Characterising graphs with no subdivision of a wheel of bounded diameter
我们证明了一个图具有轮的r-有界剖分当且仅当它不具有局部r和宽度至多为2的图分解。
2020-08-07 math.CO
Bounding the $k$-Steiner Wiener and Wiener-type indices of trees in terms of eccentric sequence
连通图$G$的偏心度序列是其顶点偏心度的非减序列。$G$的Wiener指数是$G$的所有无序顶点对之间的距离之和。最近确定了在给定偏心序列的所有树中使Wiener指数最小的唯一树。在本文中，我们表明，这些结果不仅适用于维纳指数，但对于一大类基于距离的拓扑指数，我们术语维纳型指数。这类的特殊情况包括超维纳指数、Harary指数、用于$λ>0$和$λ<0$的广义维纳指数$W^λ$以及互逆互补维纳指数。我们的研究结果暗示和统一已知的界限，这些维纳型指数树的顺序和直径。我们也提出了类似的结果与给定的偏心序列的树的$k$ -Steiner维纳指数。集合$A\subseteq V(G)$的Steiner距离是$G$的顶点集包含$A$的子树中的最小边数，$k$ -Steiner Wiener指标是$V(G)$的所有$k$ -元素子集的距离之和.作为推论，我们得到了一个尖锐的下界的$k$ -Steiner Wiener指数的树与给定的顺序和直径，并确定在何种情况下的极值树是唯一的，从而纠正了文献中的错误。
2020-05-16 math.CO
Maximising line subgraphs of diameter at most $t$
我们希望提请注意一个自然的，但稍微隐藏的问题，提出了Erdjs和Nešetjeil在20世纪80年代后期，一个边缘版本的度-直径问题。我们的主要结果是：对于任何最大度$Δ$的边数大于$1.5 Δ^t$的图，其线图的直径必须大于$t$ .在图不包含长度为$2t+1$的圈的情况下，我们可以将边数的界改进为对于$t\in\{1,2,3,4,6\}$是精确的。在$Δ=3$和$t=3$的情况下，我们得到了一个精确的界限。我们的研究结果也有影响的相关问题的边界的距离- $t$色指数，$t>2$，特别是，为此，我们得到了一个上限的$1.941Δ^t$的图形足够大的最大程度$Δ$，显着改善早期的界限为这个参数。
2021-12-10 math.CO
Bounded diameter tree-decompositions
本文刻画图具有小直径袋树分解的条件，证明其等价于与树有界拟等距、测地装载圈的 $F$ 有界，并证明 McCarty 关于小球截断三点间路径的猜想。
2024-01-25 math.CO
The displacement and split decompositions for a $Q$-polynomial distance-regular graph
设$Γ$表示直径至少为3的标准模为$V$的$Q$ -多项式距离正则图.我们引入了$V$的两个直和分解。我们称之为$Γ$的位移分解和$Γ$的分裂分解。我们描述这些分解是如何相关的。
2003-06-08 math.CO
Partitioning H-Free Graphs of Bounded Diameter
增加我们对NP完全图问题的理解的一个自然方法是将输入限制为一个特殊的图类。$H$ -free图，即不包含某些图$H$作为导出子图的图，已被证明是这种复杂性研究的理想测试平台。然而，如果禁止图$H$包含圈或爪，则这些问题通常保持NP完全。最近对$k$ -着色问题的复杂性研究表明，如果我们也限制$H$ -free输入图的直径，我们仍然可以获得易于处理的结果。我们继续这条线的研究发起的复杂性研究的影响，限制在$H$自由图的各种经典的顶点划分问题的直径的边界。我们证明了边界的直径并没有帮助的独立集，但导致新的易处理的情况下密切相关的问题3-着色。也就是说，我们表明，近二分性，独立反馈顶点集，独立奇圈translation，无圈3-着色和星3-着色都是多项式时间可解的有界直径的无椅图。为了得到这些结果，我们利用了一个新的结构性质的3-colorchair-free图。
2022-04-18 cs.CC cs.DM cs.DS
Fractional decompositions and the smallest-eigenvalue separation
本文提出了一种新的方法来确定非二部$k$ -正则图的$-k$值与最小特征值之间的距离。该方法是基于图的分数分解。因此，我们得到了一个很短的证明，推广和加强最近的结果乔，京，和Koolen [非二分距离正则图与一个小的最小特征值，电子J。26（2）（2019），P2.41]关于非二部距离正则图的最小特征值.
