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arXiv 2005.01247math.ACmath.CO
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单纯复形的$\mathcal{N}\mathcal{F}$ -数

The $\mathcal{N}\mathcal{F}$-Number of a Simplicial Complex

Takayuki Hibi, Hasan Mahmood

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摘要：

设$Δ$是$[n]$上的一个单纯复形. $Δ$的$\mathcal{N}\mathcal{F}$ -复形是$[n]$上的单纯复形$δ_{\mathcal{N}\mathcal{F}}(Δ)$，其中$Δ$的小平面理想等于$δ_{\mathcal{N}\mathcal{F}}(Δ)$的Stanley-Reisner理想。此外，对于每个$k = 2,3,\ldots$，我们引入{ \em $k^{th}$ $\mathcal{N}\mathcal{F}$ -complex} $δ^{(k)}_{\mathcal{N}\mathcal{F}}(Δ)$，其由具有设置$δ^{(1)}_{\mathcal{N}\mathcal{F}}(Δ) = δ_{\mathcal{N}\mathcal{F}}(Δ)$的$δ^{(k)}_{\mathcal{N}\mathcal{F}}(Δ) = δ_{\mathcal{N}\mathcal{F}}(δ^{(k-1)}_{\mathcal{N}\mathcal{F}}(Δ))$归纳地定义。可以设置$δ^{(0)}_{\mathcal{N}\mathcal{F}}(Δ) = Δ$。$\mathcal{N}\mathcal{F}$ -$Δ$的编号是$δ^{(k)}_{\mathcal{N}\mathcal{F}}(Δ) \simeq Δ$的最小整数$k > 0$。在本文中，我们特别感兴趣的是有限图的$\mathcal{N}\mathcal{F}$ -数，它可以退化为一维的单纯复形。证明了$[n + m]$上的有限图$K_n\coprod K_m$的$\mathcal{N}\mathcal{F}$ -数等于$n + m + 2$，其中$n \geq 2$和$m \geq 2$与$(n,m) \neq (2,2)$是$[n]$上的完全图$K_n$和$[m]$上的完全图$K_m$的不交并.它的推论是$[n+m]$上的完全二部图$K_{n,m}$的$\mathcal{N}\mathcal{F}$ -数也等于$n + m + 2$。

英文摘要：

Let $Δ$ be a simplicial complex on $[n]$. The $\mathcal{N}\mathcal{F}$-complex of $Δ$ is the simplicial complex $δ_{\mathcal{N}\mathcal{F}}(Δ)$ on $[n]$ for which the facet ideal of $Δ$ is equal to the Stanley--Reisner ideal of $δ_{\mathcal{N}\mathcal{F}}(Δ)$. Furthermore, for each $k = 2,3,\ldots$\,, we introduce {\em $k^{th}$ $\mathcal{N}\mathcal{F}$-complex} $δ^{(k)}_{\mathcal{N}\mathcal{F}}(Δ)$ which is inductively defined by $δ^{(k)}_{\mathcal{N}\mathcal{F}}(Δ) = δ_{\mathcal{N}\mathcal{F}}(δ^{(k-1)}_{\mathcal{N}\mathcal{F}}(Δ))$ with setting $δ^{(1)}_{\mathcal{N}\mathcal{F}}(Δ) = δ_{\mathcal{N}\mathcal{F}}(Δ)$. One can set $δ^{(0)}_{\mathcal{N}\mathcal{F}}(Δ) = Δ$. The $\mathcal{N}\mathcal{F}$-number of $Δ$ is the smallest integer $k > 0$ for which $δ^{(k)}_{\mathcal{N}\mathcal{F}}(Δ) \simeq Δ$. In the present paper we are especially interested in the $\mathcal{N}\mathcal{F}$-number of a finite graph, which can be regraded as a simplicial complex of dimension one. It is shown that the $\mathcal{N}\mathcal{F}$-number of the finite graph $K_n\coprod K_m$ on $[n + m]$, which is the disjoint union of the complete graphs $K_n$ on $[n]$ and $K_m$ on $[m]$, where $n \geq 2$ and $m \geq 2$ with $(n,m) \neq (2,2)$, is equal to $n + m + 2$. Its corollary says that the $\mathcal{N}\mathcal{F}$-number of the complete bipartite graph $K_{n,m}$ on $[n+m]$ is also equal to $n + m + 2$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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