Some Remarks on Systems of Equiangular Lines
Mengyue Cao, Jack H. Koolen, Jae Young Yang
本文研究了具有余弦$α$的$\mathbb{R}^d$中等角直线系的最大数$N_α(d)$，其中$\frac{1}α$不是奇正整数.本说明是由Balla、Dräxler、Keevash和Sudakov在一篇$2018$论文中的评论激发的。
In this note, we study the maximum number $N_α(d)$ of a system of equiangular lines in $\mathbb{R}^d$ with cosine $α$, where $\frac{1}α$ is not an odd positive integer. This note is motivated by a remark in a $2018$ paper by Balla, Dräxler, Keevash and Sudakov.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Saturated configuration and new large construction of equiangular lines
在欧几里得空间中，一组通过原点的直线称为等角，当这组直线中的任何一对直线以一个共同的角度相交时。本文研究了欧氏空间中等角线的最大长度，并利用图论方法证明了：当$14 \leq d \leq 20$和$d \neq 15$满足时，$\mathbb R^d$中所有已知的最大等角线的构造都不能增加另一条线以形成更大的等角线集.给出了$\mathbb R^{42}$中248条等角线、$\mathbb{R}^{41}$中200条等角线、$\mathbb{R}^{40}$中168条等角线、$1/7$中152条等角线和$1/5$中56条等角线的新构造。
Large sets of complex and real equiangular lines
在复数和实数上，从相互无偏基的集合构造大的等角线集合。
A remark on a construction of D.S. Asche
证明了D.S. 19维欧几里得空间中的72条等角线的Asche包含嵌入18维子空间中的54条等角线的子集。
Equiangular lines in low dimensional Euclidean spaces
我们发现，等角线系统在14和16维的最大基数分别为28和40，从而解决了一个长期的开放问题。我们还将19维和20维等角线系统基数的上界分别提高到74和94。
Equiangular lines in Euclidean spaces: dimensions 17 and 18
我们证明了在17维空间中等角线系统的最大基数是48，从而解决了一个长期存在的问题。此外，通过给出一个显式构造，我们将18维等角线系的最大基数的下界提高到57。
Constructions of complex equiangular lines from mutually unbiased bases
如果$\mathbb{C}^d$中的一组具有相等范数的向量的每对不同向量的厄米内积的大小相等，则该组向量表示等角线。这样的集合的最大大小是$d^2$，并且假定对于每个$d \geq 2$，在$\mathbb{C}^d$中存在具有该最大大小的集合。我们对这个猜想采取组合方法，在以下3种等角线的构造中使用相互无偏基（MUB）：（2）使用$\mathbb{C}^d$中的$d$ MUB集合在$\mathbb{C}^{2d}$中构建$d^2$等角线，（3）在$\mathbb{C}^d$中组合一组$d$ MUB的两个拷贝以在$\mathbb{C}^{2d}$中构建$(2d)^2$等角线。对于每一个结构，我们给出了尺寸$d$，我们目前知道，该结构产生一个最大尺寸的等角线集。
Equiangular lines and eigenvalue multiplicities
本文综述固定夹角等角线的最大数量问题，并阐明其与图的第二特征值重数问题之间的关联。
Equiangular line systems and switching classes containing regular graphs
我们发展了欧几里得空间中的等角线理论。我们的重点是当一个赛德尔矩阵有三个不同的特征值有一个正则图在其开关类的问题。通过寻找一些必要条件和充分条件，我们在回答这个问题上取得了一些进展。进一步证明了$18$维欧几里得空间中等角直线系的基数至多为$60$ .