2019-07-19 math.CO
Decomposing highly edge-connected graphs into homomorphic copies of a fixed tree
Barát和Barrassen的树分解猜想指出，对于每一棵树$T$，存在一个自然数$k(T)$，使得以下成立：如果$G$是一个$k(T)$ -边连通单图，其大小可被$T$的大小整除，则$G$可以边分解为与$T$同构的子图。到目前为止，这个猜想只在路径、恒星和一个双恒星族中得到了验证。我们证明了一个较弱的版本的树分解猜想，我们需要在分解的子图是同构的图，可以从$T$的顶点标识。我们称这样的子图为$T$的同态拷贝。这意味着在$G$的围长大于$T$的直径的附加约束下的树分解猜想。作为一个应用，我们验证了树分解猜想的直径最多为4。
2016-03-01 math.CO
A duality between pairs of split decompositions for a $Q$-polynomial distance-regular graph
设$Γ$表示直径为$D \geq 3$、标准模为$V$的$Q$ -多项式距离正则图.最近Ito和Terwilliger介绍了$V$的四种直接和分解;我们称之为$(μ,ν)$ --$V$的{ \it分裂分解}，其中$μ, ν\in \lbrace \downarrow, \uparrow \rbrace$。本文证明了（$\downarrow,\downarrow$）-分裂分解和（$\uparrow,\uparrow$）-分裂分解相对于$V$上的标准埃尔米特形式是对偶的.我们还表明，（$\downarrow,\uparrow$）-分裂分解和（$\uparrow,\downarrow$）-分裂分解的$V$上的标准厄米特形式是对偶的。
2007-05-01 math.CO
Cops and Robbers on Graphs with a Set of Forbidden Induced Subgraphs
已知不包含图$H$作为导出子图的图类是cop-bounded的当且仅当$H$是一个森林，它的每个分支都是一条路.在本研究中，我们刻画了所有的图集合$\mathscr{H}$，其中一些$k\in \mathbb{N}$从上面限定了$\mathscr{H}$的成员的直径，使得$\mathscr{H}$ -free图，即没有$\mathscr{H}$的成员作为诱导子图的图，都是受警察约束的这，特别是，给出了一个特征的Cop-bounded类的图定义的一个有限集的连通图作为禁止诱导子图。此外，我们扩展我们的特征的情况下，Cop-bounded类的图定义的一组$\mathscr{H}$的禁止图，使有$k\in\mathbb{N}$约束的直径组件的成员$\mathscr{H}$从上面。
2018-12-15 cs.DM math.CO
Bounding connected tree-width
Diestel和Müller证明了图$G$的连通树宽度，即任何具有连通部分的树分解的最小宽度可以根据$G$的树宽度和$G$中测地圈的最大长度来定界。我们改进他们的界限，是正确的数量级。最后，我们构造了一个图，其连通树的宽度超过了它的任何荆棘的连通阶。这否定了Diestel和Müller断言树宽对偶的一个类似物的猜想。
2015-06-08 cs.DM math.CO
On the diameter of permutation groups
给定一个有限群$G$和一个生成元集合$A$，Cayley图$Γ(G,A)$的直径$(Γ(G,A))$是使$G$的每个元素都能表示为$A \cup A^{-1}$中长度至多为$\ell$的字的最小$\ell$.我们关心的是有界diam（G）：= $\max_A$ diam $(Γ(G,A))$。长期以来，人们一直认为$n$次对称群的直径在$n$中是多项式有界的，但在$\sqrt{n \log n}$中已知的最好的上界是指数的.我们给出了一个拟多项式上界，即当G = Sym（n）或G = \Alt（n）时的\[\text{diam}(G) = \exp(O((\log n)^4 \log\log n)) = \exp((\log \log |G|)^{O(1)})\]，其中隐含常数是绝对的.这解决了一个关键的公开案件的Babai猜想直径的简单群体。通过标准结果，我们的界也意味着一个拟多项式上界的直径的所有传递置换群的程度PDMATHAMT。
