Cyclic impartial games with carry-on moves
本文提出了一种结合史密斯-弗兰克尔-佩尔理论和拉尔松-诺瓦科维茨-桑托斯理论的泛化理论，用于分析具有进位移动的循环无偏游戏。
2025-12-16 math.CO
Simultaneous Combinatorial Game Theory
组合对策论（CGT），由Berlekamp、Conway和Guy提出，涉及两个在完全信息零和对策中交替移动的参与者，并且没有机会装置。此外，游戏具有有限下降属性（每个游戏终止于有限数量的移动）。这两个球员通常被称为左和右。游戏通常分为多个组件，玩家必须选择其中一个组件进行游戏。CGT的一个主要目的是单独分析各个组成部分（而不是分析整体），然后使用这些信息来分析总和。在本文中，局中人同时行动的组合对策。三个总和被认为是由终止规则定义的：（i）一个组件没有同时移动;（ii）没有组件有一个同时移动;（iii）一个球员没有任何组件移动。这些都与获胜惯例相结合，获胜惯例是：（i）基于哪个玩家剩下的移动;或（ii）最大的分数。在每一个组合中，我们表明，平等的游戏诱导一个等价关系和等价类是偏序的。此外，在可能的情况下，给定游戏$A$和$B$，我们进行检查以确定Left是否更喜欢在求和中用$B$替换$A$。
2018-10-05 math.CO
Diamond-colored distributive lattices, move-minimizing games, and fundamental Weyl symmetric functions: The type $\mathsf{A}$ case
我们提出了一些基本的，但基础性的结果，钻石色的模块和分配格，并连接这些结构，以某些一个球员的组合“移动最小化游戏”，特别是所谓的“多米诺骨牌游戏。这个游戏的目的是找到，如果可能的话，最少数量的“多米诺骨牌移动”，从一个分区到另一个分区，其中多米诺骨牌移动是，除了一个例外，增加或删除多米诺骨牌形状的瓷砖对。我们解决这个多米诺骨牌游戏，证明了一个有点令人惊讶的事实，即相关的“游戏图”符合一个著名的家庭钻石色分配格，应被称为“型$\mathsf{A}$基本格。“这些格是作为特殊线性李代数的基本表示的支持图和$\mathsf{A}$型基本对称函数的分裂偏序集而出现的，这些连接在$\mathsf{A}$、$\mathsf{C}$和$\mathsf{B}$型的后续论文中进一步探讨。在本文中，这种连接提供了一个解决方案，建议多米诺骨牌游戏以及新的描述类型$\mathsf{A}$基本格。
2017-02-02 math.CO
Difference between minimum light numbers of sigma-game and lit-only sigma-game
一个图的构形是指它的每个顶点被赋予开或关两种状态中的一种，在一个顶点上的规则移动会改变该顶点的邻居的状态。有效的移动是在顶点上的常规移动。本文证明了如下结果：给定树的任意起始构形$x$，如果存在一个正规移动序列使$x$到达另一个构形，在该构形中顶点上有$\ell$，则一定存在一个有效移动序列使$x$到达顶点上至多有$\ell +2$的构形.通过实例证明了上界$\ell +2$是尖锐的.文中还报道了一些有关的结果和图表。
2009-04-20 math.CO
The $\star$-operator and Invariant Subtraction Games
我们研究2人公平游戏，即所谓的\emph{invariant subtraction games}，给定一组允许的移动，玩家轮流将大棋盘上的一颗棋子移向位置$\boldsymbol 0$。在这里，不变性意味着每个允许的移动在整个棋盘中都是可用的。然后我们定义一个新的博弈，旧博弈的$\star$，通过把除了$\boldsymbol 0$之外的$P$ -位置作为新博弈中的移动。一个这样的游戏是$\W^\star=$（Wythoff Nim）$^\star$，其中移动由具有无理模的互补贝蒂序列定义。本文给出了$\W^\star$的无穷多个$P$ -位置的多项式时间算法. $\star$的重复应用结果是为不变减法游戏的某个子类提供了特别好的性质，\emph{permutation games}，我们在这里介绍。我们还介绍了\emph{ornament games}家族，其$P$ -位置定义了具有有理模的互补Beatty序列-因此与A有关。S. Fraenkel的'变种'老鼠和老鼠游戏-并给出了封闭的形式为这样的游戏的举动。我们还证明了（$k$ -pile Nim）$^{\star\star}$ = $k$ -pile Nim.
