Knot Invariants from Topological Recursion on Augmentation Varieties
利用SU（N）Chern-Simons理论在$S^3$上的威尔逊圈期望值与解析锥的局部镜像上的拓扑开弦振幅之间的对偶性，通过拓扑递归的方法研究了$S^3$上的纽结及其编码在有色HOMFLY多项式中的不变量.在当地的镜像卡-丘三倍的解决conifold的上下文中，我们推广的拓扑递归的重塑B-模型，以研究膜超出类的复曲面哈维-劳森特殊拉格朗日-作为分析非平凡的结所需的$S^3$。所提出的递归的基本成分是谱曲线，给出了由增广品种的结，和校准的环内核，编码的拓扑环振幅相关的结。我们提出了一个明确的建设的校准环核环面结，并证明了拓扑递归的有效性。我们进一步认为，-如果一个明确的形式的校准环内核提供任何其他结-所提出的拓扑递归应该仍然适用。我们研究我们的建议结理论，表现出有趣的后果有色HOMFLY多项式的突变结的影响。
2014-11-21 hep-th math.GT
Universal Racah matrices and adjoint knot polynomials. I. Arborescent knots
到目前为止，伴随表示的后代的量子维数可以用一种普遍的形式来描述，而与特定的单李代数族无关。Rosso-Jones公式则包含了环面纽结的伴随纽结多项式的普遍描述，特别是统一了HOMFLY（SU_N）和Kauffman（SO_N）多项式。对于E_8，伴随表示也是基本的。我们建议扩展的普遍性，从尺寸的Racah矩阵，这立即产生一个统一的描述的伴随结多项式的所有arbodies（双脂肪）结，包括扭曲，2桥和椒盐卷饼。从技术上讲，我们共同发展了普适性和“本征值猜想”，它通过量子R矩阵的本征值来表达Racah和混合矩阵，并且为了处理伴随多项式，必须将其扩展到以前未知的6x 6情况。伴随多项式不区分突变体，因此在纽结理论中不是很有效，然而，在更高表示中的泛多项式在这方面可能更好。
2018-01-06 hep-th math.GT math.QA
Colored HOMFLY polynomials for the pretzel knots and links
借助于演化方法，我们计算了一个庞大的（广义）椒盐卷饼链族的所有对称表示[r]中的所有HOMFLY多项式，该链族由g+1个平行或反平行的两股辫构成，并且依赖于g+1个整数。我们证明了它们具有一个明显的新结构：它们被分解为g+1个初等多项式的乘积之和，这些多项式是借助于重新标度的SU_q（N）Racah矩阵由演化特征值通过旋转得到的，我们给出了一个明确的表达式。广义椒盐卷饼家族包含许多突变体，不可区分的对称HOMFLY多项式，因此，我们的结果扩展到非对称表示R是一个具有挑战性的开放问题。最后，对于具有任意g和R的整个族，可以证明所建议的公式的非平凡推广。
2015-04-02 hep-th math.GT math.QA
Matrix integral expansion of colored Jones polynomials for figure-eight knot
在本说明中，我们研究了一个可能的扩展的矩阵积分表示的结不变量超出类的环面结。特别地，我们研究了SU（2）量子Racah系数的双矩阵积分表示。我们发现Racah系数在二重积分的某些基上映射为展开系数。变换后的系数具有许多有趣的代数性质。
2014-11-20 hep-th math-ph math.MP
Chern-Simons Theory, Knot Invariants, Vertex Models and Three-manifold Invariants
陈-西蒙斯理论是拓扑量子场论，为研究三维空间中的节点和链接提供了一个场论框架。这些都是可以精确而明确地求解的量子场论的罕见例子。Wilson连接算子的期望值产生一类连接不变量，其中最简单的是著名的Jones多项式。其他不变量比琼斯的不变量更强大。这些新的不变量是敏感的手征的所有结至少高达10交叉数不像琼斯是盲目的手征的其中一些。然而，所有这些不变量仍然不足以区分一类称为突变体的结。这些链接不变量可以交替地从二维顶点模型中获得。在谱参数的特定极限下，这种模型的$R$ -矩阵提供了辫群的表示。这反过来又用于构造链接不变量。利用Lickorish和Wallace的定理以及Kirby、Fenn和Rourke的定理，这些定理将三流形与框架链接上的外科手术联系起来，$S^3$中的这些链接不变量也可以用于构造三流形不变量。
1998-04-18 hep-th math-ph math.MP
Knot invariants and Calabi-Yau crystals
