Commutative subalgebras of $U(\mathfrak q)$ of maximal transcendence degree
Oksana Yakimova
证明了有限维李代数$\mathfrak q$的包络代数$U(\mathfrak q)$包含一个最大可能超越度的交换子代数$(\dim\mathfrak q+ \mathrm{ind}\,\mathfrak q)/2$ .
We prove that the enveloping algebra $U(\mathfrak q)$ of a finite-dimensional Lie algebra $\mathfrak q$ contains a commutative subalgebra of the maximal possible transcendence degree $(\dim\mathfrak q+ \mathrm{ind}\,\mathfrak q)/2$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Irreducible module decompositions of rank 2 symmetric hyperbolic Kac-Moody Lie algebras by $\mathfrak{sl}_2$ subalgebras which are generalizations of principal $\mathfrak{sl}_2$ subalgebras
双曲Kac-Moody李代数存在主$\mathfrak{sl}_2$子代数.在秩为2的对称双曲Kac-Moody李代数的情形下，构造了某些$\mathfrak{sl}_2$子代数.这些子代数是主$\mathfrak{sl}_2$子代数的推广。我们证明了秩为2的对称双曲Kac-Moody李代数在这个$\mathfrak{sl}_2$子代数的作用下是不可约分解的.此外，我们分类的分解的不可约组件。特别地，我们得到了酉主列和补列的重数。
The subalgebras of $\mathfrak{so}(4,\mathbb{C})$
我们对$\mathfrak{so}(4,\mathbb{C})$的可解子代数、半单子代数和Levi可分解子代数进行了分类，直到内自同构.根据Levi定理，这是$\mathfrak{so}(4,\mathbb{C})$的子代数的一个完全分类.
Bounded reductive subalgebras of sl(n)
设$\mathfrak g$是半单李代数，$\mathfrak k\subset\mathfrak g$是$\mathfrak g$子代数的约化.一个$(\mathfrak g, \mathfrak k)$ -模是一个$\mathfrak g$ -模，它在限制为$\mathfrak k$之后成为有限维$\mathfrak k$ -模的直和。I.Penkov和V.Serganova给出了约化子代数$\mathfrak k\subset\mathfrak g$的有界$(\mathfrak g, \mathfrak k)$ -模的定义，即$\mathfrak k$ -重数一致有界的$(\mathfrak g, \mathfrak k)$ -模.在这种情况下产生的一个问题是，给定$\mathfrak g$，描述所有还原的$\mathfrak g$有界子代数，即还原的$\mathfrak g$子代数$\mathfrak k$至少有一个无限维有界$(\mathfrak g, \mathfrak k)$ -模存在。本文给出了$\mathfrak{sl}_n$有界子代数中所有约化的显式刻画.我们的技术是基于辛几何和球面簇的概念。我们还刻画了有界简单$(\mathfrak g, \mathfrak k)$ -模的相关簇的不可约分支。
Root Fernando-Kac subalgebras of finite type
设$\mathfrak{g}$是有限维李代数，$M$是$\mathfrak{g}$-模.与$M$相关的$\mathfrak{g}$的Fernando-Kac子代数是局部作用于$M$的所有元素$g\in\mathfrak{g}$的子集$\mathfrak{g}[M]\subset\mathfrak{g}$。若子代数$\mathfrak{l}\subset\mathfrak{g}$存在一个不可约模$M$，且该模具有$\mathfrak{g}[M]=\mathfrak{l}$，则称该子代数为$\mathfrak{g}$的Fernando-Kac子代数。$\mathfrak{g}$的一个Fernando-Kac子代数是有限型的，如果另外$\mathfrak{g}$可以被选择具有有限的Jordan-Hölder $\mathfrak{l}$-重数.在假设$\mathfrak{g}$是简单的情况下，I. Penkov给出了描述所有含有Cartan子代数的有限型Fernando-Kac子代数的一个显式组合判据。本文对$\mathfrak{g}\neq E_8$证明了这个猜想。
