Equiangular lines in low dimensional Euclidean spaces
Gary R. W. Greaves, Jeven Syatriadi, Pavlo Yatsyna
我们发现，等角线系统在14和16维的最大基数分别为28和40，从而解决了一个长期的开放问题。我们还将19维和20维等角线系统基数的上界分别提高到74和94。
We show that the maximum cardinality of an equiangular line system in 14 and 16 dimensions is 28 and 40, respectively, thereby solving a longstanding open problem. We also improve the upper bounds on the cardinality of equiangular line systems in 19 and 20 dimensions to 74 and 94, respectively.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Equiangular lines in Euclidean spaces: dimensions 17 and 18
我们证明了在17维空间中等角线系统的最大基数是48，从而解决了一个长期存在的问题。此外，通过给出一个显式构造，我们将18维等角线系的最大基数的下界提高到57。
Equiangular subspaces in Euclidean spaces
一组通过原点的直线被称为等角的，如果每对直线定义相同的角度，并且在$\mathbb{R}^n$中等角直线集的最大尺寸在过去的70年中被广泛研究。本文研究了$k$维子空间的类似问题。我们讨论自然的方式来定义之间的角度$k$维子空间和相应的研究的最大尺寸的等角集的$k$维子空间在$\mathbb{R}^n$。我们的界推广和改进了Blokhuis的一个结果。
Equiangular line systems and switching classes containing regular graphs
我们发展了欧几里得空间中的等角线理论。我们的重点是当一个赛德尔矩阵有三个不同的特征值有一个正则图在其开关类的问题。通过寻找一些必要条件和充分条件，我们在回答这个问题上取得了一些进展。进一步证明了$18$维欧几里得空间中等角直线系的基数至多为$60$ .
Saturated configuration and new large construction of equiangular lines
在欧几里得空间中，一组通过原点的直线称为等角，当这组直线中的任何一对直线以一个共同的角度相交时。本文研究了欧氏空间中等角线的最大长度，并利用图论方法证明了：当$14 \leq d \leq 20$和$d \neq 15$满足时，$\mathbb R^d$中所有已知的最大等角线的构造都不能增加另一条线以形成更大的等角线集.给出了$\mathbb R^{42}$中248条等角线、$\mathbb{R}^{41}$中200条等角线、$\mathbb{R}^{40}$中168条等角线、$1/7$中152条等角线和$1/5$中56条等角线的新构造。
Equiangular Lines and Spherical Codes in Euclidean Space
在欧几里得空间中，如果任何一对直线定义了相同的角度，则通过原点的直线族称为等角。在$\mathbb{R}^n$中估计这样的族的最大基数的问题在过去的70年中被广泛研究。受Lemmens和Seidel在1973年提出的一个问题的启发，本文证明了：对于任何固定角$θ$和足够大的$n$，在具有公共角$θ$的$\mathbb{R}^n$中至多存在$2n-2$线.此外，这仅对于$θ= \arccos(1/3)$是可实现的。我们还表明，对于任何一组的$k$固定的角度，可以找到在最多的$O(n^k)$线在$\mathbb{R}^n$具有这些角度。这个界限，由Bukh提出，大大提高了Delsarte，Goethals和Seidel从1975年开始的估计。这些结果的各种扩展到更一般的设置的球形代码将进行讨论。
Equiangular lines in Euclidean spaces
我们得到了几个新的结果，为实等角线系的理论作出了贡献。除此之外，我们提出了一个新的一般下界的最大数量的等角线在d维欧几里得空间;我们描述了两个图的12个顶点;我们调查赛德尔矩阵正好有三个不同的特征值。因此，我们改进了两个长期存在的上界的最大数量的等角线的尺寸d=14，和d=16。此外，我们还证明了某些具有四个特征值的正则图的不存在性，并纠正了文献中的一些表格。
Equiangular lines and the Lemmens-Seidel conjecture
