On two conjectures concerning Kemeny's constant of graphs
School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院）
本文针对直径为2的连通图，通过推导有效电阻估计，证实Kim等人2026年关于Kemeny常数为O(n)的猜想，还建立其与补图Kemeny常数乘积的Nordhaus-Gaddum界，证实另一相关猜想。
2026-08-20 math.CO
Families of graphs with twin pendent paths and the Braess edge
在无向图上的随机游动的上下文中，凯梅尼常数可以测量两个随机选择的顶点之间的随机游动的平均行进时间。我们感兴趣的图形，行为与直觉有关的Kemeny常数：特别是，我们研究图形与切割顶点，至少有两个分支的路径，关于是否插入一个特定的边缘到一个图形的结果增加Kemeny常数。我们提供了几种工具，用于确定这样的边缘在一个家庭的图形和analising渐近行为的家庭的倾向，有边缘;和类的特定图形作为例子。此外，渐近行为的家庭的树木。
2021-12-07 math.CO
The diameter of the uniform spanning tree of dense graphs
我们证明了在$n$中具有最小度线性的简单连通图在$n$顶点上的均匀生成树的直径是典型的$\sqrt{n}$阶.我们的证明的一个副产品，这是独立的利益，是在这样的图的Cheeger常数和光谱间隙是可比的。
2021-08-11 math.CO math.PR
The diameter of uniform spanning trees in high dimensions
我们证明了$n$顶点上的连通图的均匀生成树的直径满足一定的高维条件，通常像$Θ(\sqrt{n})$一样增长。特别是这个结果适用于扩展，有限环面$\mathbb{Z}_m^d$的尺寸$d \geq 5$，超立方体$\{0,1\}^m$，和小扰动。
2019-11-27 math.CO math.PR
The distribution of height and diameter in random non-plane binary trees
本研究致力于精确的分布分析的高度非平面未标记的二叉树（“水獭树”），当一个给定的大小的树采取等可能性。有根树的大小$n$的高度被证明承认一个限制θ分布，无论是在中央和地方的意义，以及服从中等以及大偏差估计。高度的近似值也得到了无根树直径的极限分布。证明依赖于一个精确的分析，在复平面和附近的奇异性，与有界高度的树生成函数。
2011-05-18 math.CO math.PR
The Exact Mixing Time for Trees with Fixed Diameter
该研究刻画了固定直径的n阶树上随机游走精确混合时间的极值结构，证明其最大值唯一由平衡双扫帚树取得。
2025-08-02 math.CO math.PR
Integral trees of odd diameters
如果一个图的邻接矩阵的所有特征值都是整数，则称该图为整图。最近，Csikvari证明了任何偶数直径的整树的存在性。在奇怪的情况下，整数树已经被构造成直径至多为7。本文证明了对每一个奇数n > 1，存在无穷多个直径为n的整树。
2010-11-21 math.CO
Sharp bounds for the number of maximal independent sets in trees of fixed diameter
我们得到了固定顶点数和直径的树中极大（包含下）独立集个数的精确下界和上界。所有的极值树被描述为同构。
2008-12-29 math.CO
Distance spectral radius of a tree with given diameter
对于连通图，距离谱半径是其距离矩阵的最大特征值。本文在所有给定阶数和固定直径的树中，完全刻画了具有最小距离谱半径的树。
2013-10-23 math.CO
On super edge-graceful trees of diameter four
在“On the super edge graceful trees of even orders”中，Chung、Lee、Gao和Schaffer提出了以下问题：刻画直径为4的树是超边优美的。在本文中，我们提供了超级边缘优美的标记，所有的毛毛虫，甚至尺寸龙虾的直径4，允许这样的标签。我们还为几个直径为4的奇数尺寸龙虾家庭提供超级边缘优美的标签。
2011-06-15 math.CO
On the Ramsey Numbers of Trees with Small Diameter
