问题归结为布朗运动的问题，并使随机平面映射和LQG之间有着深刻的严格联系。本文讨论的应用包括装饰随机平面映射的各种泛函的标度极限结果，图距离的估计和上的随机游动。（不一定是均匀的）随机平面映射，与SLE相关的集合的豪斯多夫维数的计算，共形嵌入平面中的随机平面映射的缩放极限结果，以及$\sqrt{8/3}$ -LQG的特殊对称性，它们允许人们证明它与布朗映射的等价性。
2023-02-15 math-ph math.CO math.CV
Liouville quantum gravity surfaces with boundary as matings of trees
对于$γ\in (0,2)$，量子盘和$γ$ -量子楔是两种最自然的具有边界的Liouville量子引力（LQG）表面.这些表面出现的有限和无限的随机平面映射的标度极限的边界，分别。我们证明了量子圆盘或$γ$ -量子楔上充满空间的$_{16/γ^2}$曲线的左/右量子边界长度过程是一个具有关联$-\cos(πγ^2/4)$的显式条件二维布朗运动.这将Duplantier、Miller和Sheffield（2014）的树的交配定理扩展到了有边界的量子表面的情况（$γ\in (\sqrt 2 , 2)$的圆盘情况之前由Duplantier、Miller和Sheffield使用不同的方法处理）。作为应用，我们通过计算关联布朗运动的相应泛函的规律，给出了给定边界长度的量子盘的LQG面积的条件规律的显式表达式.
2020-05-11 math-ph math.CV math.MP
Mating of trees for critical Liouville quantum gravity
在一项开创性的工作中，Duplantier，Miller和Sheffield证明了亚临界Liouville量子引力（LQG）与Schramm-Loewner演化（SLE）的耦合可以通过两个连续随机树的配对来描述。在本文中，我们考虑他们的结果的对应临界LQG和SLE，即，对于当$γ^2=κ=16/κ=4$ .我们证明，当一个人在亚临界环境中发送$κ\downarrow 4$时，磁盘中的空间填充SLE $_κ$退化为Werner和Wu引入的CLE $_4$探索，以及i.i.d.硬币投掷由探索的分支点索引。此外，在$κ=16/γ^2\downarrow 4$极限下，连续随机树对坍缩成单个连续随机树，并且我们观察到，在取极限之前对编码布朗运动应用适当的仿射变换，我们得到收敛到一对独立的布朗运动$(A,B)$。布朗运动$A$编码从CLE环到磁盘边界的LQG距离，而布朗运动$B$编码CLE $_4$环的边界长度。与亚临界设置相反，$(A,B)$不能确定CLE修饰的LQG表面。
2022-08-31 math.PR
Convergence of the self-avoiding walk on random quadrangulations to SLE$_{8/3}$ on $\sqrt{8/3}$-Liouville quantum gravity
我们证明了一个统一的无限四边形的半平面装饰的自避免行走（SAW）收敛在缩放限制的度量胶合两个独立的布朗半平面确定沿其正边界射线。结合作者的其他工作，这意味着随机四边形上的SAW收敛到某个$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力曲面上的SLEPDMATHABMM.收敛拓扑是局部Gromov-Hausdorff-Prokhorov一致拓扑，是局部Gromov-Hausdorff拓扑到曲线修饰度量测度空间的自然推广。我们还证明了类似的缩放极限结果均匀的无限四边形的整个平面装饰的单面或双面SAW。我们的证明仅使用随机四边形的剥离过程和布朗半平面的一些基本性质，因此可以在没有任何SLE或LQG知识的情况下阅读。
2019-10-16 math-ph math.CO math.CV
Geodesic networks in Liouville quantum gravity surfaces
最近的工作表明，对于$γ\in (0,2)$，Liouville量子引力（LQG）曲面可以被赋予正则度规。我们证明了几个结果有关测地线为这个度量。特别是，我们完全分类的可能网络的测地线从一个典型的点在表面上的表面上的任意点，以及类型的网络的测地线连接两个点发生在一个密集的一组对点的表面上。后一个结果是Angel，Kolesnik和Miermont（2017）在布朗地图中对测地线网络分类的$γ$ -LQG模拟。我们还表明，有一个确定性的$m\in\mathbb N$，使几乎肯定任何两个点加入最多$m$不同的LQG测地线。