2010-09-21 math.CO
On a question of Matt Baker regarding the dollar game
针对图上美元游戏中结合借入与借出操作的最优策略尚不明确的问题，本文推导得出最优算法最少步数以借贷狂欢策略步数为参数的下界，且该下界是紧的。
2023-08-24 math.CO
On the Sprague-Grundy values of games with a pass
本文研究带过牌的无偏博弈析取复合，建立 SG 值同态，将满足一步博弈条件的分量复合转化为带过牌的 nim 局面，从而给出必胜策略判定时间上界，并应用于巧克力博弈的 SG 值计算。
2025-11-09 math.CO
Bounds for the Competition-Independence game on trees
在本文中，我们证明了膨胀有一个策略，使膨胀开始竞争独立游戏持续至少$(5n+3)/13$移动的每一棵树。此外，我们还证明了存在任意大的树，使得膨胀开始竞争独立游戏最多持续$(5n+26)/12$移动，从而反驳了Henning的一个猜想。
2023-03-17 math.CO
Purely Periodic Three-move Subtraction Games
College of Information Science, School of Informatics, University of Tsukuba（筑波大学信息学研究院信息科学系）
本文研究三步减法游戏S={a,b,c}的纯周期性，给出纯周期的显式充分准则，确定满足准则的非可加集合的最小周期、P位置及nim值，还对可加情况单独处理并证明准则在特定条件下的必要性。
2026-09-17 math.CO
Building spanning trees quickly in Maker-Breaker games
对于n个顶点的树T，我们研究了在n个顶点的完全图的边集上进行的Maker-Breaker博弈，只要Maker建立的图包含T的副本，她就赢了。我们证明，如果T有界的最大程度，那么制造商可以赢得这个游戏在n+1步。此外，我们证明，制造商可以建立几乎每一个树n顶点在n-1移动，并提供非平凡的例子，家庭的树，制造商不能建立在n-1移动。
2013-04-15 math.CO
Playing impartial games on a simplicial complex as an extension of the emperor sum theory
本文研究了单纯复形上的公平对策。给定的单纯复形的每个顶点都充当一个公平博弈的位置。每个玩家依次选择单纯复形的一个面，对于该面的每个顶点上的每个位置，玩家可以进行任意数量的移动。此外，玩家只能在每个顶点上的每个位置移动一次，而不是在那个面上。我们展示了如何使用P-位置长度来表征这个博弈的P-位置。这个结果可以被认为是皇帝和理论的推广。虽然皇帝和只允许多个动作的一个单一的组件，本研究探讨的情况下，多个动作可以为多个组件，并澄清皇帝和理论没有涵盖的领域。
2022-02-01 math.CO
On winning fast in Avoider-Enforcer games
我们分析了三个基本的位置游戏的无偏避免者-执行者游戏的持续时间。所有的博弈都是在完全图的$n$顶点上的边上进行的，Avoider的目标分别是保持图是外平面的、无菱形的和$k$ -退化的.很明显，这三场比赛都是执行者的胜利，我们的主要兴趣在于确定避免者在输掉之前可以玩的最大数量的移动。极值图论提供了一个通用的上界的数量Avoider的举动。事实证明，对于所有三个博弈，我们都设法获得了一个下界，这个下界与上界之间的距离只是一个加法常数。特别是，我们展示了一个策略，避免保持他的图outerplanar至少$2n-8$移动，只有6短的最大可能。一个无菱形图最多可以有$d(n)=\lceil\frac{3n-5}{2}\rceil$边，并且证明了Avoider至少可以走$d(n)-3$步.最后，如果$k$是小相比，$n$，我们表明，Avoider可以保持他的图$k$ -退化多达$e(n)$移动，其中$e(n)$是边缘的最大数量$k$ -退化图可以有。
2009-10-22 math.CO
Playing through a noisy channel (and knowing it)
在本说明中，我们讨论了一个理论的组合游戏，涉及通过一个有噪信道，可以在传输过程中引入错误传输的动作。玩家意识到这种干扰，并将此变量纳入游戏中：有效的移动是收到的移动，无论它是否是其他玩家的发送移动（只要它是原始游戏中的有效移动;否则，请求重新传输）。玩家知道通过沟通引入错误的可能性，可以采取非最佳（但有效）的行动，以最大限度地提高获胜的机会。我们提出了一些例子，并提供了这种类型的游戏的基本定义和结果。
2020-12-12 math.CO
The Fibonacci Rectangle Game: Two First-Move Classes and a Triangle-Induced Choice
Williams College（威廉姆斯学院）
研究邻接正方形的矩形游戏，从正方形或非正方形矩形开始，证明两种首步类型由相同斐波那契型递归控制，长宽比收敛到黄金比例，还指出直角三角形的HAI构造能确定这两个首步类。
