Sharp bounds for the number of maximal independent sets in trees of fixed diameter
Alexander Dainiak
我们得到了固定顶点数和直径的树中极大（包含下）独立集个数的精确下界和上界。所有的极值树被描述为同构。
We obtain sharp lower and upper bounds for the number of maximal (under inclusion) independent sets in trees with fixed number of vertices and diameter. All extremal trees are described up to isomorphism.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Bonnet-Myers sharp graphs of diameter three
Bonnet-Myers尖锐（在Ollivier里奇曲率的意义下）和自中心的正则图已经被完全分类，在分类中是否可以去掉自中心的条件是一个自然的问题。我们证明了在直径为3的Bonnet-Myers sharp图的特殊情况下，这个条件确实是不必要的。
Maximal sets of a given diameter in Hamming cubes
研究汉明立方体中给定直径的极大集，证明每个$d$-极大集规模至多为$(n+o(n))^d$或含非平凡汉明球，并给出规模下界与有限性结论。
A matrix ring with commuting graph of maximal diameter
半群的交换图是非中心元素的集合;边被定义为满足$uv=vu$的对$(u,v)$。我们提供了一个域$F$和整数$n$的例子，使得$\operatorname{Mat}_n(F)$的交换图具有最大可能直径，等于6。
The diameter and radius of radially maximal graphs
本文证明了Dutton等人关于径向极大图存在性的猜想：对于满足$r\le d\le 2r-2$的任意正整数$r$和$d$，存在半径为$r$、直径为$d$的径向极大图，并推广了该结果。
Sharper Lower Bounds in the Maximum Degree and Diameter Bounded Subgraph Problem in the Mesh
最大度和直径有界子图问题（MaxDDBS）：给定一个主图G，最大度Δ的界和直径D，度以Δ为界和直径以D为界的主图的最大子图是什么？在本文中，我们研究这个问题时，主机图是k维网格。我们提供了满足MaxDDBS的网格的最大子图的大小的下界，对于所有k和Δ> 3，与已知的上界一致，直到前两项，并表明对于Δ= 3，下界至少与上界相同的增长阶。
Sharp upper bound for the rainbow connection number of a graph with diameter 2
设$G$是一个连通图.图$G$的\emph{rainbow connection number $rc(G)$}是最近由Chartrand等人引入的，Li等人证明了对直径为2的无桥图$G$，有$rc(G)\leq 5$ .他们给出了$rc(G)\leq 4$ .然而，他们不能证明上界5是尖锐的。已知对于直径为2的图$G$，确定$rc(G)$是NP-困难的.因此，了解对于这样的图$G$的$rc(G)$的最佳上界是有趣的。本文用不同的方法得到了同一个上界，并举例说明了这个上界是最好的。
Sharp upper bounds for multiplicative Zagreb indices of bipartite graphs with given diameter
图$G$的第一个乘法Zagreb指标是每个顶点度的平方的乘积，而第二个乘法Zagreb指标是每个边在所有边上的度的乘积。本文研究了直径为$d$的$n$阶二部图的乘性Zagreb指数，并得到了$\mathcal{B}(n,d)$中图的乘性Zagreb指数的精确上界，其中$\mathcal{B}(n, d)$是所有直径为$d$的$n$ -顶点二部图的集合.此外，我们还研究了图\textcolor{blue}{within}和图$\mathcal{B}(n, d)$的最大乘性Zagreb指标之间的关系.作为推论，刻画了具有最大、次大和最小乘性Zagreb指标的二部图，推广和丰富了已有的一些结论.
On the spectral radius of unicyclic and bicyclic graphs with a fixed diameter
连通图$G$的$α$ -谱半径是$G$的$A_α$ -矩阵的谱半径。本文讨论了图的$α$ -谱半径的比较方法。作为应用，我们分别刻画了直径为$d$的$n$阶单圈和双圈图中具有最大$α$ -谱半径的图.最后，在直径为$d$的$n$阶双圈图中，确定了唯一具有最大无符号Laplacian谱半径的图.