本文利用$276$顶点上的二图的唯一性，通过对柱分解的分析，证明了Lemmens和Seidel在1973年提出的关于有角线的等角集为$1/5$的结论.推广了Neumann定理，即如果$\mathbb{R}^r$中有多于一条$2r-2$等角线，则其夹角受到很大的限制。连同技术上找到饱和等角集，我们确定等角集的最大尺寸“完全”在$r$维欧几里得空间的$r = 8$，$9$，和$10$。
Families of Equiangular Lines and Lattices
本文构造了最小向量支持大等角直线族的欧几里得格，利用模2约化，并解决了Greaves提出的相关问题。
Large sets of complex and real equiangular lines
在复数和实数上，从相互无偏基的集合构造大的等角线集合。
Constructions of complex equiangular lines from mutually unbiased bases
如果$\mathbb{C}^d$中的一组具有相等范数的向量的每对不同向量的厄米内积的大小相等，则该组向量表示等角线。这样的集合的最大大小是$d^2$，并且假定对于每个$d \geq 2$，在$\mathbb{C}^d$中存在具有该最大大小的集合。我们对这个猜想采取组合方法，在以下3种等角线的构造中使用相互无偏基（MUB）：（2）使用$\mathbb{C}^d$中的$d$ MUB集合在$\mathbb{C}^{2d}$中构建$d^2$等角线，（3）在$\mathbb{C}^d$中组合一组$d$ MUB的两个拷贝以在$\mathbb{C}^{2d}$中构建$(2d)^2$等角线。对于每一个结构，我们给出了尺寸$d$，我们目前知道，该结构产生一个最大尺寸的等角线集。
Equiangular lines and eigenvalue multiplicities
本文综述固定夹角等角线的最大数量问题，并阐明其与图的第二特征值重数问题之间的关联。
Some Remarks on Systems of Equiangular Lines
本文研究了具有余弦$α$的$\mathbb{R}^d$中等角直线系的最大数$N_α(d)$，其中$\frac{1}α$不是奇正整数.本说明是由Balla、Dräxler、Keevash和Sudakov在一篇$2018$论文中的评论激发的。
Bounds on equiangular lines and on related spherical codes
一个$L$ -球形码是一组欧几里德单位向量，其成对内积属于集合$L$。我们表明，对于一个固定的$α,β>0$，任何$[-1,-β]\cup\{α\}$球形码的大小是在最线性的维度。特别地，这个界限适用于每两条线彼此成固定角度的线集合。
Equiangular Lines and Covers of the Complete Graph
实空间中的等角线集与完全图的距离正则双覆盖之间的关系，自70年代Seidel等人的工作以来，已广为人知并得到了广泛的研究。本文的主要内容是继续研究复等角线与具有较大指数的完全图的距离正则覆盖之间的关系。给定一组满足相对（或Welch）界的等角线，证明了如果相应的Gram矩阵的元素是单位的素根，那么这些等角线可以用来构造直径为3的对映距离正则图.我们还详细研究了如何利用一组等角线的绝对（或Gerzon）界来推导完全图的阿贝尔距离正则覆盖的参数界。
A simple construction of complex equiangular lines
如果$\mathbb{C}^d$中的一组具有相等范数的向量的每对不同向量的内积的大小相等，则该组向量表示等角线。这样的集合的最大大小是$d^2$，并且假定对于每个$d \geq 2$，在$\mathbb{C}^d$中存在具有该最大大小的集合。我们描述了一个新的建设最大规模的等角线集，暴露了以前不认识的阿达玛矩阵的连接。该构造在维度2、3和8中产生最大尺寸的等角线集合。
Sets of equiangular lines in dimension $18$ constructed from $A_9 \oplus A_9 \oplus A_1$
本文基于切换根概念将维度18的等角线集合嵌入秩19格，表征为根格 $A_9\oplus A_9\oplus A_1$ 的 overlattice，证明至少存在 $246896$ 个此类强极大的57条等角线集合。
Four-point semidefinite bound for equiangular lines
$\mathbb{R}^d$中通过原点的一组直线称为等角，如果该组直线中的任何两条直线形成相同的角度。我们证明了一个替代版本的三点半定约束开发的Bachoc和Vallentin，和多点半定约束开发的Musin球形码。当对象是球面$s$ -距离集时，替代半定约束更简单.利用替代的四点半定约束，我们找到了等角线的四点半定界。这一结果改进了具有指定角度的无穷多个维度$d$的上界。作为该界的推论，我们证明了$\mathbb{R}^d$中等角线的最大构造对于内积为$α= 1/3$的$7 \leq d \leq 14$和具有$α= 1/5$的$23 \leq d \leq 64$是唯一的.