2021-07-29 math-ph math.MP math.PR
A central limit theorem for Gibbs measures relative to Brownian motion
研究了具有只依赖于增量的对势的布朗运动上的Gibbs测度。假设这对势的一种特殊形式，我们建立了在无限体积极限下，吉布斯测度可以看作是在动态随机环境中运动的布朗运动。因此，我们能够使用Kipnis和Varadhan的技术，并证明一个功能的中心极限定理。
2003-08-20 math-ph math.MP math.PR
Random surfaces and Liouville quantum gravity
Liouville量子引力（LQG）曲面是一类随机分形曲面，它们可以看作是随机二维黎曼流形的正则模型，就像布朗运动是随机路径的正则模型一样，LQG曲面是离散随机曲面（称为随机平面映射）的连续极限.本文讨论了随机平面映射和LQG的定义，随机平面映射收敛于LQG的意义，以及研究这些问题的动机。我们还提到几个开放的问题。我们不假设任何背景知识超出了二年级数学研究生。
2021-02-28 math-ph math.CV math.MP
Confluence of geodesics in Liouville quantum gravity for $γ\in (0,2)$
我们证明了对于任何一个可以与满足某些自然公理的$γ\in (0,2)$的Liouville量子引力（LQG）曲面相联系的度量，它的测地线具有如下的汇合性质。对于任何不动点$z$，a.s.\从不同于$z$的不同点开始的任何两个$γ$-LQG测地线必须彼此合并并且随后重合，直到它们到达$z$。这类似于Le Gall（2010）证明的布朗映射的测地线性质的汇合。我们的结果适用于刘维第一次通过渗流的基本限制，是一个重要的输入在证明的存在性和唯一性的LQG度量的所有$γ\in (0,2)$。
2020-02-01 math-ph math.CV math.MP
Disconnection probability of Brownian motion on an annulus
本文推导了圆环上布朗路径不断开边界分量的精确概率公式，基于与SLE的联系及与刘维尔量子引力的耦合，并揭示了停止布朗运动与SLE$_{8/3}$环测度及LQG曲面间的精确关系。
2025-09-17 math-ph math.MP math.PR
Geodesics and metric ball boundaries in Liouville quantum gravity
最近的工作表明，对于任意参数$γ\in (0,2)$，都有一个规范的方法来给Liouville量子引力（LQG）曲面指定一个度量（距离函数）。我们建立了LQG测地线的一个强汇合性质，推广了Angel，Kolesnik和Miermont关于布朗映射的一个结果。利用这一性质，我们还建立了0 - 1法律的豪斯多夫维数的测地线，度量球边界，和度量网w.r.t.欧几里德或LQG度量。在度量球边界的情况下，我们的结果与Gwynne（2020）的早期工作相结合，给出了a.s.根据整个LQG曲面的豪斯多夫维数，度量球在撞击不动点时停止的边界的豪斯多夫维数。我们还证明了度量球边界的豪斯多夫维数是由不位于球的任何互补连通分支的边界上的点所携带的。
2022-01-17 math-ph math.MP math.PR
The skew Brownian permuton: a new universality class for random constrained permutations
Stanford University（斯坦福大学）
本文构造了由两个参数刻画的斜布朗置换子族，统一了Baxter置换子与有偏布朗可分置换子，并证明其与SLE装饰的LQG球面相关置换子几乎覆盖全部参数范围。
2026-09-30 math-ph math.CO math.MP
An axiomatic characterization of the Brownian map