Equiangular Lines and Covers of the Complete Graph
实空间中的等角线集与完全图的距离正则双覆盖之间的关系，自70年代Seidel等人的工作以来，已广为人知并得到了广泛的研究。本文的主要内容是继续研究复等角线与具有较大指数的完全图的距离正则覆盖之间的关系。给定一组满足相对（或Welch）界的等角线，证明了如果相应的Gram矩阵的元素是单位的素根，那么这些等角线可以用来构造直径为3的对映距离正则图.我们还详细研究了如何利用一组等角线的绝对（或Gerzon）界来推导完全图的阿贝尔距离正则覆盖的参数界。
A simple construction of complex equiangular lines
如果$\mathbb{C}^d$中的一组具有相等范数的向量的每对不同向量的内积的大小相等，则该组向量表示等角线。这样的集合的最大大小是$d^2$，并且假定对于每个$d \geq 2$，在$\mathbb{C}^d$中存在具有该最大大小的集合。我们描述了一个新的建设最大规模的等角线集，暴露了以前不认识的阿达玛矩阵的连接。该构造在维度2、3和8中产生最大尺寸的等角线集合。
Equiangular subspaces in Euclidean spaces
一组通过原点的直线被称为等角的，如果每对直线定义相同的角度，并且在$\mathbb{R}^n$中等角直线集的最大尺寸在过去的70年中被广泛研究。本文研究了$k$维子空间的类似问题。我们讨论自然的方式来定义之间的角度$k$维子空间和相应的研究的最大尺寸的等角集的$k$维子空间在$\mathbb{R}^n$。我们的界推广和改进了Blokhuis的一个结果。
Equiangular lines and the Lemmens-Seidel conjecture
本文利用$276$顶点上的二图的唯一性，通过对柱分解的分析，证明了Lemmens和Seidel在1973年提出的关于有角线的等角集为$1/5$的结论.推广了Neumann定理，即如果$\mathbb{R}^r$中有多于一条$2r-2$等角线，则其夹角受到很大的限制。连同技术上找到饱和等角集，我们确定等角集的最大尺寸“完全”在$r$维欧几里得空间的$r = 8$，$9$，和$10$。
Sets of equiangular lines in dimension $18$ constructed from $A_9 \oplus A_9 \oplus A_1$
本文基于切换根概念将维度18的等角线集合嵌入秩19格，表征为根格 $A_9\oplus A_9\oplus A_1$ 的 overlattice，证明至少存在 $246896$ 个此类强极大的57条等角线集合。
Four-point semidefinite bound for equiangular lines
$\mathbb{R}^d$中通过原点的一组直线称为等角，如果该组直线中的任何两条直线形成相同的角度。我们证明了一个替代版本的三点半定约束开发的Bachoc和Vallentin，和多点半定约束开发的Musin球形码。当对象是球面$s$ -距离集时，替代半定约束更简单.利用替代的四点半定约束，我们找到了等角线的四点半定界。这一结果改进了具有指定角度的无穷多个维度$d$的上界。作为该界的推论，我们证明了$\mathbb{R}^d$中等角线的最大构造对于内积为$α= 1/3$的$7 \leq d \leq 14$和具有$α= 1/5$的$23 \leq d \leq 64$是唯一的.
Sets of equiangular lines in dimension $18$ constructed from $A_5^3 \oplus A_1^4$
本文利用拉丁方和Pasch构型，在 $A_5^3 \oplus A_1^4$ 的整覆盖格中构造仿射等角集，得到 $\mathbb{R}^{18}$ 中新的57条等角线集合，这些集合非强极大且仅有五个不同的Seidel特征值。
Real equiangular lines in dimension 18 and the Jacobi identity for complementary subgraphs
本文证明了18维实等角线系统的最大基数至多为59，其核心方法是对互补子图Jacobi恒等式的新颖应用，并据此排除了特定特征多项式对应图的存在性。
Enumeration of sets of equiangular lines with common angle $\arccos(1/3)$
该研究通过根格等距映射理论证明了7维公角为$\arccos(1/3)$的等角线集合计数的近对称性，并借助根切换构造高维此类集合，最终确定所有正整数规模的对应集合总数。
On equiangular lines in 17 dimensions and the characteristic polynomial of a Seidel matrix
对于$e$是一个正整数，我们发现限制模$2^e$的特征多项式$χ_S(x)$的系数的赛德尔矩阵$S$。我们证明，对于$n$阶的Seidel矩阵，甚至（分别。奇数），最多有$2^{\binom{e-2}{2}}$（分别为$2^{\binom{e-2}{2}+1}$）的可能性的同余类的$χ_S(x)$模$2^e\mathbb Z[x]$。作为这些结果的应用，我们得到了对$\mathbb R^{17}$中等角线数目上界的一个改进，即将已知的上界从$50$降为$49$ .
