Supersaturation in union-closed families of sets
该数学研究证明了特定大小并族中k-链数量的极小化条件，明确了极小化族的唯一存在范围，为并族理论提供了关键结论。
2026-07-30 math.CO
Generation of Union Closed Sets and Moore families
在这篇文章中，我们将描述一个算法，建设性地枚举非同构的并闭集和摩尔集。本文确定了其他作者提出的n ≤ 6元并闭集与Moore集同构类的个数，并给出了7元并闭集与Moore集同构类的个数。由于同构类数量的巨大增长，在可预见的未来，8个或更多元素的构造性枚举似乎不太可能。
2017-01-13 math.CO
Union-Free Families of Subsets
本文讨论了集合$[n] = \{ 1, 2, ..., n\}$中有多少个非空子集可以被选择，使得没有一个被选择的子集是其他一些被选择的子集的并集的问题。设$M(n)$为我们可以选择的子集的最大数量。我们构建了一系列这样的家庭，这导致了$M(n)$的下界。我们还给出了$M(n)$的上界。最后，我们对$M(n)$下界的紧性提出了几点说明。
2015-10-31 math.CO
On the number of union-free families
一个集合族是无并集的，如果族中没有三个不同的集合使得其中两个集合的并集等于第三个集合。Kleitman证明了每一个无并集的族的规模至多为$(1+o(1))\binom{n}{n/2}$。后来，Burosch-Demetrovics-Katona-Kleitman-Sapozhenko要求的数字$α(n)$这样的家庭，他们证明，$2^{\binom{n}{n/2}}\leq α(n) \leq 2^{2\sqrt{2}\binom{n}{n/2}(1+o(1))}$。他们证明，常数$2\sqrt{2}$可以从右手边的指数中删除。我们证明了他们的猜想制定一个新的容器型定理的根超图。
2016-01-14 math.CO
Minimum density of union-closed families
设F是有限并闭集族，其最大集包含n个元素。在\cite{Wojcik92}中，Wojcik将F的密度定义为F的平均集合大小与n的比率，并证明当n接近无穷大时，所有最大集合包含n个元素的并闭族的最小密度为（1 + o（1））\log_2（n）/（2n）。利用Reimer \cite{Reimer03}的一个结果证明了F的密度总是至少为log_2（n）/（2n），从而验证了Wojcik的猜想.作为推论，我们证明了对于n个\geq 16，某些元素必须出现在F的至少\sqrt{(\log_2(n))/n}（|F| /2）个集合中.
2011-06-02 math.CO
Set systems without a simplex, Helly hypergraphs and union-efficient families
我们提出了等价的配方有关的概念集家庭的每一个子家庭的空交集有界子集合空交集。在此，我们总结了这类家庭的最大规模的相关问题的进展。在这项工作中，我们解决了一个问题的Tuza的非平凡$q$ -Helly家庭的边界情况下，通过应用Karamata的不等式，并确定最小尺寸的$2$ -自中心图的每对顶点的公共邻域包含一个集团的大小$q-2$。
2022-10-28 math.CO
Chain Conditions and Optimal Elements in Generalized Union-Closed Families of Sets
Washington and Lee University（华盛顿与李大学）
本文通过引入链条件和最优元素，证明在特定条件下并集闭猜想对有限和无限家族均成立，并给出了非并集闭的家族示例。
2025-12-02 math.CO
Graph generated union-closed families of sets
设G是一个顶点为V，边为E的图.设F是由E生成的并闭集族。则F是V的没有孤立点的子集族。定理：有一条边e属于E，使得|{U属于F|属于你的|=< 1/2 |F|。这等价于下面的断言：如果H是由最大度为2的集合族生成的并闭族，则存在一个$x$，使得|（属于H）|x属于u|> 1/2 |H|。这是并闭集猜想的一个特例。为了正确理解这一结果，本文对并闭集猜想的研究进行了简要的概述。给出了图生成集族定理的一个强证明。这个证明依赖于F的局部性质的分析和Kleitman引理的应用。许多证明适用于任意的并闭族，并且可以用来获得|{U属于F|属于你的|/ |F|。
1994-09-16 math.CO
Symmetric Union Closed Families
本文证明具有特定对称性的图及其相关图类（如圆柱网格图和环面网格图）满足并闭猜想，并利用对称性论证简化了循环平移生成并闭族的已知证明，扩展了满足该猜想的并闭族范围。