我们表明，Calabi-Yau晶体产生一定的陈-西蒙斯结不变量，与拉格朗日膜插入产生unknot和Hopf链接不变量。此外，我们使连接的晶体膜振幅的拓扑顶点制定明确的，并表明，晶体自然resums相应的拓扑顶点振幅。本文还讨论了锥状和双壁晶体模型。结果表明，与晶膜振幅相关的自由能可以简单地表示为目标空间的Gopakumar-Vafa展开式。
2005-06-27 hep-th
On colored HOMFLY polynomials for twist knots
J.Gu和H.Jockers最近的结果提供了扭结族的第一个非平凡色HOMFLY多项式H_{[21]}的情况下的演化方法缺乏的初始条件。我们描述了这种应用程序的演变方法，它终于允许一个穿透墙之间的（反对）对称和非矩形表示为整个家庭。我们揭示了必要的变形的微分膨胀，什么，连同最近提出的矩阵模型的方法提供了新的机会来猜测它可能是一个通用的表示，至少对于家庭的扭曲结。
2014-09-03 hep-th
The Volume Conjecture, Perturbative Knot Invariants, and Recursion Relations for Topological Strings
研究了纽结特征簇上的微扰纽结不变量与拓扑弦论定义的自由能之间的关系。SL（2;C）Chern-Simons规范理论与拓扑开弦论之间的这种对应关系是在体积猜想和AJ猜想的基础上提出的。在本文中，我们讨论这种对应超出了双方的微扰展开的次领导秩序。在双曲三维流形的微扰不变量的计算中，我们对双曲纽结采用状态积分模型，对环面纽结采用因式分解的AJ猜想。另一方面，我们利用Eynard-Orantin拓扑递归关系迭代计算特征簇上的自由能。我们检验了S^1上的8字形纽结补和一次穿孔环面丛与四阶完整L^2R的对应关系。对于环面结，我们发现两侧的递归关系微不足道。
2010-10-21 hep-th
On genus expansion of knot polynomials and hidden structure of Hurwitz tau-functions
在HOMFLY多项式的亏格展开中，它们的表示依赖性自然地被对称群特征所捕获。这直接意味着Ooguri-Vafa配分函数（OVPF）是一个Hurwitz τ-函数。在涉及可分解特殊多项式的平面极限中，它实际上是平凡指数τ-函数。事实上，在亏格展开中占主导地位的双标度Kashaev极限（与体积猜想有关的极限）是与对称表示和保持可积性的Casimir算子有关的项，尽管我们停止了一步，将这个事实转化为关于q=1附近OVPF行为的明确陈述。相反，我们解释说，属扩展提供了一个层次分解的Hurwitz tau函数，类似于高崎武部扩展的KP tau函数。这个类比可以帮助发展一个替代普适的格拉斯曼描述的赫尔维茨τ函数。
2013-04-28 hep-th math.GT
Differential hierarchy and additional grading of knot polynomials
有色纽结多项式在某些微分组合中具有特殊的Z-展开，这取决于表示。该展开式的系数是三个变量（A，q，t）的函数，并且可以被认为是纽结多项式空间上的新的区别坐标，类似于交替特征展开式的系数。这些新的变量被分解在一个特别简单的方式，当表示被嵌入到一个产品的基本。最近在arXiv：1304.3481中提出的第四个分级，似乎只是对这些新坐标的简单重新定义，优雅但没有任何区别。如果是这样的话，它并没有提供任何新的独立的纽结不变量，相反，它可以被认为是纽结多项式背后隐藏的微分层次（Z-展开）结构的又一个证明。
2013-06-24 hep-th math.GT math.QA
Character expansion for HOMFLY polynomials. I. Integrability and difference equations
我们建议与每个结的系数的HOMFLY多项式展开成舒尔函数。对于结的每个辫表示，这些系数被明确地定义为代数SU_q的Racah符号的某些组合。然后，HOMFLY多项式可以扩展到整个时间变量空间。这样扩展的HOMFLY多项式不再是纽结不变量，它们依赖于辫子表示的选择，但人们可以自然地讨论它们的显式可积性质。将环面纽结/链环系数的生成函数转化为满足Plucker关系的生成函数，并将其与KP族的τ-函数相关联，而一般纽结对应于更复杂的系统.另一方面，使用Schur函数的展开，可以立即推导出纽结多项式的差分方程（A-多项式），该纽结多项式起到弦方程的作用。这增加了先前展示的使用这些字符分解的研究从HOMFLY超多项式的β变形。
2011-12-24 hep-th math.QA
Non-zeta knots in the renormalization of the Wess-Zumino model?
