Generation of Union Closed Sets and Moore families
在这篇文章中，我们将描述一个算法，建设性地枚举非同构的并闭集和摩尔集。本文确定了其他作者提出的n ≤ 6元并闭集与Moore集同构类的个数，并给出了7元并闭集与Moore集同构类的个数。由于同构类数量的巨大增长，在可预见的未来，8个或更多元素的构造性枚举似乎不太可能。
2017-01-13 math.CO
Union-Free Families of Subsets
本文讨论了集合$[n] = \{ 1, 2, ..., n\}$中有多少个非空子集可以被选择，使得没有一个被选择的子集是其他一些被选择的子集的并集的问题。设$M(n)$为我们可以选择的子集的最大数量。我们构建了一系列这样的家庭，这导致了$M(n)$的下界。我们还给出了$M(n)$的上界。最后，我们对$M(n)$下界的紧性提出了几点说明。
2015-10-31 math.CO
On the number of union-free families
一个集合族是无并集的，如果族中没有三个不同的集合使得其中两个集合的并集等于第三个集合。Kleitman证明了每一个无并集的族的规模至多为$(1+o(1))\binom{n}{n/2}$。后来，Burosch-Demetrovics-Katona-Kleitman-Sapozhenko要求的数字$α(n)$这样的家庭，他们证明，$2^{\binom{n}{n/2}}\leq α(n) \leq 2^{2\sqrt{2}\binom{n}{n/2}(1+o(1))}$。他们证明，常数$2\sqrt{2}$可以从右手边的指数中删除。我们证明了他们的猜想制定一个新的容器型定理的根超图。
2016-01-14 math.CO
Two Results on Union-Closed Families
我们表明，有一些绝对常数$c>0$，这样，对于任何并闭家庭$\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$，如果\mbox{$|\mathcal{F}| \geq (\frac{1}{2}-c)2^n$}，那么有一些元素$i \in [n]$出现在至少一半的集合$\mathcal{F}$。我们还表明，对于任何联合封闭的家庭$\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$，集的数量不在$\mathcal{F}$，覆盖一组在$\mathcal{F}$是最多$2^{n-1}$，并提供例子，不等式是紧的。
2017-08-04 math.CO
Minimum density of union-closed families
设F是有限并闭集族，其最大集包含n个元素。在\cite{Wojcik92}中，Wojcik将F的密度定义为F的平均集合大小与n的比率，并证明当n接近无穷大时，所有最大集合包含n个元素的并闭族的最小密度为（1 + o（1））\log_2（n）/（2n）。利用Reimer \cite{Reimer03}的一个结果证明了F的密度总是至少为log_2（n）/（2n），从而验证了Wojcik的猜想.作为推论，我们证明了对于n个\geq 16，某些元素必须出现在F的至少\sqrt{(\log_2(n))/n}（|F| /2）个集合中.
2011-06-02 math.CO
Set systems without a simplex, Helly hypergraphs and union-efficient families
我们提出了等价的配方有关的概念集家庭的每一个子家庭的空交集有界子集合空交集。在此，我们总结了这类家庭的最大规模的相关问题的进展。在这项工作中，我们解决了一个问题的Tuza的非平凡$q$ -Helly家庭的边界情况下，通过应用Karamata的不等式，并确定最小尺寸的$2$ -自中心图的每对顶点的公共邻域包含一个集团的大小$q-2$。
2022-10-28 math.CO
Chain Conditions and Optimal Elements in Generalized Union-Closed Families of Sets
本文通过引入链条件和最优元素，证明在特定条件下并集闭猜想对有限和无限家族均成立，并给出了非并集闭的家族示例。
2025-12-02 math.CO
Graph generated union-closed families of sets
设G是一个顶点为V，边为E的图.设F是由E生成的并闭集族。则F是V的没有孤立点的子集族。定理：有一条边e属于E，使得|{U属于F|属于你的|=< 1/2 |F|。这等价于下面的断言：如果H是由最大度为2的集合族生成的并闭族，则存在一个$x$，使得|（属于H）|x属于u|> 1/2 |H|。这是并闭集猜想的一个特例。为了正确理解这一结果，本文对并闭集猜想的研究进行了简要的概述。给出了图生成集族定理的一个强证明。这个证明依赖于F的局部性质的分析和Kleitman引理的应用。许多证明适用于任意的并闭族，并且可以用来获得|{U属于F|属于你的|/ |F|。
1994-09-16 math.CO
Symmetric Union Closed Families