Poisson-commutative subalgebras of $S(\mathfrak g)$ associated with involutions
约化李代数$\mathfrak g$的对称代数$S(\mathfrak g)$具有标准泊松结构，即，Lie-Poisson括号$S(\mathfrak g)$的泊松交换子代数由于其与可积系统的关系以及最近与几何表示理论的关系而引起了人们的广泛关注。Poisson交换子代数${\mathcal C}\subset S(\mathfrak g)$的超越度由$\mathfrak g$的“幻数”$\boldsymbol{b}(\mathfrak g)$限定. Mishchenko-Fomenko的“变元移位方法”基本上是唯一已知的$\mathcal C$和${\rm trdeg\,}{\mathcal C}=\boldsymbol{b}(\mathfrak g)$的来源。我们介绍了一个本质上不同的建设有关的对称分解$\mathfrak g=\mathfrak g_0\oplus\mathfrak g_1$。给出了具有最大可能超越度的Poisson交换子代数$\mathcal Z,\tilde{\mathcal Z}\subset S(\mathfrak g)^{\mathfrak g_0}$.若$\mathbb Z_2$ -压缩$\mathfrak g_0\ltimes\mathfrak g_1^{\sf ab}$有对称不变量的多项式环，则$\tilde{\mathcal Z}$是$S(\…
Simple $\mathfrak{sl}(V)$-modules which are free over an abelian subalgebra
设$\mathfrak{p}$是$\mathfrak{sl}(V)$的最大维数抛物子代数，$\mathfrak{n} \subset \mathfrak{p}$是相应的零根.本文对$1$的限制为无秩的$U(\mathfrak{n})$的$\mathfrak{sl}(V)$ -模集进行了分类.事实证明，同构类的这种模块参数化的多项式$\dim V-1$变量。我们确定这些模块的子模块结构，我们表明，他们一般是简单的。
Generalized argument shift method and complete commutative subalgebras in polynomial Poisson algebras
Mischenko-Fomenko变元移位方法允许在有限维李代数$\mathfrak g$的对称代数$S(\mathfrak g)$中构造交换子代数。对于一类广泛的李代数，这些交换子代数似乎是完备的，即它们具有最大超越度。然而，对于许多代数，Mischenko-Fomenko子代数是不完全的，甚至是空的。在这种情况下，我们给出了扩张Mischenko-Fomenko子代数的一种自然方法，并给出了扩张子代数的完备性判据。
Horospherical splittings of $\mathfrak g$ and related Poisson commutative subalgebras of $\mathcal S(\mathfrak g)$
本文研究了reductive李代数的horospherical分裂，探讨了相关泊松可交换子代数的性质，并推导了Adler-Kostant-Symes理论的部分结果。
Normalisers of abelian ideals of a Borel subalgebra and $\mathbb Z$-gradings of a simple Lie algebra
设$\mathfrak g$是一个单李代数，$\mathfrak{Ab}$是$\mathfrak g$的一个固定Borel子代数的所有交换理想的偏序集.如果是$\mathfrak a\in\mathfrak{Ab}$，则$\mathfrak a$的正规化子是$\mathfrak g$的标准抛物子代数。我们给出了一类包含所有极大交换理想的交换理想的正规化子的明确描述。我们还阐述了阿贝尔理想和$\mathbb Z$ -分级的$\mathfrak g$与他们的正规化之间的关系。
Maximal subalgebras of the classical linear Lie superalgebras
将有限维单复李代数的极大子代数的Dynkin分类推广到线性李超代数。即对$\mathfrak{gl}(p|q), \mathfrak{q}(n), \mathfrak{sl}(p|q), \mathfrak{osp}(m|2n), \mathfrak{pe}(n)$和$\mathfrak{spe}(n)$的极大非单不可约子代数进行了分类。
Periodic automorphisms, compatible Poisson brackets, and Gaudin subalgebras
