Two-level Nyström--Schur preconditioner for sparse symmetric positive definite matrices
随机化方法在数值线性代数中越来越受欢迎。然而，很少有人尝试使用它们来开发预处理器。我们的兴趣在于解决大型稀疏对称正定线性系方程组的系统矩阵是预先排序的双边界块对角形式（例如，使用嵌套的解剖排序）。我们研究使用随机方法来构建高质量的预条件。特别是，我们提出了一种新的和有效的方法，采用Nyström的方法计算低秩近似开发强大的代数两级预条件。新的预条件的建设涉及迭代求解一个更小，但更密集的对称正定舒尔补系统与多个右手边。来自一系列应用领域的问题的数值实验表明，这个内部系统可以解决廉价使用块共轭梯度，并使用一个大的收敛公差，以限制成本不会产生不利影响的质量Nyström-Schur两级预处理。
2021-07-27 cs.NA math.NA
Positive Definiteness of Paired Symmetric Tensors and Elasticity Tensors
School of Mathematics, Tianjin University（天津大学数学学院）；Department of Applied Mathematics, The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学应用数学系）
本文研究了配对对称张量的正定性，探讨了弹性张量的正定性条件及其在非线性弹性理论中的作用，提出判断正定性的必要充分条件及半定规划方法。
2017-07-04 cs.NA math.NA math.RA
Solving Symmetric and Positive Definite Second-Order Cone Linear Complementarity Problem by A Rational Krylov Subspace Method
二阶锥线性互补性问题（SOCLCP）是经典线性互补性问题的推广。已知SOCLCP具有全局唯一可解的性质，本质上等价于其中关联函数与模型降阶中的传递函数具有很大相似性的寻零问题[{ \em SIAM J. Sci. Comput.}，37（2015），pp.~ A2046-A2075]。本文提出了一种新的有理Krylov子空间方法来解决对称正定SOCLCP的零点寻找问题。该算法由两个阶段组成：首先，它依赖于一个扩展的Krylov子空间来获得零根的粗略近似，然后迭代地应用多极有理Krylov子空间投影来获得精确解。各种类型的SOCLCP的例子的数值计算结果表明，它的效率和鲁棒性。
2020-11-17 cs.NA math.NA
Low rank approximation of positive semi-definite symmetric matrices using Gaussian elimination and volume sampling
半正定矩阵通常作为统计学中最小二乘问题的正规矩阵或机器学习和逼近论中的核矩阵出现。它们通常大而密集。因此，用这种矩阵求解系统的算法可能非常昂贵。降低计算复杂性的一个核心思想是用低秩的矩阵来近似矩阵。最佳和充分理解的选择是基于矩阵的特征值分解。不幸的是，这在计算上非常昂贵。更便宜的方法是基于高斯消去法，但它们需要旋转。我们将展示如何不变矩阵理论提供明确的误差公式的平均误差的基础上体积采样。该公式导出了特征值上的初等对称多项式的比值。我们讨论了一些新的一个旧的界限，并包括几个例子，预期的误差范数可以精确计算。
2020-11-30 cs.NA math.NA
Toward a new fully algebraic preconditioner for symmetric positive definite problems
本文提出了一种新的区域分解预条件子，它能有效地求解具有对称正定矩阵A的线性方程组Ax = b。新的预条件子的特殊性在于它不需要访问所谓的Neumann矩阵（即：由集合限制于每个子域的A之下的变分问题而产生的矩阵）。预条件子中的所有分量都可以仅用A的知识来计算（这就是这里给代数这个词的含义）。新的预条件依赖于GenEO粗糙空间的矩阵，这是一个低秩修改的A和伍德伯里矩阵的身份。新的预处理器的基本思想在这里首次介绍了第一个版本的预处理器。给出了一些数值例子。在[7]（https：//hal.archives-ouvertes.fr/hal-03258644）中可以找到包括新预处理器的一些改进变体的更广泛的演示。
2021-06-22 cs.NA math.NA
A preconditioning technique of Gauss--Legendre quadrature for the logarithm of symmetric positive definite matrices
针对 GL 求积计算高条件数对称正定矩阵对数效率低的问题，提出将矩阵对数拆分为两个低条件数参数的矩阵对数，以降低总体计算成本。
2025-03-16 cs.NA math.NA
Eigenbounds of symmetric positive definite tensors
Indian Institute of Information Technology, Design and Manufacturing Kancheepuram（坎切普兰印度信息与制造技术学院）
本文提出利用内在不变量（迹和行列式）建立对称正定张量特征值界的方法，通过AM-GM不等式推导出更紧的上界和下界，优于传统坐标依赖方法，尤其在负对角线元素和高阶张量情况下表现更优。
2026-05-14 cs.NA math.NA