本文证明具有特定对称性的图及其相关图类（如圆柱网格图和环面网格图）满足并闭猜想，并利用对称性论证简化了循环平移生成并闭族的已知证明，扩展了满足该猜想的并闭族范围。
2024-11-10 math.CO
Multiply union families in $\mathbb{N}^n$
令$A\subset \mathbb{N}^{n}$是逐$r$的$s$并集族，即具有非负整数的$n$分量的序列族，使得对于$A$中的任何$r$序列，那些序列中每个分量的最大值的总和至多为$s$ .我们确定的最大尺寸的$A$和它的唯一极值配置提供（i）$n$是足够大的固定$r$和$s$，或（ii）$n=r+1$。
2016-06-02 math.CO
Entropy bounds and global couplings for union-closed families
通过计算机辅助证明，结合独立与条件独立采样及全局耦合，证明了有限并闭族中某元素出现频率至少为0.38288525，并给出依赖族大小的额外频率界。
2026-09-09 math.CO
An asymptotic version of the union-closed sets conjecture
我们证明了并闭族$A \subset 2^{\{1,2, \ldots, n\}}$的补数$2^{\{1,2,\ldots, n\}} \setminus A$的最大可能平均集大小是$\tfrac{n+1}{2}$。利用同样的证明，我们得到了并闭族补的平均频率的一个精确的上界。这意味着一个渐近版本的联合闭集猜想，制定补充的联合闭家庭。
2020-04-30 math.CO
A stability result for the union-closed size problem
一个集合族称为并闭的，如果只要$A$和$B$是这个集合族的集合，那么$A\cup B$也是这个集合族的集合。长期存在的并闭猜想指出，如果$[n]$的子集族是并闭的，则某些元素至少出现在该族的一半集合中。一个自然的弱化是并闭猜想对大族成立;也就是说，对于某个常数$p_0$，族至少包含$p_02^n$集。这个方向的第一个结果出现在Balla，Bollobás和Eccles \cite{BaBoEc}最近的一篇论文中，他们证明了至少包含$\frac{2}{3}2^n$集的并集闭族满足猜想-他们通过确定给定大小的并集闭族中一个集合的最小可能平均大小来证明这一点。然而，该论文中使用的方法不能证明比$\frac{2}{3}$更好的常数。在这里，我们提供了一个稳定性的主要定理\cite{BaBoEc}的结果，因此，我们证明了联合封闭猜想的家庭至少$(\frac{2}{3}-c)2^n$集，为一个积极的常数$c$。
2013-11-10 math.CO
Local Configurations in Union-Closed Families
本文研究了并集闭集猜想，求得了最小整数$FC(k,n)$的新值与界限，回答了Vaughan等人的问题，并通过推广Poonen定理引入局部构型判据，为许多先前未知的集族类别证明了该猜想。
2024-10-14 math.CO
Frequent elements in union-closed set families
本文结合 Gilmer 的熵方法与 Knill 的组合论证，证明了 Nagel 提出的关于并闭集族中第 k 个最常见元素出现频率的推广猜想，并刻画了取等集族及无穷极限下的渐近下界。
2025-07-11 math.CO
Stabilities for non-uniform $t$-intersecting families
本文在极值组合学的集合相交问题领域，进一步拓展$s$-并族的极值结果，确定了既不包含于Katona族也不包含于Frankl族的$s$-并族的最大规模，并刻画了所有达到上界的极值族。
2024-10-07 math.CO
Notes on the Union Closed Sets Conjecture
本文研究了并集封闭集猜想的两个新方向：探讨集族中所有元素的频率以提出推广问题，并研究等价结构以得到猜想的弱化版本，同时提出了新的开放问题。
2023-04-04 math.CO
Largest family without A union B contained in C intersect D
设F是n元集合的子集族，不包含四个不同的成员，使得A并B包含在C交D中.证明了在此条件下F的最大尺寸等于两个最大的n阶二项式系数之和。最大的家庭也有特点。同时给出了这类族的一个LYM型不等式。
2004-07-22 math.CO
Size and structure of large $(s,t)$-union intersecting families