我们在d维β函数的非平凡不动点处求解了O（N）对称Wess-Zumino模型的Schwinger-Dyson方程，得到了该阶波函数重整化的临界指数.通过发展与已知微扰理论相一致的结果的ε-展开式，我们研究了超越系数的分布，并证明了只有Riemann zeta级数在1/N中出现在这个阶。与玻色子O（N）φ ^4理论中相同阶的类似计算不同，与（3，4）-环面结相关的非zeta超越量是相消的。
1997-12-15 hep-th
Numerical knot invariants of finite type from Chern-Simons perturbation theory
从微扰论的观点分析了紧致半单群的陈-西蒙斯规范理论。本文给出了Wilson线的微扰级数展开式的一般形式，它是用规范群的Casimir算符表示的。从这个扩展新的数值结不变量。这些结不变量原来是有限型（瓦西里耶夫不变量），并拥有一个完整的表示。使用已知的结果琼斯，HOMFLY，考夫曼和Akutsu-Wadati多项式不变量，这些新的结不变量计算到类型6的所有素数结多达6个交叉。我们的研究结果表明，这些结不变量可以归一化的方式，他们是整数值。
1994-07-14 hep-th math.QA
Factorization of differential expansion for antiparallel double-braid knots
继续寻求独家拉卡矩阵，这是需要在陈-西蒙斯理论的有色树状结多项式的评价，我们建议提取它们从一种新的双进化-的反平行双辫子，这是一个简单的两个参数家庭的两桥结，推广的单参数家庭的扭曲结。在矩形表示$R=[r^s]$的情况下，我们发现了一个证据，即相应的微分展开奇迹般地因式分解，并可以从扭结得到。这减少了问题的矩形排他拉卡构造的答案只是一些扭曲的结。我们开发了一个最近的猜想，对这个家庭的最简单的成员（三叶草和8字结）的微分膨胀的结构，并提供了详尽的答案为第一个未知的情况下，$R=[33]$。答案包括任意扭曲和双辫结的HOMFLY和Racah矩阵$\bar S$和$S$ --允许计算任意树状（双发）结的$[33]$ -着色多项式。对于通用的矩形表示，详细描述的只是单层和双层金字塔的贡献，进行的方式是明确说明的例子$R=[44]$和$R=[55]$。这解决了问题的困难部分，但最后一个繁琐的步骤显式公式通用排他矩形拉卡矩阵仍然有待作出。
2017-10-23 hep-th math-ph math.GT
Differential expansion and rectangular HOMFLY for the figure eight knot
建立了表示$R$中威尔逊圈平均的微分展开（DE），以考虑小群体表示的退化。同时，它在循环的某些变化下表现得很好，例如在$3d$ Chern-Simons理论的情况下的一些结。特别简单的是三叶形结$3_1$和8字形结$4_1$的DE之间的关系。由于从罗索-琼斯公式中可以知道三叶草的任意着色HOMFLY，因此，为了对数字8进行猜想，找到它们的DE就足够了。我们对所有的矩形表示$R=[r^s]$都实现了这个程序，即对8字形纽结的矩形着色HOMFLY做了一个合理的猜想，推广了完全对称和反对称表示的旧结果.