Mutually Unbiased Equiangular Tight Frames
等角紧框架（ETF）是欧几里得空间中直线的一类最优填充. ETF似乎很罕见，所有已知的无限家族都来自某种类型的组合设计。在本文中，我们介绍了一种新的方法来构建ETF。我们首先表明，有时可以为同一空间构建多个ETF，这些ETF是“相互无偏的”，其方式类似于量子信息理论中的相互无偏基的概念。然后，我们表明，采取某些张量积这些相互无偏的ETF与其他ETF有时会产生无限的家庭新的复杂的ETF。
Sets of equiangular lines in dimension $18$ constructed from $A_5^3 \oplus A_1^4$
本文利用拉丁方和Pasch构型，在 $A_5^3 \oplus A_1^4$ 的整覆盖格中构造仿射等角集，得到 $\mathbb{R}^{18}$ 中新的57条等角线集合，这些集合非强极大且仅有五个不同的Seidel特征值。
A remark on a construction of D.S. Asche
证明了D.S. 19维欧几里得空间中的72条等角线的Asche包含嵌入18维子空间中的54条等角线的子集。
Real equiangular lines in dimension 18 and the Jacobi identity for complementary subgraphs
本文证明了18维实等角线系统的最大基数至多为59，其核心方法是对互补子图Jacobi恒等式的新颖应用，并据此排除了特定特征多项式对应图的存在性。
Enumeration of sets of equiangular lines with common angle $\arccos(1/3)$
该研究通过根格等距映射理论证明了7维公角为$\arccos(1/3)$的等角线集合计数的近对称性，并借助根切换构造高维此类集合，最终确定所有正整数规模的对应集合总数。
On equiangular lines in 17 dimensions and the characteristic polynomial of a Seidel matrix
对于$e$是一个正整数，我们发现限制模$2^e$的特征多项式$χ_S(x)$的系数的赛德尔矩阵$S$。我们证明，对于$n$阶的Seidel矩阵，甚至（分别。奇数），最多有$2^{\binom{e-2}{2}}$（分别为$2^{\binom{e-2}{2}+1}$）的可能性的同余类的$χ_S(x)$模$2^e\mathbb Z[x]$。作为这些结果的应用，我们得到了对$\mathbb R^{17}$中等角线数目上界的一个改进，即将已知的上界从$50$降为$49$ .
Equiangular lines via improved eigenvalue multiplicity
本文利用图第二大特征值重数的改进上界，确定了大维欧氏空间中特定公共角下等角线的最大数量，并将已有维度阈值由双指数级降至指数级。
New Upper Bounds for Equiangular Lines by Pillar Decomposition
我们推导出一个程序来计算上界的等角线的数量在各种欧几里德向量空间的推广的经典柱分解（Lemmens和Seidel，1973年），即，我们使用线性代数和组合的参数，以界定的数量的向量在等角集有内积的某些迹象与一个负团。在投影和重新标度之后，这样的集合也是某些球面双距离集合，并且可以使用半定规划技术来限制大小。应用我们的方法，我们证明了新的相对界限的角度arccos（1/5）。实验表明，我们的相对界限，所有可能的角度是相当小于已知的SDP范围内的更大的尺寸r。我们的计算结果还表明，一组等角线的大小显式的界限，无论角度，这是严格小于著名的Gerzon的界限，如果r+2不是一个奇数的平方。
Equiangular tight frames from hyperovals
等角紧框架（ETF）是欧几里得空间中的一组相等的范数向量，其相干性尽可能小，等于Welch界。这种帧也被称为Welch-bound-equality序列，出现在各种应用中，例如波形设计、量子信息论、压缩传感和代数编码理论。ETF似乎很罕见，只有少数几种构建它们的方法是已知的。在本文中，我们提出了一个新的无限家庭的复杂的ETF，产生于超椭圆在有限的射影平面。特别是，我们给出了有史以来第一次建设一个复杂的ETF的76个向量的空间尺寸为19。最近，一种计算机辅助的方法被用来证明这种规模的真正ETF并不存在，解决了该领域长期存在的一个悬而未决的问题。我们的构造是对先前已知的用于从平衡不完全区组设计构造ETF的技术的修改。