布朗映射是一个随机球同胚测度空间，它是通过将布朗蛇的$x$和$y$坐标描述的连续树“粘在一起”而得到的。我们提出了另一种“宽度优先”的布朗映射的建设，产生一个表面从一定的装饰分支过程。它与剥皮过程、外壳过程和布朗仙人掌密切相关。利用这些思想，我们证明了布朗映射是唯一的随机球同胚度量测度空间具有一定的性质：即，标度不变性和条件独立的内部和外部的某些“切片”由测地线。我们还制定了一个所谓的Lévy网的度量探索从一个测量典型点到另一个方面的特征。这个特征是证明布朗映射和刘维量子引力与参数$γ= \sqrt{8/3}$的等价性的程序的一部分。
2020-04-08 math-ph math.CV math.MP
The $d_γ/2$-variation of distance profiles in $γ$-Liouville quantum gravity
本文将带边界Brownian曲面中距离剖面的二次变差解释推广至$γ$-LQG曲面，证明自然边界长度测度可解释为距离剖面的$d_γ/2$-变差过程。
2023-10-20 math.PR
Reconstructing SLE-decorated Liouville quantum gravity surfaces from random permutons
本文证明了从基于Liouville量子引力曲面和空间填充SLE构造的permutons可以确定性地重构出原始曲面和SLE对，涵盖了斜布朗permutons和meandric permuton等情况。
2024-09-23 math-ph math.CO math.MP
On the spectral geometry of Liouville quantum gravity
本文研究了李群量子引力的谱几何，介绍了其本征值构造、韦伊定律及热迹相关工作，并提出了新的开放问题。
2025-12-02 math.PR
The $p$-$θ$ relation in mating of trees and its application to skew Brownian permutons
UC San Diego（加州大学圣地亚哥分校）；Beijing International Center for Mathematical Research, Peking University（北京大学数学中心）；New York University（纽约大学）
本文针对树配对方法中耦合两对布朗运动的参数$p$（描述布朗运动）与$θ$（描述LQG曲面上的SLE曲线），推导了二者的精确关系，并将其应用于计算偏置布朗置换子的统计量。
2026-09-01 math.PR
On quasisymmetric embeddings of the Brownian map and continuum trees
布朗映射是球面上随机几何的一种模型，是概率论和物理学中的一个重要对象。它与刘维尔量子引力有关，并且有很多研究致力于此。一个悬而未决的问题要求将布朗映射正则嵌入到球面或其他更抽象的度量空间中。类似地，刘维尔量子引力已经被证明是“等价”于布朗映射，但对应的确切性质（即\嵌入）仍然是未知的。本文证明了布朗映射或连续随机树嵌入到$\mathbb{R}^d$，$\mathbb{S}^d$，$\mathbb{T}^d$，或更一般的双度量空间中，不可能是拟对称的.我们实现这一点的帮助下，维数论确定一个度量结构，是不变的准对称映射（如等距），这意味着无限Assouad维。我们表明，使用初等方法，这种结构是几乎肯定存在于布朗连续随机树和布朗映射。我们进一步表明，雪花的度量是不足以找到一个嵌入和讨论连续树作为一种工具来研究“分形函数”。
2020-11-27 math.CA math.MG math.PR
Liouville Quantum Duality and Random Planar Maps
本文研究块加权随机平面地图模型，发现其在临界值 $u=u_{cr}$ 处发生退化相变，并证明该临界点与临界点之下的计数性质和临界指数由对偶关系相联系，这与Liouville量子引力描述的预期一致。
2025-07-16 math-ph math.CO math.MP
An invariance principle for ergodic scale-free random environments