我们估计Ramsey数r（T）= r（T，T）的各种树木T，获得一个精确的值r（T）的大量树木的直径为3。此外，我们证明了所有直径为3的树都是Ramsey不饱和的，正如Balister，Lehel和Schelp在他们的文章“Ramsey unsaturated and saturated graphs”中定义的那样。"
2016-04-21 math.CO
Mixed, Multi-color, and Bipartite Ramsey Numbers Involving Trees of Small Diameter
在本文中，我们研究了直径为3的树（双星）与，分别是直径为2的树（星）、完全图和多个完全图。在双星与许多完全图的情况下，我们确定这个数字作为一个函数的拉姆齐数的完全图。我们还确定了双星的二分$k$色Ramsey数的增长顺序。
2014-04-06 math.CO
Extremal diameters of 3-coloring graphs of trees
Santa Clara University（圣克拉拉大学）
研究3染色图的极值直径，通过平衡标记的概念，确定树的3染色直径的最大和最小值及极值树的特征。
2026-01-03 math.CO
The Terminal Wiener Index of Trees with Diameter or Maximum Degree
树的末端Wiener指标是树的所有悬垂顶点对的距离之和，它是最近在系统发生树重建和树的邻域研究中出现的。本文给出了终端Wiener指标的一个明确的上界和下界，并刻画了所有达到这个上界和下界的极值树.此外，我们还研究了在最大度固定的$n$阶树中，达到最大终端Wiener指标的极值树的性质。
2015-10-12 math.CO
The Loebl-Komlos-Sos conjecture for trees of diameter 5 and for certain caterpillars
Loebl，Komlos和Sos证明了：如果图G的至少一半顶点的度至少为某个k，则每棵至多有k条边的树都是G的子图。我们证明了猜想的所有树的直径最多为5和一类毛虫。我们的结果暗示了上述类树T，F的Ramsey数r（T，F）的一个界.
2007-12-20 math.CO
A complete characterisation of vertex-multiplications of trees with diameter 5
Koh和Tay引入了一个新的图族，$G$顶点乘法，作为完全$n$ -部图的扩展。他们证明了$G$顶点乘法的基本分类分为三类$\mathscr{C}_0, \mathscr{C}_1$和$\mathscr{C}_2$。证明了直径至少为3的树的顶点乘法不属于类$\mathscr{C}_2$。此外，对于直径为$5$的树的顶点增殖，给出了$\mathscr{C}_0$的一些充要条件。本文在$\mathscr{C}_0$和$\mathscr{C}_1$中给出了直径为$5$的树的顶点乘法的完整刻画。
2020-07-13 math.CO
Nonexistence of Efficient Dominating Sets in the Cayley Graphs Generated by Transposition Trees of Diameter 3
设$d,n$是正整数，使得$d<n$，并且设$X^d_n$是由直径为$d$的转置树生成的Cayley图。已知每个具有$d<3$的$X^d_n$分裂成有效控制集。本文的主要结果是$X^3_n$不存在有效控制集。
2021-09-24 math.CO
A sharp threshold for minimum bounded-depth and bounded-diameter spanning trees and Steiner trees in random networks
在n阶完全图中，当每条边的权是指数随机变量时，Frieze证明了最小生成树的权趋于zeta（3）=1/1^3+1/2^3+1/3^3+1/2^3 + 1/2当n趋于无穷大时。我们认为生成树的深度限制为从一个指定的根k。证明了当k > log_2 log n+omega（1）时，最小有界深度生成树的权在n ->无穷大时仍趋于zeta（3），当k < log_2 log n时，权在log_2 log n-k中是双指数大的.寻找最小有界深度生成树是NP难的，但当k < log_2 log n - omega（1）时，一个简单的贪婪算法是渐近最优的，而当k > log_2 log n+omega（1）时，一个对最小（无界深度）生成树做微小改变的算法是渐近最优的。我们证明了类似的结果，最小有界深度斯坦纳树，树必须连接一个指定的一组m个顶点，可能会或可能不会包括其他顶点。特别地，当m = const * n时，如果k > log_2 log n+omega（1），则完全图上的最小有界深度Steiner树与最小Steiner树具有渐近相同的权重，并且如果1 <= k <= log_2 log n-omega（1），权重在期望和概率上都趋于（1-2^{-k}）sqrt{8 m/n} [sqrt{2 mn}/2^k]^{1/（2^k-1）}。当直径界为2k时，同样的结果也适用于最小有界直径Stein…
