Andy Zucker
Generalizing and simplifying recent work of Dobrinen, we show that if $\mathcal{L}$ is a finite binary relational language and $\mathcal{F}$ is a finite set of finite irreducible $\mathcal{L}$-structures, then the class $\mathcal{K} = \mathrm{Forb}(\mathcal{F})$ has finite big Ramsey degrees.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Infinite-dimensional Ramsey theory for binary free amalgamation classes
本文为有限二元语言中的自由合并类Fraïssé极限发展无限维拉姆齐理论，引入A.3(2)-理想概念，在更弱假设下证明Todorcevic抽象拉姆齐定理，并恢复精确大拉姆齐度。
Exact big Ramsey degrees for finitely constrained binary free amalgamation classes
本文刻画有限二元语言中由有限禁用不可约子结构定义的自由合并类的精确大 Ramsey 度，并证明其 Fraïssé 极限具有强大 Ramsey 结构及可度量化通用完备流。
We give an infinitary extension of the Nešetřil-Rödl theorem for category of relational structures with special type-respecting embeddings.
Under no additional assumptions, in this paper we construct a Ramsey expansion for every category of finite objects with finite small Ramsey degrees. Our construction is based on the relationship between small Ramsey degrees, weak amalgamation and recent results about weak Fraïssé categories. Namely, generalizing the fact that every Ramsey class has amalgamation, we show that classes with finite Ramsey degrees have weak amalgamation. We then invoke the machinery of weak Fraïssé categories to perform the construction. This improves previous similar results where an analogous construction was ca…
Ramsey properties and extending partial automorphisms for classes of finite structures
我们表明，每一个自由融合类的关系和（对称）部分功能的有限结构是一个拉姆齐类时，丰富的自由线性排序的顶点。这是Nešetzil-Rödl定理和第二和第三作者的有限模型（即具有关系和功能的结构）的拉姆齐定理的共同加强。我们还发现了具有排序属性的子类。对于具有关系符号和一元函数的语言，我们还证明了自由合并类的部分自同构（EPPA）的扩展性质。这些一般结果解决了几个问题，并提供了一个简单的Ramseyness测试的许多类别的结构。
New Ramsey Classes from Old
设C_1和C_2是有限结构的强合并类，具有不相交的有限签名sigma和tau.然后C_1楔C_2表示所有有限（sigma cup tau）-结构的类，其sigma-约简来自C_1，其tau-约简来自C_2。证明了当C_1和C_2是Ramsey时，C_1楔C_2也是Ramsey.我们还讨论了这种说法的变化，并给出了几个例子，新的拉姆齐类来自这些一般结果。
A big Ramsey spectrum of a countable chain (i.e. strict linear order) C is a sequence of big Ramsey degrees of finite chains computed in C. In this paper we consider big Ramsey spectra of countable scattered chains. We prove that countable scattered chains of infinite Hausdorff rank do not have finite big Ramsey spectra, and that countable scattered chains of finite Hausdorff rank with bounded finite sums have finite big Ramsey spectra. Since big Ramsey spectra of all non-scattered countable chains are finite by results of Galvin, Laver and Devlin, in order to complete the characterization of …
A short note on the characterization of countable chains with finite big Ramsey spectra
该研究证实可数散布链的复杂性与其大拉姆齐组合学的结构对应，证明其有有限大拉姆齐度等价于有限豪斯多夫秩，还将大拉姆齐谱概念推广到单态结构并给出充分条件。
Building on previous work of the author, for each finite triangle-free graph $\mathbf{G}$, we determine the equivalence relation on the copies of $\mathbf{G}$ inside the universal homogeneous triangle-free graph, $\mathcal{H}_3$, with the smallest number of equivalence classes so that each one of the classes persists in every isomorphic subcopy of $\mathcal{H}_3$. This characterizes the exact big Ramsey degrees of $\mathcal{H}_3$. It follows that the triangle-free Henson graph is a big Ramsey structure.