2024-11-10 math.CO
Multiply union families in $\mathbb{N}^n$
令$A\subset \mathbb{N}^{n}$是逐$r$的$s$并集族，即具有非负整数的$n$分量的序列族，使得对于$A$中的任何$r$序列，那些序列中每个分量的最大值的总和至多为$s$ .我们确定的最大尺寸的$A$和它的唯一极值配置提供（i）$n$是足够大的固定$r$和$s$，或（ii）$n=r+1$。
2016-06-02 math.CO
Entropy bounds and global couplings for union-closed families
通过计算机辅助证明，结合独立与条件独立采样及全局耦合，证明了有限并闭族中某元素出现频率至少为0.38288525，并给出依赖族大小的额外频率界。
2026-09-09 math.CO
On the Union-Closed Sets Conjecture
给出并闭集猜想的几个结果。
2017-06-19 math.CO
Almost $k$-union closed set systems
在最近的一次突破中，吉尔默证明了工会封闭猜想的常数因子。使用吉尔默的方法和额外的想法，大通和洛维特证明了几乎并闭集系统的最优结果。在这里，该结果被扩展到更高阶的工会。
2023-02-23 math.CO
Notes on the Union Closed Sets Conjecture
本文研究了并集封闭集猜想的两个新方向：探讨集族中所有元素的频率以提出推广问题，并研究等价结构以得到猜想的弱化版本，同时提出了新的开放问题。
2023-04-04 math.CO
An asymptotic version of the union-closed sets conjecture
我们证明了并闭族$A \subset 2^{\{1,2, \ldots, n\}}$的补数$2^{\{1,2,\ldots, n\}} \setminus A$的最大可能平均集大小是$\tfrac{n+1}{2}$。利用同样的证明，我们得到了并闭族补的平均频率的一个精确的上界。这意味着一个渐近版本的联合闭集猜想，制定补充的联合闭家庭。
2020-04-30 math.CO
Proof of Union-Closed Sets Conjecture
该研究完成了并闭集猜想的证明工作。
2024-09-11 math.CO
A stability result for the union-closed size problem
一个集合族称为并闭的，如果只要$A$和$B$是这个集合族的集合，那么$A\cup B$也是这个集合族的集合。长期存在的并闭猜想指出，如果$[n]$的子集族是并闭的，则某些元素至少出现在该族的一半集合中。一个自然的弱化是并闭猜想对大族成立;也就是说，对于某个常数$p_0$，族至少包含$p_02^n$集。这个方向的第一个结果出现在Balla，Bollobás和Eccles \cite{BaBoEc}最近的一篇论文中，他们证明了至少包含$\frac{2}{3}2^n$集的并集闭族满足猜想-他们通过确定给定大小的并集闭族中一个集合的最小可能平均大小来证明这一点。然而，该论文中使用的方法不能证明比$\frac{2}{3}$更好的常数。在这里，我们提供了一个稳定性的主要定理\cite{BaBoEc}的结果，因此，我们证明了联合封闭猜想的家庭至少$(\frac{2}{3}-c)2^n$集，为一个积极的常数$c$。
2013-11-10 math.CO
Union-closed Sets Conjecture Holds for Height No More Than 3 and Height No Less Than N-1
对于任意给定的n元m集并闭族F，利用格论中的一个自然参数UC族的高数，讨论了并闭集猜想.本文称之为F（n，m）的高度数，记为H（F）.证明了对任意给定的并闭族F，若其高数H（F）不大于3或不小于小于n-1，则并闭集猜想成立.由于高度数H（F）是界于1至n之间的正整数。作为一种尝试性的方法和框架，如果我们能证明并闭集猜想对H（F）的所有可能值都成立，那么并闭集猜想就是真的。
2022-04-09 math.CO
Local Configurations in Union-Closed Families
本文研究了并集闭集猜想，求得了最小整数$FC(k,n)$的新值与界限，回答了Vaughan等人的问题，并通过推广Poonen定理引入局部构型判据，为许多先前未知的集族类别证明了该猜想。
2024-10-14 math.CO
Note: a counterexample to a conjecture of Gilmer which would imply the union-closed conjecture
在这个非常简短的说明中，我们给出了一个反例，最近的猜测吉尔默这将意味着工会关闭猜想。