2026-07-23 math.CO
Circular Nim Games
圆形尼姆游戏是一个两人公平的组合游戏，由放置在一个圆圈中的n堆代币组成。移动包括选择k个连续的堆栈，并从k个堆栈中的一个或多个堆栈中取出至少一个令牌。最后一个能移动的玩家获胜。我们证明了结果的结构上的损失的位置为小n和k，并提出了一些有待进一步研究的问题。
2012-11-01 math.CO
Discrete bidding games
我们研究的变化组合游戏中，而不是交替移动，球员出价与离散的投标芯片的权利，以确定谁的下一步。我们考虑对称和党派的游戏，并探讨离散投标游戏和里奇曼游戏，它允许真实价值的投标之间的差异。与Richman游戏不同，许多熟悉的游戏（如国际象棋，Connect Four，甚至Tic-Tac-Toe）的离散出价游戏变体适合娱乐游戏。我们还提出了一个分析井字棋的离散和实值投标。
2010-07-10 math.CO
Invariant and dual subtraction games resolving the Duchê-Rigo conjecture
我们证明了Duchêne和Rigo最近提出的一个猜想，即每一对互补的齐次Beatty序列代表了\emph{invariant}公平博弈的解。在这里，不变性意味着游戏中的每一步都可以在游戏板内的任何地方进行。事实上，我们建立这样的结果，为更广泛的一类互补序列对，并在此过程中推广的概念，\emph{subtraction game}。给定一对正整数互补序列$(a_n)$和$(b_n)$，通过将$\{\{a_n, b_n\}\}$设为不变移动，定义了一个博弈$G$.然后，我们介绍了不变的游戏$G^\star $，其移动都是非零的$P$ -位置的$G$。假设$G^\star$的非零$P$ -位置的集合等于$\{\{a_n,b_n\}\}$，则这\emph{is}是期望的不变博弈。我们给出了充分条件的初始序列对这种“对偶”举行。
2010-05-23 math.CO
Towards the Gaussianity of Random Zeckendorf Games
Zeckendorf证明了任何正整数都有一个唯一的分解为非连续斐波那契数的和，索引为$F_1 = 1, F_2 = 2, F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$。在这个结果的启发下，贝尔德、爱泼斯坦、弗林特和米勒定义了两人齐肯多夫博弈，即两个参与者轮流作用于一组斐波那契数，这些数的和总是等于$N$。当没有可能的移动时，游戏终止，最后一个执行移动的玩家获胜。值得注意的是，研究了随机游戏的设置：游戏通过随机选择一个可用的移动来进行，他们推测，作为输入$N \to \infty$，随机游戏长度的分布收敛到高斯。我们证明了某些移动计数的总和是恒定的，并找到一个下界上的最短的游戏输入$N$涉及加泰罗尼亚数。Baird等人和Cuzensa等人的作品分别确定了如何在给定的输入$N$上实现最短和最长的Zeckendorf游戏：我们建立了对于任何输入$N$，可能的游戏长度范围构成了自然数的区间：最短和最长游戏长度之间的每个游戏长度都可以实现。进一步研究了随机Zeckendorf对策的概率问题.我们研究了两个概率测度的空间上的所有Zeckendorf游戏的输入$N$：均匀的措施，并导致随机选择移动均匀在任何给定的位置。在限制$N \to \infty$的两种度量下，两个参与者都以$1/2$的概率获胜。我们还发现自然分区的集合的所有Zeckendorf游戏的一个固定的输入$N$，我们观察到弱收…
2022-10-20 math.CO
Comply/Constrain Subtraction
服从/约束博弈或穆勒扭曲博弈是下一个玩家被允许对对手的下一步行动施加约束的博弈。我们开发了一个封闭的形式公式的Grundy值的单桩减法游戏，下一个玩家可以确定是否前一个玩家必须选择一个移动从一些前k个自然数或其补充。我们还研究了当合法移动的集合来自一组有限等差数列时Grundy值的周期性。
2018-05-31 math.CO
The Ungar Games on Graded Posets
本文研究分次偏序集上的Ungar博弈，通过递归刻画与布尔电路分类给出后手必胜的判定条件，并将相关结果从二维Young格推广到高维情形。
2025-09-03 math.CO
Impartial Games with Activeness
本文提出了一种新的无偏游戏框架，即具有活跃性的无偏游戏，其中游戏状态可变，不连通和在所有组件变为不活跃时结束。
2025-11-26 math.CO
Solitaire Mancala Games and the Chinese Remainder Theorem
Mancala是一个家庭的播种游戏，是世界各地流行的通用名称。有许多双人曼卡拉游戏，其中一名球员可以再次移动，如果他们的举动结束在自己的商店。在这项工作中，我们研究了一个简单的纸牌曼卡拉游戏称为Tchoukaillon，有利于分析“扫”的动作，其中所有的石头上的一部分，董事会可以收集到商店。我们包括一个独立的帐户先前的研究Tchoukaillon，以及一个新的描述所有获奖的Tchoukaillon板与给定的长度。我们还证明了Tchoukaillon板的孙子剩余定理的一个类似定理，并给出了一个由部分信息重构完全获胜Tchoukaillon板的算法.最后，我们提出了一个图论推广的Tchoukaillon进一步研究。