有许多经典的随机环境中的随机游动的结果适用于遍历随机平面环境。我们将其中的一些结果扩展到随机环境中，其中的长度尺度从一个地方到另一个地方，使法律的环境是在一定意义上只有平移不变{ \em模缩放}。为了我们的目的，“环境”由嵌入$\mathbb C$的无限随机平面映射组成，其每条边都具有正的实电导。我们的主要结果是，在适当的限制（平移不变模标度与有限的一种类型的特定的能量）在这种环境中的随机游动收敛到布朗运动模时间参数化在淬火意义下。在随机平面映射和刘维尔量子引力的研究中，自然会出现这种类型的环境。事实上，本文的结果被用于单独的工作中，以证明某些随机平面映射（通过所谓的Tutte嵌入嵌入在平面中）具有由SLE修饰的Liouville量子引力给出的标度极限，并且还提供了布朗映射上的布朗运动的更明确的构造。然而，本文的结果更一般，可以独立于该程序阅读。我们的主要结果的一个一般性的结果是，如果一个平移不变（模缩放）的随机嵌入平面映射和它的对偶有有限的能量单位面积，那么他们在大尺度上接近于一个最小的能量嵌入（调和嵌入）。为了建立{ \em无限}能量嵌入的布朗运动收敛性，只要证明可以扰动它使能量有限就足够了。
2021-06-10 math-ph math.MP math.PR
Brownian motion correlation in the peanosphere for $κ> 8$
杜普朗蒂埃、米勒和谢菲尔德的粒子球（或“树的交配”）构造编码了某些类型的$γ$ -刘维量子引力（LQG）表面（$γ\in (0,2)$），这些表面根据相关的二维布朗运动装饰有独立的SLE $_κ$（$κ= 16/γ^2 > 4$），并提供了一个框架，用于显示装饰有统计物理模型的随机平面映射收敛到装饰有SLE的LQG。以前，对于$κ\in (4,8]$，布朗运动的相关性仅被明确地确定为$-\cos(4π/κ)$，而对于$κ> 8$未知。这项工作的主要结果是，这个公式适用于所有的$κ> 4$。这为证明$κ> 8$的上述类型的收敛结果提供了缺少的成分。我们的证明是基于计算一个特定的尾部指数的SLE $_κ$上的量子楔，然后匹配它与一个指数，这是众所周知的布朗运动。
2016-01-15 math-ph math.CV math.MP
Weak Liouville quantum gravity metrics with matter central charge $\mathbf{c} \in (-\infty, 25)$
物理学的考虑表明，刘维尔量子引力（LQG）理论应该存在于所有的物质中心电荷值$\mathbf{c} \in (-\infty,25)$。概率学家已经严格地将LQG定义为$\mathbf{c} < 1$的随机度量测度空间;然而，他们直到最近才开始在$\mathbf{c} \in (1,25)$阶段探索LQG。我们定义了一个随机度量LQG为所有$\mathbf{c} < 25$的公理类似于公理的集合中规定的$\mathbf{c} < 1$设置。我们表明，这样的度量存在于每个$\mathbf{c}$考虑近似度量称为刘维第一次通过渗流。丁和Gwynne证明，这些近似度量是紧在一个适当选择的拓扑结构，我们表明，每一个连续极限满足我们的公理。特别是，我们的结果定义了一个度量相关的LQG在临界情况下$\mathbf{c} =1$。我们为$\mathbf{c} \in (1,25)$定义的度量表现出与$\mathbf{c} < 1$机制形成鲜明对比的几何行为。我们证明了，对于$\mathbf{c} \in (1,25)$，度量并不诱导欧氏拓扑，因为它们也是一个拓扑.有一个稠密的（测量为零）奇点集，这些点与所有其他点的距离是无限远的。我们用这一事实来证明。度量球不是紧的，它的边界具有无穷大的豪斯多夫维数.尽管有这些差异，我们证明了许多性质的LQG指标$\mathbf{c} < 1$以某种形式扩展到整…
2024-02-22 math-ph math.MP math.PR
On the local conformal structure of Imaginary Liouville theory
Sorbonne Université, CNRS, LPTHE（索邦大学，法国国家科学研究中心，理论物理实验室）；Université Paris-Saclay, CNRS, LPTMS（巴黎萨克雷大学，法国国家科学研究中心，理论与数学物理实验室）
本研究针对中心电荷小于1的非有理共形场论虚刘维尔理论，建立了Ward恒等式与Belavin-Polyakov-Zamolodchikov微分方程，为共形自举程序的严格实现奠定了基础。
2026-08-04 hep-th math-ph math.MP
Quasisymmetric rigidity of the Brownian sphere
本文证明了布朗球体（布朗映射）几乎必然没有非平凡的拟对称自同构，且两个独立的布朗球体几乎必然不是拟对称等价的，从而建立了其拟对称刚性。