Fraïssé's Conjecture and big Ramsey degrees of structures admitting finite monomorphic decomposition
本文研究了允许有限单形分解的结构的有限大Ramsey度，并证明了此类结构的有限大Ramsey度当且仅当其最小单形分解中的每个单形部分也具有有限大Ramsey度。该结果依赖于对单形结构的有限大Ramsey度的特征化，即可数单形结构具有有限大Ramsey度当且仅当可通过具有有限大Ramsey度的链进行链化。有趣的是，这两种特征化都需要对链的深层结构性质的理解。Fraïssé猜想（实际上是由Laver解决的正向结果）在特征化具有有限大Ramsey度的单形结构中起关键作用，而分析允许有限单形分解的结构的大Ramsey组合学则需要一个关于大Ramsey度的乘积Ramsey定理。我们发现这一结果特别引人注目，因为大Ramsey度在一般乘积陈述中表现不佳。在附录中，我们结合Oudrar和Pouzet最近的结果以及我们对允许有限单形分解的结构的有限大Ramsey度的分析，来特征化所有可数关系结构中，其语言具有线性序且年龄具有多项式增长时的有限大Ramsey度的存在性。
A survey on big Ramsey structures
本文综述大 Ramsey 结构，将有限大 Ramsey 度无限结构中统一编码精确度数的单一展开纳入连贯框架，证明标准方法可自动生成该结构，并梳理文献示例及一元函数展开的影响。
Big Ramsey degrees and divisibility in classes of ultrametric spaces
给定一个可数的正实数集S，研究了S中距离为可数的超度量Urysohn空间的有限维Ramsey理论性质。
Big Ramsey combinatorics of the Cantor set and a simple proof of Blass' perfect set theorem
本文通过研究康托尔集的大Ramsey组合学，证明了其有限的大Ramsey度，并给出了Blass完美集定理的简单证明，同时展示了完整布尔代数的有限大Ramsey度。
We formulate a property strengthening the Disjoint Amalgamation Property and prove that every Fraisse structure in a finite relational language with relation symbols of arity at most two having this property has finite big Ramsey degrees which have a simple characterization. It follows that any such Fraisse structure admits a big Ramsey structure. Furthermore, we prove indivisibility for every Fraisse structure in an arbitrary finite relational language satisfying this property. This work offers a streamlined and unifying approach to Ramsey theory on some seemingly disparate classes of Fraisse…
Ramsey Classes: Examples and Constructions
这篇文章关注的是一类关系结构，这些关系结构在取子结构和同构下是封闭的，具有联合嵌入性质，并且还具有Ramsey性质，这是一种强组合性质，类似于Ramsey经典定理的陈述。这类结构被称为拉姆齐类。奈西曲和Roedl证明了它们具有合并性质，因此每个这样的类都有齐次的Fraise极限。拉姆齐类最近引起了人们的注意，由于一个令人惊讶的联系与极端顺从的概念，从拓扑动力学。Ramsey类的其他应用包括同质结构的约简分类。我们给出了一个调查的各种基本拉姆齐类和他们的（往往是棘手的）组合证明，以及各种方法来获得新的拉姆齐类从已知的拉姆齐类。最后，我们国家开放的问题有关潜在的分类拉姆齐类。
Big Ramsey degrees and the two-branching pseudotree
本文研究了伪树中有限链的大 Ramsey 度，证明其有限且为七，与反链的无限度形成对比，揭示了伪树中不同子结构的大 Ramsey 度差异。
Structured sunflowers and canonical Ramsey properties
本文研究了结构化的向日葵性质及其与规范Ramsey性质的关系，证明了无限向日葵性质等价于规范无限点Ramsey性质，并展示了多个类具有有限向日葵性质。
Fraisse Limits, Ramsey Theory, and Topological Dynamics of Automorphism Groups
本文研究了Fraisse融合类理论与超齐次结构、拉姆齐理论以及可数结构自同构群的拓扑动力学之间的某些联系。
Semigroup-valued metric spaces