2022-11-22 math.CO
Approximate union closed conjecture
一个集合系统被称为并闭的，如果对于集合系统中的任何两个集合，它们的并也在集合系统中。Gilmer最近证明了在任何并闭集系统中，某些元素至少属于集合的一个$0.01$分数，并证明了他的技术可以被推到常数$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。我们验证他的猜想;表明，它扩展到近似联盟闭集系统，几乎所有的集合对，他们的工会属于集系统;并表明，这种集系统的界限是最优的。
2022-11-21 math.CO
Note on the union-closed sets conjecture
并闭集猜想指出，如果一个集合族$\mathcal{A} \neq \{\emptyset\}$是并闭的，则存在属于$\mathcal{A}$中至少一半集合的元素。2001年，D. Reimer证明了一个并闭家族$\mathcal{A}$的平均集合大小至少是$\frac{1}{2} \log_2 |\mathcal{A}|$。为了做到这一点，他证明了所有的并闭族都满足一个特定的条件，而这个条件又意味着前面的界。在这里，回答T. Gowers' polymath项目的联合闭集猜想，我们表明，Reimer的条件本身是不足以暗示，有一个元素在至少一半的集。
2017-04-24 math.CO
Frequent elements in union-closed set families
本文结合 Gilmer 的熵方法与 Knill 的组合论证，证明了 Nagel 提出的关于并闭集族中第 k 个最常见元素出现频率的推广猜想，并刻画了取等集族及无穷极限下的渐近下界。
2025-07-11 math.CO
Stabilities for non-uniform $t$-intersecting families
本文在极值组合学的集合相交问题领域，进一步拓展$s$-并族的极值结果，确定了既不包含于Katona族也不包含于Frankl族的$s$-并族的最大规模，并刻画了所有达到上界的极值族。
2024-10-07 math.CO
A proof of the union-closed sets conjecture
我们提供了一个证明的联合闭集猜想，通过适当的改进的突破熵的方法介绍吉尔默。这里的新颖性是考虑$A$和$A\cup B$的凸组合，其中$A,B$是来自联合封闭族上的均匀分布的独立样本。
2023-02-08 math.CO
On the Union-Closed Set Conjecture
我们提供了一个简单的证明并闭集猜想，一个长期存在的开放问题，直接应用于图论，数论，和秩序理论的集合论。
2016-07-06 math.CO
Two Stronger Versions of the Union-closed Sets Conjecture
并闭集猜想（英语：Union closed sets conjecture）（Frankl's conjecture）指出，对于任何有限并闭的有限集族，除了只包含空集的族之外，存在一个元素属于族中至少一半的集合。本文引入了Frankl猜想的两个强版本，并给出了部分证明。介绍了三个相关问题。
2019-07-02 math.CO
The union-closed set conjecture is true
本文证明了 Peter Frankl 于 20 世纪 70 年代末提出的并闭集猜想：任何含非空集合的有限并闭族，都有元素至少出现在一半成员中。
2024-05-06 math.CO
The union-closed sets conjecture almost holds for almost all random bipartite graphs
弗兰克尔的并闭集猜想指出，在每一个集合的有限并闭集中，有一个元素包含在至少一半的成员集中（假设至少有两个成员）。这个猜想在图的方面有一个等价的公式：在每个至少有一条边的二部图中，两个色类都包含一个至多属于一半的最大稳定集的顶点。证明了对任意固定的边概率，几乎任意的随机二部图几乎满足Frankl猜想。
2013-02-28 math.CO
Largest family without A union B contained in C intersect D
设F是n元集合的子集族，不包含四个不同的成员，使得A并B包含在C交D中.证明了在此条件下F的最大尺寸等于两个最大的n阶二项式系数之和。最大的家庭也有特点。同时给出了这类族的一个LYM型不等式。
2004-07-22 math.CO
Size and structure of large $(s,t)$-union intersecting families