2016-06-05 hep-th math-ph math.GT
On the defect and stability of differential expansion
陈-西蒙斯理论的最新计算进展使许多有色纽结多项式的经验分析成为可能，揭示了它们的稳定性：对于任何给定的负N和任何给定的纽结，如果它足够大，则第r次对称表示的多项式的系数集不会随r而变化。这一事实反映了微分展开式的非平凡和先前未知的性质，并且从这个角度来看，结存在普适性类，其特征在于单个整数，我们称之为缺陷，并且实际上与亚历山大多项式的幂有关。
2015-05-07 hep-th math.GT
Character expansion for HOMFLY polynomials. II. Fundamental representation. Up to five strands in braid
字符扩展的介绍，并明确构造（非有色）HOMFLY多项式的最简单的结。膨胀系数不是结不变量，并且可以取决于编织实现的选择。然而，该方法提供了直接根据变量A=q^N构造HOMFLY多项式的最简单的系统方法：比使用绞链关系的标准方法好得多。此外，最简单的量子群SU_q（2）的表示论足以给出所有m<5股辫子的答案。最重要的是，我们揭示了一个隐藏的层次结构的膨胀系数，什么允许一个人来表达所有这些通过非常简单的基本成分。推广到任意节点和任意表示是简单的。
2012-01-04 hep-th math.QA
Perspectives of differential expansion
我们概述了目前的状态的差分展开（DE）的有色结多项式，即他们的$Z$ - $F$分解成代表性和结依赖的部分。它的存在性是HOMFLY-PT多项式在对称和反对称表示中的一个定理，但除此之外的一切仍然是假设的-并且很难探索和解释。然而，DE仍然是现代纽结理论的主要知识来源和计算方法之一。我们专注于以下主题：DE的适用性，非平凡的结，其修改结与非零缺陷和DE非矩形表示。一个基本的新颖性是分析了一个更简单的${\cal Z}$ - ${F_{Tw}}$分解与扭结$F$ -因素和非标准${\cal Z}$ -因素和发现了另一个三角和通用的转换$V$，它转换$\cal{Z}$到标准的$Z$ -因素$V^{-1}\cdot {\cal Z}= Z$，并允许计算$F$为$F = V\cdot F_{Tw}$。
2020-06-01 hep-th math-ph math.GT
Revisiting the Melvin-Morton-Rozansky Expansion, or There and Back Again
亚历山大多项式出现在半经典的Melvin-Morton-Rozansky展开的有色纽结多项式的首项中。在这项工作中，遵循相反的方向，我们提出了如何重建有色HOMFLY-PT多项式，超多项式，和新引入的$\widehat{Z}$不变量的一些结补，从一个适当的重写，量子化和变形的亚历山大多项式。沿着这条路线，我们重新推导了最近得到的各种纽结的上述不变量的代数表达式，从而证明了它们与Melvin-Morton-Rozansky定理的一致性，并导出了以前未知的有色超多项式的新公式。对于一个给定的结，取决于某些选择，我们的重建导致等价的表达式，这要么是分圆的，或编码某些功能的HOMFLY-PT同源性和结颤抖的对应。
2020-07-16 hep-th math-ph math.GT
Notes on Chern-Simons Theory in the Temporal Gauge
本文在时间规范$A_{0}=0$中分析了Chern-Simons（CS）规范理论中威尔逊圈算符真空期望值的微扰级数展开.继J. Labastida和E.佩雷斯我们介绍的概念内核的结多项式不变量-（非不变）vevs的威尔逊圈，产生于CS理论的时间规范。提出了一种精确计算纽结多项式不变量核的方法。
2009-10-27 hep-th
Differential expansion for link polynomials
微分展开式是反映色纽结多项式群论性质的关键结构之一，也是计算非平凡Racah矩阵的重要工具。这使得非常希望它的扩展从结链接，然而，这需要知识的$6j$ -符号，至少，为最简单的三元组的非重合表示。基于这一方向的最新研究成果，我们推测了一种特殊颜色链接的微分展开的形状，并给出了一组例子。在这项研究中，我们使用了一个特殊的框架，这是一个不寻常的扩展的拓扑框架，从结链接。在Whitehead环和Borromean环链的特殊情况下，微分展开式与以前发现的不同。
2017-09-26 hep-th math.GT math.QA