2011-05-05 cond-mat.stat-mech math.CO math.PR
The spectral radius of graphs without trees of diameter at most four
Nikiforov（LAA，2010）证明了对于给定的整数$k$，任何具有足够大的阶$n$且具有谱半径$μ(G)\geq μ(S_{n,k})$的图$G$包含所有阶$2k+2$的树，除非$G=S_{n,k}$，其中$S_{n,k}=K_k\vee \overline{K_{n-k}}$是阶$k$的完全图和阶$n-k$的空图的连接。在本文中，我们证明了猜想是正确的树的直径最多为4。
2018-08-02 math.CO
On the second largest adjacency eigenvalue of trees with given diameter
本文在给定顶点数和直径的树类中刻画了第二大邻接特征值的极值树，并重新讨论了树的谱中心及λ₂最大化证明，丰富了图族λ₂极值化研究。
2024-09-02 math.CO
New results on the Wiener index of trees with a given diameter
本文研究固定直径和阶数的树类中Wiener指数的最大值，证明当阶数满足一定条件时，最大Wiener指数由平衡双扫帚树唯一取得，结果在常数范围内精确。
2025-08-05 math.CO
Maximizing the Steklov eigenvalues on trees with a diameter constraint
School of Mathematical Sciences and LPMC, Nankai University（南开大学数学科学学院）；School of Mathematics, East China University of Science and Technology（华东理工大学数学学院）；Center for Combinatorics and LPMC, Nankai University（南开大学组合数学中心）
研究有限树T在直径D约束下Dirichlet到Neumann算子的第一个非零Steklov特征值λ₂(T,δΩ)，确定奇直径D=2r+1≥5的最优配置，提出广义近似锯齿树家族AS(r,q+2,c,t)。
2026-04-14 math.CO
Odd-graceful labelings of trees of diameter 5
图G的一个差点标号是图G的顶点的标号分配f，它对每个边xy导出权|f（x）-f（y）|.如果f是从V（G）到{0，1，…，2n-1}，使得诱导权重为{1，3，...，2n-1}。我们在这里表明，任何森林的组成部分是毛毛虫是奇优美的。我们还证明了每一棵直径不超过5的树都是奇优美的。
2008-07-23 math.CO
Laplacian eigenvalue distribution, diameter and domination number of trees
对于具有控制数$γ$的图$G$，Hedetniemi，Jacobs和Trevisan [European Journal of Combinatorics 53（2016）66-71]证明了$m_{G}[0,1)\leq γ$，其中$m_{G}[0,1)$表示$G$在区间$[0,1)$中的拉普拉斯特征值的数量。设$T$是直径为$d$的树。在本文中，我们表明，$m_{T}[0,1)\geq (d+1)/3$。然而，这样的下界对于一般的图是错误的。所有达到下界的树都是完全特征化的。此外，对于树$T$，我们建立了Laplacian特征值，直径和控制数之间的关系，通过显示$T$的控制数等于$(d+1)/3$当且仅当它恰好有$(d+1)/3$ Laplacian特征值小于1。作为应用，它还提供了一种新型的树，它显示了由于Hedetniemi，Jacobs和Trevisan不等式的尖锐性。
2022-12-10 math.CO
Diminimal families of arbitrary diameter
给定一棵树$T$，设$q(T)$是其基础图为$T$的对称矩阵中不同特征值的最小数目。众所周知，$q(T)\geq d(T)+1$，其中$d(T)$是$T$的直径，如果$q(T)=d(T)+1$，则称树$T$是二极小的。在本文中，我们提出了任何固定直径的双极小树的家庭。我们的证明是建设性的，使我们能够计算，对于任何diminimal树$T$的直径$d$在这些家庭，一个对称矩阵$M$与底层图形$T$的频谱有正是$d+1$不同的特征值。
2023-02-02 math.CO
New graceful diameter-6 trees by transfers