一个集合族$\F$称为交的，如果$\F$中的任何两个集合有非空交。著名的Erd{ \H o}s-Ko-Rado定理确定了$n$ -集$X$上的最大相交$k$ -集族的大小和结构。$(s,t)$ -并集相交族是$n$ -集合$X$上的$k$ -集合族，使得对于这个族中的任何$A_1,\ldots,A_{s+t}$，$\left(\cup_{i=1}^sA_i\right)\cap\left(\cup_{i=1}^t A_{i+s}\right)\neq \varnothing.$令$\ell(\F)$是$\F$中的集合的最小数目，使得通过移除它们得到的子族是相交的.本文对足够大的$n$，刻画了$(s,t)$ -具有最大可能尺寸的并集相交族和$\ell(\F)\geq s+β$的尺寸和结构.这使我们能够找出一些大的和最大的$(s,t)$ -并集相交的家庭的大小和结构。我们的结果是Erd{ \H o}s-Ko-Rado定理的一些最近推广的非平凡扩展，例如Han和Kohayakawa定理2017，它发现了第三大相交族的结构，Kostochka和Mubayi定理2017，以及最近的Kupavskii定理2018，其两个结果都确定了$i$的$k$第十大交叉家族的大小和结构-设置为$i\leq k+1$。特别是，我们证明了一个Hilton-Milner型稳定性定理对$(1,t)$ -union相…
2019-09-06 math.CO
Note on the number of edges in families with linear union-complexity
我们给出了一个简单的论证，证明了平面上具有线性并复杂度的$n$集族的交图$G$的边数为$O(ω(G)n)$。特别地，我们证明了伪圆族的交图$G$的$χ(G)\leq \text{col}(G)< 19ω(G)$，改进了以前的一个界.
2014-10-20 cs.CG math.CO
On the union complexity of families of axis-parallel rectangles with a low packing number
设R是一族n轴平行的矩形，其堆积数为p-1，这意味着在任意p个矩形中，有两个矩形具有非空交集。我们证明了R的并复杂度最多为O（n+p^2），并且R的（<=k）级复杂度最多为O（kn+k^2p^2）。两个上界都是紧的。
2017-02-02 cs.CG math.CO
A proof of Frankl's conjecture on cross-union families
本文研究交叉并子集族的平均规模上界，证明 Frankl 猜想的强形式：在相应条件下，算术平均的唯一极值结构是所有族均等同于 $[n-1]$ 的 $k$ 元子集族。
2023-04-24 math.CO
Further analysis on the second frequency of union-closed set families
本文针对 Nagel 关于并闭集族元素频率的强化猜想，利用线性规划进一步刻画 k=2 时集族不满足该猜想的情形。
2024-12-07 math.CO
Families of finite sets in which no set is covered by the union of the others
设F是由有限个非空集构成的有限个非空集族。我们证明了：（i）F满足标题条件当且仅当对每对不同的子族{A_1，.，A_r}，{B_1，...，B_s}，A_i的并不同于B_i的并. (ii)如果F满足标题的条件，则包含至少一个F集合的F的成员的并集的子集的数目是奇数。我们给出这些结果的两个应用，一个是数论，一个是交换代数。
2020-12-18 math.AC math.CO
The binomial norm of intersecting-union families
Central South University（中南大学）
研究关于满足特定条件的族\(\mathcal{F}\subseteq 2^{[n]}\) 的卢贝尔界问题，核心方法是用\(p\)偏差测度框架取代循环置换论证并积分，主要贡献是证明弗兰克尔猜想并确定极值族，改进了圆法的估计。
2026-07-23 math.CO
Minimal weight in union-closed families
设Ω是有限集，S是Ω上的集合系统.对于Ω中的x，我们用d_{S}（x）表示S中包含x的成员数。一个长期存在的猜想Frankl指出，如果S是并闭的，那么d（x）\geq |S| /2，其中x在Ω中。我们考虑一个相关的问题。将S的权重定义为w（S）= \sum_{A in S} |A|。假设S是并闭的。w（S）能有多小？Reimer证明了w（S）\geq |S| \log_{2} |S| /2，并且这个不等式是尖锐的。在本文中，我们表明如何他的界可能会改善，如果我们有一些额外的信息域Ω的S：如果S分离点Ω，那么w（S）\geq \binom{|Ω|}{2}。当Ω> \sqrt{|S|\log_2 |S|}时，这比Reimer定理更强.此外，我们构造了一族例子，证明了除了在区域W（S）上，W（S）上的组合界是紧的|Ω| =Θ（\sqrt{|S|\log_2 |S|}），其中它可以偏离乘法因子2。我们的证明也给出了平均度的一个下界：如果S是一个点分离并闭族，那么它的定义域上的平均度至少是1/2 \sqrt{|S| \log_2 |S|} + O（1），这是最好的可能，除了乘法因子为2。
2011-01-13 math.CO
On the union of intersecting families