On critical and maximal digraphs
本文致力于研究相对于某些度量泛函具有极值性质的有向图。我们刻画了直径、拟直径、半径和拟半径为无穷大的同构临界有向图。此外，还研究了半径和拟直径均为有限值的极大有向图。
The largest graphs with given order and diameter: A simple proof
Ore的经典定理的一个结果是确定具有给定阶数和直径的最大图。我们给出了一个非常简短和简单的证明这个较小的结果，根据一个著名的基本观察。
Diameter bound for facet-ridge incidence graphs of geometric lattices
本文研究有限几何格序复形的面-脊关联图直径问题，利用字典式剥壳证明其直径上界为秩r的组合数${r \rack 2}$，并给出界的紧性证据及说明紧性问题微妙的例子。
A sharp diameter bound for unipotent groups of classical type over Z/pZ
素域Z/pZ上的李型有限群的幂幺子群具有一个自然的生成元集;与这组生成元相关联的凯莱图的性质已经被大量研究。在本文中，我们证明了这个凯莱图的直径是有界的上，下由常数倍的np + n^2 log p，其中n是相关的李群的秩。这推广了第一作者关于SL_n（Z/pZ）情形的一个结果。（关键词：直径，凯莱图，李型有限群。AMS分类：20 G40，05 C25）
A note on non-regular Bonnet-Myers Sharp Graphs
针对非自中心、非正则情形的分类难题，本文完整分类了直径为 2 的 Bonnet-Myers 尖锐图，并在对称反树族中构造出直径 3、4、6 的示例。
Rainbow connection of bridgeless outerplanar graphs with small diameters
本文研究直径为2或3的无桥外平面图$G$的彩虹联系数$rc(G)$.证明了：若$G$有直径$2,$则$rc(G)=3$，对于$F_{n}$有$n\geq 7$或$C_5,$，否则$rc(G)=2;$若$G$有直径$3,$则$rc(G)\leq 4$且界是尖锐的.
Kleitman's theorem over vector spaces: parity phenomena in canonical and global stability
本文研究了向量空间中Kleitman定理的极值问题，确定了在不同直径下极值配置的稳定性，并揭示了奇偶直径下的不同行为特征。
Conjugating full cycles by adjacent transpositions: diameter and sorting time
研究通过相邻交换 conjugate 循环排列的步骤数上限和 Schreier 图直径，探讨排序时间与直径的关系。
Sharp Diameter Bounds for Nonnegative Cyclotomic Multiples
本文证明非负循环分圆倍式的支撑直径下界为(p-1)N/p，并刻画等式情形，证实Steinberger猜想，进而建立Coven-Meyerowitz直径界及其改进。
On the oriented diameter of near planar triangulations
本文研究近平面三角剖分的有向直径，证明除七个小例外外，$n$ 顶点 $2$-连通近三角剖分的有向直径不超过 $\lceil n/2\rceil$ 且界紧，改进并推广了已有结果。
Diameter bounds for distance-regular graphs via long-scale Ollivier Ricci curvature
本文利用长尺度Ollivier Ricci曲率与直径的关系，为距离正则图推导出新的锐利直径界，改进了离散Bonnet-Myers定理，并显著提升充分正则图及$(s,c,a,k)$-图的已有直径界。
On the spectral gap and the diameter of Cayley graphs
我们得到了一个连接图的Laplace算子的第一非平凡特征值与图的直径的新的界，该界对于小直径的图或具有与期望值相当的极大路数的图是有效的.
Diameter of orientations of graphs with given order and number of blocks
本研究针对给定阶数和块数的无桥图，推导得出定向直径的紧上界，并进一步给出无桥块图定向直径分奇偶情形的上界结果。
Diameter of 2-distance graphs
该研究针对2-距离图的直径问题，分别给出直径为2、直径不小于3及直径为3的原图对应的2-距离图直径的取值范围与紧性结论，丰富了图论中2-距离图的直径相关理论。
Diameter Constraints in 2-distance Graphs
本文研究了2距离图的直径约束，证明了当原图直径为k≥3时，2距离图的直径要么为无穷大，要么不超过k+2，并验证了该不等式的紧性。
Maximizing the Steklov eigenvalues on trees with a diameter constraint
研究有限树T在直径D约束下Dirichlet到Neumann算子的第一个非零Steklov特征值λ₂(T,δΩ)，确定奇直径D=2r+1≥5的最优配置，提出广义近似锯齿树家族AS(r,q+2,c,t)。