给定图$G$，$G$的标号是内射函数$f:V(G)\rightarrow\mathbb{Z}_{\ge 0}$。在标记$f$下，顶点$v$的标记是$f(v)$，并且边$uv$的诱导标记是$|f(u) - f(v)|$。如果顶点的标号是$\{0, 1, \ldots , |V(G)| - 1\}$，且边的导出标号是不同的，则标号$f$是优美的.图$G$是优美的，如果它有优美标号。优美树猜想，由Kotzig在1960年代后期提出，指出所有的树都是优美的。是否每个直径为6的树都有优美标号是一个公开问题。本文证明了：如果$T$是一棵中心顶点和根都是$v$的树，使得不在最后两层的每个顶点都有奇数个子树，并且$T$满足下列条件（a）-（e）之一，则$T$有优美标号$f$，其中有$f(v) = 0$：（a）$T$是直径为6的完全树;（b）$T$是直径为6的树，使得与$v$的距离为2的两个叶子都不是兄弟，并且与$v$的距离为2的每个叶子都有一个具有偶数个子女的兄弟;（c）$T$是直径- $2r$完全树，使得距离$v$的距离为$r - 1$的顶点的数目，具有偶数个子，不是$3\pmod{4}$ ;（d）$T$是一个直径- $2r$树，使得$r - 1$与$v$的距离（具有偶数个子节点）的顶点数不是$3\pmod{4}$，$r - 1$与$v$的距离没有两个叶子是兄弟姐妹，并且$r - 1$与$v$的…
2015-06-28 math.CO
Maximum number of spanning trees in bipartite graphs with a given diameter
Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学）；MIIT Key Laboratory of Mathematical Modelling and High Performance Computing of Air Vehicles（航空飞行器数学建模与高性能计算工信部重点实验室）；University of Niš（尼什大学）；University of Primorska（沿海大学）
本文确定了给定阶数和直径的二部图中生成树数量最多的所有图，为可靠二部网络设计提供极值刻画与结构参考。
2026-09-15 math.CO
On the palindromic Hosoya polynomial of trees
一个图$G$在$n$的顶点上，其直径为$D$，称为$H$ -回文图，如果对所有$k=0, 1, \dots, \left \lfloor{\frac{D}{2}}\right \rfloor$都有$α(G,k) = α(G,D-k)$，其中$α(G,k)$是距离为$k$的无序顶点对的数目。$α(G,k)$形成Hosoya多项式的系数。在1999年，Caporossi，Dobrynin，Gutman和Hansen证明了恰好有五棵$H$ -回文树是偶数直径的，并证明了不存在这样的奇数直径的树。我们对二部图证明了这个猜想。构造了一类直径为$6$的$H$ -回文树.
2021-12-21 math.CO
Irredundance Trees of Diameter 3
如果图G[D]的每个非孤立点在V-D中都有一个邻居不与D中的任何其他点相邻，则具有顶点集V的图G的顶点集D是无冗余的。上无冗馀数IR（G）是G的无冗馀集的最大基数; IR（G）-集是基数IR（G）的无冗馀集。G的IR-图以IR（G）-集为顶点集，集合A和B相邻当且仅当B可以由A通过A的一个顶点交换到B中的一个相邻顶点而得到。IR树是一个IR图，它是一棵树。我们刻画了直径为3的IR树，证明了这些图正是双星S（2n，2n），即，通过连接两个不相交的星K_{1,2n}的中心顶点而得到的树。
2021-04-23 math.CO
On a diameter bound for Cayley graphs generated by transposition trees
设$Γ$是由转置树生成的Cayley图。一个自然的问题是理解凯莱图的性质如何依赖于底层转置树的性质。我们在这里重点关注与直径和距离相关的问题。我们研究了一些相关的界限，并证明了他们的一些性质。这篇论文已被撤回，一个新的版本与这些结果和进一步的扩展是在abs/1111.3114
2011-11-19 cs.DM math.CO
Random spanning trees in random environment
National University of Singapore（新加坡国立大学）；University of Rome Tor Vergata（罗马托尔维加塔大学）
本文提出了一种名为随机环境中的随机生成树（RSTRE）的新生成树模型，该模型在逆温度（ disorder strength）β变化时介于均匀生成树和最小生成树之间。在具有n个顶点的完全图上，研究发现：在低 disorder 区域（β≤Cn/logn）中，随机生成树的直径通常为n^{1/2}量级，与均匀生成树相同；在高 disorder 区域（β≥n^{4/3}logn）中，直径通常为n^{1/3}量级，与最小生成树相同。作者推测当β=n^α（α∈(1,4/3)）时，直径为n^{γ+o(1)}量级，其中γ=γ(α)严格介于1/2和1/3之间。