KNTZ trick from arborescent calculus and the structure of differential expansion
最近提出的KNTZ技巧完成了对所有矩形表示的排他Racah矩阵$\bar S$和$S$的持久搜索，并且在非矩形情况下也有帮助的潜力。这是最后一个缺乏洞察力的结构的微分展开的（矩形）有色结多项式的扭曲结-和由此产生的成功是一个壮观的成就，现代纽结理论在经典领域的表示理论，这最初被认为是一个工具，结演算，但似乎是其直接受益者。在本文中，我们解释说，KNTZ的anastomy实际上是一个建议，转换成三角形形式${\cal B}$的树木进化矩阵$\bar S\bar T^2\bar S$和演示如何工作，什么是从这个角度来看，旧的难题和奇迹的微分展开式的形式。主要的新的完整的结果是猜想的三角矩阵${\cal B}$在非矩形表示$[3,1]$的情况下。本文并没有简化任何计算，而是强调了剩下的问题，为了{ \it证明}事情确实有效，需要克服这些问题。我们相信，这一讨论也是有用的进一步的步骤对非矩形的情况下，相关的搜索规范不变的树顶点。作为一个例子，我们制定了一个令人困惑的，仍然实验支持的猜想，研究扭曲结只足以描述的形状的微分膨胀的所有节点。
2020-01-28 hep-th math-ph math.GT
Character expansion for HOMFLY polynomials. III. All 3-Strand braids in the first symmetric representation
我们继续系统地研究扩展HOMFLY多项式的程序。扩展多项式依赖于无穷多个时间变量，是可积τ函数的近亲，并且依赖于纽结的辫子表示的选择。它们具有自然的特征分解，其系数可以由辫子中任意特定股数m和李代数GL（\infty）的任意特定表示R的穷举通式定义。由于被限制在时间变量空间中的“拓扑轨迹”，扩展的HOMFLY多项式再现了普通的纽结不变量。当m=3时，当辫子由整数序列（a_1，b_1，a_2，b_2，.）参数化时，我们导出了这样一个一般公式，对于第一非基本表示R=[2]。而不是直接计算的混合矩阵，我们推导出他们从比较与已知的答案环面和复合结。一个简单的反射对称将对称表示[2]的答案转换为反对称表示[1，1]的答案。结果特别适用于8字形结4_1，并进一步扩展到arXiv：1203.5978中任意对称和反对称表示的超多项式。
2012-09-10 hep-th math.QA
The resurgent structure of quantum knot invariants
复Chern-Simons理论中的量子纽结不变量的渐近展开导致了阶乘发散的形式幂级数。我们猜想这些级数是复活函数，其Stokes自同构由一对整数系数的$q$ -级数矩阵给出，而这对整数系数的矩阵由一对线性$q$ -差分方程的基本解明确确定.我们进一步推测，对于双曲结，这些矩阵的一个区别项等于Dimofte-Gaiotto-Gukov 3D指数，因此由BPS态的计数给出。我们明确地说明了我们的acturtures匹配理论和数值计算整数的情况下的$4_1$和$5_2$结。
2020-12-02 hep-th math.GT
All-order asymptotics of hyperbolic knot invariants from non-perturbative topological recursion of A-polynomials
本文提出了一个猜想，用以计算双曲纽结的补的有色Jones多项式J_N（q = exp（2u/N））在N趋于无穷大时的全阶渐近展开式.我们猜想：有色Jones多项式的渐近展开式是一个可积系统的形式波函数，其半经典谱曲线S是纽结（A-多项式）的SL_2（C）特征簇，并在拓扑递归的框架下得到了表述.它以Dijkgraaf、Fuji和Manabe最近提出的建议为出发点（他们只保留了波函数的微扰部分，并发现了一些差异），但它也包含了非微扰部分，并解决了差异问题。这些非微扰修正是与S相关的Theta函数的导数，但由于A多项式的特殊性质，其展开仍然是1/N的幂。我们对8字形纽结和一次穿刺环面丛L^2R进行了详细的检验。我们还提出了一个启发式的论点，从环面结的情况下，结的不变量可以从矩阵模型计算。
2012-09-13 hep-th math-ph math.GT
Cyclotomic expansions of HOMFLY-PT colored by rectangular Young diagrams
我们猜想一个封闭形式的表达式HOMFLY-PT不变量的双扭结着色的矩形杨图的扭曲编码的插值麦克唐纳多项式。我们还提出了一个猜想，即对于任意纽结，HOMFLY-PT多项式的分圆展开式都是由矩形Young图着色的。