2011-12-15 math.CO
Group Actions on Winning Games of Super Tic-Tac-Toe
考虑一个$n \times n$井字游戏板。在棋盘的每个区域，画一个较小的$n\times n$井字棋盘。现在让超级井字游戏（STTT）成为一个游戏，每个玩家的移动决定了玩家必须在更大的棋盘上的哪个区域进行下一步。我们将进行一个公平的STTT博弈，每个参与人都使用X。我们定义了一组行动的游戏板上产生了一个群体的行动，创建等价的游戏。我们将讨论这种群作用的结构如何形成一个二面体群。
2016-06-14 math.CO
The game Max-Welter
在韦尔特的游戏中，在一个半无限长的方格上，每个方格最多只能有一个硬币，每个方格编号为$0, 1, 2, \ldots$，两个玩家轮流将一枚硬币移到左边的一个空方格。跳过其他硬币是合法的。首先不能移动的玩家输了。我们研究了韦尔特博弈的一个变体，我们称之为Max-Welter，在这个变体中，玩家只允许把硬币移到最右边。我们解决了获胜策略，并描述了Sprague-Grundy值为1的位置。我们提出了两个定理分类的一些特殊情况下，计算的Sprague-Grundy值的大小$k$的位置变得更容易通过考虑另一个位置的大小$k-1$。我们建立了两个结果的周期性的Sprague-Grundy值。然后，我们表明，游戏最大Welter被归类在一个适当的子类，Gurvich呼吁强烈悲惨的驯服游戏。
2013-11-12 math.CO
Deduction with $k$ moves
本文将每名搜索者仅可移动一次的经典推演博弈扩展为允许$k$次移动的版本，并研究了路径、环、完全图等多类图上的$k$步推演数取值。
2025-10-28 math.CO
Combinatorial games played randomly: Chomp and nim
该研究针对双方随机走子的组合博弈模型，推导了任意起始条件下Chomp博弈的期望回合数闭式解、两行及以内Chomp的获胜概率公式，并完整分析了随机对弈下nim博弈的期望回合数与获胜概率。
2024-01-30 math.CO
Rational Heap Games
我们研究了两个有限堆的令牌，a.k.a.的经典组合游戏的变化。\emph{subtraction games}。给定非负整数$p_1,q_1, p_2,q_2$，其中$p_1q_2 > q_1p_2$、$p_1>0$和$q_2>0$，两个参与者交替从各自的堆中移除$(m_1,m_2)\ne (0,0)$令牌，其中允许的有序非负整数对由特定移动集合$(m_1,m_2)\in\M$给出.对允许的堆大小$(X, Y)$有一个限制，它们必须满足$Xq_1\le Yp_1$和$Yp_2\le Xq_2$。不能移动的玩家输了，另一个玩家赢了。对于这些游戏的某种限制，即其中每个允许的移动选项$(m_1,m_2)$的形式为$(sp_1+tp_2,sq_1+tq_2)$，对于一些有序的非负整数对$(s,t)\ne (0,0)$，我们表明，所有的游戏有等价的结果，通过一定的满射映射到一个典型的减法游戏。在我们的游戏中的其他利益是与经典的组合游戏，如\emph{Nim}和\emph{Wythoff Nim}的各种互动。
2012-02-08 math.CO
Richman games
Richman博弈是一种组合博弈，在这种博弈中，两个玩家不是交替走棋，而是争夺下一步棋的特权。我们考虑了两种情况，即玩家相互支付和玩家支付中立的第三方。我们发现最优策略考虑的情况下，球员知道他们的对手有多少钱，而他们不知道。
1995-02-09 math.CO
Progress on misère dead ends: game comparison, canonical form, and conjugate inverses
本文讨论了限制性吝啬游戏理论（Plambeck，Siegel 2008）中的几个重大缺陷，主要是在研究充分的死胡同游戏领域$\mathcal{E}$（Milley，Renault 2013）中;如果一个玩家在$X\in \mathcal E$中用完了移动，那么他们在$X$的任何追随者中都不能再移动。一个对策论域是一类在选言和下封闭的对策，它具有选择性和共轭性。我们使用来自绝对组合对策论的新结果（Larsson，Nowakowski，Santos 2017）来证明$\mathcal{E}$和双子叶植物博弈的宇宙$\mathcal{D}\subset \mathcal{E}$（要么两者都可以移动，要么没有一个玩家可以移动）具有用于比较博弈的“仅选项”测试，这反过来又用于定义$\mathcal{E}$中的唯一简化博弈（规范形式）。我们通过扩展$\mathcal{D}$的类似工作，特别是通过解决更大宇宙中的两端的可逆性问题，来发展$\mathcal{E}$的约化。最后，利用$\mathcal{E}$和$\mathcal{D}$中定义的标准型，证明了这两个论域以及公平对策的子论域都具有共轭性质：每个逆对策都是通过对换局中人的边而得到的.