The Terminal Wiener Index of Trees with Diameter or Maximum Degree
树的末端Wiener指标是树的所有悬垂顶点对的距离之和，它是最近在系统发生树重建和树的邻域研究中出现的。本文给出了终端Wiener指标的一个明确的上界和下界，并刻画了所有达到这个上界和下界的极值树.此外，我们还研究了在最大度固定的$n$阶树中，达到最大终端Wiener指标的极值树的性质。
The conjugacy diameters of non-abelian finite $p$-groups with cyclic maximal subgroups
本文确定了半二面体2-群、广义四元数群和模p-群的共轭直径，推广了二面体群的已有结果。
Optimal partitions of the flat torus into parts of smaller diameter
本文研究将二维平坦环面划分为 $m$ 个部分以最小化最大直径的问题，对 $m \leq 25$ 给出数值估计，并提出多种方法，其中 $m=3$ 时用拓扑推理证明精确值。
Sharp variational inequalities for the Hardy-Littlewood maximal operator on finite undirected graphs
本文研究了 Hardy-Littlewood 最大算子在完全图上的尖锐 p-变分不等式，回答了 Liu 和 Xue 的问题，并通过计算找到连接图上最多五个顶点的 1-变分不等式尖锐常数，提出路径图的猜想。
Oriented diameter of graphs with given domination number
本文通过收缩不可避免的可选子图并对支配数作归纳，证实了 Kurz 和 Lätsch 关于无桥图有向直径至多为 ⌈(7γ+1)/2⌉ 的猜想，并进一步证明有向强直径至多为 7γ−1 且该界最优。
Maximal diameter of integral circulant graphs
本文研究整循环图 $ICG_n(D)$ 的最大直径，证明其由素因数结构决定的 $r(n)$ 或 $r(n)+1$ 界可达，并刻画给定 $t\le k$ 时的全部极值图。
On Kemeny's constant for trees with fixed order and diameter
连通图$G$的Kemeny常数$κ(G)$是与$G$相关联的随机游动的预期渡越时间的度量。在目前的工作中，我们考虑的情况下，当$G$是一棵树，并在这种情况下，我们提供了$κ(G)$的上下上界的顺序$n$和直径$δ$的$G$通过使用两种不同的技术。的下界是作为一个特定的毛毛虫树的凯梅尼常数，因此，它是尖锐的。上界是通过归纳法找到的，通过反复从$G$中删除悬垂顶点。通过考虑一个特定的家庭的树-扫帚星-我们表明，上界是渐近尖锐的。
Some Bounds on the Rainbow Connection Number of 3-, 4- and 5-connected Graphs
连通图$G$的彩虹连接数$rc(G)$是指对连通图的边进行着色所需的最小颜色数，使得每对顶点都至少有一条路径连接，并且没有两条边的颜色相同。我们证明了对于$κ=3$或$κ= 4$，每个$κ$ -连通图$G$在$n$的顶点上且直径为$\frac{n}κ-c$，满足$rc(G) \leq \frac{n}κ + 15c + 18$ .我们还证明了对每个极大平面图$G$，$rc(G) \leq \frac{n}κ + 36$ .这证明了Li等人关于大直径图和极大平面图的一个猜想。
Attainable bounds for algebraic connectivity and maximally-connected regular graphs
本文利用直径与围长给出正则图代数连通度的可达上界，刻画围长界的 Moore 图等号情形，并通过随机算法与穷举搜索发现多种达到直径界的正则图。
Sharp bound on the number of maximal sum-free subsets of integers
Cameron和Erdwords问，在$\{1, \dots , n\}$中，\emph{maximal}无和集的数量是否比无和集的数量小小于。在同一篇论文中，他们给出了极大自由和集个数的$2^{\lfloor n/4 \rfloor }$的一个下界。在这里，我们证明了以下几点：对于每个$1\leq i \leq 4$，有一个常数$C_i$，使任何$n\equiv i \mod 4$，$\{1, \dots , n\}$包含$(C_i+o(1)) 2^{n/4}$最大和自由集。我们的证明利用了Green的容器和移除引理，Deshouillers，Freiman，Sós和Temkin的结构结果，以及Green和Morris最近关于小和集整数子集的数量的限制。讨论了阿贝尔群的极大无和子集个数的相关结果和公开问题。
The diameter of lattice zonotopes
我们建立尖锐的渐近估计原始zonotopes的直径时，其尺寸是固定的。我们还证明了，对于无穷多个整数$k$，包含在超立方体$[0,k]^d$的格zotope的最大可能直径是唯一实现的一个原始zotope。因此，我们得到，这个最大的直径增长一样，$k^{d/(d+1)}$到一个明确的乘法常数，当$d$是固定的，$k$走向无穷大，提供了一个新的下界上的最大可能的直径包含在$[0,k]^d$的晶格多面体。