A Robust Algebraic Multilevel Domain Decomposition Preconditioner For Sparse Symmetric Positive Definite Matrices
区域分解（DD）方法被广泛用作预处理技术。它们的有效性依赖于局部构造的粗糙空间的选择。到目前为止，这种构造主要是使用来自离散偏微分方程（PDE）的非组装矩阵来实现的。因此，DD方法主要是成功地解决系统源于偏微分方程。本文提出了一种完全代数的多级DD方法，该方法可以在不需要除系数矩阵外的任何信息的情况下局部有效地构造粗空间。预处理矩阵的条件数可以由用户指定的数来限定。数值实验说明了预条件子对不同应用中出现的一系列问题的有效性。
2021-09-13 cs.NA math.NA
A generalized skew-symmetric Lanczos bidiagonalization method for computing several extreme eigenpairs of a large skew-symmetric/symmetric positive definite matrix pair
Soochow University（苏州大学）
本文提出了一种通用的反对称Lanczos双对角化方法，用于计算大矩阵对(A,B)的多个极值特征对，其中A为反对称矩阵，B为对称正定矩阵。通过分析该方法的收敛性并提出部分重新正交化策略，提升了计算效率和精度。
2024-08-26 cs.NA math.NA
Decompositions and coalescing eigenvalues of symmetric definite pencils depending on parameters
本文研究双参数对称正定矩阵束的广义特征值问题，提出特征值与特征向量光滑性理论，并数值分析全矩阵与带状矩阵中特征值合并的统计性质，以服务工程应用。
2021-03-18 cs.NA math.NA
On the banded Toeplitz structured distance to symmetric positive semidefiniteness
本文研究了一个实带状Toeplitz矩阵在Frobenius范数下与一个实带状矩阵的关系。虽然确定与给定方阵最接近的带状Toeplitz矩阵是简单的，但正定性的附加要求使问题变得困难。我们回顾了现有的理论结果，并提供了一个简单的方法来确定带状正定Toeplitz矩阵。
2022-04-12 cs.NA math.NA
An Empirical Study of Conjugate Gradient Preconditioners for Solving Symmetric Positive Definite Systems of Linear Equations
本文对79个矩阵、10种预条件子（共108种配置）进行实证比较，发现不完全Cholesky分解对对称正定系统最有效，多重网格偶尔表现优异，而经典迭代方法效果不佳，且预条件子构建成本会削弱迭代方法优势。
2025-05-27 cs.NA math.NA
Efficient construction of an HSS preconditioner for symmetric positive definite $\mathcal{H}^2$ matrices
在求解具有病态对称正定（SPD）核矩阵的线性系的迭代方法中，需要快速的矩阵向量积和快速的预处理运算。通过以$\mathcal{H}^2$表示法或等效的快速多极子方法表示法表示核矩阵，可以获得快速（线性缩放）矩阵向量乘积。然而，预处理这样的矩阵需要比$\mathcal{H}^2$表示更规则的结构化矩阵近似，诸如提供快速求解操作的分层半可分离（HSS）矩阵表示。先前，提出了一种算法来构造对保证为SPD的SPD核矩阵的HSS近似。然而，该算法具有二次成本，并且仅被设计用于定义核矩阵的点的递归二进制划分。本文提出了一种构造SPD HSS近似的通用算法。重要的是，该算法使用SPD矩阵的$\mathcal{H}^2$表示来将其计算复杂性从二次降低到拟线性。数值实验说明了如何SPD HSS近似执行作为一个预处理器解决线性系所产生的范围内的核函数。
2021-01-11 cs.NA math.NA
Graph partitioning using matrix values for preconditioning symmetric positive definite systems
Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）；University of Minnesota（明尼苏达大学）；Old Dominion University（老道明大学）
提出一种谱划分算法，利用矩阵系数信息构建划分，以提升对称正定线性系统中非重叠加性Schwarz（块Jacobi）预处理的质量，数值实验显示收敛性显著改善。
2013-11-17 cs.NA math.NA
TriCG with deflated restarting for symmetric quasi-definite linear systems
School of Mathematical Sciences, Xiamen University（厦门大学数学科学学院）
本文提出了一种改进的TriCG方法，通过引入消元重启策略来提高求解对称拟不定线性系统时的收敛速度。
2026-01-12 cs.NA math.NA
Can Symmetric Positive Definite (SPD) coarse spaces perform well for indefinite Helmholtz problems?