2018-07-30 math.CO
Subtraction games in more than one dimension
本文研究多维公平向量减法博弈，通过推广P到P原理和着色自动机求解二维三移动规则集实例，证明行列最终周期性，并提出正则性相关猜想。
2024-01-15 math.CO
Coin Turning Games on Partially Ordered Sets
Okayama University（冈山大学）；Wakayama University（和歌山大学）
本文研究了部分序集上的硬币翻转游戏，确定了序理想游戏的Sprague-Grundy函数，并与交替符号矩阵相关联。
2026-02-14 math.CO
2-pile Nim with a Restricted Number of Move-size Imitations
我们研究了2-堆Nim组合博弈的一个变形。像2堆尼姆一样移动，但有以下限制：假设前一个玩家刚刚从较短的一堆中移走了$x>0$代币（如果它们具有相同的高度，则可以移走任何一堆）。如果下一个玩家现在从较大的一堆中移走$x$代币，那么他模仿他的对手。对于预定的自然数$p$，根据游戏规则，任何一个玩家都不允许模仿他的对手超过$p-1$连续移动。我们证明，这个游戏的策略非常类似于Wythoff尼姆的一个变体-一个变体与$p-1$对角线位置上的阻挡动作。事实上，我们给出了一个稍微更一般的结果，在这个结果中，我们放宽了什么是模仿的概念。
2009-06-02 math.CO
Characterizations and algorithms for generalized Cops and Robbers games
我们提出了一个广义的警察和强盗游戏的定义，其中有两个球员，追求者和逃避者，谁每个移动通过规定的规则。如果追逐者能确保游戏进入一组固定的最终位置，那么追逐者获胜;否则，逃避者获胜。提供了追击者获胜的游戏的关系表征。一个精确的公式给出了游戏的长度，以及一个算法来计算，如果追求者有一个获胜的战略，其复杂性是一个函数的参数的游戏。对于其中一个玩家的位置不影响其他玩家的可用移动的游戏，顶点消除排序表征，类似于cop-win排序，给出了当追求者有一个获胜的策略。
2017-04-19 math.CO
Fast winning strategies in a generalized van der Waerden game
Auburn University（奥本大学）
研究广义瓦尔德韦因游戏中的获胜策略，证明当$|S|\leq 3$时制胜者可在$|S|$回合内获胜，当$|S|=4$时可在5回合内获胜，而$|S|\geq 5$时无此类策略。
2026-01-27 math.CO
Efficient winning strategies in random-turn Maker-Breaker games
我们考虑Peres，Schramm，Sheffield和Wilson在2007年提出的随机回合位置博弈。$p$ -random-turn positioning game是一种两人博弈，其玩法与普通的位置博弈相同，不同之处在于不是交替轮流，而是在每轮之前掷硬币来决定下一个移动的玩家的身份（玩家I移动的概率是$p$）。我们分析了几个经典的制造商-断路器游戏的随机回合版本，如游戏盒（Chvátal和Erd \H OS在1987年推出），汉密尔顿循环游戏和$k$ -顶点连通性游戏（都在$K_n$的边集上玩）。对于这些游戏中的每一个，我们提供了一个（随机）有效的策略，通常确保他赢得了$p$的最小值的渐近顺序，他通常赢得了比赛，假设双方球员的最优策略。
2014-08-25 math.CO
Progress towards the 1/2-Conjecture for the domination game
支配博弈是在图$G$上由两个玩家Dominator和Staller进行的，他们交替选择顶点，直到图$G$中的每个顶点都包含在所选顶点集的闭邻域中。统治者的目标是在尽可能少的移动中达到这种状态，而Staller希望游戏持续尽可能长的时间。证明了若$G$有$n$顶点且最小度至少为2，则Dominator有策略在$10n/17+1/17$步内完成$G$上的控制对策，从而推进了Bujt{á}s，Iršiand Klavžar的一个猜想.