2020-08-01 hep-th math-ph math.GT
Integral geometry of plane curves and knot invariants
本文研究了Witten的Chern-Simons路径积分的微扰展开式中作为第二系数的纽结不变量的积分表达式。其中一个积分是经典Crofton积分在凸平面曲线上的推广，它与Arnold最近定义的一般平面曲线的不变量有关，具有辛几何和接触几何的深刻动机。这些平面曲线不变量的二次边界推导出使用它们的关系与结不变量。
1994-11-30 dg-ga hep-th math.DG
HOMFLY for twist knots and exclusive Racah matrices in representation [333]
下一步是报告在程序中的拉卡矩阵提取从HOMFLY多项式的微分展开为扭曲结：从双列矩形表示R=[rr]到三列和三钩R=[333]。主要的新现象是特定系数$f_{[332]}^{[21]}$与相应的斜向维数的偏差，这为进一步推广开辟了道路。
2019-02-13 hep-th math-ph math.GR
Rectangular superpolynomials for the figure-eight knot
我们重写最近提出的差分展开公式HOMFLY多项式的结$4_1$在任意矩形表示$R=[r^s]$作为一个总和超过所有的年轻的子图$R$ $λ$与非常简单的系数$D_{λ^{tr}}(r)\cdot D_λ(s)$在前面的$Z$ -因素。有些不可思议的是，这些系数是由群$SL(r)$和$SL(s)$的对称表示的量子维数构成的，并且限制了不超过$s$行和$r$列的图的求和。他们拥有一个自然的$β$ -变形麦克唐纳尺寸和生产积极的洛朗多项式，这可以被认为是合理的候选人的作用的矩形超多项式。多项式性和正性都是生成表达式的非显式性质，但它们仍然是真的。这将先前关于对称和反对称表示的建议（分别为$s=1$或$r=1$时）扩展到任意矩形表示。和通常的膨胀差一样，还有额外的分级。在唯一的例子中，可用于比较-三叶结$3_1$，其中我们的结果$4_1$是直接扩展，-其中之一再现了“第四级”的超多项式。即使在5阶的情况下，因子分解的性质也很好地保留了下来。
2016-09-10 hep-th math-ph math.GT
Bipartite expansion beyond biparticity
本文证明基本 HOMFLY 多项式的正分解对任意纽结均存在，而不仅限于二分纽结，为非二分纽结提供了两种解释，并提出基于前驱 Jones 多项式的二分实现判据。
2025-01-26 hep-th math-ph math.GT
A relation between the HOMFLY-PT and Kauffman polynomials via characters
Okinawa Institute of Science and Technology Graduate University（冲绳科学技术大学院大学）
通过特征研究HOMFLY-PT与Kauffman多项式在特定结类中的关系，揭示其与Harer-Zagier因子可分解性的联系，但四strand结的反例推翻了部分猜想。
2026-08-11 hep-th math-ph math.MP
Knot polynomials in the first non-symmetric representation
我们描述了表示[21]中8字形和其他一些3-链结的HOMFLY多项式的答案的显式形式和隐藏结构。这是第一个非环面结超越（反对称）对称表示的结果，其评估要复杂得多。我们提供了各种不同的论点，让人们猜测数字8结的答案，这也可以部分用于更复杂的情况。最后，我们报告的结果，精确计算的数字8和其他一些3股结的基础上，以前开发的复杂技术的多股计算。我们还讨论了图8纽结的表示[21]中的超多项式的一个公式，它严重依赖于特殊多项式点附近的超多项式展开的几何形式。概括和细节将在其他地方介绍。
2012-11-27 hep-th math-ph math.GT
Quantum Racah matrices and 3-strand braids in representation [3,3]
