用于 varifold（泛曲面）的移动平面法及其应用
Moving plane method for varifolds and applications
AI总结：
本文提出适用于可能奇异的 varifold 超曲面的移动平面法，以 Hopf 引理推导光滑性，并证明悬链面、球冠、Delaunay 曲面及双曲空间 Alexandrov 定理的 varifold 唯一性。
摘要：
在本文中，我们引入了一个适用于可能具有相当强奇异性的超曲面的移动平面法版本，推广了针对光滑超曲面的经典移动平面法。宽泛地说，我们针对 varifold 的版本表明，无穷远处（相应地，在边界处）的光滑性和对称性可以提升为内部的光滑性和对称性。与移动平面原理的经典表述相比，其关键特征在于光滑性是结论而非假设。我们在具有光滑边界的紧 varifold 以及完备 varifold 的设定中实施了我们的移动平面法。一个关键要素是针对 stationary varifold 和 CMC-varifold 的 Hopf 引理。我们的 Hopf 引理为建立 varifold 的光滑性提供了一种新工具，并且它在任意维数下均有效，也不需要任何稳定性假设。作为我们新的移动平面法的应用，我们证明了悬链面、球冠以及 Delaunay 曲面的 varifold 唯一性结果，这些结果受到 Schoen、Alexandrov、Meeks 以及 Korevaar–Kusner–Solomon 的经典唯一性结果的启发。我们还证明了双曲空间中紧 CMC-varifold 的一个 varifold 版本的 Alexandrov 定理。
英文摘要：
In this paper, we introduce a version of the moving plane method that applies to potentially quite singular hypersurfaces, generalizing the classical moving plane method for smooth hypersurfaces. Loosely speaking, our version for varifolds shows that smoothness and symmetry at infinity (respectively at the boundary) can be promoted to smoothness and symmetry in the interior. The key feature, in contrast with the classical formulation of the moving plane principle, is that smoothness is a conclusion rather than an assumption. We implement our moving plane method in the setting of compact varifolds with smooth boundary and in the setting of complete varifolds. A key ingredient is a Hopf lemma for stationary and CMC-varifolds. Our Hopf lemma provides a new tool to establish smoothness of varifolds, and works in arbitrary dimensions and without any stability assumptions. As applications of our new moving plane method, we prove varifold uniqueness results for the catenoid, spherical caps, and Delaunay surfaces that are inspired by classical uniqueness results by Schoen, Alexandrov, Meeks and Korevaar-Kusner-Solomon. We also prove a varifold version of Alexandrov's Theorem for compact CMC-varifolds in hyperbolic space.
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