2013-12-31 math.CO math.GR math.NT
Colouring Graphs of Bounded Diameter in the Absence of Small Cycles
对于$k\geq 1$，$G$的$k$着色$c$是从$V(G)$到$\{1,2,\ldots,k\}$的映射，使得对于任何两个非相邻顶点的$c(u)\neq c(v)$为$u$和$v$ . $k$ -着色问题是判定图$G$是否具有$k$ -着色。对于图族${\cal H}$，如果$G$不包含任何来自${\cal H}$的图作为导出子图，则图$G$是${\cal H}$ -free的.令$C_s$为$s$ -顶点循环。在以前的工作（MFCS 2019）中，我们研究了直径对$(C_3,\ldots,C_s)$ -free图和$H$ -free图的$3$ -着色复杂性的影响，其中$H$是一些polyad。在这里，我们证明了$s$的某些小的值，$3$ -着色是多项式时间可解的$C_s$ -自由图的直径$2$和$(C_4,C_s)$ -自由图的直径$2$。事实上，我们的结果适用于更一般的问题列表$3$ -着色。我们补充这些结果与直径$4$的一些硬度结果。
2021-01-19 cs.CC cs.DM cs.DS
Edge-decompositions of $O(m)$-edge-connected graphs into isomorphic copies of a fixed tree of size $m$
本文证明在 $O(m)$ 边连通且满足一定最小度或围长条件下，大小为 $m$ 的倍数的简单图可边分解为任意给定大小为 $m$ 的树的同构副本，从而将此前边连通度的阶乘上界改进为线性量级。
2024-08-31 math.CO
Some matrices associated with the split decomposition for a Q-polynomial distance-regular graph
本文考虑一个$Q$ -多项式距离正则图$Γ$，它的顶点集为$X$，直径为$D \geq 3$ .对于$μ, ν\in \lbrace \downarrow, \uparrow \rbrace$，我们定义了标准模块$V=\C X$的直和分解，称为$(μ,ν)$ -分裂分解。对于这种分解，我们计算相关的本原幂等元的复共轭和转置。现在修复$b,β\in \mathbb C$，使$b \neq 1$和假设$Γ$具有经典参数$(D,b,α,β)$和$α= b-1$。根据这一假设伊藤和Terwilliger显示行动的$q$ -四面体代数$\boxtimes_q$的标准模块的$Γ$。为了描述这个动作，他们在$\hbox{Mat}_X(\mathbb C)$中定义了八个矩阵，称为\begin{eqnarray*} \label{eq:list} A,\quad A^*,\quad B,\quad B^*, \quad K,\quad K^*,\quad Φ,\quad Ψ. \end{eqnarray*}。对于上面列表中的每个矩阵，我们计算转置和复共轭。使用此信息，我们计算$V$上$\boxtimes_q$的每个生成元的转置和复共轭。
2007-10-24 math.CO
Ricci curvature, diameter and eigenvalues of amply regular graphs
本文利用改进的Lin--Lu--Yau曲率估计和新的Bakry--Émery曲率估计，证明了丰富正则图直径上界猜想的一个较弱版本，推进了Terwilliger有限性猜想，并应用于特征值、等周常数和扩张性质。
2025-07-05 math.CO math.DG math.SP
Approximating the Minimum $k$-Section Width in Bounded-Degree Trees with Linear Diameter