2023-02-07 math.CO
Analysis of misere Sprouts game with reduced canonical trees
Sprouts是一款双人拓扑游戏，由Michael Paterson和John Conway于1967年发明。游戏从p点开始，最多持续3 p-1步，走到最后一步的玩家获胜。相反，在吝啬版的Sprouts中，走到最后一步的玩家输了。Sprouts是一个非常复杂的游戏，1991年的第一次计算机分析仅达到p=11。2007年，通过使用组合对策论，在p=32时有了新的结果：当一个位置是独立博弈的总和时，可以用一个自然数（nimber）来替换其中的一些博弈，而不改变整个位置的输赢结果。然而，这种减少并不适用于misere版本，使得在misere版本中分析Sprouts（以及更普遍的任何游戏）更加困难。在1991年，只有p=9的misere芽达到，我们在本文中描述了我们如何获得高达p=17。首先，我们描述了一个理论工具，减少规范树，它起着类似的作用，在正常版本的nimber。然后，我们描述了我们在程序中实现它的方式，并详细说明了它使我们能够在misere Sprouts上获得的结果。
2009-08-30 math.CO
Multivision: an intractable impartial game with a linear winning strategy
肯定有什么不对劲如果游戏有一个线性的获胜策略，那么它是易处理的。你在干什么？我们描述一个两人对策，它有一个确定的赢家，也就是说，一个玩家可以在有限步数内获胜，我们在线性时间内确定赢家。此外，获胜者的获胜移动可以在线性时间内计算，但游戏是非常棘手的。特别是，在每一步，除了最后一步，玩家可以使游戏的长度任意长。不幸的是，这个总结的空间太小，无法证明这些性质并不矛盾。
1998-09-17 math.CO
Ungar Games on the Young-Fibonacci and the Shifted Staircase Lattices
本文研究 Young-Fibonacci 格与移位阶梯序理想格上的 Ungar 博弈，证明了 Defant、Kravitz 和 Williams 提出的两个猜想。
2024-06-16 math.CO
Combinatorial Analysis of a Subtraction Game on Graphs
我们定义了一个两个球员的组合游戏中，球员轮流轮流，每一轮包括删除一个顶点的图，连同所有的边缘包含这样的顶点。如果任何顶点被玩家的移动孤立，那么它也会被删除。当另一个玩家没有可用的移动时，一个玩家赢得游戏。我们研究这个游戏在不同的观点：通过寻找特定的战略，某些家庭的图形，通过使用图形的自同构群的属性，通过编写一个程序来看看Sprague-Grundy数，并通过研究游戏时，随机图。当分析在路径上玩的Grim时，使用Sprague-Grundy函数，我们发现了一个关于八进制游戏的悬而未决的问题。
2016-08-01 math.CO
On the combinatorial value of Hex positions
我们开发了一个理论的组合游戏，是适当的描述位置在十六进制和其他单调集着色游戏。我们考虑这样的游戏的两个自然条件：一个游戏是单调的，如果所有的移动提供给两个球员都是好的，并通过，如果在每个位置，至少有一个球员至少有一个好的移动可用。后一个条件相当于说，如果允许传球，没有球员会从传球中受益。显然，每一个单调的游戏是通行证，我们证明，反之亦然的游戏。我们给出了一些例子，说明如何将这个理论应用于六角位置的分析。
2022-07-25 math.CO
On the Existence of Optimal Strategies in a Combinatorial Game
本研究针对源自德国全国数学竞赛的组合博弈，提出依赖初始集合规模和固定除数的广义版本，证明偶数规模集合后手必胜、多数奇数规模情形先手有必胜策略，并通过网页实现验证部分结果。
2025-08-01 math.CO
Partisan Combinatorial Game of Edge and Vertex Removal on Graphs
我们考虑三个变种的两个球员之间的党派组合游戏，左和右，发挥无向单图。“左”能够删除顶点（和关联边），而“右”能够删除边。这个类似的公平游戏的自然扩张通过允许一个玩家在另一个玩家不能的小的子图上玩的能力而给了一个玩家明显的优势。我们的最后一个变体通过假设一个移动对一个玩家有效当且仅当另一个玩家在同一个图上有一个有效的移动来消除这个优势。在这种情况下，我们表明，删除顶点的能力是更有利的删除边缘相比。
2021-01-05 math.CO