Equiangular Lines and Spherical Codes in Euclidean Space
在欧几里得空间中，如果任何一对直线定义了相同的角度，则通过原点的直线族称为等角。在$\mathbb{R}^n$中估计这样的族的最大基数的问题在过去的70年中被广泛研究。受Lemmens和Seidel在1973年提出的一个问题的启发，本文证明了：对于任何固定角$θ$和足够大的$n$，在具有公共角$θ$的$\mathbb{R}^n$中至多存在$2n-2$线.此外，这仅对于$θ= \arccos(1/3)$是可实现的。我们还表明，对于任何一组的$k$固定的角度，可以找到在最多的$O(n^k)$线在$\mathbb{R}^n$具有这些角度。这个界限，由Bukh提出，大大提高了Delsarte，Goethals和Seidel从1975年开始的估计。这些结果的各种扩展到更一般的设置的球形代码将进行讨论。
Equiangular lines via improved eigenvalue multiplicity
本文利用图第二大特征值重数的改进上界，确定了大维欧氏空间中特定公共角下等角线的最大数量，并将已有维度阈值由双指数级降至指数级。
Families of Equiangular Lines and Lattices
本文构造了最小向量支持大等角直线族的欧几里得格，利用模2约化，并解决了Greaves提出的相关问题。
Equiangular lines in Euclidean spaces
我们得到了几个新的结果，为实等角线系的理论作出了贡献。除此之外，我们提出了一个新的一般下界的最大数量的等角线在d维欧几里得空间;我们描述了两个图的12个顶点;我们调查赛德尔矩阵正好有三个不同的特征值。因此，我们改进了两个长期存在的上界的最大数量的等角线的尺寸d=14，和d=16。此外，我们还证明了某些具有四个特征值的正则图的不存在性，并纠正了文献中的一些表格。
On the Structure of Frames and Equiangular Lines over Finite Fields and their Connections to Design Theory
本文研究有限域上框架与等角线的结构，给出等角线系统成为等角紧框架的充要条件，证明向量集与正则单纯形相似的三重积条件，并建立有限正交几何等角线与组合设计理论的联系。
Noncommutative Equiangular Lines: van Lint-Seidel Relative and Gerzon Universal Bounds
该研究提出非交换等角线概念，并建立经典 van Lint–Seidel 相对界与 Gerzon 普适界的非交换推广。
Equiangular lines, Incoherent sets and Quasi-symmetric designs
可以在$\mathbf{R}^d$中找到的等角线数目的绝对上限是$d(d+1)/2$。饱和这个界限的线段集的例子只存在于维度$d=2,3,7$或$23$中。通过考虑非相干性的附加性质，证明了存在一组饱和绝对界和非相干界的等角线当且仅当$d=2,3,7$或$23$ .这使我们能够分类所有紧密的球形$5$ -设计$X$在$\mathbf{S}^{d-1}$，单位球，有一组$d$点的$X$的成对内积是积极的。对于给定的角度$κ$，存在关于具有公共角度$κ$的$\mathbf{R}^d$中的等角线的数目的相对上界。我们证明了，分类集的线饱和这个界限以及不一致的界限是等同于分类某些准对称设计，这是组合设计与两个块交叉数。给定进一步的自然假设，我们对饱和这两个边界的已知线集进行分类。该家族包括上述的线和在$\mathbf{R}^6$中发现的$16$等角线的最大集合。有无限多组已知的线饱和了相对界限，所以这个结果是令人惊讶的。为了阐明这一点，我们确定$E_8$晶格的投影到$8$维子空间的水蛭晶格定义的$276$等角线在$\mathbf{R}^{23}$。这种识别导致我们观察到一组等角线之间的对应关系，在小尺寸和例外的曲线的del Pezzo表面。
Bounds on equiangular lines and on related spherical codes