Lattices and quadratic forms from tight frames in Euclidean spaces
本文提供了我们在线性代数应用510（2016）395- 420中关于欧几里得空间中紧框架的整数跨度的论文的补充。在前面的文章中，我们考虑了等角紧框架（ETF）的情况，证明了如果它的整跨度是格，那么框架必须是理性的，但忽略了相反方向的一个简单论点。因此我们的第一个结果是ETF的整跨度是格当且仅当框架是有理的。此外，我们讨论的条件下，这样的格是eutractic和完善的，因此，是局部最大值的包装密度函数在其跨度的尺寸。特别地，单元（276，23）等角紧框架被示出为是共规的和完美的。更一般的紧框架和他们的范数形式被认为是以及，并在二维和三维得到明确的结果。
Classification of equiangular lines with fixed angle $\arccos(1/(1+2\sqrt2))$
本文确定了在固定角度arccos(1/(1+2√2))下，不同维度d中等角线的最大数量，并给出了具体数值和公式。
On the Structure of Frames and Equiangular Lines over Finite Fields and their Connections to Design Theory
本文研究有限域上框架与等角线的结构，给出等角线系统成为等角紧框架的充要条件，证明向量集与正则单纯形相似的三重积条件，并建立有限正交几何等角线与组合设计理论的联系。
Noncommutative Equiangular Lines: van Lint-Seidel Relative and Gerzon Universal Bounds
该研究提出非交换等角线概念，并建立经典 van Lint–Seidel 相对界与 Gerzon 普适界的非交换推广。
Equiangular lines, Incoherent sets and Quasi-symmetric designs
可以在$\mathbf{R}^d$中找到的等角线数目的绝对上限是$d(d+1)/2$。饱和这个界限的线段集的例子只存在于维度$d=2,3,7$或$23$中。通过考虑非相干性的附加性质，证明了存在一组饱和绝对界和非相干界的等角线当且仅当$d=2,3,7$或$23$ .这使我们能够分类所有紧密的球形$5$ -设计$X$在$\mathbf{S}^{d-1}$，单位球，有一组$d$点的$X$的成对内积是积极的。对于给定的角度$κ$，存在关于具有公共角度$κ$的$\mathbf{R}^d$中的等角线的数目的相对上界。我们证明了，分类集的线饱和这个界限以及不一致的界限是等同于分类某些准对称设计，这是组合设计与两个块交叉数。给定进一步的自然假设，我们对饱和这两个边界的已知线集进行分类。该家族包括上述的线和在$\mathbf{R}^6$中发现的$16$等角线的最大集合。有无限多组已知的线饱和了相对界限，所以这个结果是令人惊讶的。为了阐明这一点，我们确定$E_8$晶格的投影到$8$维子空间的水蛭晶格定义的$276$等角线在$\mathbf{R}^{23}$。这种识别导致我们观察到一组等角线之间的对应关系，在小尺寸和例外的曲线的del Pezzo表面。
Upper bounds for $s$-distance sets and equiangular lines
度量空间中的点集称为$s$距离集，如果这些点之间的成对距离只允许$s$不同的值。具有标积$\{α, -α\}$，$α\in[0,1)$的集合的两距离球面集称为等角集。确定各种空间中$s$ -距离集的最大尺寸的问题在数学中有着悠久的历史。本文提出了一种新的方法，通过带状球函数来界定紧两点齐性空间中$s$距离集的大小。这个方法使我们能够证明$\mathbb{R}^n$，$n\geq 7$中的球形两距离集的最大尺寸是$\frac{n(n+1)}2$，对于某些$n=(2k+1)^2-3$，$k \in \mathbb{N}$可能有例外。我们还证明了具有$α=\frac 1 a$的等角集的普遍上界$\sim \frac 2 3 n a^2$，并利用这个界，证明了一个新的等角集在所有维度上的大小上界。最后，我们分类所有等角集达到这个新的界限。
Equiangular lines, mutually unbiased bases, and spin models
我们利用差集来构造复空间中有趣的直线集。利用（v，k，1）-差集，当k-1是素数幂时，我们得到了C^k中的k^2-k+1等角线.利用参数为（k，n，k，l）的半正则相对差集，我们构造了C^k中n+1个互无偏基的集合.我们展示了如何从交换半域构造这些差集，并且可以通过这种方式获得几个已知的相互无偏基的最大集，解决了关于最大集的单性的猜想。我们还相互无偏基地自旋模型。