设$\mathfrak g$是有限维李代数。对称代数$\mathcal S(\mathfrak g)$具有标准的Lie-Poisson括号.在本文中，我们阐述了一个令人惊讶的观察，自然地关联到$\mathcal S(\mathfrak g)$的任何有限阶自同构$θ$的$\mathfrak g$的第二兼容泊松括号。研究了$\mathcal S(\mathfrak g)$的相关Poisson交换子代数$\mathcal C$和$\mathfrak g$的相应李代数压缩.为了得到实质性的结果，我们必须假设$\mathfrak g$是半单的。然后我们可以使用Vinberg的$θ$ -群理论和不变理论的机械。若$\mathfrak g=\mathfrak h\oplus\dots \oplus \mathfrak h$（$k$拷贝数之和）为$\mathfrak g=\mathfrak h\oplus\dots \oplus \mathfrak h$，其中$\mathfrak h$是单的，$θ$是轮换，则证明了相应的Poisson交换子代数$\mathcal C$是多项式极大的.此外，我们使用包络代数$\mathcal U(\mathfrak g)$中的Gaudin子代数来量化这个$\mathcal C$。
Odd nilpotent element and $\mathfrak{osp}(1|2)$-subalgebra in $\mathfrak{gl}(m|n)$
本文研究$\mathfrak{gl}(m|n)$中奇幂零元嵌入$\mathfrak{osp}(1|2)$-子代数的条件，通过定义超Jordan矩阵并证明充要条件：该元位于仅含奇数阶超Jordan块的超Jordan矩阵轨道中。
Subalgebra generated by ad-locally nilpotent elements of Borcherds Generalized Kac-Moody Lie algebras
本文确定了由$ad$ -局部幂零元幂零元生成的Borcherds可对称化广义Kac-Moody李代数$\mathfrak{g}$的李子代数$\mathfrak{g}_{nil}$，并证明了它与$\mathfrak{g}$的Levi子代数“本质”相同，其单根正是$\mathfrak{g}$的实单根.
Cartan subalgebras for restrictions of $\mathfrak{g}$-modules
本文研究了大代数$\mathcal{A}$作用于其上的$\mathfrak{g}$ -模上的$\mathcal{U}(\mathfrak{g})$ -作用.在较弱的条件下，证明了$\mathcal{Z}(\mathfrak{g})$ -作用的支集是模外尔群作用的Cartan子代数的对偶中仿射子空间的并.作为结果，我们提出了这样的$\mathfrak{g}$ -模的Cartan子代数的定义。$\mathcal{Z}(\mathfrak{g})$ -模的支集是酉表示的不可约分解中测度的支集的代数对应。这种考虑是由T.小林定义$\mathfrak{g}$ -模的Cartan子代数是由I.泊松$G$ -品种上的Losev。它们通过关联的簇和与$\mathfrak{g}$ -模关联的幂零轨道相互关联。
Cyclic wide subalgebras of semisimple Lie algebras
本文研究半单李代数的循环宽子代数，给出正则Levi可分解子代数为循环宽的判定条件，并在根基为ad幂零子代数的情形下证明该条件是充要的。
On maximal commutative subalgebras of Poisson algebras associated with involutions of semisimple Lie algebras
对于半单李代数$\mathfrak g$的任何对合$σ$，构造了一个非约化李代数$\mathfrak k$，称之为$\mathfrak g$的$\mathbb Z_2$ -收缩.本文研究了Poisson代数$S(\mathfrak k)$的极大交换子代数的刻画问题。这与研究$\mathfrak k$的协伴随表示和$\mathfrak k^*$的正则元素的集合$\mathfrak k^*_{reg}$密切相关。利用我们以前的结果，在$\mathbb Z_2$ -压缩的背景下，当$codim(\mathfrak k^* \setminus \mathfrak k^*_{reg})\ge 3$时，用变元移位方法给出了$S(\mathfrak k)$的极大交换子代数。我们的主要结果是$codim(\mathfrak k^* \setminus \mathfrak k^*_{reg})\ge 3$当且仅当$σ$的Satake图没有平凡节点。（一个节点是平凡的，如果它是白色的，没有附加箭头，并且所有相邻的节点也是白色的。提供了合适的对合的列表。如果$\mathfrak g$中的$σ$的（-1）-特征空间包含正则元，我们还刻画了$S(\mathfrak k)$的某些极大交换子代数.
