自由邻接幺半对偶
Freely adjoining monoidal duals
AI总结：
本文构造了自由邻接右对偶的幺半范畴，证明其满足双伴随且全忠实，并给出显式几何与组合模型，推广至对偶序列情形。
摘要：
给定一个幺半范畴 $\mathscr{C}$ 及其对象 $J$，我们通过自由地邻接一个右对偶 $J^{\vee}$ 到 $J$ 来构造一个幺半范畴 $\mathscr{C}[J^{\vee}]$。我们证明典范的强幺半函子 $\Omega: \mathscr{C}\to \mathscr{C}[J^{\vee}]$ 提供了与遗忘 2-函子之间的双伴随的单位，该遗忘 2-函子从具有一个特异对偶对的幺半范畴的 2-范畴到具有一个特异对象的幺半范畴的 2-范畴。我们证明 $\Omega: \mathscr{C}\to \mathscr{C}[J^{\vee}]$ 是全忠实的，并为形如 $\mathscr{C}[J^{\vee}](U,\Omega A)$ 和 $\mathscr{C}[J^{\vee}](\Omega A,U)$ 的 hom 集提供余端公式，其中 $A\in \mathscr{C}$ 且 $U\in \mathscr{C}[J^{\vee}]$。\n 如果 $\mathbb{N}$ 表示由单个生成对象 $1$ 生成的自由严格幺半范畴，则 $\mathbb{N}[1^{\vee}]$ 是包含对象对偶对 $- \dashv +$ 的自由幺半范畴 $\mathrm{Dpr}$。由于我们有幺半伪推出 $\mathscr{C}[J^{\vee}] \simeq \mathrm{Dpr} +_{\mathbb{N}} \mathscr{C}$，因此对 $\mathrm{Dpr}$ 有一个显式模型是有意义的：我们提供几何模型和组合模型。我们证明（代数家的）单纯范畴 $\Delta$ 是 $\mathrm{Dpr}$ 的一个幺半全子范畴，并解释其与包含伴随的自由 2-范畴 $\mathrm{Adj}$ 的关系。我们描述 $\mathrm{Dpr}$ 的一个推广，该推广例如包含一个组合模型 $\mathrm{Dseq}$，用于包含对象对偶序列 $X_0\dashv X_1\dashv X_2 \dashv \dots$ 的自由幺半范畴。实际上，$\mathrm{Dpr}$ 是 $\mathrm{Dseq}$ 的一个幺半全子范畴。
英文摘要：
Given a monoidal category $\mathscr{C}$ with an object $J$, we construct a monoidal category $\mathscr{C}[J^{\vee}]$ by freely adjoining a right dual $J^{\vee}$ to $J$. We show that the canonical strong monoidal functor $Ω: \mathscr{C}\to \mathscr{C}[J^{\vee}]$ provides the unit for a biadjunction with the forgetful 2-functor from the 2-category of monoidal categories with a distinguished dual pair to the 2-category of monoidal categories with a distinguished object. We show that $Ω: \mathscr{C}\to \mathscr{C}[J^{\vee}]$ is fully faithful and provide coend formulas for homs of the form $\mathscr{C}[J^{\vee}](U,ΩA)$ and $\mathscr{C}[J^{\vee}](ΩA,U)$ for $A\in \mathscr{C}$ and $U\in \mathscr{C}[J^{\vee}]$. If $\mathbb{N}$ denotes the free strict monoidal category on a single generating object $1$ then $\mathbb{N}[1^{\vee}]$ is the free monoidal category $\mathrm{Dpr}$ containing a dual pair $- \dashv +$ of objects. As we have the monoidal pseudopushout $\mathscr{C}[J^{\vee}] \simeq \mathrm{Dpr} +_{\mathbb{N}} \mathscr{C}$, it is of interest to have an explicit model of $\mathrm{Dpr}$: we provide both geometric and combinatorial models. We show that the (algebraist's) simplicial category $Δ$ is a monoidal full subcategory of $\mathrm{Dpr}$ and explain the relationship with the free 2-category $\mathrm{Adj}$ containing an adjunction. We describe a generalization of $\mathrm{Dpr}$ which includes, for example, a combinatorial model $\mathrm{Dseq}$ for the free monoidal category containing a duality sequence $X_0\dashv X_1\dashv X_2 \dashv \dots$ of objects. Actually, $\mathrm{Dpr}$ is a monoidal full subcategory of $\mathrm{Dseq}$.
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