A random variant of the game of plates and olives
盘子和橄榄的游戏最初是由尼古拉斯库提出的，并对莫尔斯函数子级集的拓扑结构的演变进行了编码。我们考虑这个博弈的一个随机变量。该过程从一个空表开始。有四种不同类型的移动：（1）在桌子上添加一个新盘子，（2）将两个盘子和它们的橄榄合并到一个盘子上，从桌子上删除第二个盘子，（3）在盘子上添加一个橄榄，（4）从盘子中删除一个橄榄。我们表明，橄榄的数量是线性的移动的总数达到无穷大的概率很高。此外，我们证明了橄榄的数量集中在其期望。
2018-03-27 math.CO
Impartial games with entailing moves
组合对策论也被称为“加法对策论”，每当分析涉及独立的对策成分的总和。这样的{ \em析取和}调用游戏之间的比较，这允许抽象值被分配给它们。然而，存在具有{ \em需要移动}的规则集，其打破交替游戏公理和/或限制其他玩家在析取和分量内的选项。这些情况在文献中通过诸如{ \sc nimstring}（经典儿童游戏{ \sc dots \& boxes}的正常游戏变体）和{ \sc top~ enables}（Berlekamp Conway和Guy的经典作品Winning Ways中引入的优雅规则）的规则来举例说明。这样的规则集不属于既定的正常游戏理论的范围。在这里，我们公理化正常发挥通过两个新的终止游戏，$\infty$（左胜）和$\overline\infty$（右胜），和一个更一般的理论实现。我们定义了{ \em仿射公平}，它扩展了经典的公平游戏，我们分析了他们的代数扩展建立的Sprague-Grundy理论，伴随着最小排除规则。给出了{ \sc nimstring}和{ \sc top~ entries}的解来说明理论。
2021-01-27 cs.DM math.CO
The Zeckendorf Game
Zeckendorf证明了每一个正整数$n$都可以唯一地写成不相邻的斐波那契数之和。我们用它来创建一个双人游戏。给定一个固定的整数$n$和$n = n F_1$的初始分解，两个参与者通过使用与递归关系$F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$相关的移动来交替，最后移动的人获胜。博弈总是在Zeckendorf分解中终止，尽管取决于移动的选择，博弈的长度和获胜者可能会有所不同。我们找到了可能移动次数的上界和下界。上界在$n\log n$的数量级上，下界在$n-Z(n)$移动时是尖锐的，其中$Z(n)$是$n$的Zeckendorf分解中的项数。值得注意的是，参与人2对所有$n > 2$都有获胜策略;然而，有趣的是，证明是非建设性的。
2018-09-14 math.CO math.NT
The Generalized Zeckendorf Game
Zeckendorf证明了每一个正整数$n$都可以唯一地写成不相邻的斐波那契数之和;类似的结果，尽管合法分解的概念不同，但对许多其他序列也成立。我们使用这些分解来构造一个两人博弈，对于固定的正整数$c$（$c=k-1=1$给出斐波那契），可以完全分析其形式为$G_n = \sum_{i=1}^{k} c G_{n-i}$的线性递归关系。给定一个固定的整数$n$和$n = n G_1$的初始分解，两个参与者通过使用与递归关系相关的移动来交替，最后移动的人获胜。博弈总是在Zeckendorf分解中终止，尽管取决于移动的选择，博弈的长度和获胜者可能会有所不同。我们发现上界和下界的移动可能的数量;斐波那契游戏的上限是$n\log n$的顺序，并为其他游戏，我们得到了一个界与$n$线性增长。在斐波那契博弈中，参与人2拥有所有$n > 2$的获胜策略.但是如果参与人2在第一步就犯了错误，参与人1就有获胜的策略.有趣的是，这两种说法的证据都是非建设性的。
2018-09-14 math.CO math.NT
Blocking Wythoff Nim
Wythoff Nim的2人公平游戏在两堆代币上进行。移动包括从其中一堆中删除任何数量的代币，或者从两堆中删除相同数量的代币。获胜者是移除最后一个代币的玩家。我们研究这个游戏的封锁策略，也就是说，对于每一个移动，下一个球员移动之前，前一个球员可以宣布最多一个预定的数量，$k - 1 \ge 0$，禁止的选项。当下一个玩家移动时，任何阻挡动作都会被遗忘，对游戏没有任何进一步的影响。我们解决了这个游戏的$k = 2$和$k = 3$的获胜策略，并支持计算机模拟，状态的渐近“行为”的$P$ -位置为各自的游戏时，$4 \le k \le 20$。
2010-10-27 math.CO math.NT
Combinatorial games on Galton-Watson trees involving several-generation-jump moves