结构拉姆齐理论是一个在组合学和模型论边界上的领域，与拓扑动力学有着深刻的联系。在有限二进制对称关系语言中，大多数已知的拉姆齐类都可以通过利用最短路径完备化的变体来证明是拉姆齐类（例如Sauer的$S$ -度量空间，Conant的广义度量空间，Braunfeld的$Λ$ -超度量空间或Cherlin的度量齐次图）。在这篇论文中，我们探讨了最短路径完成的限制。我们提供了一个统一的框架-半群值度量空间-为所有上述Ramsey类，并研究其Ramsey扩张和EPPA（部分自同构的扩张性质）。我们的结果可以被看作是证据的重要性，研究合并类的完成问题，并有一些进一步的应用（如平稳独立关系）。作为我们一般定理的推论，我们重新证明了Hubička和Nešetzenil关于Sauer的$S$ -度量空间的结果，Hubčka，Nešetzenil和作者关于Conant的广义度量空间的结果，Braunfeld关于$Λ$ -超度量空间的结果和Aranda等人关于Cherlin的本原3-约束度量齐次图的结果.我们还解决了几个开放的问题，如EPPA $Λ$ -超度量空间，$S$ -度量空间或科南特的广义度量空间。我们的框架似乎是普遍的，我们猜想，每一个原始的强融合类的完全边标号图的许多标签实际上是一类半群值度量空间。
Big Ramsey degrees and topological dynamics
我们考虑Fraïssé结构，其对象具有有限的大Ramsey度，并询问这对自同构群的动力学有什么影响。受D. Devlin关于有理数的划分性质，我们定义了大拉姆齐结构的概念，一个编码给定Fraïssé结构的大拉姆齐度的单一结构。这反过来又引出了完备流的定义;我们证明，如果Fraïssé结构允许大Ramsey结构，那么自同构群允许唯一的泛完备流。我们还讨论了大的拉姆齐结构何时存在的问题，并探讨了与Kechris，Pestov和Todorčević定义的振荡稳定性概念的联系
Using the Carlson-Simpson theorem, we give a new general condition for a structure in a finite binary relational language to have finite big Ramsey degrees
Big Ramsey Degrees and Infinite Languages
本文研究了无穷语言中无限制关系结构的大 Ramsey 度，证明了当每个大于 1 的元数仅有有限个关系时，结构具有有限大 Ramsey 度，首次为无穷语言中的随机结构确立了大 Ramsey 度的有限性。
Colors of the Pseudotree
本文研究了可数齐次交树及其二元变体的大拉姆齐度，证明了含反链结构的度无限，2元素链度至少为8和7，并推导出泛C关系无有限大拉姆齐度。
We prove that the universal homogeneous 3-uniform hypergraph has finite big Ramsey degrees. This is the first case where big Ramsey degrees are known to be finite for structures in a non-binary language. Our proof is based on the vector (or product) form of Milliken's Tree Theorem and demonstrates a general method to carry existing results on structures in binary relational languages to higher arities.
Conant-independence and generalized free amalgamation
该研究引入并研究Conant-独立性，通过推广自由融合公理刻画其与NSOPₙ层级的关联，证明相关理论的性质分界线，回答了Conant的公开问题，为新稳定性理论提供了新的研究方向。
Analogues of Ramsey's Theorem for infinite structures such as the rationals or the Rado graph have been known for some time. In this context, one looks for optimal bounds, called degrees, for the number of colors in an isomorphic substructure rather than one color, as that is often impossible. Such theorems for Henson graphs however remained elusive, due to lack of techniques for handling forbidden cliques. Building on the author's recent result for the triangle-free Henson graph, we prove that for each $k\ge 4$, the $k$-clique-free Henson graph has finite big Ramsey degrees, the appropriate a…
Finitely Bounded Homogeneity Turned Inside-Out
本文将有限有界类的合并性质判定归约联系于归约包含问题，证明其2NEXPTIME困难，并在可计算有限有界Ramsey扩张假设下给出可判定性，同时证明可齐次化检验不可判定。
As a result of 33 intercontinental Zoom calls, we characterise big Ramsey degrees of the generic partial order in a similar way as Devlin characterised big Ramsey degrees of the generic linear order (the order of rationals).