Associated primes of powers of closed neighborhood ideals and diameters of graphs
研究闭邻域理想幂的关联素与图直径的关系，证明直径上限为7t-8，并证明该界为紧致。
Diameters of random circulant graphs
图的直径度量任何一对顶点之间的最大距离。许多小世界网络的直径，以及其他各种随机图模型，在节点数量上呈几何增长。相比之下，最差连通网络是直径随节点数线性增加的圈。在本研究中，我们考虑一类中间例子：循环群的凯莱图，也称为循环图或多环网络。证明了n阶随机循环2k-正则图的直径为n^{1/k}，并建立了其直径分布的极限定理.我们得到类似的结果的平均距离和更高的时刻的分布。
Diameter, decomposability, and Minkowski sums of polytopes
我们研究如何Minkowski和两个多面体影响他们的图，特别是，他们的直径。我们表明，闵可夫斯基和的直径是有界的每个被加数的直径和以上，粗略地说，一个被加数的直径和顶点数的其他之间的产品。我们还证明了这两个边界是尖锐的。此外，我们还得到了关于多胞形可分解性的一个结果。更精确地说，给定两个多面体P和Q，我们证明了P可以写为一个与Q有位异名的和的Minkowski和当且仅当P与Q的Minkowski和有相同的顶点数。
Maximal fluctuations around the Wulff shape for edge-isoperimetric sets in ${\mathbb Z^d}$: a sharp scaling law
我们推导出一个尖锐的标度律的偏差的边缘等周集的格子$\mathbb Z^d$从限制武尔夫形状在任意尺寸。当元素个数$n$发散时，我们证明了对应的Wulff集的对称差至多由$O(n^{(d-1+2^{1-d})/d})$格点组成，并且指数$(d-1+2^{1-d})/d$是最优的.这将以前发现的$d=2,3$的“$n^{3/4}$定律”扩展到一般维度。因此，我们得到最佳估计的收敛速度限制伍尔夫形状的$n$发散。
Associated primes of the second power of closed neighborhood ideals of graphs
本文研究极大齐次理想作为闭邻域理想二次幂相伴素理想的简单图，证明此类图直径至多为6，且直径为2的图必为顶点直径-2-临界图。
A sharp threshold for minimum bounded-depth and bounded-diameter spanning trees and Steiner trees in random networks
在n阶完全图中，当每条边的权是指数随机变量时，Frieze证明了最小生成树的权趋于zeta（3）=1/1^3+1/2^3+1/3^3+1/2^3 + 1/2当n趋于无穷大时。我们认为生成树的深度限制为从一个指定的根k。证明了当k > log_2 log n+omega（1）时，最小有界深度生成树的权在n ->无穷大时仍趋于zeta（3），当k < log_2 log n时，权在log_2 log n-k中是双指数大的.寻找最小有界深度生成树是NP难的，但当k < log_2 log n - omega（1）时，一个简单的贪婪算法是渐近最优的，而当k > log_2 log n+omega（1）时，一个对最小（无界深度）生成树做微小改变的算法是渐近最优的。我们证明了类似的结果，最小有界深度斯坦纳树，树必须连接一个指定的一组m个顶点，可能会或可能不会包括其他顶点。特别地，当m = const * n时，如果k > log_2 log n+omega（1），则完全图上的最小有界深度Steiner树与最小Steiner树具有渐近相同的权重，并且如果1 <= k <= log_2 log n-omega（1），权重在期望和概率上都趋于（1-2^{-k}）sqrt{8 m/n} [sqrt{2 mn}/2^k]^{1/（2^k-1）}。当直径界为2k时，同样的结果也适用于最小有界直径Stein…
The equilateral small octagon of maximal width
小多边形是单位直径的多边形。当满足$s \ge 3$时，不知道具有$n=2^s$顶点的等边小多边形的最大宽度。本文解决了第一种开的情形，找到了最优的等边小八边形。它的宽度大约是$3.24\%$大于正八边形的宽度：$\cos(π/8)$。此外，本文还对具有$s\ge 4$的$n=2^s$提出了一族等边小$n$ -矩阵，其宽度在最大宽度的$O(1/n^4)$之内.
On the Size of Balls and Anticodes of Small Diameter under the Fixed-Length Levenshtein Metric
DNA存储技术的迅速发展使缺失和插入通道成为研究的前沿。当删除的数量等于插入的数量时，固定长度Levenshtein（FLL）度量是两个相同长度的单词之间距离的正确度量。与任何其他指标类似，球的大小是最基本的参数之一。在这项工作中，我们考虑的最小值，最大值和平均大小的球半径为1，在FLL度量。还考虑了具有直径为1的最大反码的最小和最大尺寸。
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