一个集合族$\F$称为交的，如果$\F$中的任何两个集合有非空交。著名的Erd{ \H o}s-Ko-Rado定理确定了$n$ -集$X$上的最大相交$k$ -集族的大小和结构。$(s,t)$ -并集相交族是$n$ -集合$X$上的$k$ -集合族，使得对于这个族中的任何$A_1,\ldots,A_{s+t}$，$\left(\cup_{i=1}^sA_i\right)\cap\left(\cup_{i=1}^t A_{i+s}\right)\neq \varnothing.$令$\ell(\F)$是$\F$中的集合的最小数目，使得通过移除它们得到的子族是相交的.本文对足够大的$n$，刻画了$(s,t)$ -具有最大可能尺寸的并集相交族和$\ell(\F)\geq s+β$的尺寸和结构.这使我们能够找出一些大的和最大的$(s,t)$ -并集相交的家庭的大小和结构。我们的结果是Erd{ \H o}s-Ko-Rado定理的一些最近推广的非平凡扩展，例如Han和Kohayakawa定理2017，它发现了第三大相交族的结构，Kostochka和Mubayi定理2017，以及最近的Kupavskii定理2018，其两个结果都确定了$i$的$k$第十大交叉家族的大小和结构-设置为$i\leq k+1$。特别是，我们证明了一个Hilton-Milner型稳定性定理对$(1,t)$ -union相…
2019-09-06 math.CO
Isomorphism in Union-Closed Sets
本文证明纯并闭族之间的同构可由超同构实现，从而说明并闭族可由其格结构在同构意义下唯一重构，为 Frankl 并闭集合猜想提供新视角。
2025-09-19 math.CO
Note on the number of edges in families with linear union-complexity
我们给出了一个简单的论证，证明了平面上具有线性并复杂度的$n$集族的交图$G$的边数为$O(ω(G)n)$。特别地，我们证明了伪圆族的交图$G$的$χ(G)\leq \text{col}(G)< 19ω(G)$，改进了以前的一个界.
2014-10-20 cs.CG math.CO
On Boolean polynomials and the Union-Closed Conjecture
构造布尔多项式ICC_{m,n}(X)将并封闭猜想转化为多项式为零的条件，并利用等价形式交封闭猜想进行研究。
2026-06-26 math.CO
On the union complexity of families of axis-parallel rectangles with a low packing number
设R是一族n轴平行的矩形，其堆积数为p-1，这意味着在任意p个矩形中，有两个矩形具有非空交集。我们证明了R的并复杂度最多为O（n+p^2），并且R的（<=k）级复杂度最多为O（kn+k^2p^2）。两个上界都是紧的。
2017-02-02 cs.CG math.CO
A proof of Frankl's conjecture on cross-union families
本文研究交叉并子集族的平均规模上界，证明 Frankl 猜想的强形式：在相应条件下，算术平均的唯一极值结构是所有族均等同于 $[n-1]$ 的 $k$ 元子集族。
2023-04-24 math.CO
Further analysis on the second frequency of union-closed set families
本文针对 Nagel 关于并闭集族元素频率的强化猜想，利用线性规划进一步刻画 k=2 时集族不满足该猜想的情形。
2024-12-07 math.CO
A Note on the Union-closed Sets Conjecture
本文研究了行在特定逻辑算子下封闭的非零二进制矩阵中1不少于0的列的存在性，并由此推导出Union-Closed Set Conjecture的一个较弱版本。
2023-09-09 math.CO
Families of finite sets in which no set is covered by the union of the others
设F是由有限个非空集构成的有限个非空集族。我们证明了：（i）F满足标题条件当且仅当对每对不同的子族{A_1，.，A_r}，{B_1，...，B_s}，A_i的并不同于B_i的并. (ii)如果F满足标题的条件，则包含至少一个F集合的F的成员的并集的子集的数目是奇数。我们给出这些结果的两个应用，一个是数论，一个是交换代数。
2020-12-18 math.AC math.CO
The binomial norm of intersecting-union families
Central South University（中南大学）
研究关于满足特定条件的族\(\mathcal{F}\subseteq 2^{[n]}\) 的卢贝尔界问题，核心方法是用\(p\)偏差测度框架取代循环置换论证并积分，主要贡献是证明弗兰克尔猜想并确定极值族，改进了圆法的估计。