On some Fraisse limits with free amalgamation
该研究分两部分展开，先探讨稳定Kim-forking的概念与背景，再给出通过满足强条件的Fraïssé类极限构建NSOP1理论的通用方法，明确其独立性性质，基于前人成果推进了模型论相关研究。
Oscillation stability is an important concept in Banach space theory which happens to be closely connected to discrete Ramsey theory. For example, Gowers proved oscillation stability for the Banach space $c_0$ using his now famous Ramsey theorem for $\mathrm{FIN}_k$ as the key ingredient. We develop the theory behind this connection and introduce the notion of compact big Ramsey degrees, extending the theory of (discrete) big Ramsey degrees. We then prove existence of compact big Ramsey degrees for the Banach space $\ell_\infty$ and the Urysohn sphere, with an explicit characterization in the …
Counting big Ramsey degrees of the homogeneous and universal $K_4$-free graph
本文针对通用齐次无 $K_4$ 图这一特例，重新简洁呈现已有大 Ramsey 度刻画，并计算若干小图的实际大 Ramsey 度。
Big Ramsey degrees using parameter spaces
本文利用参数空间和Carlson-Simpson定理证明泛齐次偏序具有有限大拉姆齐度，并将该技术应用于三角形无关图、有限距离度量空间及Urysohn球面的振荡稳定性。
Big Ramsey degrees of 3-uniform hypergraphs
给定一个可数无限超图$\mathcal R$和一个有限超图$\mathcal A$，$\mathcal A$在$\mathcal R$中的大Ramsey度是最小数$L$，使得对于每个有限$k$和$\mathcal A$到$\mathcal R$的嵌入的每个$k$ -着色，存在从$\mathcal R$到$\mathcal R$的嵌入$f$，使得$\mathcal A$到图像$f(\mathcal R)$的所有嵌入至多有$L$不同的颜色。本文描述了随机可数无限3-一致超图的大Ramsey度，从而解决了Sauer问题。我们还给出了一个新的介绍Devlin和Sauer的结果，分别，大拉姆齐度的顺序的有理数和可数无限随机图。我们的技术概括（在一个自然的方式）关系结构，并给出新的例子拉姆齐结构（一个概念，最近推出的Zucker与应用拓扑动力学）。
On Big Ramsey degrees of universal $ω$-edge-labeled hypergraphs
本文证明所有可数通用 $u$-一致 $\omega$-边标号超图在 $u\geq 2$ 时大 Ramsey 度均无限，并据此与既有结果共同完成有限大 Ramsey 度无约束关系结构的完整刻画。
Characterisation of the big Ramsey degrees of the generic partial order
该研究通过改进上界方法、提出下界新技术，刻画了通用偏序的大拉姆齐度，实现了有限偏序拉姆齐类结论的无穷扩展。
The finite big Ramsey degrees of Henson graphs are provable in $\mathrm{ACA}_0$
本文证明对Henson图$\mathbb{H}_{n+1}$的任意可计算着色，存在一个从$0^{(2\delta(G,n)-1)}$可计算的同构副本，其中着色仅使用有限种颜色，从而在ACA$_0'$中证明Henson图具有有限大Ramsey度。
This article highlights historical achievements in the partition theory of countable homogeneous relational structures, and presents recent work, current trends, and open problems. Exciting recent developments include new methods involving logic, topological Ramsey spaces, and category theory. The paper concentrates on big Ramsey degrees, presenting their essential structure where known and outlining areas for further development. Cognate areas, including infinite dimensional Ramsey theory of homogeneous structures and partition theory of uncountable structures, are also discussed.
Big Ramsey Degrees in Ultraproducts of Finite Structures
本文研究了超幂体中有限小拉姆sey度数的性质，证明在连续统假设下，超幂体对内部着色具有有限大拉姆sey度数，并扩展了Devlin的着色方法。
Box Ramsey and Canonical Colourings
该研究提出产出性大拉姆齐度概念并展示其通用性，基于前人工作给出等价关系有限典范基存在的充分条件，还对带索引结构进行了组合分析。