一个集合族称为\emph{intersecting}，如果族中的任何两个集合有非空交集。在1973年，Erdés提出的问题，确定最大可能的大小联盟的$r$不同的交叉家庭的$k$ -元素子集的$n$ -元素集，为每个三元组的整数$(n,k,r)$。我们在这个问题上取得了进展，证明了对于任何固定的整数$r \geq 2$和任何$k \leq (\tfrac{1}{2}-o(1))n$，如果$X$是一个$n$ -元素集，和$\mathcal{F} = \mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2 \cup \ldots \cup \mathcal{F}_r$，其中每个$\mathcal{F}_i$是一个交叉家庭的$k$ -元素子集的$X$，然后$|\mathcal{F}| \leq {n \choose k} - {n-r \choose k}$，与平等只有当$\mathcal{F} = \{S \subset X:\ |S|=k,\ S \cap R \neq \emptyset\}$的一些$R \subset X$与$|R|=r$。这是最好的可能达到$o(1)$项的大小，并且改进了Frankl和Füredi在1987年的结果，他们在更强的假设$k < (3-\sqrt{5})n/2$下，在$r=2$的情况下得到了相同的结论。我们的证明利用等周，影响为基础的方法最近…
2018-12-21 math.CO
Characterizing 3-sets in Union-Closed Families
一个集合族是并闭的（UC），如果族中任意两个集合的并也在族中。Frankl的UC集合猜想指出，对于任何非空UC族$\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$，使得$\mathcal{F} \neq \left\{\emptyset\right\}$，存在至少一半的$\mathcal{F}$集合中包含的元素$i \in [n]$。莫里斯的3-集猜想指出，对于任何包含它们的UC族，确保Frankl猜想满足的最小数量的不同3-集（其并集是$n$ -集）是对所有$n \geq 4$的$ \lfloor{n/2\rfloor} + 1$。对于UC族$\mathcal{A} \subseteq 2^{[n]}$，Poonen定理表征了$[n]$上的权重的存在性，该权重确保包含$\mathcal{A}$的所有UC族满足Frankl猜想，然而，即使对于小$n$，针对特定$\mathcal{A}$确定这样的权重也是不平凡的。我们分类家庭的3-集$n \leq 9$使用多面体的解释Poonen定理和精确的合理整数规划。这就给出了3-集猜想的一个证明。
2019-03-06 cs.DM math.CO
Isomorphism in Union-Closed Sets
本文证明纯并闭族之间的同构可由超同构实现，从而说明并闭族可由其格结构在同构意义下唯一重构，为 Frankl 并闭集合猜想提供新视角。
2025-09-19 math.CO
A Cubical Perspective on Complements of Union-Closed Families of Sets
本文从立方集视角研究简单根集族，为有限集子集族构造自然立方集，证明包含空集的简单根集族对应的立方集无环，并利用 Euler-Poincarè 公式导出满足该族的一个公式及初等证明。
2024-09-25 math.AT math.CO
Suboptimal $s$-union familes and $s$-union antichains for vector spaces
设$V$是有限域$\mathbb{F}_{q}$上的$n$维向量空间，$\mathcal{L}(V)=\bigcup_{0\leq k\leq n}\left[V\atop k\right]$是$V$的所有子空间的集合.一个子空间族$\mathcal{F}\subseteq \mathcal{L}(V)$是$s$ -并，如果dim $(F+F')\leq s$对所有的$F$成立，$F'\in\mathcal{F}$ .如果$F\nleq F'$对任何两个不同的$F, F'\in \mathcal{F}$成立，则家族$\mathcal{F}\subseteq \mathcal{L}(V)$是反链。$\mathcal{L}(V)$中的最佳$s$ -联合族已经由Frankl和Tokushige在$2013$中确定。Frankl最近建立了$\mathcal{L}(V)$中$s$ -结合$(s<n)$反链的基数上限，但最佳结构尚未显示.本文确定了向量空间的所有次优$s$ -并族，并研究了$s$ -并反链.对于$s=n$或$s=2d<n$，我们完全确定了所有的最优和次优$s$ -联合反链。对于$s=2d+1<n$，我们证明了一个最佳的反链是$\left[V\atop d\right]$或包含在$\left[V\atop d\right]\bigcup \left[V\atop d+1\righ…
2022-07-14 math.CO
Maximal Symmetric Difference-Free Families of Subsets of $[n]$
在\cite{FF}中研究了$[n]=\{1,... n\}$子集的无并集族。本文给出了$[n]$的极大无{ \it对称差}子集族的一个完整刻画.