2026-07-23 math.CO
Better bounds for the union-closed sets conjecture using the entropy approach
本文结合 Sawin 的相关样本与 Gilmer 的熵方法，改进了并闭集猜想成立的已知常数界，并分析了熵方法的直觉与局限。
2025-02-16 math.CO
On the lattice formulation of the union-closed sets conjecture
本文研究并集闭集猜想的格结构，提出关于最小反例的必要条件。
2025-03-01 math.CO
An improved lower bound for the union-closed set conjecture
本研究针对并闭集猜想的下界问题，改进Gilmer的方法并引入精确估计，将元素出现比例的下界从0.01提升至约0.38，还提出可进一步提升下界的思路，同时证否了Gilmer的一个相关猜想。
2023-06-19 math.CO
Improved Lower Bound for Frankl's Union-Closed Sets Conjecture
本文通过验证 Gilmer 猜想的一个显式不等式，将 Frankl 并闭集合猜想中元素出现频率的下界改进到约 0.38，其中单变量不等式情形由计算机计算完成。
2024-07-08 math.CO
Minimal weight in union-closed families
设Ω是有限集，S是Ω上的集合系统.对于Ω中的x，我们用d_{S}（x）表示S中包含x的成员数。一个长期存在的猜想Frankl指出，如果S是并闭的，那么d（x）\geq |S| /2，其中x在Ω中。我们考虑一个相关的问题。将S的权重定义为w（S）= \sum_{A in S} |A|。假设S是并闭的。w（S）能有多小？Reimer证明了w（S）\geq |S| \log_{2} |S| /2，并且这个不等式是尖锐的。在本文中，我们表明如何他的界可能会改善，如果我们有一些额外的信息域Ω的S：如果S分离点Ω，那么w（S）\geq \binom{|Ω|}{2}。当Ω> \sqrt{|S|\log_2 |S|}时，这比Reimer定理更强.此外，我们构造了一族例子，证明了除了在区域W（S）上，W（S）上的组合界是紧的|Ω| =Θ（\sqrt{|S|\log_2 |S|}），其中它可以偏离乘法因子2。我们的证明也给出了平均度的一个下界：如果S是一个点分离并闭族，那么它的定义域上的平均度至少是1/2 \sqrt{|S| \log_2 |S|} + O（1），这是最好的可能，除了乘法因子为2。
2011-01-13 math.CO
Strongly Regular Graphs From Unions of Cyclotomic Classes
利用分圆类的并和指数为2的高斯和，给出了有限域$\F_q$上强正则Cayley图的两个构造.特别地，我们得到了12个具有新参数的强正则图无限族。
2011-10-29 math.CO
On the union of intersecting families
一个集合族称为\emph{intersecting}，如果族中的任何两个集合有非空交集。在1973年，Erdés提出的问题，确定最大可能的大小联盟的$r$不同的交叉家庭的$k$ -元素子集的$n$ -元素集，为每个三元组的整数$(n,k,r)$。我们在这个问题上取得了进展，证明了对于任何固定的整数$r \geq 2$和任何$k \leq (\tfrac{1}{2}-o(1))n$，如果$X$是一个$n$ -元素集，和$\mathcal{F} = \mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2 \cup \ldots \cup \mathcal{F}_r$，其中每个$\mathcal{F}_i$是一个交叉家庭的$k$ -元素子集的$X$，然后$|\mathcal{F}| \leq {n \choose k} - {n-r \choose k}$，与平等只有当$\mathcal{F} = \{S \subset X:\ |S|=k,\ S \cap R \neq \emptyset\}$的一些$R \subset X$与$|R|=r$。这是最好的可能达到$o(1)$项的大小，并且改进了Frankl和Füredi在1987年的结果，他们在更强的假设$k < (3-\sqrt{5})n/2$下，在$r=2$的情况下得到了相同的结论。我们的证明利用等周，影响为基础的方法最近…
2018-12-21 math.CO
A Study On The Graph Formulation Of Union Closed Sets Conjecture