最小$k$ -截面表示将图的顶点集划分为大小尽可能相等的$k$集合，同时最小化切割宽度的NP-困难问题，切割宽度是这些集合之间的边的数量。当$k$是一个输入参数，$n$表示顶点的数量时，对于任何$c<1$，在$n^c$的因子内近似最小$k$ -部分的宽度是NP难的，即使限制为具有恒定直径的树。在这里，我们表明，每棵树$T$允许$k$ -部分的宽度最多为$(k-1) (2 + 16n / diam(T) ) Δ(T)$。这意味着一个多项式时间常数因子近似的最小$k$节问题时，限制到树的线性直径和恒定的最大程度。此外，我们推广我们的结果从树到任意图与一个给定的树分解。
2017-08-21 cs.DM math.CO
Asymptotic Bounds on the Combinatorial Diameter of Random Polytopes
多面体$P$的组合直径$\operatorname{diam}(P)$是任意一对顶点之间的最大最短路径距离。在本文中，我们提供了一个随机的“球形”多面体，这是紧的一个因素的尺寸时，不等式的数量是大的尺寸相比，组合直径的上界和下界。更确切地说，对于由$n$ i.i.d.\半空间，其法线是从球均匀选择，我们证明了$\operatorname{diam}(P)$是$Ω(n m^{\frac{1}{n-1}})$和$O(n^2 m^{\frac{1}{n-1}} + n^5 4^n)$的高概率时，$m \geq 2^{Ω(n)}$。对于上界，我们首先证明，在任何固定的二维投影的顶点数急剧集中在其期望时，$m$是大的，我们依赖于$Θ(n^2 m^{\frac{1}{n-1}})$界的期望，由于Borgwardt [数学。结果：1999年]。为了获得直径上限，我们使用最坏情况的直径界限将这些“阴影路径”缝合在一起，以将顶点连接到最近的阴影。对于下界，我们首先减少到下界的对偶多面体$P^\circ$，对应于一个随机凸包的直径，通过显示关系$\operatorname{diam}(P) \geq (n-1)(\operatorname{diam}(P^\circ)-2)$。然后证明了$P^\circ$的任意“nearly”对映对顶点之间的最短路径的长度为$Ω(m^{\frac{1}{n-1}})$…
2021-12-24 cs.DM math.CO math.MG
Bounding twin-width for bounded-treewidth graphs, planar graphs, and bipartite graphs
Twin-width是一个新引入的图形宽度参数，旨在推广广泛的“结构良好”的图形类。在这项工作中，我们专注于获得良好的边界上的双宽度$\text{tww}(G)$图$G$从一些经典的图形类。我们证明如下：- $\text{tww}(G) \leq 3\cdot 2^{\text{tw}(G)-1}$，其中$\text{tw}(G)$是$G$的树宽，- $\text{tww}(G) \leq \max(4\text{bw}(G),\frac{9}{2}\text{bw}(G)-3)$，用于具有$\text{bw}(G) \geq 2$的平面图$G$，其中$\text{bw}(G)$是$G$的分支宽度，- $\text{tww}(G) \leq 183$，用于平面图$G$，-具有$|X|=n$的泛二分图$(X,2^X,E)$的双宽度是$n - \log_2(n) + \mathcal{O}(1)$。平面图边界背后的一个重要思想是使用图的嵌入和球切分解来获得邻域复杂度的良好边界。
2022-01-24 cs.DM cs.DS math.CO
On the Combinatorial Diameters of Parallel and Series Connections
多面体的组合直径的研究是线性规划中的一个经典课题，因为它与单纯形法的有效主元规则的可能性有关。我们感兴趣的多面体的直径形成从所谓的平行或串联连接定向拟阵：定向拟阵是自然的方式连接表示拟阵理论与线性规划的组合，这些连接是基本运算的建设更复杂的拟阵从基本拟阵块。我们证明了，多面体的组合直径满足赫希猜想界，无论右手边在一个标准形式的描述，其并联或串联连接的直径仍然很小的赫希猜想界。这些结果是一个实质性的一步，设计一个直径界的所有多面体定义通过完全幺模矩阵的基础上西摩的著名的分解定理。我们的证明技术和结果表现出一些有趣的功能。虽然并联连接导致一个界限，只是增加了一个常数，对于串联连接，一个线性地考虑在任何顶点的特定坐标的最大值。我们的证明也需要仔细处理非重访边走在退化多面体，以及建设边走，可能会采取“绕道”的方面，满足非重访猜想时，底层多面体可能不会。