本文是从arXiv：1506.00339开始的系统描述有色结多项式项目的下一步。在本文中，我们设法显式地找到$\textit{inclusive}$拉卡矩阵，即在通道$R^{\otimes 3}\longrightarrow Q$与所有可能的$Q$，为$R=[3,3]$混合矩阵的整个集合。病例$R=[3,3]$与arXiv：1605.03098中获得的$R=[2,2]$一样，均为无多重性病例。利用Gelfand-Tseitlin表，采用最高权法进行计算。结果允许一个评估和调查$[3,3]$着色多项式为任意3股结，这证实了许多以前的各种分解，普遍性，和微分展开。在arXiv：1605.04881中开发的方法的帮助下，我们设法计算$R=[3,3]$中的{ \it exclusive} Racah矩阵$S$和$\bar S$。我们的结果证实了arXiv：1606.06015中对这些矩阵的计算，该计算是基于扭曲结的微分展开的显式形式的猜想。对于多达10个交叉点的3股结，Racah矩阵和$[3,3]$着色多项式的明确答案可在http://knotebook.org上获得。
2021-05-05 hep-th math.GT math.QA
Colored knot amplitudes and Hall-Littlewood polynomials
精化的Chern-Simons（CS）理论的振幅用反对称（或对称）表示着色，最终生成（n，m）环面纽结的λ ^r-（或S^r-）着色三阶同调.本文将Rosso-Jones公式推广到Macdonald基上的加细振幅，其中包含了非平凡的Gamma因子--展开系数。我们从精细CS理论推导出一个线性递归w.r.t.变换（n，m）->（n，n+m）和（n，m）->（m，-n）完全确定这些因子。将此递归应用于（n，nk+1）个由反对称表示[1^r]着色的环面结点，我们证明了它们的振幅在k个框架单位下是矩形[n^r] Hall-Littlewood多项式（a.k.a. Bergeron-Garsia nabla）算子。对于对称表示[r]，我们找到了对偶- q-Whittaker -多项式。这些结果证实并给出了arXiv：1201.3339的观察结果的有色扩展，即许多环面结的三重分级同调在Hall-Littlewood多项式方面有一个非常简单的描述。
2013-08-20 hep-th math-ph math.MP
Factorization of colored knot polynomials at roots of unity
通过对大量不同纽结的分析，我们得出结论：在单位根q，q^{2 m}=1处，对称表示[r]中的HOMFLY多项式满足递归恒等式：对任意A，H_{r+m} = H_r H_m，这是q=1处特殊多项式的性质H_r =（H_1）^r的推广。我们猜想一个自然的推广到任意表示R，然而，只检查环面结。接下来，由H_R在q=exp（iπ/ |R|）处产生的Kashaev多项式变成等于用A^ |R|代替A的特殊多项式，假设R是单钩表示（例如任意对称）-这提供了与Alexander多项式类似的性质的q-A对偶。所有这些都意味着微分展开式系数的非平凡关系，据信这些关系在结空间中提供了合理的坐标--这种普遍关系的存在意味着这些变量仍然不是不受约束的。
2015-05-22 hep-th math-ph math.GT
Are Khovanov-Rozansky polynomials consistent with evolution in the space of knots?
$m$ -链环面结$Torus_{[m,n]}$的$R$ -着色结多项式由Rosso-Jones公式描述，这是$n$中具有Lyapunov指数的演化的示例，由来自$R^{\otimes m}$的Young图标记。这意味着它们满足有限次的有限差分方程（递归）。对于规范群$SL(N)$，只有不超过$N$行的图才有贡献，递归度降低。我们声称，这些属性（进化/递归和减少）持续Khovanov-Rozansky（KR）多项式，获得额外的因式分解模$1+{\bf t}$，这是尚未充分描述在量子场论。还保留了一些弱化的微分展开式，它至少负责{ \it reduced}和{ \it unreduced} Khovanov多项式之间的简单关系。然而，在KR情况下，演化与改变$n\longrightarrow -n$下的镜像对称性不相容，这可能表明即使对于环面结，KR分解也是模糊的。}
2018-02-26 hep-th math-ph math.GT
Beyond the triangle and uniqueness relations: non-zeta counterterms at large N from positive knots
不能约简为$ζ_{n}$的反项由${}_3F_2$超几何级数产生，这些超几何级数由三角形和唯一性关系提供的数据不足的图产生。不可约的双重和，对应于环面结$(4,3)=8_{19}$和$(5,3)=10_{124}$，被发现在反常的尺寸在${\rm O}(1/N^3)$在大- $N$限制，我们计算解析到11级的条款，对应于11个循环的4维场论和12个循环的2维理论。高精度的数值结果得到了多达24个循环，并用于Padé格式的$\varepsilon$ -展开，这是比较分析结果在3维。${\rm O}(1/N^3)$的结果需要在主两圈两点图中的三个着装传播产生的结。在高阶的$1/N$中，人们遇到了唯一的正双曲11交叉结，与不可约的三重和有关。在12次交叉处，生成一对3-辫子结，对应于一对符号交替的不可约双和。双曲正结$10_{139}$和$10_{152}$不是由这种自能插入产生的。