Indian Institute of Technology Hyderabad（印度理工学院海德拉巴分校）
研究并集封闭集猜想，通过连接集合与图的表述建立图论版本，证明相关定理，关注图的分解和悬挂顶点位置，将猜想有效性扩展到更广泛图结构类。
2026-07-21 math.CO
Characterizing 3-sets in Union-Closed Families
一个集合族是并闭的（UC），如果族中任意两个集合的并也在族中。Frankl的UC集合猜想指出，对于任何非空UC族$\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$，使得$\mathcal{F} \neq \left\{\emptyset\right\}$，存在至少一半的$\mathcal{F}$集合中包含的元素$i \in [n]$。莫里斯的3-集猜想指出，对于任何包含它们的UC族，确保Frankl猜想满足的最小数量的不同3-集（其并集是$n$ -集）是对所有$n \geq 4$的$ \lfloor{n/2\rfloor} + 1$。对于UC族$\mathcal{A} \subseteq 2^{[n]}$，Poonen定理表征了$[n]$上的权重的存在性，该权重确保包含$\mathcal{A}$的所有UC族满足Frankl猜想，然而，即使对于小$n$，针对特定$\mathcal{A}$确定这样的权重也是不平凡的。我们分类家庭的3-集$n \leq 9$使用多面体的解释Poonen定理和精确的合理整数规划。这就给出了3-集猜想的一个证明。
2019-03-06 cs.DM math.CO
The graph formulation of the union-closed sets conjecture
在1979年弗兰克尔提出，在有限的非平凡工会封闭集合的集合必须有一个元素，属于至少一半的集。我们证明了这等价于猜想，即在有限非平凡图中有两个邻顶点，每个顶点至多属于一半的最大稳定集。在这个图形公式中，其他特殊情况变得很自然。这个猜想对于非二部图是平凡成立的，并且证明了它对于弦二部图、次立方二部图、二部串平行图和二分圆区间图也成立.
2013-05-16 math.CO
Note on the union-closed sets conjecture and Reimer's average set size theorem
本文针对并闭集猜想与 Reimer 条件，提出了一种在成员集大小有任意固定下界时构造无穷多个不满足充裕条件反例的通用方法，并探讨了这些反例的相关性质及其与并闭集的差距。
2024-05-30 math.CO
The journey of the union-closed sets conjecture
我们调查的状态并闭集猜想。
2013-10-30 cs.DM math.CO
A Cubical Perspective on Complements of Union-Closed Families of Sets
本文从立方集视角研究简单根集族，为有限集子集族构造自然立方集，证明包含空集的简单根集族对应的立方集无环，并利用 Euler-Poincarè 公式导出满足该族的一个公式及初等证明。
2024-09-25 math.AT math.CO
Suboptimal $s$-union familes and $s$-union antichains for vector spaces
设$V$是有限域$\mathbb{F}_{q}$上的$n$维向量空间，$\mathcal{L}(V)=\bigcup_{0\leq k\leq n}\left[V\atop k\right]$是$V$的所有子空间的集合.一个子空间族$\mathcal{F}\subseteq \mathcal{L}(V)$是$s$ -并，如果dim $(F+F')\leq s$对所有的$F$成立，$F'\in\mathcal{F}$ .如果$F\nleq F'$对任何两个不同的$F, F'\in \mathcal{F}$成立，则家族$\mathcal{F}\subseteq \mathcal{L}(V)$是反链。$\mathcal{L}(V)$中的最佳$s$ -联合族已经由Frankl和Tokushige在$2013$中确定。Frankl最近建立了$\mathcal{L}(V)$中$s$ -结合$(s<n)$反链的基数上限，但最佳结构尚未显示.本文确定了向量空间的所有次优$s$ -并族，并研究了$s$ -并反链.对于$s=n$或$s=2d<n$，我们完全确定了所有的最优和次优$s$ -联合反链。对于$s=2d+1<n$，我们证明了一个最佳的反链是$\left[V\atop d\right]$或包含在$\left[V\atop d\right]\bigcup \left[V\atop d+1\righ…
2022-07-14 math.CO