2023-03-13 math.CO math.OC
A Demigod's Number for the Rubik's Cube
本文提出一种易于复现的方法，通过采样随机状态并利用点传递图平均距离与直径的关系，以高置信度证明魔方直径至多36步，并推广到一般点传递图。
2024-12-30 cs.DM math.CO
Linear kernels and single-exponential algorithms via protrusion decompositions
图$G$的\emph{$t$-treewidth-modulator}是一个集合$X \subseteq V(G)$，使得$G-X$的树宽至多是某个常数$t-1$。在本文中，我们提出了一种新的算法来计算一个分解方案的图$G$，配备了一个$t$树宽调制器。这种分解称为\emph{protrusion decomposition}，是获得以下两个主要结果的基础。我们首先证明了任何具有\emph{finite integer index}且是\emph{treewidth-bounding}的参数化图问题（带参数$k$）都在$H$-topological-minor-free图上有一个线性核，其中$H$是任意的但固定的图。一个参数化的图问题被称为树宽边界，如果所有的正实例都有一个$t$-树宽调制器的大小为$O(k)$，对于一些常数$t$。这一结果部分地扩展了以前关于有界亏格图上线性核的存在性的元定理[Bodlaender等人，FOCS 2009]和$H$-无次要图[Fomin等人，SODA 2010]。我们的第二个应用程序涉及平面$\mathcal{F}$删除问题。设$\mathcal{F}$是一个至少包含一个平面图的固定有限图族。给定一个$n$顶点图$G$和一个非负整数$k$，Planar-$\mathcal{F}$-Deletion询问$G$是否有一个集合$X\subseteq V(…
2012-07-31 cs.DM cs.DS math.CO
Exact Diameter Windows for Random Cayley Graphs on Odd-Order Abelian Groups
本文确定了奇阶阿贝尔群上随机Cayley图的直径临界窗口，证明覆盖时间收敛到泊松过程，直径转变呈Gumbel分布，并给出精确阈值常数\\(d!/2^d\\)及\\(d=2\\)时的路径-环分解。
2026-09-25 math.CO math.PR
Short Topological Decompositions of Non-Orientable Surfaces
在这篇文章中，我们研究了不可定向曲面的短拓扑分解，并提供了计算它们的算法。我们的主要结果是一个多项式时间算法，任何图形嵌入在一个不可定向的表面计算一个典型的不可定向系统的循环，使任何循环从规范系统相交的任何边缘的图形在最多30点。在可定向的情况下，这种短正则循环系统的存在性是众所周知的，而在不可定向的情况下，这是一个公开的问题。我们的证明技术结合了Schaefer-Štefankovi最近的工作和来自计算生物学的想法，特别是来自Hannenhalli-Pevzner的符号反转距离算法。短规范不可定向回路系统的存在性证实了Negami关于两个可嵌入图的联合交叉数猜想的一个特例。我们还提供了一个参数的Negami界定两个不可定向图嵌入的联合交叉数的校正。
2022-03-13 cs.CG math.CO math.GT
A Lower Bound for the Diameter of Cayley Graph of the Symmetric Group $S_n$ Generated by $(12), (12 \dots n), (1n \dots 2)$
本文研究了对称群$S_n$中元素$s(1n \dots 2)^{i}$分解复杂度的下界，并由此得出由生成元$(12)$、$(12 \dots n)$和$(1n \dots 2)$生成的Cayley图直径的下界为$n(n-1)/2$。
2026-06-04 math.CO math.GR