一个$L$ -球形码是一组欧几里德单位向量，其成对内积属于集合$L$。我们表明，对于一个固定的$α,β>0$，任何$[-1,-β]\cup\{α\}$球形码的大小是在最线性的维度。特别地，这个界限适用于每两条线彼此成固定角度的线集合。
New Upper Bounds for Equiangular Lines by Pillar Decomposition
我们推导出一个程序来计算上界的等角线的数量在各种欧几里德向量空间的推广的经典柱分解（Lemmens和Seidel，1973年），即，我们使用线性代数和组合的参数，以界定的数量的向量在等角集有内积的某些迹象与一个负团。在投影和重新标度之后，这样的集合也是某些球面双距离集合，并且可以使用半定规划技术来限制大小。应用我们的方法，我们证明了新的相对界限的角度arccos（1/5）。实验表明，我们的相对界限，所有可能的角度是相当小于已知的SDP范围内的更大的尺寸r。我们的计算结果还表明，一组等角线的大小显式的界限，无论角度，这是严格小于著名的Gerzon的界限，如果r+2不是一个奇数的平方。
Upper bounds for $s$-distance sets and equiangular lines
度量空间中的点集称为$s$距离集，如果这些点之间的成对距离只允许$s$不同的值。具有标积$\{α, -α\}$，$α\in[0,1)$的集合的两距离球面集称为等角集。确定各种空间中$s$ -距离集的最大尺寸的问题在数学中有着悠久的历史。本文提出了一种新的方法，通过带状球函数来界定紧两点齐性空间中$s$距离集的大小。这个方法使我们能够证明$\mathbb{R}^n$，$n\geq 7$中的球形两距离集的最大尺寸是$\frac{n(n+1)}2$，对于某些$n=(2k+1)^2-3$，$k \in \mathbb{N}$可能有例外。我们还证明了具有$α=\frac 1 a$的等角集的普遍上界$\sim \frac 2 3 n a^2$，并利用这个界，证明了一个新的等角集在所有维度上的大小上界。最后，我们分类所有等角集达到这个新的界限。
Equiangular lines, mutually unbiased bases, and spin models
我们利用差集来构造复空间中有趣的直线集。利用（v，k，1）-差集，当k-1是素数幂时，我们得到了C^k中的k^2-k+1等角线.利用参数为（k，n，k，l）的半正则相对差集，我们构造了C^k中n+1个互无偏基的集合.我们展示了如何从交换半域构造这些差集，并且可以通过这种方式获得几个已知的相互无偏基的最大集，解决了关于最大集的单性的猜想。我们还相互无偏基地自旋模型。
Frames over finite fields: Basic theory and equiangular lines in unitary geometry
介绍了有限域上经典几何中框架和等角线的研究。在发展了基本理论之后，我们给出了几个例子，并演示了由模差集以及平移和调制算子产生的等角紧框架（ETF）的有限域模拟。利用后者，我们证明了在域$\mathbb{F}_{3^2}$上的维数为$d = 2^{2l+1}$的每一个酉几何中，Gerzon的界都是存在的.我们还调查复杂的ETF和有限酉几何之间的相互作用，我们表明，每一个复杂的ETF意味着在无限多个有限域上存在相同大小的ETF。
Equiangular lines and large multiplicity of fixed second eigenvalue
通过对江和Polyanskii以及江、Tidor、姚、张和赵的一个问题的讨论，我们证明了无穷多个角$θ$的存在，其中$θ$中在原点与成对角$θ$相交的最大直线数超过$n+Ω(\log\log n)$，但至多为$n+o(n)$ .为了实现这一点，我们构造，为各种真正的$λ$和整数$d$，$d$ -正则图的第二个特征值正好$λ$和任意大的第二个特征值重数。我们构造的中心是具有集中性质的二部图的因子分布。
Frames over finite fields: Equiangular lines in orthogonal geometry