2026-06-09 math-ph math.CV math.MG
Baxter permuton and Liouville quantum gravity
Stanford University（斯坦福大学）；University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文给出 Baxter permuton 期望密度的显式公式，证明其模式密度严格正，并借助 LQG/SLE 联系推广到斜布朗 permuton，揭示反转比例与虚几何角的关系。
2023-01-17 math-ph math.CO math.MP
The Tutte embedding of the mated-CRT map converges to Liouville quantum gravity
我们证明了Tutte嵌入（a.k.a.调和/重心嵌入）收敛于$γ$ -Liouville量子引力（$γ$ -LQG）。具体来说，我们处理配对CRT地图，这是离散化的相关连续随机树的交配，和$γ$范围从$0$到$2$作为一个变化的相关参数。我们还表明，嵌入式地图上的相关空间填充路径收敛到空间填充SLE $_κ$ $κ=16/γ^2$（在退火意义上）和嵌入式地图上的简单随机游动收敛到布朗运动（在淬火意义上）。本文首次证明了随机平面映射的离散共形嵌入收敛于LQG。还有许多这样的声明被证实。由于配对CRT图可以被视为对其他随机平面图（UIPT、树加权图、双极定向图等）的粗粒度近似，我们的结果表明，一个潜在的方法来证明这些映射的嵌入收敛到LQG以及。为了证明主要结果，我们建立了几个关于空间填充SLE修饰的LQG曲面的定理。有一种自然的方法可以使用SLE曲线将平面划分为与匹配CRT贴图的顶点相对应的“单元”。我们研究的法律的形状的原始包含细胞，特别是证明时刻的比例，其平方直径，其面积。我们还给出了边界上的程度的起源包含细胞和建立一种形式的遍历的整个配置。最终，我们使用这些属性显示（在一个单独的文件证明的一般定理的帮助下），这些细胞上的随机游动收敛到时变的布朗运动，这反过来又导致Tutte嵌入结果。
2021-02-20 math-ph math.CV math.MP
Liouville quantum gravity with matter central charge in $(1,25)$: a probabilistic approach
关于中心电荷共形物质场${\mathbf{c}}_{\mathrm M}\in(-\infty,1]$的二维Liouville量子引力已有大量的文献。通过DDK变换，LQG可以等价地描述为通过对$γ$乘以平面高斯自由场（GFF）的变体求幂而获得的随机几何，其中$γ\in(0,2]$满足$\mathbf c_{\mathrm M}=25-6(2/γ+γ/2)^2$。物理学的考虑表明，LQG在$\mathbf c_{\mathrm M}>1$时也应该有意义。然而，在这种状态下的行为是相当神秘的，部分原因是$γ$的相应值是复杂的，所以各种公式的解析延拓给出了复杂的答案，这在概率设置中很难解释。我们介绍和研究的LQG的离散化，这是有意义的所有值的$\mathbf c_{\mathrm M}\in(-\infty,25)$。我们的离散化由一个随机的平面地图，定义为相邻图的平铺的平面由二进广场，都有大约相同的“LQG大小”相对于GFF。我们证明了几个公式的尺寸相关的数量仍然是有效的$\mathbf c_{\mathrm M}\in(1,25)$，与警告的尺寸是无限的公式时，给出了一个复杂的答案。特别是，我们证明了一个扩展的（几何）KPZ公式$\mathbf c_{\mathrm M}\in(1,25)$，它给出了一个有限的量子维数当且仅当欧氏维数是最多$(25-\mathbf c_{\math…
2019-11-11 math-ph math.MP math.PR
Bounds for distances and geodesic dimension in Liouville first passage percolation