2026-05-17 math.CO math.PR
Application of some techniques in Sperner Theory: Optimal orientations of vertex-multiplications of trees with diameter 4
Koh和Tay证明了$G$顶点乘法的基本分类，分为三类$\mathscr{C}_0, \mathscr{C}_1$和$\mathscr{C}_2$。他们还证明了任何直径至少为3的树的顶点乘法都不属于$\mathscr{C}_2$类。有趣的是，$G$顶点乘法是完全$n$ -部图的扩展，而Gutin巧妙地利用Sperner定理刻画了完全二部图。本文在$\mathscr{C}_0$（或$\mathscr{C}_1$）中研究了直径为$4$的树的顶点乘法，并展示了它与Sperner理论中问题的复杂联系，从而推广了Gutin的方法.令$s$表示中心顶点的顶点乘法。我们几乎完全证明了偶$s$的情况，并给出了奇$s\ge 3$的完整刻画。
2023-03-11 math.CO
The Graceful Tree Conjecture: a class of graceful diameter-6 trees
本文综述了优美树猜想的研究现状，并在此基础上提出了几个新的猜想：（1）证明了广义香蕉树是优美的，通过根上的分支重排--考虑内部所有顶点上的分支重排;（2）转让方法通常涉及第1类转让和第2类转让-所有第2类转让都是变相的第1类转让，因此可以从讨论中删除;（3）转移方法通常使用转移序列$0\rightarrow n\rightarrow 1\rightarrow n - 1\rightarrow\cdots$ --向后转移以操纵所得标签。利用这些思想，我们证明了几类直径为6的树是优美的，我们推广这些类中的一些更大的树。我们还介绍了一类优美的蜘蛛，证明了附加足够多的叶子给任何树一个优美的树，并扩展了已知的结果与完美匹配的树。
2014-03-06 math.CO
Relation between the number of leaves of a tree and its diameter
令$L(n,d)$表示最小可能的叶数在树的顺序$n$和直径$d.$在1975年Lesniak给了下限$B(n,d)=\lceil 2(n-1)/d\rceil$为$L(n,d).$当$d$是偶数，$B(n,d)=L(n,d).$但当$d$是奇数，$B(n,d)$小于$L(n,d)$一般。例如，$B(21,3)=14$而$L(21,3)=19.$我们证明，对于$d\ge 2,$ $ L(n,d)=\left\lceil \frac{2(n-1)}{d}\right\rceil$，如果$d$是偶数，如果$d$是奇数，则$L(n,d)=\left\lceil \frac{2(n-2)}{d-1}\right\rceil$。也考虑了逆问题。令$D(n,f)$是$n$阶树的最小可能直径，该树恰好具有$f$叶。我们证明了$D(n,f)=2$如果$n=f+1,$，$D(n,f)=2k+1$如果$n=kf+2,$和$D(n,f)=2k+2$如果$kf+3\le n\le (k+1)f+1.$
2019-04-27 math.CO
Approximating the Minimum $k$-Section Width in Bounded-Degree Trees with Linear Diameter
最小$k$ -截面表示将图的顶点集划分为大小尽可能相等的$k$集合，同时最小化切割宽度的NP-困难问题，切割宽度是这些集合之间的边的数量。当$k$是一个输入参数，$n$表示顶点的数量时，对于任何$c<1$，在$n^c$的因子内近似最小$k$ -部分的宽度是NP难的，即使限制为具有恒定直径的树。在这里，我们表明，每棵树$T$允许$k$ -部分的宽度最多为$(k-1) (2 + 16n / diam(T) ) Δ(T)$。这意味着一个多项式时间常数因子近似的最小$k$节问题时，限制到树的线性直径和恒定的最大程度。此外，我们推广我们的结果从树到任意图与一个给定的树分解。
2017-08-21 cs.DM math.CO
On the minimum number of eigenvalues of trees of diameter seven
本文研究直径为七的树的最小不同特征值个数，基于种子构造实现，并修正了Johnson和Saiago论文中的一个结果。
2025-02-24 math.CO
Extremal problems on Sombor indices of unicyclic graphs with a given diameter