Borel sets of Rado graphs and Ramsey's Theorem
本文针对 Rado 图这一齐性结构证明了 Galvin-Prikry 定理的无限维 Ramsey 类似结果，利用 Henson 图 Ramsey 理论技术和新的融合序列方法，克服了缺乏 Baire 空间融合性质的困难，为拓扑动力学对应关系的扩展奠定基础。
This article discusses some recent trends in Ramsey theory on infinite structures. Trees and their Ramsey theory have been vital to these investigations. The main ideas behind the author's recent method of trees with coding nodes are presented, showing how they can be useful both for coding structures with forbidden configurations as well as those with none. Using forcing as a tool for finite searches has allowed the development of Ramsey theory on such trees, leading to solutions for finite big Ramsey degrees of Henson graphs as well as infinite dimensional Ramsey theory of copies of the Rado…
Saturation and solvability in abstract elementary classes with amalgamation
$\mathbf{Theorem.}$设$K$是一个抽象初等类（AEC），它有合并，没有最大模型.让$λ> \text{LS} (K)$。如果$K$在$λ$中是范畴的，则基数模型$λ$是伽罗瓦饱和的。这回答了鲍德温和希拉独立提出的一个问题。我们推导出几个推论：$K$在$λ$以下的每个基数中具有唯一的极限模型，（当$λ$足够大时）$K$在$λ$以下是弱驯服的，并且可以改进几个现有的分类转移的阈值。我们还证明了向下转移的可解性（一个版本的超稳定性介绍的Shelah）：$\mathbf{Corollary.}$让$K$是一个AEC合并，没有最大的模型。令$λ> μ> \text{LS} (K)$。如果$K$在$λ$中可解，则$K$在$μ$中可解。
On Ramsey degrees, compactness and approximability
本文提出了一个统一框架以推理“直接”与对偶 Ramsey 命题，引入可逼近性概念构建通用紧致性论证，并将无限 Ramsey 定理的 $\star$-版本推广至大类关系结构。
Topological Ramsey spaces from Fraïssé classes, Ramsey-classification theorems, and initial structures in the Tukey types of p-points
给出了一类新的拓扑Ramsey空间的一般构造方法。这样的空间的成员是满足拉姆齐性质的有限关系结构的Fraïssé类的乘积的无穷序列。本文将Sokietman的乘积Ramsey定理推广到满足Ramsey性质和顺序自由合并性质的有限关系结构的Fraïssé类的有限乘积的等价关系.这对于证明前面的等价关系的拉姆齐分类定理是必不可少的，将Pudlák-Rödl定理推广到这类拓扑拉姆齐空间。在这个框架中，每一个拓扑Ramsey空间对应一个相应的超滤子，满足某种弱分划性质。利用正确的Fraïssé类，我们构造了拓扑Ramsey空间，它们在生成$k$ -arrow而不是$k+1$ -arrow的p-点的\cite{Baumgartner/Taylor78}中的Baumgartner和Taylor偏序下是稠密的，在生成p-点的Rudin-Keisler结构中的菱形的\cite{Blass73}中的Blass偏序下是稠密的.在我们的框架中的任何空间，其中块是$n$许多结构的产物，产生具有初始Tukey结构的超滤子，正是布尔代数$\mathcal{P}(n)$。如果每个块上的Fraïssé类的数量无限增长，则空间的相关超滤子下面的p点的Tukey类型具有完全相同的结构$[ω]^{<ω}$。相反，满足Ramsey性质和OPFAP的有限关系结构的许多Fraïssé类的任何乘积的同构类型的集合，通过嵌入部分…
Ramsey theorem for trees with successor operation
本文证明带后继运算的树的一般 Ramsey 定理，推广 Carlson-Simpson 与 Milliken 树定理，并应用于 Nešetřil-Rödl 和 Graham-Rothschild 定理，及大 Ramsey 度的非迫力证明。
Algebra, selections, and additive Ramsey theory
Hindman的著名的有限和定理，以及它的高维版本，由于米利肯和泰勒，从覆盖可数集覆盖任意拓扑空间与门格尔的经典覆盖性质。方法包括，除了Hurewicz的博弈论表征门格尔的财产，扩展经典的幂等理论的石头-捷克紧半群，和最近的理论选择原则。这提供了上述著名定理的强版本，其中单色子结构在分析意义上是大的，超越无限。将主要定理还原到纯组合的情形下，我们得到了关于连续统的不可数基数特征的非平凡结果。主要结果，模技术的改进，是以下类型（定义提供的主要文本）：让$X$是门格尔空间，和$\mathcal{U}$是一个无限开盖的$X$。考虑完全图，其顶点是$X$中的开集。对于这个图的顶点和边的每个有限着色，存在覆盖$\mathcal{U}$的不相交有限子集$\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2,\dots$，其并集$V_1 := \bigcup\mathcal{F}_1, V_2 := \bigcup\mathcal{F}_2,\dots$具有以下性质：1.集合$\bigcup_{n\in F}V_n$和$\bigcup_{n\in H}V_n$对于所有非空有限集合$F<H$是不同的。2.对于非空有限集$F$，所有的顶点$\bigcup_{n\in F}V_n$都是相同的颜色。3.对于非空有限集$F<H$，所有边$\bigl\{\,\bigcup_{n\in F}V_n, \bi…