Frames over finite fields: Basic theory and equiangular lines in unitary geometry
介绍了有限域上经典几何中框架和等角线的研究。在发展了基本理论之后，我们给出了几个例子，并演示了由模差集以及平移和调制算子产生的等角紧框架（ETF）的有限域模拟。利用后者，我们证明了在域$\mathbb{F}_{3^2}$上的维数为$d = 2^{2l+1}$的每一个酉几何中，Gerzon的界都是存在的.我们还调查复杂的ETF和有限酉几何之间的相互作用，我们表明，每一个复杂的ETF意味着在无限多个有限域上存在相同大小的ETF。
Equiangular lines and large multiplicity of fixed second eigenvalue
通过对江和Polyanskii以及江、Tidor、姚、张和赵的一个问题的讨论，我们证明了无穷多个角$θ$的存在，其中$θ$中在原点与成对角$θ$相交的最大直线数超过$n+Ω(\log\log n)$，但至多为$n+o(n)$ .为了实现这一点，我们构造，为各种真正的$λ$和整数$d$，$d$ -正则图的第二个特征值正好$λ$和任意大的第二个特征值重数。我们构造的中心是具有集中性质的二部图的因子分布。
The Lemmens-Seidel conjecture for base size $5$
本文用支柱法证明了基大小为5的Lemmens-Seidel猜想，并指出Greaves等人发现的57条等角线是Lin-Yu证明的反例，同时证明这些集合是强极大的，否定了Cao等人的唯一性猜想。
Frames over finite fields: Equiangular lines in orthogonal geometry
我们研究等角线在有限正交几何，特别是等角紧框架（ETF）的重点。与已知的对应关系之间的真实ETFs和强正则图（SRG），满足一定的参数约束，我们证明了ETFs在有限正交几何密切对齐的模块化推广的SRG。在我们的有限域设置的约束是较弱的，和所有，但~18已知的SRG参数$v \leq 1300$顶点满足至少其中之一。应用我们的结果，三角形图，我们推断，Gerzon的界限是在无限多个维度的有限正交几何。我们还展示了与真实的ETF的连接，并推导出有限正交几何中ETF的必要条件。作为应用，我们证明了在5维的有限正交几何中不能达到Gerzon界。
2- and 3-Covariant Equiangular Tight Frames
等角紧框架（ETF）是向量的配置，这些向量在几何上最佳地分散开并提供恒等式的分辨率。许多已知的ETF构造是群协变的，这意味着它们是由群对向量的作用产生的，就像所有已知的对称的、信息完备的、正算子值测度的构造一样。在这篇简短的文章中，将给出一些表征ETF的对称群的传递性的结果，并证明一个无限类的所谓的Gabor-Steiner ETF是Roux线，其中Roux线是双传递线的推广。
p-adic Equiangular Lines and p-adic van Lint-Seidel Relative Bound
本文定义p进等角线，证明联系公共角度、维数与线条数的p进 van Lint–Seidel 相对界，将经典等角线界推广到p进情形。
The Lasserre hierarchy for equiangular lines with a fixed angle
本文通过Lasserre层级第二、三层及正交群与一般线性群表示的联系，计算球面有限距离问题，并给出等角线最大数量的新线性界。
Equiangular lines with a fixed angle
解决一个长期存在的问题等角线，我们确定，对于每个给定的固定角度，并在所有足够大的尺寸，最大数量的线成对分开的给定角度。修复$0 < α< 1$。令$N_α(d)$表示$\mathbb{R}^d$中具有成对公共角$\arccos α$的通过原点的线的最大数目。令$k$表示邻接矩阵的谱半径恰好为$(1-α)/(2α)$的图中顶点的最小数目（如果存在）。如果是$k < \infty$，则对所有足够大的$d$都是$N_α(d) = \lfloor k(d-1)/(k-1) \rfloor$，否则是$N_α(d) = d + o(d)$。特别地，对于每个整数$k\ge 2$和所有足够大的$d$，都有$N_{1/(2k-1)}(d) = \lfloor k(d-1)/(k-1) \rfloor$。其中一个重要的组成部分是谱图理论中的一个新结果：连通有界度图的邻接矩阵具有次线性第二特征值重数。