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）；University of Strathclyde（斯特拉斯克莱德大学）
本文研究了在双层加法Schwarz预处理器中使用Δ_k-GenEO粗空间解决异质亥姆霍兹问题的有效性，改进了GMRES收敛的k显式条件，揭示了SPD特征值问题为何仍有效。
2026-02-06 cs.NA math.NA
An Iterative Block Matrix Inversion (IBMI) Algorithm for Symmetric Positive Definite Matrices with Applications to Covariance Matrices
针对大型对称正定矩阵直接求逆复杂度极高的难题，提出迭代分块矩阵求逆算法IBMI，通过分块迭代逼近逆矩阵，证明两块非重叠方法收敛，数值结果支持多块重叠方法也收敛。
2025-09-02 cs.NA math.NA math.ST
Achieving Material Robustness via Symmetric Stress Finite Element Discretizations
University of Oxford（牛津大学）；U.S. Naval Research Laboratory（美国海军研究实验室）
本文研究了在连续力学变分问题中对称应力张量的离散化方法，指出强对称性和弱对称性对数值方案的精度有显著影响，并提出了一种统一理论来解释材料鲁棒性。
2026-05-20 cs.NA math.NA
A General Algorithm to Calculate the Inverse Principal $p$-th Root of Symmetric Positive Definite Matrices
Johannes Gutenberg University of Mainz（约翰内斯·古腾堡美因茨大学）；Paderborn University（帕德博恩大学）
本文提出了一种计算对称正定矩阵逆$p$-次根的通用算法，通过构造迭代函数实现高效计算，并展示了该方法具有至少二次收敛速度，通过调整参数$q$进一步提升收敛速度。
2018-02-27 cs.NA math.NA math.RA
An Efficient Scaled spectral preconditioner for sequences of symmetric positive definite linear systems
本文针对对称正定线性系统序列，提出一种缩放谱预条件子及三种缩放参数选择策略，以改善共轭梯度法早期收敛，并通过数据同化实验验证其低开销下的显著加速效果。
2024-10-03 cs.NA math.NA math.OC
On the optimality and sharpness of Laguerre's lower bound on the smallest eigenvalue of a symmetric positive definite matrix
本文研究了基于Tr(A⁻¹)和Tr(A⁻²)的最小特征值下界性质，证明Laguerre下界在尖锐性上最优，并分析了该下界与最小特征值的差距，为奇异值计算算法设计提供参考。
2017-02-01 cs.NA math.NA
A unified understanding of the two formulae for the traces of the inverse powers of a positive definite symmetric tridiagonal matrix
Kojogaoka, Otsu, Shiga 520-0821 Japan（日本滋贺县大津市小御冈28-20，邮编520-0821）
本文统一了两个计算正定对称三对角矩阵逆幂迹的公式，推导了奇异值下界，并给出了新的减法自由公式及矩阵理论解释。
2014-11-13 cs.NA math.NA
Multifidelity Covariance Estimation via Regression on the Manifold of Symmetric Positive Definite Matrices
Center for Computational Science and Engineering, MIT（麻省理工学院计算科学与工程中心）；Courant Institute of Mathematical Sciences, NYU（纽约大学柯朗数学科学研究院）
本文提出一种基于对称正定矩阵流形回归的多保真度协方差估计器MRMF，兼具正定性与最大似然性质，并在实验中显著降低估计误差。
2024-09-05 cs.LG cs.NA math.NA
Robust Domain Decomposition Preconditioners for Abstract Symmetric Positive Definite Bilinear Forms