我们研究等角线在有限正交几何，特别是等角紧框架（ETF）的重点。与已知的对应关系之间的真实ETFs和强正则图（SRG），满足一定的参数约束，我们证明了ETFs在有限正交几何密切对齐的模块化推广的SRG。在我们的有限域设置的约束是较弱的，和所有，但~18已知的SRG参数$v \leq 1300$顶点满足至少其中之一。应用我们的结果，三角形图，我们推断，Gerzon的界限是在无限多个维度的有限正交几何。我们还展示了与真实的ETF的连接，并推导出有限正交几何中ETF的必要条件。作为应用，我们证明了在5维的有限正交几何中不能达到Gerzon界。
2- and 3-Covariant Equiangular Tight Frames
等角紧框架（ETF）是向量的配置，这些向量在几何上最佳地分散开并提供恒等式的分辨率。许多已知的ETF构造是群协变的，这意味着它们是由群对向量的作用产生的，就像所有已知的对称的、信息完备的、正算子值测度的构造一样。在这篇简短的文章中，将给出一些表征ETF的对称群的传递性的结果，并证明一个无限类的所谓的Gabor-Steiner ETF是Roux线，其中Roux线是双传递线的推广。
p-adic Equiangular Lines and p-adic van Lint-Seidel Relative Bound
本文定义p进等角线，证明联系公共角度、维数与线条数的p进 van Lint–Seidel 相对界，将经典等角线界推广到p进情形。
The Lasserre hierarchy for equiangular lines with a fixed angle
本文通过Lasserre层级第二、三层及正交群与一般线性群表示的联系，计算球面有限距离问题，并给出等角线最大数量的新线性界。
The Lemmens-Seidel conjecture for base size $5$
本文用支柱法证明了基大小为5的Lemmens-Seidel猜想，并指出Greaves等人发现的57条等角线是Lin-Yu证明的反例，同时证明这些集合是强极大的，否定了Cao等人的唯一性猜想。
Classification of equiangular lines with fixed angle $\arccos(1/(1+2\sqrt2))$
本文确定了在固定角度arccos(1/(1+2√2))下，不同维度d中等角线的最大数量，并给出了具体数值和公式。
Equiangular lines with a fixed angle
解决一个长期存在的问题等角线，我们确定，对于每个给定的固定角度，并在所有足够大的尺寸，最大数量的线成对分开的给定角度。修复$0 < α< 1$。令$N_α(d)$表示$\mathbb{R}^d$中具有成对公共角$\arccos α$的通过原点的线的最大数目。令$k$表示邻接矩阵的谱半径恰好为$(1-α)/(2α)$的图中顶点的最小数目（如果存在）。如果是$k < \infty$，则对所有足够大的$d$都是$N_α(d) = \lfloor k(d-1)/(k-1) \rfloor$，否则是$N_α(d) = d + o(d)$。特别地，对于每个整数$k\ge 2$和所有足够大的$d$，都有$N_{1/(2k-1)}(d) = \lfloor k(d-1)/(k-1) \rfloor$。其中一个重要的组成部分是谱图理论中的一个新结果：连通有界度图的邻接矩阵具有次线性第二特征值重数。
Forbidden subgraphs for graphs of bounded spectral radius, with applications to equiangular lines
图的谱半径是其邻接矩阵的最大特征值。设$\mathcal{F}(λ)$是谱半径$\le λ$的连通图族.证明了$\mathcal{F}(λ)$可由有限的禁止子图集定义当且仅当$λ< λ^* := \sqrt{2+\sqrt{5}} \approx 2.058$和$λ\not\in \{α_2, α_3, \dots\}$，其中$α_m = β_m^{1/2} + β_m^{-1/2}$和$β_m$是$x^{m+1}=1+x+\dots+x^{m-1}$的最大根.研究$\mathcal{F}(λ)$的禁用子图特征是由估计$n$维欧氏空间$\mathbb{R}^n$中等角线的最大基数问题引起的-$\mathbb{R}^n$是一族通过原点的线，使得它们中的任何一对之间的角度是相同的。用$N_α(n)$表示$\mathbb{R}^n$中具有角度$\arccosα$的等角线的最大数量。对每个$α\ge \frac{1}{1+2λ^*}$建立了渐近公式$N_α(n) = c_αn + O_α(1)$.特别是$N_{1/3}(n) = 2n+O(1)$和$N_{1/5}(n), N_{1/(1+2\sqrt{2})}(n) = \frac{3}{2}n+O(1)$。此外，我们还证明了对每个$α\neq \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{5}, \tfrac{1}{1+2\sqrt{…