In this paper we prove a general theorem showing the extension property for partial automorphisms (EPPA, also called the Hrushovski property) for classes of structures containing relations and unary functions, optionally equipped with a permutation group of the language. The proof is elementary, combinatorial and fully self-contained. Our result is a common strengthening of the Herwig-Lascar theorem on EPPA for relational classes with forbidden homomorphisms, the Hodkinson-Otto theorem on EPPA for relational free amalgamation classes, its strengthening for unary functions by Evans, Hubička and…
Shelah's Categoricity Conjecture from a successor for Tame Abstract Elementary Classes
设K是一个满足合并和联合嵌入性质的抽象元素类，μ是K的Hanf数。假设K是驯服的。主花冠：（ZFC）如果K在大于\beth_{(2^μ)^+}的后继基数中是范畴的，则K在所有大于\beth_{(2^μ)^+}的基数中是范畴的。这是Makkai和Shelah的一个定理（[Sh285]他们对同一结论使用了强紧基数）和Shelah关于合并AEC的向下范畴性定理（来自[Sh394]）的改进。
Twenty years of Nešetřil's classification programme of Ramsey classes
本文回顾了Nešetřil提出的Ramsey类分类计划在过去二十年的进展，列出了未解决的问题，并讨论了向EPPA和大Ramsey结构等新领域的扩展。
Union of Saturated Models in Superstable Abstract Elementary Classes
在本文中，我们证明：定理1。设$\mathcal{K}$是满足联合嵌入和合并性质的抽象初等类.设$λ>μ\geq LS(\mathcal{K})$和$θ$是一个极限序数$<λ^+$ .如果$\mathcal{K}$是$μ$超稳定的，$μ^+$ -超稳定的，并且满足$μ^+$ -对称性，那么对于基数$λ$的$μ^+$ -饱和模型的任何递增序列$\langle M_i\mid i<θ\rangle$，模型$\bigcup_{i<θ}M_i$是$μ^+$ -饱和的.
Symmetry and the Union of Saturated Models in Superstable Abstract Elementary Classes
我们的主要结果（定理1）提出了一个可能的分界线（$μ$ -超稳定的$+$ $μ$ -对称的）抽象的基本类，而不使用额外的集合理论的假设或驯服。这个定理阐明了这种分界线的结构方面。理论1：设$\mathcal{K}$是一个抽象初等类，它不具有满足联合嵌入和合并性质的极大基数模型$μ^+$.假设是$μ\geq LS(\mathcal{K})$。如果$\mathcal{K}$是$μ$ -和$μ^+$ -超稳定的，并且满足$μ^+$ -对称性，则对于$μ^+$ -饱和模型的任何递增序列$\langle M_i\in\mathcal{K}_{\geqμ^{+}}\mid i<θ<(\sup\|M_i\|)^+\rangle$，$\bigcup_{i<θ}M_i$是$μ^+$ -饱和的。我们还应用VanDieren的超稳定性和对称性论文的结果，并使用塔将对称性从$μ^+$转移到$μ$，在抽象初等类中，$μ$ -和$μ^+$ -超稳定：定理2：假设$\mathcal{K}$是一个抽象初等类，满足合并和联合嵌入性质，并且$\mathcal{K}$是$μ$ -和$μ^+$ -超稳定。如果$\mathcal{K}$对于非$μ^+$分裂具有对称性，则$\mathcal{K}$对于非$μ$分裂具有对称性。
Oscillating subalgebras of the atomless countable Boolean algebra
该研究证明了具有3个原子的布尔代数在可数无原子布尔代数中的大拉姆齐度为无穷，推进了拉姆齐理论在布尔代数领域的相关研究
Tree-derived ideals: Fubini iterations, limit amalgamations, and Katetov obstructions
本文研究了通过迹树导出的理想结构，展示了弗比尼迭代、极限 amalgamations 和 Katetov 障碍的性质，并证明了相关理想层次的完全性与正交性。
On Ramsey-type properties of the distance in nonseparable spheres
本文研究不可分 Banach 空间中不可数子集距离的 Ramsey 型二分性质，在 ZFC、OCA+MA 及描述复杂性假设下给出几何二分法与反 Ramsey 构造，并综合密度不超过 $2^ω$ 情形的分类结果。
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