2010-10-13 math.CO
An averaging result for union-closed families of sets
本文研究了集合并闭族的平均大小问题，证明了在可分且高度为4、最小不可约子族大小不超过2的条件下，成员集合的平均大小至少为 $n/2$，并验证了该高度界限的最大性。
2025-09-16 math.CO
An Upper Bound on the Sizes of Multiset-Union-Free Families
设$\mathcal{F}_1$和$\mathcal{F}_2$是一个$n$ -元集合的两个子集族.如果对于任何$A,B\in \mathcal{F}_1$和$C,D\in \mathcal{F}_2$，多集$A\uplus C$和$B\uplus D$不同，除非$A = B$和$C= D$都不同，我们说$\mathcal{F}_1$和$\mathcal{F}_2$是无多集并的。本文给出了多集并自由对的最大尺寸的一个新的上界，改进了Urbanke和Li的一个结果。
2014-12-29 cs.DM cs.IT math.CO
New Conjectures for Union-Closed Families
弗兰克尔猜想，也被称为并闭集猜想，指出在任何有限的非空并闭族中，至少有一半的集合中存在一个元素。从优化的角度来看，可以证明$2a$是$n$元素的基集合上的并闭族中的集合数量的上界，其中每个元素对于所有$a,n\in \mathbb{N}^+$至多在$a$集合中。类似地，可以证明在具有$m$集合和$n$元素的（非空）并闭族中包含最频繁元素的集合的最小数目对于任何$m,n\in \mathbb{N}^+$至少是$\frac{m}{2}$。将这些问题表述为整数规划，我们观察到我们计算的最优值不随$n$而变化。我们将这些观测结果形式化，并表明它们不等同于Frankl猜想，但如果被证明是真的，仍然具有广泛的影响。最后，我们证明了特殊情况下的新的结构，并讨论了可能的方法来解决它们完全。
2016-08-01 math.CO math.OC
On union-closed families with prescribed number of $k$-sets
New Uzbekistan University（新乌兹别克斯坦大学）
本文研究并封闭族中大小至少为 n 的成员最小数量问题，证明 Leck--Roberts--Simpson 加权猜想在多个条带和条件下成立，并给出充分界。
2026-09-11 math.CO
FC-families, and improved bounds for Frankl's Conjecture
一个集合族F称为并闭的，如果对F中的每个A和B，A \cup B在F中。弗兰克尔猜想指出，给定任何有限并闭集合族，不全是空的，至少有一半的集合中包含一个元素。在这里，我们证明了猜想持有家庭包含3个3-子集的5-集，4个3-子集的6-集，或8个4-子集的6-集，扩展工作Poonen和Vaughan。作为应用，我们证明了最大集合至多有9个元素的猜想，推广了Gao和Yu的一个结果。我们还提出了几个悬而未决的问题。
2007-02-13 math.CO
Interlacing Families IV: Bipartite Ramanujan Graphs of All Sizes
我们证明了存在任何度和顶点数的二部Ramanujan图。该证明基于分析随机完美匹配的联合的期望特征多项式，并且涉及三个成分：（1）一个正则图与另一个正则图的随机置换之和的期望特征多项式的公式，（2）证明了这个期望多项式是实根的，并且在这个和中考虑的多项式族是交错族，（3）随机完美匹配并的期望特征多项式的根的强界，利用我们最近引入的有限自由卷积的框架建立。
2015-05-29 math.CO
Conjectures on union-closed families of sets
本文研究了并闭集族猜想类 UC_x，证明了当 x 属于特定区间时该猜想成立，并探讨了 Frankl 猜想的两个加强形式。
2024-09-24 math.CO
Note on the union-closed sets conjecture
并闭集猜想指出，如果一个集合族$\mathcal{A} \neq \{\emptyset\}$是并闭的，则存在属于$\mathcal{A}$中至少一半集合的元素。2001年，D. Reimer证明了一个并闭家族$\mathcal{A}$的平均集合大小至少是$\frac{1}{2} \log_2 |\mathcal{A}|$。为了做到这一点，他证明了所有的并闭族都满足一个特定的条件，而这个条件又意味着前面的界。在这里，回答T. Gowers' polymath项目的联合闭集猜想，我们表明，Reimer的条件本身是不足以暗示，有一个元素在至少一半的集。