Sombor指数是由Gutman提出的一种新的拓扑指数，它定义了图$G$为$SO(G)=\sum\limits_{uv\in E(G)}\sqrt{d_{u}^{2}+d_{v}^{2}}$，其中$d_{u}=d_{G}(u)$表示图$G$中顶点$u$的度.对于给定直径的树，Chen等[H.陈威李军，王建，树的Sombor指数的极值，MATCH Commun。数学。计算。87（2022）23- 49]和Li等人[S. Li，Z. Wang，M. Zhang，关于给定直径树的极值Sombor指数，应用数学计算。416（2022）126731]。作为上述结果的推广，我们确定了具有固定阶和给定直径的单圈图的最大Sombor指数。
2022-02-18 math.CO
On the Diameter of Tree Associahedra
我们认为一个自然的概念，搜索树的图，我们表明是无处不在的离散数学和计算机科学的各个领域。图上的搜索树可以通过称为旋转的局部操作进行修改，该操作概括了二叉搜索树中的旋转。图$G$上的搜索树的旋转图是称为$G$的图结合面体的多面体的骨架。我们考虑图$G$是树的情况。我们构造了一个家庭的树$G$ $n$顶点和对$G$上的搜索树，使得所需的最小旋转数转换成另一个搜索树是$Ω(n\log n)$。这意味着最坏情况下的树联会面体的直径是$Θ(n\log n)$，这回答了Thibault Manneville和Vincent Pilaud的问题。证明依赖于一个概念的投影的搜索树，这可能是独立的利益。
2018-03-30 cs.DM cs.DS math.CO
Diameter estimates for graph associahedra
图的结合面体是广义置换面体，是嵌套面体和超图多面体的特殊情况。图$G$的图伴随面体编码$G$上的搜索树的组合，由根$r$连同$G-r$的每个连通分量上的搜索树递归地定义。特别地，图关联面体的骨架是那些搜索树的旋转图。本文研究了图的结合面的直径与图的参数的关系。给出了$Θ(m)$关于$m$边上平凡完美图结合面直径的一个紧界.我们考虑了给定树深、树宽或路宽的图在$n$顶点上的结合面的最大直径，并给出了这些参数的函数的下界和上界.我们还证明了路宽为2的图的结合面的最大直径是$Θ(n\log n)$。最后，我们给出了完全分裂图和不平衡完全二部图的结合面的直径。
2021-11-17 cs.DM math.CO
State Transfer and Readout Times for Trees of Diameter 4
本研究刻画了直径4的树的三类强共谱顶点对，构建了对应无限族树并给出态转移保真度趋近1的读出时间，还证明了保真度收敛于1时其导数收敛于0的独立结论。
2025-02-21 math.CO quant-ph
An efficient algorithm for the diameter of Cayley graphs generated by transposition trees
一个实际和理论上感兴趣的问题是确定或估计各种Cayley网络族的直径。先前已知的由转置树生成的凯莱图的直径的估计是在Akers和Krishnamurthy（1989）的经常被引用的论文中给出的上界。在这项工作中，我们首先评估其上限的性能。我们证明了，对于每个$n$，存在一棵树$n$顶点，使上限和真实直径值之间的差异至少是$n-4$。评估它们的上限需要时间$Ω(n!)$。在本文中，我们提供了一个算法，获得的估计直径，但它只需要时间$O(n^2)$，此外，我们的算法获得的值小于或等于先前已知的直径上限。这样的改进多项式时间，同时仍然执行至少以及以前的界限，是可能的，因为我们的算法直接与转置树上的$n$顶点，不需要检查任何的排列。我们还提供了一个树，我们的算法计算的值不一定是唯一的，这是一个重要的结果，因为这样的例子是相当罕见的。到目前为止，对于我们研究过的所有树族，我们算法计算出的每个可能值都恰好是直径的上界。
2012-10-31 cs.DM cs.DS math.CO
Finding the diameter of a tree with distance queries
本文研究隐藏树中通过顶点间距离查询寻找直径及重构树结构的问题，分别给出自适应与非自适应算法所需查询次数的界。
2025-09-27 cs.DS math.CO
Diameter of Cayley graphs of permutation groups generated by transposition trees