Radon Institute for Computational and Applied Mathematics (RICAM)（应用计算数学拉德研究所）
针对一般对称正定问题，提出一种将空间稳定分解为局部子空间和全局粗空间的抽象框架，并证明其关于网格参数和高低电导率对比度的鲁棒性，应用于多孔介质中的标量椭圆方程、Stokes方程和Brinkman方程。
2011-05-05 cs.NA math.NA
Global iterative methods for sparse approximate inverses of symmetric positive definite matrices
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）
针对对称正定矩阵，本研究提出MR、LOMR、CG三种带稀疏迭代的短 recurrence 迭代方法，结合丢弃策略计算稀疏近似逆，其作为预条件子的性能经数值实验定量评估。
2026-08-20 cs.NA math.NA
Positive Definite Tensors to Nonlinear Complementarity Problems
Fudan University（复旦大学）；The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学）
本文研究了非线性互补问题的解的存在性，针对对称正定张量和copositive张量等结构化张量，证明了在可对角化的条件下存在唯一解。
2015-01-12 cs.NA math.NA
Reduced-basis method for the iterative solution of parametrized symmetric positive-definite linear systems
MIT Department of Aeronautics and Astronautics（麻省理工学院航空航天系）；Department of Mathematics, University of Massachusetts Dartmouth（马萨诸塞大学达特茅斯学院数学系）
本文提出了一种降阶方法，用于求解参数化对称正定线性系统，通过降阶基空间投影、自适应贪心算法和多保真度方法提高效率，展示了其在求解泊松方程时的收敛速度和计算成本优势。
2018-04-17 cs.NA math.NA
TriCG and TriMR: Two Iterative Methods for Symmetric Quasi-Definite Systems
基于Saunders，Simon和Yip在1988年提出的正交三对角化过程，我们引入了求解对称拟定方程组的迭代法TriCG和TriMR. TriCG和TriMR等同于具有两个右侧的预处理Block-CG和Block-MINRES，其中两个近似解在每次迭代时求和，但每次迭代需要较少的存储和工作。我们评估的性能TriCG和TriMR的SuiteSparse矩阵集合和离散化和稳定的斯托克斯方程产生的线性系。我们比较TriCG和TriMR与SYMMLQ和MINRES，推荐的Krylov方法对称和不确定的系统。在我们所有的实验中，TriCG和TriMR在基于残差的停止条件下比SYMMLQ和MINRES更早终止，迭代次数提高了50%。它们也比Block-CG和Block-MINRES更可靠地端接。四倍精度和八倍精度的实验表明，在基向量中的正交性损失在TriCG和TriMR中比在Block-CG和Block-MINRES中明显不那么明显。
2021-02-08 cs.MS cs.NA math.NA
Towards an Efficient Tile Matrix Inversion of Symmetric Positive Definite Matrices on Multicore Architectures
University of Tennessee（田纳西大学）；University of Colorado Denver（科罗拉多大学丹佛分校）
针对多核架构上对称正定矩阵求逆问题，提出基于动态任务调度和编译器优化（数组重命名、循环反转和流水线）的分块算法，实现LAPACK代码到高效并行分块算法的转换。
2010-02-22 cs.MS cs.NA math.NA
Preconditioned Low-Rank Riemannian Optimization for Symmetric Positive Definite Linear Matrix Equations
University of Pavia（帕维亚大学）；EPFL（洛桑联邦理工学院）；University of Pisa（比萨大学）
针对多右端项形式的大规模对称正定线性矩阵方程，提出固定秩流形上的黎曼CG及多种预条件与秩自适应策略。
2024-12-03 cs.NA math.NA
Stochastic Modelling of Symmetric Positive Definite Material Tensors
本文提出一个随机建模框架，用于生成尊重空间对称性和正定性的材料张量系综，通过李代数表示独立控制缩放与方向，并示例于股骨热传导模型，展示不同不确定性对结果的影响。