Forbidden subgraphs for graphs of bounded spectral radius, with applications to equiangular lines
图的谱半径是其邻接矩阵的最大特征值。设$\mathcal{F}(λ)$是谱半径$\le λ$的连通图族.证明了$\mathcal{F}(λ)$可由有限的禁止子图集定义当且仅当$λ< λ^* := \sqrt{2+\sqrt{5}} \approx 2.058$和$λ\not\in \{α_2, α_3, \dots\}$，其中$α_m = β_m^{1/2} + β_m^{-1/2}$和$β_m$是$x^{m+1}=1+x+\dots+x^{m-1}$的最大根.研究$\mathcal{F}(λ)$的禁用子图特征是由估计$n$维欧氏空间$\mathbb{R}^n$中等角线的最大基数问题引起的-$\mathbb{R}^n$是一族通过原点的线，使得它们中的任何一对之间的角度是相同的。用$N_α(n)$表示$\mathbb{R}^n$中具有角度$\arccosα$的等角线的最大数量。对每个$α\ge \frac{1}{1+2λ^*}$建立了渐近公式$N_α(n) = c_αn + O_α(1)$.特别是$N_{1/3}(n) = 2n+O(1)$和$N_{1/5}(n), N_{1/(1+2\sqrt{2})}(n) = \frac{3}{2}n+O(1)$。此外，我们还证明了对每个$α\neq \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{5}, \tfrac{1}{1+2\sqrt{…
Harmonic equiangular tight frames comprised of regular simplices
等角紧框架（ETF）是欧几里得空间中的单位范数向量序列，其相干性在Welch界中达到相等，从而在射影空间中产生最优填充。正则单纯形是一种简单类型的ETF，其中向量的数量比底层空间的维度多一个。更复杂的例子包括谐波ETF，其等同于有限阿贝尔群中的差集。最近，它表明，一些谐波ETF是由规则的单纯形。在本文中，我们继续对这些特殊的谐波ETF进行研究。我们首先描述ETF的正则单形所跨越的子空间何时形成等等倾紧融合框架（EITFF），这是格拉斯曼空间中的一种最优填充。我们将看到，以这种方式产生EITFF的每个差集也产生一个复循环会议矩阵。接下来，我们考虑这些差集的一个子类，它可以分解为一个较小的差集和一个相对的差集。事实证明，这些相对差异集有助于第二个相关但不同的复杂循环会议矩阵的构建。最后，我们提供了明确的无限家族的ETF，这一理论适用。
Equiangular lines via nodal domains
本文通过特征函数的结点域概念，证明了第二大特征值的最大重数界，回答了Jiang等人的问题并改进了等角线相关结果。
$k$-Homogeneous Equiangular Tight Frames
本文研究了k-均质等角紧框架的几何和组合特性，分析了其对称群结构，并刻画了所有k-均质ETFs的特征。
Equiangular lines via matrix projection
本文通过矩阵投影方法，统一并改进了现有方法，得到了等角线问题的最佳上界，并扩展了Alon-Boppana定理至密集图。
A short note on cospectral and integral chain graphs for Seidel matrix
本文研究了 Seidel 矩阵的同谱与积分链图，推导出生成无限多个同谱不等价链图的公式，并得到一族 Seidel 积分链图，反证否定了 Greaves 提出的关于含三个有理特征值的 Seidel 矩阵是否包含正则图的猜想。
New bounds for equiangular lines and Balla's conjecture
本文研究了等角线的最大数目，证明了Balla猜想对两个特定角度成立，并发现该猜想对无穷多个角度不成立。
Roux schemes which carry association schemes locally
研究Roux方案的构造与特性，证明其邻域诱导关联方案的性质，并展示64等角线在C^8中的唯一性。
New constructions of optimal arrangements of $2d$ lines in $\mathbb{C}^d$
该研究将Fallon等人的加倍构造推广为张量乘法构造，结合阿达马矩阵与等角紧框架配对，基于素数幂等给出复空间中等角紧框架的新构造，推广了Turyn的会议矩阵构造。
Optimal line packings from nonabelian groups