2017-04-24 math.CO
Hilton-Milner Theorem for the $r$-independent sets in a union of cliques
本文提出了一种针对多个完全子图并集中的 $r$-独立集的希尔顿-米勒定理，扩展了之前对深度二爪图的研究，验证了Holroyd--Talbot猜想。
2025-11-24 math.CO
Intersecting families of extended balls in the Hamming spaces
集合$X$的子集的族$\mathcal{F}$是$t$-相交的，如果对于每个$A_i, \; A_j \in \mathcal{F}$都有$\vert A_i \cap A_j \vert \geq t$。我们在汉明几何中研究相交族。给定$X=\mathbb{F}_q^3$一个有限域$\mathbb{F}_q$上的向量空间，考虑一个族，其中每个$A_i$是一个扩展球，即$A_i$是所有以向量的标量倍数为中心的球的并集。讨论了扩展球的几何行为。作为主要结果，我们研究了一个“大”的安排向量的扩展球是“高度相交”。考虑下面的覆盖问题：$\mathbb{F}_q^3$的子集$\mathcal{H}$是短覆盖，如果所有以$\mathcal{H}$的元素为中心的扩展球的并集是整个空间。作为该工作的一个应用，对$q$的一些实例的短覆盖的最小基数进行了改进。
2014-04-01 math.CO
Cross-intersecting subfamilies of levels of hereditary families
如果$A$和$B$至少有$t$公共元素，则集合$A$ $t$ -与集合$B$相交。如果对于具有$i \neq j$的$\{1, 2, \dots, k\}$中的每个$i$和$j$，$\mathcal{A}_i$ $t$ -中的每个集合与$\mathcal{A}_j$中的每个集合相交，则集合族$\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \dots, \mathcal{A}_k$是交叉- $t$-相交的。极值集理论中的一个活跃问题是确定给定有限族$\mathcal{F}$的$k$交叉- $t$ -相交子族的结构，这些子族的大小和或乘积是最大的。对于家族$\mathcal{H}$，$\mathcal{H}$的第$r$层$\mathcal{H}^{(r)}$是$\mathcal{H}$中大小为$r$的所有集合的家族，而对于$s \leq r$，$\mathcal{H}^{(s)}$被称为$\mathcal{H}$的$(\leq r)$层.我们解决的问题，任何联盟$\mathcal{F}$的$(\leq r)$ -任何联盟$\mathcal{H}$的权力集的大小至少有一定的整数$n_0$，其中$n_0$是独立的$\mathcal{H}$和$k$，但取决于$r$和$t$（对$r$的依赖是不可避免的，但对$t$的依赖是可以避免的）。我们的主要结果断言，只有两种可能的最佳配置的总…
2018-05-14 math.CO
The number of abundant elements in union-closed families without small sets
本文研究并闭族中丰富元素的数量，证明在最小集合大小 k 接近最大集合大小 n 时至少有 k 或 k-1 个丰富元素，并构造出恰好达到这些下界的反例，同时阐明 Cui-Hu 猜想与 Frankl、Poonen 猜想之间的关系。
2023-05-30 math.CO
Enumerating maximal consistent closed sets in closure systems
给定有限集上的蕴涵基、闭包系统的一个著名表示和一个不相容二元关系，我们感兴趣的是枚举所有极大相容闭集（简称MCCEnum）的问题.我们表明，MCCEnum不能解决在输出多项式时间，除非$\textsf{P} = \textsf{NP}$，即使是下界格。给出了求解常Carathéodory数闭包系统MCCEnum的增量多项式时间算法。最后，我们证明了在双原子原子闭包系统中，如果最小生成元遵守原子模格中成立的独立条件，则MCCEnum可以在输出准多项式时间内求解。对于在管接头下闭合的闭合系统（即，分布式），MCCEnum先前已通过多项式延迟算法求解。