对于$ξ\geq 0$，Liouville首次通过渗流（LFPP）是通过用$\varepsilon e^{ξh_\varepsilon(z)}$加权每个顶点获得的$\varepsilon \mathbb Z^2$上的随机度量，其中$h_\varepsilon(z)$是圆$\partial B_\varepsilon(z)$上的全平面高斯自由场$h$的平均值。Ding和Gwynne（2018）表明，对于$γ\in (0,2)$，具有参数$ξ= γ/d_γ$的LFPP与$γ$-Liouville量子引力（LQG）相关，其中$d_γ$是$γ$-LQG维数指数。对于$ξ> 2/d_2$，LFPP反而预期与中心电荷大于1的LQG相关。我们证明了几个估计LFPP距离一般$ξ\geq 0$。对于$ξ\leq 2/d_2$，这导致了$d_γ$的新边界，其改进了先前已知的最佳上限（分别为\当$γ> \sqrt{8/3}$（或$γ\in (0.4981, \sqrt{8/3})$）。这些界限与Watabiki（1993）对$d_γ$的预测一致。然而，对于$ξ> 1/\sqrt 3$（或等价地对于中心电荷大于17的LQG），我们的边界与Watabiki对$ξ>2/d_2$区的预测的解析延拓不一致。我们还得到了LFPP测地线的欧氏维数的一个上界。
2019-06-23 math-ph math.MP math.PR
Continuity and estimates of the Liouville heat kernel with applications to spectral dimensions
刘维尔布朗运动（Liouville Brownian motion，LBM）是由Garban、Rhodes和Vargas最近提出的，也是Berestycki提出的一种较弱形式，是由刘维尔测度$M_γ$诱导的平面随机几何中的扩散过程，对于（大质量）高斯自由场$X$，正式写作$M_γ(dz)=e^{γX(z)-{γ^2} \mathbb{E}[X(z)^2]/2}\, dz$，$γ\in(0,2)$。它是一个$M_γ$ -对称扩散，定义为二维布朗运动的时间变化的正连续加性泛函与Revuz测度$M_γ$。在本文中，我们提供了一个详细的分析热核$p_t(x,y)$的LBM。具体来说，我们证明了它的联合连续性，局部均匀的次高斯上限的形式$p_t(x,y)\leq C_{1} t^{-1} \log(t^{-1}) \exp\bigl(-C_{2}((|x-y|^β\wedge 1)/t)^{\frac{1}{β-1}}\bigr)$的$t\in(0,\frac{1}{2}]$为每个$β>\frac{1}{2}(γ+2)^2$，和对角下界的形式$p_{t}(x,x)\geq C_{3}t^{-1}\bigl(\log(t^{-1})\bigr)^{-η}$的$t\in(0,t_η(x)]$，与$t_η(x)\in(0,\frac{1}{2}]$严重依赖于$x$，为每个$η>18$的$M_γ$ …
2015-10-02 math.PR
Central limit theorem for functionals of two independent fractional Brownian motions
利用矩量法证明了$(\frac{2}{d+1},\frac{2}{d})$中具有相同Hurst指标$H$的两个独立$d$维分数布朗运动泛函的中心极限定理.
2012-11-08 math.PR
Central limit theorem for an additive functional of the fractional Brownian motion II
利用矩量法证明了具有Hurst指标的$H\in(\frac{1}{2+d},\frac{1}{d})$维分数布朗运动的可加泛函的一个中心极限定理，推广了标准布朗运动情形下的Papanicolaou，Stroock和Varadhan的结果.
2013-04-23 math.PR
Convergence of processes time-changed by Gaussian multiplicative chaos
本文在$L^2$区域中证明了由高斯乘性混沌进行时间变换的过程的收敛性，并给出Liouville简单随机游走和Liouville $α$-稳定过程的收敛实例。
2024-10-01 math.PR
Liouville quantum gravity from random matrix dynamics
本文建立二维Liouville量子引力与酉群布朗运动动力学测度收敛的联系，通过多时间Fisher-Hartwig渐近与手术论证，给出LQG测度收敛的概率证明，并推广至更广矩阵动力学。
2025-07-09 math-ph math.MP math.PR