设$Γ$是由$n$顶点上的换位树$T$生成的置换群的Cayley图。在一个经常被引用的文件\cite{Akers:Krishnamurthy:1989}（也见\cite{Hahn:Sabidussi:1997}），它表明，直径的凯莱图$Γ$是有界的$$\diam(Γ) \le \max_{π\in S_n}{c(π)-n+\sum_{i=1}^n \dist_T(i,π(i))},$$，其中最大化是在所有的排列$π$，$c(π)$表示的循环数在$π$，和$\dist_T$是距离函数在$T$。在这项工作中，我们首先评估的性能（清晰度和严格性）的上限。我们表明，上界是尖锐的最大直径的所有树木，也为所有树木的最小直径，我们展示了一些家庭的树木的界限是严格的。然后，我们表明，对于每一个$n$，存在一棵树上的$n$顶点，使上限和真实直径值之间的差异至少是$n-4$。观察到，评估该上限需要$n!$（乘以多项式）计算的数量级。我们提供了一个算法，获得的估计直径，但它只需要的顺序（多项式）$n$计算;此外，通过我们的算法获得的值小于或等于先前已知的直径上限。这个结果是可能的，因为我们的算法直接使用$n$顶点上的转置树，并且不需要检查任何排列（只有证明需要检查排列）。对于到目前为止检查的所有树族，由我们的算法计算的值$β$恰好也是直径的上界，即$$\diam(Γ) \le β\le \max_{π\…
2011-12-21 cs.DM cs.DS math.CO
Bounding the order of a graph using its diameter and metric dimension: a study through tree decompositions and VC dimension
图的度量维数是一组顶点的最小尺寸，使得每个顶点由到该组顶点的距离唯一确定。我们的目标是上界的顺序$n$图的直径$d$和度量维数$k$。通常，已知结合$n\leq d^k+k$成立。我们证明了树和外平面图的形式$n=\mathcal{O}(kd^2)$的界限（对于树，我们确定最佳可能的界限和相应的极值例子）。更一般地，对于具有宽度$w$和长度$\ell$的树分解的图，我们得到$n=\mathcal{O}(kd^2(2\ell+1)^{3w+1})$形式的界。这特别意味着，对于树宽恒定的图，有$n=\mathcal{O}(kd^{\mathcal{O}(1)})$，对于弦图，有$n=\mathcal{O}(f(k)d^2)$，其中$f$是双指数函数。使用距离-VC维的概念（由Bousquet和Mr. Bassé在2014年引入）作为工具，我们证明了$K_t$ -minor-free图的界限$n\leq (dk+1)^{t-1}+1$，以及秩宽度至多为$r$的图的界限$n\leq (dk+1)^{d(3\cdot 2^{r}+2)}+1$。
2018-07-20 math.CO
Pebbling in Semi-2-Trees
图卵石是一种网络模型，用于传输在运输过程中消耗的离散资源。判定特定图上的给定配置是否可以达到指定目标是${\sf NP}$ -完全的，即使对于直径为2的图也是如此，并且判定卵石数是否具有规定的上界是$Π_2^{\sf P}$ -完全的。最近，我们证明了分裂图的pebbling数可以在多项式时间内计算。本文提出了寻找其它多项式类的程序，从大树宽、小直径的情况（如分裂图）转移到小树宽、大直径的情况，继续研究弦图的重要子类$k$ -树。特别是，我们提供了一个公式，可以在多项式时间内计算，任何半2-树的卵石数，下降害羞的结果为全类的2-树。
2017-01-14 math.CO
On the eccentricity matrices of trees: Inertia and spectral symmetry
连通图$G$的\textit{eccentricity matrix} $\mathcal{E}(G)$是从$G$的距离矩阵中获得的，通过在每行和每列中保留最大的非零项，并在剩余的1中保留零。$\mathcal{E}(G)$的特征值是$G$的\textit{$\mathcal{E}$-eigenvalues}。本文给出了树的偏心矩阵的惯性。有趣的是，任何一棵树在多于一个$4$的奇数直径顶点上都有两个正的和两个负的$\mathcal{E}$ -特征值（与树的结构无关）。一棵直径为偶数的树具有相同数量的正、负$\mathcal{E}$ -特征值，这等于“直径可区分的”顶点的数量（见定义3.1）。此外，我们还证明了树的偏心矩阵的谱关于原点对称的充要条件是树的直径为奇数。作为一个应用，我们用三个不同的$\mathcal{E}$ -特征值来刻画树。
2022-03-31 math.CO
Multiplicity-Isolated Cores and Chromatic Symmetric Reconstruction of Trees
UCSI University（优斯丁大学）
该研究针对Stanley树同构猜想，提出允许重复叶分量阶的树重构准则，证明一类无限直径6树的色对称函数可重构，还给出相关划分模型与实现。
2026-08-20 math.CO
Maximum Inverse Sum Indeg Index of Trees and Unicyclic Graphs with Fixed Diameter