2024-02-09 cs.CE cs.NA math.NA
Numerical Analysis of Unsteady Implicitly Constituted Incompressible Fluids: Three-Field Formulation
在经典流体力学理论中，常假设剪切应力与对称速度梯度张量之间为线性关系。即使当假设非线性关系时，它通常也是根据显式关系来制定的。隐式本构模型提供了一个理论框架，概括这一点，允许一般隐式本构关系。由于通常不可能在本构关系中显式求解剪应力，因此自然的方法是将剪应力作为问题的公式化中的基本未知量。在这项工作中，我们提出了一个混合配方与此功能，讨论其可解性和近似使用混合有限元法，并探讨了收敛的数值逼近的弱解的模型。
2019-12-19 cs.NA math.NA
Embedded symmetric positive semi-definite machine-learned elements for reduced-order modeling in finite-element simulations with application to threaded fasteners
本文提出一种用于固体力学有限元分析的机器学习降阶策略，通过学习对称半正定刚度矩阵作为内部细尺度域的代理模型，确保粗尺度问题适定且具唯一解，在螺纹紧固件等实例中实现了高精度与显著加速。
2023-10-23 cs.NA math.NA
A Spectral Gradient Projection Method for the Positive Semi-definite Procrustes Problem
本文研究半正定procrustes问题（PSDP）。PSDP对应于对称半正定矩阵集上的最小二乘问题。这类问题出现在许多应用中，如结构分析，信号处理等。提出了一种非单调谱投影梯度算法来获得PSDP的数值解。该算法采用Zhang和Hager的非单调技术结合Barzilai和Borwein的步长来加速收敛。给出了一些理论结果。最后通过数值实验验证了所提方法的有效性，并与其他算法进行了比较。
2019-08-18 cs.NA math.NA
Strictly positive definite kernels on the $2$-sphere: beyond radial symmetry
本文在不假设核是径向（迷向）或轴对称的情况下，给出了2-球面上核的严格正定性的一个新刻画。结果使用球谐函数中的核的级数展开。然后，额外的充分条件证明了核与块结构的膨胀系数。这些推广了Chen等人2003年从径向核到非径向核的结果。
2020-05-06 cs.NA math.CA math.NA
Sharp Spectral Bounds for Symmetric Positive Definite Tensors via Multiple Algebraic Invariants
Indian Institute of Information Technology, Design and Manufacturing（印度信息技术设计制造学院）；Ravenshaw university（拉文肖大学）；SVKM’s College of Engineering（SVKM工程学院）
研究通过扩展迹-行列式框架界定对称正定张量的H-特征值，用精确解取代AM-GM松弛，纳入高阶幂和作为不变量，简化问题，发展四不变量理论，通过数值实验验证框架，降低高估差距且保持低计算成本。
2026-07-10 cs.NA math.NA math.OC
Vector Transport Free Riemannian LBFGS for Optimization on Symmetric Positive Definite Matrix Manifolds
Ferdowsi University of Mashhad（马什哈德菲尔多西大学）；University of Waterloo（滑铁卢大学）；University of Tehran（德黑兰大学）
本文主要研究黎曼流形上的优化问题。有限记忆Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（LBFGS）算法是欧几里得空间中数值优化的一种常用的拟牛顿法。黎曼LBFGS（RLBFGS）是将这种方法推广到黎曼流形上。RLBFGS涉及计算昂贵的向量传输以及使用伴随向量传输的展开递归。本文利用逆二次根和Cholesky分解在切空间中提出了两个映射。这些映射使得矢量输运和伴随矢量输运都是同一的，因此是等距的。单位向量的传输使得RLBFGS的计算量更小，它的等距性在RLBFGS的收敛性分析中也是非常有用的。此外，在建议的映射下，黎曼度量减少到欧几里得内积，这是计算成本低得多。我们专注于对称正定（SPD）流形，这在数据科学和统计学等各个领域都很有用。这项工作开辟了一个研究机会，建议的映射扩展到其他知名的流形。
2021-10-03 cs.LG cs.NA math.NA