2021-02-05 cs.CC cs.DM math.CO
Resolving Erdős-Ulam Monochromatic Union-Closed Family Conjectures
Electro-Gravitational Space Propulsion Laboratory (EGSPL)（电引力空间推进实验室）；Maulana Azad National Institute of Technology Bhopal（莫拉纳·阿扎德国家技术学院博帕尔分校）；National Taiwan University（国立台湾大学）
本文证明了 Erdős-Ulam 关于单色并封闭族的两个猜想：任何二染色中均存在大小超多项式增长的单色并封闭族，且某些染色无指数大小族，结果对任意颜色数成立并已在 Lean 中验证。
2026-10-05 math.CO math.NT
The union-closed sets conjecture for non-uniform distributions
本文将 Frankl 并闭集猜想推广到非均匀概率分布，证明无穷多种分布下的版本，并在交闭形式中由逆温度有正下界的 Maxwell–Boltzmann 分布推出结论。
2023-06-07 cs.IT math.CO math.IT
Degree-doubling graph families
设G是一个一致度为2的n-顶点图族，且任意两个成员图的并的度为4。我们确定的首项在渐近的最大基数这样的家庭。几个类似的问题进行了讨论。
2012-08-09 cs.IT math.CO math.IT
On the Cryptomorphism between Davis' Subset Lattices, Atomic Lattices, and Closure Systems under T1 Separation Axiom
在本文中，我们计数集封闭系统（也称为摩尔家庭）的情况下，所有的单元素集是封闭的。特别地，我们给出了大小为$n=6$的基集的严格族（包括空集）和非严格族的数目。我们还提供了这样的不等价的摩尔家庭的数量相对于所有排列的基础设置为$n=6$。在OEIS和现有文献中的检索显示，发现的数字与D的条目一致。M.~ Davis的集合并格（\seqnum{A235604}，直到$n=5$）和$|\mathcal L_n|$，$n$原子上的原子格数，由S.地图（最多$n=6$）。因此，我们研究所有这些情况下，建立一对一的对应关系，它们之间通过伽罗瓦推理和形式概念分析，并提供给读者我们的两个枚举算法，以及这些算法的结果用于额外的测试。其他结果包括$n=6$的最大无交族尺寸加上我们对$n=7$的猜想，原子格数的上界$\mathcal L_n$，以及基于极格理论的$\mathcal L_n$的一些结构性质.
2022-09-25 cs.DC cs.DM cs.DS
The Linear Relaxation of an Integer Program for the Union-Closed Conjecture
弗兰克尔猜想，也被称为并闭集猜想，指出在任何有限的非空并闭族中，至少有一半的集合中存在一个元素。令$f(n,a)$是$n$元素的基集上的并闭族中的最大集合数，其中每个元素对于某些$a,n\in \mathbb{N}^+$至多在$a$集合中。证明所有$a, n \in \mathbb{N}^+$的$f(n,a)\leq 2a$等价于证明Frankl猜想。通过考虑Pulaj，Raymond和Theis在New Conjectures for Union Closed Families中提出的整数规划公式的线性松弛，我们证明了$O(a^2)$是$f(n,a)$的一个上界.我们还提供了可以加强这一结果的不同方法。此外，我们还给出了$f(n,2^{n-1}-1)=2^n-n$ .
2020-04-10 math.CO math.OC
Covering the Baire space by families which are not finitely dominating
Baire空间中的max{b，g}个非双支配族的并不是支配族是相容的（相对于ZFC）。特别地，对于每个非主超滤子U，约化超幂w^w/U的共尾性大于max{b，g}是一致的。该模型是由预言链条件强制构造的，我们给出了一个完整的介绍。
2010-10-31 math.CO math.GN math.LO