Department of Mathematics, Rani Channamma University（拉妮·昌纳玛大学数学系）
本文研究了具有固定直径的树和单环图的最大逆向和入度指数，通过图变换方法确定了极值图结构。
2026-03-11 math.CO
On different "middle parts" of a tree
我们确定的最大距离之间的任何两个中心，质心，和子树的核心树与给定的顺序。对于给定最大度的树和给定直径的树，得到了相应的结果。给定阶数和直径的树之间的质心与子树核之间的最大距离问题变得困难。它可以用在给定阶数和高度的有根树中最小化包含根的子树数目的问题来解决。虽然后一个问题仍然没有解决，我们提供了一个部分的极值结构的特征。
2017-01-18 math.CO
Spectral radius conditions for the existence of all subtrees of diameter at most four
用$μ(G)$表示图$G$的谱半径。我们部分证实了一个猜想，由于Nikiforov，这是一个谱半径模拟著名的Erdens-Sós猜想，任何树的顺序$t$是包含在一个图的平均度大于$t-2$。令$S_{n,k}=K_{k}\vee\overline{K_{n-k}}$，令$S_{n,k}^{+}$是从$S_{n,k}$通过添加连接$S_{n,k}$的独立集合的两个顶点的单个边而获得的图。在2010年，Nikiforov证明了对于给定的整数$k$，每一个具有足够大阶$n$和$μ(G)\geq μ(S_{n,k}^{+})$的图$G$包含所有阶为$2k+3$的树，除非$G=S_{n,k}^{+}$。我们证实了这一猜想的树木直径最多为4，有一个例外。事实上，我们证明了以下关于$k\geq 8$的更强结果。如果一个具有足够大阶数$n$的图$G$满足$μ(G)\geq μ(S_{n,k})$和$G\neq S_{n,k}$，则$G$包含所有阶数$2k+3$且直径至多为4的树，除了从一个星形$K_{1,k+1}$通过将其每个$k+1$边细分一次而得到的树。
2021-09-23 math.CO
Bounded diameter tree-decompositions
本文刻画图具有小直径袋树分解的条件，证明其等价于与树有界拟等距、测地装载圈的 $F$ 有界，并证明 McCarty 关于小球截断三点间路径的猜想。
2024-01-25 math.CO
The diameter of caterpillar associahedra
毛毛虫关联面体$\mathcal{A}(G)$是由毛毛虫树$G$上的搜索树的旋转图产生的多面体，推广了二叉搜索树（BST）的旋转图，从而推广了传统的关联面体。我们证明了$\mathcal{A}(G)$的直径是$Θ(n + m \cdot (H+1))$，其中$n$是顶点数，$m$是叶子数，$H$是$G$的叶子分布的熵。我们的证明揭示了毛毛虫associahedra和BST搜索之间的强有力的连接。我们证明了下界使用Wilber的第一下界的动态BST，和上界，通过减少问题的搜索在静态BST。
2021-10-25 cs.DS math.CO
On the Wiener index and Laplacian coefficients of graphs with given diameter or radius
设$G$是一个简单无向$n$ -顶点图，其Laplacian矩阵$L(G)$的特征多项式为$\det (λI - L (G))=\sum_{k = 0}^n (-1)^k c_k λ^{n - k}$ .众所周知，对于树，拉普拉斯系数$c_{n-2}$等于$G$的维纳指数。利用Zhou和Gutman关于细分二部图的Laplacian系数与匹配数之间关系的一个结果，我们首先刻画了具有给定直径的树，然后刻画了具有给定半径的连通图，它们同时最小化所有Laplacian系数.这种方法推广了Liu和Pan [MATCH Commun.数学。计算。60（2008），85- 94]和Wang和Guo [MATCH Commun.数学。计算。60（2008），609- 622]，其特征在于$n$ -具有固定直径$d$的顶点树，其最小化Wiener指数。最后，我们用Wiener和修改的超Wiener指标的例子说明，同时最大化所有Laplacian系数的相反问题没有解决方案。
2011-05-29 math.CO
On converse invariant trees of diameter four
Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo（圣保罗大学数学与统计学院）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）
本文研究有向树的逆不变性，刻画了直径为4的逆不变有向树，并给出了反例否定现有猜想。方法引入多元多项式编码差异，通过系数公式进行分类。
2026-06-24 math.CO