1996-07-23 hep-ph hep-th math.QA
A lift of the colored Jones polynomial of a knot
Southern University of Science and Technology（南方科技大学）
本文将结的着色Jones多项式提升到Habiro环，并证实了根单位处的环展开存在，同时扩展到skein模块和李代数表示的提升。
2026-03-02 hep-th math.GT math.NT
A two-variable series for knot complements
物理3d $\mathcal{N}=2$理论T[Y]以前被用来预测一些3流形不变量$\hat{Z}_{a}(q)$的存在，这些不变量采用整数系数的幂级数的形式，收敛于单位圆盘。它们在单位根处的径向极限应该恢复Witten-Reshetikhin-Turaev不变量。本文讨论了对于$S^3$中纽结的补，其不变量$\hat{Z}_{a}(q)$的类似如何成为一个二元级数$F_K(x,q)$，该级数是由有色Jones多项式的渐近展开通过参数复活得到的.该系列中的项应满足量子A-多项式给出的递推关系。此外，还有一个公式将$F_K(x,q)$与结上Dehn手术的不变量$\hat{Z}_{a}(q)$联系起来。我们提供了明确的计算$F_K(x,q)$的情况下，由负定铅垂与一个无框架的顶点，如环面结。我们还在数值上找到了8字形纽结级数中的首项，直到任何所需的阶数，并使用它来理解某些双曲三维流形的$\hat{Z}_a(q)$。
2020-06-29 hep-th math-ph math.GT
Determinantal representation of colored HOMFLY for double braids
ITEP
本文从微分展开出发，将扭转结和反平行双辫结在矩形表示下的HOMFLY-PT多项式表示为行列式，为结多项式扩展至KP/Toda τ-函数提供新起点。
2026-09-10 hep-th math-ph math.GT
Eigenvalue hypothesis for Racah matrices and HOMFLY polynomials for 3-strand knots in any symmetric and antisymmetric representations
特征展开通过有限维R-和Racah混合矩阵的乘积的迹来表示扩展的HOMFLY多项式。我们猜想混合矩阵完全用相应R-矩阵的特征值表示。即使是这个猜想的一个较弱（也许更可靠）的版本，也足以显式地计算任意（反对称）对称表示中所有3股辫子的HOMFLY多项式。我们列出了这样得到的V=[3]和V=[4]的多项式的例子，它们与已知的环面和8字形结的答案以及有色特殊多项式和琼斯多项式的答案是一致的。这为我们的猜想提供了间接的证据。
2012-09-27 hep-th math-ph math.GT
Defect and degree of the Alexander polynomial
缺陷表征了纽结多项式的微分（分圆）展开式中项的因式分解的深度，即陈-西蒙斯理论中的非微扰威尔逊平均。我们证明的猜想，该缺陷可以替代描述为程度在$q^{\pm 2}$的基本亚历山大多项式，这在形式上对应的情况下，没有颜色。我们还提出了一个问题，如果这些亚历山大多项式可以是任意整数多项式的一个给定的程度。回答后一个问题的第一个尝试是对2股环面结的反平行后代的初步分析，这为缺陷的所有值提供了一组很好的例子。在缺陷零结的情况下，答案是肯定的，这在扭曲结的情况下已经可以观察到。这个猜想的证明也使我们能够提供一个完整的集合的$C$ -多项式的对称着色亚历山大多项式的缺陷为零。在这种情况下，我们实现了表示变量和结变量的完全分离。
2022-08-02 hep-th math-ph math.GT
A supergroup series for knot complements
本文引入了针对Lie超代数sl(2|1)的三变量级数不变量F_K(y,z,q)，扩展了Ferrari和Putrov的闭合3维流形级数不变量，并通过手术公式将其与GM级数关联，展示了超F_K(y,z,q)的独特性质。
2026-05-12 hep-th math-ph math.GT