Equiangular lines via nodal domains
本文通过特征函数的结点域概念，证明了第二大特征值的最大重数界，回答了Jiang等人的问题并改进了等角线相关结果。
$k$-Homogeneous Equiangular Tight Frames
本文研究了k-均质等角紧框架的几何和组合特性，分析了其对称群结构，并刻画了所有k-均质ETFs的特征。
Equiangular lines via matrix projection
本文通过矩阵投影方法，统一并改进了现有方法，得到了等角线问题的最佳上界，并扩展了Alon-Boppana定理至密集图。
New bounds for equiangular lines and Balla's conjecture
本文研究了等角线的最大数目，证明了Balla猜想对两个特定角度成立，并发现该猜想对无穷多个角度不成立。
New constructions of optimal arrangements of $2d$ lines in $\mathbb{C}^d$
该研究将Fallon等人的加倍构造推广为张量乘法构造，结合阿达马矩阵与等角紧框架配对，基于素数幂等给出复空间中等角紧框架的新构造，推广了Turyn的会议矩阵构造。
A short note on cospectral and integral chain graphs for Seidel matrix
本文研究了 Seidel 矩阵的同谱与积分链图，推导出生成无限多个同谱不等价链图的公式，并得到一族 Seidel 积分链图，反证否定了 Greaves 提出的关于含三个有理特征值的 Seidel 矩阵是否包含正则图的猜想。
Roux schemes which carry association schemes locally
研究Roux方案的构造与特性，证明其邻域诱导关联方案的性质，并展示64等角线在C^8中的唯一性。
Optimal line packings from nonabelian groups
我们使用组方案来构造通过原点的线的最优填充。在这种情况下，最佳的线包装自然的特点是使用表示论，这反过来又导致了一个必要的完整性条件的等角中心组框架的存在。我们的结论与一个无限的家庭的最佳线包装使用组计划与某些铃木2-群，具体地说，海森堡群的扩展。值得注意的是，这是第一个已知的无限族等角紧框架所产生的表示非阿贝尔群。
The Lemmens-Seidel conjecture and forbidden subgraphs
本文证明了1973年Lemmens和Seidel关于具有公共角$\arccos (1/5)$的等角直线系的猜想是正确的。我们的主要工具是最小Seidel特征值$-5$的禁止子图。
More on the optimal arrangement of $2d$ lines in $\mathbb{C}^d$
本文提出一类新的 $d\times 2d$ 等角紧框架，并借助 Newton-Kantorovich 定理的计算机辅助验证及数值构造，证明或支持该框架对所有 $d\leq 1500$ 存在的猜想。
Complex Lines with Restricted Angles