我们使用组方案来构造通过原点的线的最优填充。在这种情况下，最佳的线包装自然的特点是使用表示论，这反过来又导致了一个必要的完整性条件的等角中心组框架的存在。我们的结论与一个无限的家庭的最佳线包装使用组计划与某些铃木2-群，具体地说，海森堡群的扩展。值得注意的是，这是第一个已知的无限族等角紧框架所产生的表示非阿贝尔群。
The Lemmens-Seidel conjecture and forbidden subgraphs
本文证明了1973年Lemmens和Seidel关于具有公共角$\arccos (1/5)$的等角直线系的猜想是正确的。我们的主要工具是最小Seidel特征值$-5$的禁止子图。
Groupes d'isométries permutant doublement transitivement un ensemble de droites vectorielles
设X是非空有限集，E是有限维欧氏向量空间，G是E的正交群O（E）的有限子群.假设GG={U_i| i in X}是E中线性直线的有限集，是G的一个轨道，其上的运算是二次传递的。则GG是一组等角直线，这意味着我们可以找到一个实数“c”，以及直线U_i（i in X）的生成元u_i，使得对于X中的所有i，j，||u_i|| =1，如果i不同于j，则（u_i| u_j）= \gve_{i,j} .c，其中\gve_{i,j}在{-1，+1\}中设Gamma是顶点集为X的单图，当\gve_{i,j} =-1时，其中两个顶点（比如i和j）是连通的.本文首先探讨了G的双传递性与Gamma的几何性质之间的关系。然后我们构造了几个与二次传递群G相关联的图，特别是在维数为（q+1）/2的向量空间中，任何Paley图都与G=PSL_2（q）在q+1条等角线上的表示相关联.
Bounds on two-distance sets in Euclidean space and Unit Sphere
本文利用 Seidel 矩阵与谱方法，分别给出欧几里得空间和单位球面上二距离集基数的显式上界，并揭示球面情形与等角线相对界的联系。
More on the optimal arrangement of $2d$ lines in $\mathbb{C}^d$
本文提出一类新的 $d\times 2d$ 等角紧框架，并借助 Newton-Kantorovich 定理的计算机辅助验证及数值构造，证明或支持该框架对所有 $d\leq 1500$ 存在的猜想。
On the optimal arrangement of $2d$ lines in $\mathbb{C}^d$
本研究证明当阶数为 $d+1$ 的斜 Hadamard 矩阵存在时，$\u2102^d$ 中 $2d$ 条直线的最优相干性满足 Welch 界，通过 Hadamard 加倍变体构造新规模等角紧框架，并给出 $d<150$ 时的对应取值。
An extension of Bravyi-Smolin's construction for UMEBs
我们扩展了Bravyi和Smolin的构造，从等角线获得不可扩展的最大纠缠基（UMEBs）。我们发现，等角真正的预测排名超过1也表现出UMEBs的例子。这些投影出现在格拉斯曼空间中的最优子空间填充的上下文中。这种推广产生了新的例子UMEBs在无穷多个维度的基础系统。因此，我们找到了奇数维矩阵的对称子空间的一组正交酉基。这一发现验证了最近的猜想混合酉秩的对称沃纳-Holevo通道在无限多个维度。
A new proof of the Lemmens-Seidel conjecture
针对具有公共夹角$\u000barccos(1/5)$的等角线最大数量的Lemmens-Seidel猜想，本文提出了一个基于图特征值重数界的新证明，还为公共夹角为$\u000barccos(1/3)$的经典结果给出了新证。
More on lines in Euclidean Ramsey theory
设$\ell_m$是一条直线上的一系列$m$点，其中连续点的距离为1。回答Fox和第一作者以及Arman和Tsaturian提出的一个问题，我们证明了对于每个不包含$\ell_3$的红色拷贝和$\ell_m$的蓝色拷贝的$n$，存在一个自然数$m$和一个红色/蓝色着色的$\mathbb{E}^n$。
Non-spherical sets versus lines in Euclidean Ramsey theory
本文证明了对任意非球面集 X，存在自然数 m 及对任意维数 n 的欧几里得空间着色，避免红色 X 副本和蓝色单位距离等差数列，验证了 Wu 与第一作者的猜想。
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