研究根植Galton-Watson树上的$k$-跳跃正常与misère博弈，将结果概率表示为不动点，分析了Poisson分布下的相变、博弈结果比较及平均持续时间有限的充分条件。
2023-03-11 math.CO math.PR
Small Connected Planar Graph with 1-Cop-Move Number 4
本文描述了一个720-顶点连通平面图G，使得在G上的一步一警察对策中，为抓住强盗所需的最少警察数cop 1（G）至少为4，至多为7。此外，G有一个连通子图H，使得cop 1（H）正好是4，这意味着在H上的1-cop-move博弈中，4个警察几乎不足以抓住强盗。这比Gao和Yang在2017年给出的图表有了显著的改进。
2019-12-15 cs.DM math.CO
The Cardinality of Infinite Games
本文的重点是对无限对策的严格处理。一个无限对策被定义为一个由固定数量的玩家组成的游戏，其移动序列是重复的，或者无限地迭代。每个序列对应于游戏的单个迭代，其中存在无限数量的迭代。在这个包含所有无限对策的广义定义中有两个不同的概念：强无限对策和弱无限对策。两者在估算方面有所不同。强无限对策有一个唯一性条件，即所有的行动必须不同到没有任何归因（这些归因发生在任何给定迭代的末尾）可能永远相同的程度。相反，在弱无限对策中没有这样的限制，任何支付都可能等于另一个。强和弱无限对策（除了满足无限对策的标准之外）的另一个共同性质是，两者都由可数无限数量的移动组成。因此所有的无限对策都有可数的无限回合数;所有无限对策的集合由每个强和弱无限对策组成。这个结果有一个非常重要的结果：圈的序数。也就是说，一个无限对策的棋步有一个它们所遵循的顺序或结构。正是这种结构为这类博弈的未来发展或博弈论分析提供了必要的基础。
2010-01-11 cs.GT math.CO math.CT
Sprouts game on compact surfaces
Sprouts是一款双人拓扑游戏，由Michael Paterson和John Conway于1967年发明。游戏开始时在一张纸上画p个点，最多持续3p-1步：走最后一步的玩家获胜。Sprouts是一个非常复杂的游戏，最著名的手动分析只能找到一个获胜的策略p = 7点。最近的计算机分析达到了p = 32。标准的游戏是在一个平面上玩的，或者相当于在一个球体上玩。在本文中，我们推广和研究任何紧曲面上的对策。首先，我们描述了一个紧凑的表面上的可能的移动，以及如何在程序中实现它们。然后，我们证明了我们只需要考虑有限个曲面就可以分析任意紧致曲面上的p点博弈：如果我们取一个亏格大于某个极限亏格的曲面，那么这个曲面上的博弈等价于某个更小曲面上的博弈。最后，通过计算机计算，我们观察到在可定向曲面上获胜的玩家似乎总是与在平面上相同的玩家，而在非可定向曲面上有显著的差异。
2013-07-02 math.CO math.GN
The shortest game of Chinese Checkers and related problems
1979年，大卫·法比安（David Fabian）发现了一个完整的两人中国象棋游戏，30步（每个玩家15步）[Martin Gardner，Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers，MAA，1997]。这种解决方案要求两个玩家合作，以尽快为其中一个赢得胜利。我们表明，使用计算搜索技术，没有更短的游戏是可能的。我们还考虑了一个纸牌版本的中国棋子，其中一个玩家试图在尽可能少的移动中移动她的棋子。1971年，Octave Levenspiel在27步中找到了解决方案[同上];我们证明了不存在更短的解。为了显示最优性，我们采用了A* 搜索的变体以及双向搜索。
2009-01-13 cs.DM cs.DS math.CO
The Game of Tumbleweed is PSPACE-complete
风滚草是一个流行的两个球员完美的信息新的领土游戏在著名的智力运动奥林匹克。我们定义了一个广义版本的游戏，其中董事会的大小是任意的，所以是可能的中性石头的数量。我们的结果是：对于一个给定的配置，决定哪一个玩家有一个获胜的策略的复杂性是PSPACE完全的。这个证明是通过从T. J. Schaefer的布尔公式游戏中的对数空间归约得到的，已知它是PSPACE-完全的。我们将非平面的Schaefer游戏嵌入到平面的Tumbleweed板中，而不使用适当的“桥”，由于板的拓扑结构，这是不可能的。相反，我们的新技术使用了一个移动紧张的比赛，迫使球员只根据玩嵌入式4-CNF游戏的协议移动。
2022-06-19 cs.CC math.CO