本文研究$\cx^n$中单位向量的大集合，使得它们的标准内积的绝对值只取少数值。我们从边界开始：只有一组给定角度的一组直线的最大尺寸是多少？我们重新推导了一系列的上界最初由于Delsarte，Goethals和Seidel，但在一个新的方式，只使用带状多项式和线性代数。在这个过程中，我们得到了一些关于复$t$ -设计的新结果，也得到了一些关于紧性的新刻画。接下来，我们考虑建筑。我们使用线性码和Cayley图描述了一些通用的构造，然后转移到问题的两个具体实例：相互无偏的基础和等角线。这两个案例的动机都是量子计算中的问题，尽管它们也在数字通信中有应用。互无偏基是来自不同基的向量之间具有恒定角度的规范正交基的集合。我们构建一些最大集素幂维，最初是由于Calderbank，卡梅隆，坎特和赛德尔，但再次在一个新的方式使用相对差集或距离经常对映覆盖。我们还详细介绍了他们的许多关系，其他组合对象，包括辛传播，正交分解的李代数，自旋模型。在外围，我们讨论了相互无偏基地在小尺寸，不是素数的权力，并在真正的向量空间。等角线是向量的集合，它们之间只有一个角。我们使用来自有限几何的差集来构造等角线：这些差集没有最大尺寸，但是它们相对于具有相同绝对值的所有条目是最大的。我们还包括一些关于大维数极大集构造的否定结果。
On the optimal arrangement of $2d$ lines in $\mathbb{C}^d$
本研究证明当阶数为 $d+1$ 的斜 Hadamard 矩阵存在时，$\u2102^d$ 中 $2d$ 条直线的最优相干性满足 Welch 界，通过 Hadamard 加倍变体构造新规模等角紧框架，并给出 $d<150$ 时的对应取值。
A new proof of the Lemmens-Seidel conjecture
针对具有公共夹角$\u000barccos(1/5)$的等角线最大数量的Lemmens-Seidel猜想，本文提出了一个基于图特征值重数界的新证明，还为公共夹角为$\u000barccos(1/3)$的经典结果给出了新证。
Nearly orthogonal vectors and small antipodal spherical codes
如何排列$\mathbb{R}^d$中的$d+k$向量，使它们尽可能接近正交？特别地，定义$θ(d,k):=\min_X\max_{x\neq y\in X}|\langle x,y\rangle|$，其中在$d+k$单位向量$X\subseteq\mathbb{R}^d$的所有集合上取最小值。在本文中，我们专注于$k$是固定的情况下，$d\to\infty$。在建立$θ(d,k)$上的界时，我们发现了与$\mathbb{R}^k$中的${k+1\choose 2}$等角线系统的存在性的密切联系。使用这种连接，我们能够在$k\in\{1,2,3,7,23\}$时确定$θ(d,k)$，并建立一般$k$的渐近性。当$μ$是$\mathbb{R}^k$上的各向同性概率质量时，主要工具是对$\mathbb{E}_{x,y\simμ}|\langle x,y\rangle|$的上界，这可能是独立的兴趣。我们的结果自然地转化为$\mathbb{C}^d$中的类似问题。在这种情况下，问题涉及到系统的存在$k^2$等角线在$\mathbb{C}^k$，也被称为SIC-POVM在物理学文献。
A remark on ${\mathbb F}_{q^n}$-Linear MRD codes
本文给出了广义Gabidulin码的最小秩元素的Grassmann坐标描述。因此，线性多项式的秩最多$n-k$的表征，以及距离$d=n-k+1$的MRD码的参数方程。
Some non-standard ways to generate SIC-POVMs in dimensions 2 and 3
对称信息完备正算符值测度（SIC-POVM）的概念作为量子系统的一种最优测度基而出现在物理学中。然而，它们的存在性问题等价于\emph{complex equiangular lines}的极大集的存在性问题。也就是说，给定一个维数为$d$的复希尔伯特空间，在跨越这些线的单位向量之间的内积都有一个共同的绝对值的意义上，人们能找到的最大数量的（复）线是多少？最大集合将由所有具有共同角度$\arccos{\frac{1}{\sqrt{d+1}}}$的$d^2$线组成。同样的问题在实际情况中也被提出来了，并得到了部分答案。但在撰写本文时，在真实或复杂的情况下还没有发现统一的理论结果：一些零星的低维数值构造已经转化为代数解，但除此之外，我们知之甚少。它是明确的，这样的结构总是出现的轨道下的Weyl（或广义泡利）组的行动，某些基准向量。本文提出了几种新的最低维构造方法（$d=2$和$d=3$）。我们应该提到的是，这样构造的SIC-POVM都是酉等价于先前已知的SIC-POVM。
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