Automorphisms of finite order, periodic contractions, and Poisson-commutative subalgebras of $\mathcal S(\mathfrak g)$
设$\mathfrak g$是半单李代数，$\vartheta\in {\sf Aut}(\mathfrak g)$是有穷级自同构，$\mathfrak g_0$是$\vartheta$的不动点子代数.最近，我们注意到使用$\vartheta$可以在$\mathcal S(\mathfrak g)$上构造一束相容的Poisson括号，从而构造$\mathcal S(\mathfrak g)^{\mathfrak g_0}$的一个“大”Poisson交换子代数$\mathcal Z(\mathfrak g,\vartheta)$。在这篇文章中，我们研究了$(\mathfrak g,\vartheta)$的不变量理论性质，保证了$\mathcal Z(\mathfrak g,\vartheta)$的良好性能。与$\vartheta$相关联，人们有$\mathfrak g$的自然李代数压缩$\mathfrak g_{(0)}$和良好生成系统（=g.g.s.）的概念。在$\mathcal S(\mathfrak g)^\mathfrak g$中。我们证明了在许多情况下，等式${\mathsf{ind\,}}\mathfrak g_{(0)}={\mathsf{ind\,}}\mathfrak g$成立，并且$\mathcal S(\mathfrak g)^\mathfrak g$具有g.g…
Quantization of the shift of argument subalgebras in type A
给定一个单李代数$\mathfrak{g}$和一个元$μ\in\mathfrak{g}^*$，$\text{S}(\mathfrak{g})$的辐角子代数的相应移位是Poisson交换的.在$μ$是正则的情况下，已知这个子代数允许量子化，也就是说，它可以提升到$\text{U}(\mathfrak{g})$的交换子代数。证明了如果$\mathfrak{g}$是$A$型，则此性质推广到任意的$μ$，从而证明了Feigin，Frenkel和Toledano Laredo的一个猜想.证明依赖于一个明确的建设发电机的中心的仿射顶点代数在临界水平。
A combinatorial approach to the index of seaweed subalgebras of Kac--Moody algebras
本文通过构造特定图，为仿射A型或C型Kac--Moody代数的海藻子代数指数提供了组合理解方法。
On the Index of Borel Subalgebras of Lie Superalgebras
本文针对复数域上基础经典李超代数的Borel子代数，通过扩展强正交根与Kostant cascade理论到广义根系理论，给出其指标的上界并证明相关指标为0的结论。
Casimir elements associated with Levi subalgebras of simple Lie algebras and their applications
设$\mathfrak g$是单李代数，$\mathfrak h$是Levi子代数，$C_{\mathfrak h}\in U(\mathfrak h)$是通过对$\mathfrak g$的Killing形式的限制而定义的Casimir元.研究了$\mathfrak g/\mathfrak h$及相关$\mathfrak h$ -模中的$C_{\mathfrak h}$ -特征值.在不失一般性的情况下，可以假设$\mathfrak h$是最大Levi。然后，$\mathfrak g$配备有自然$\mathbb Z$分级$\mathfrak g=\bigoplus_{i\in\mathbb Z}\mathfrak g(i)$，使得$\mathfrak g(0)=\mathfrak h$和$\mathfrak g(i)$是用于$i\ne 0$的简单$\mathfrak h$模块。我们给出了明确的公式$C_\mathfrak h$ -特征值在每个$\mathfrak g(i)$，$i\ne 0$，并与特征值的$C_\mathfrak h$在$\bigwedge^\bullet\mathfrak g(1)$的交换子空间的$\mathfrak g(1)$。我们还证明了，如果$\mathfrak a\subset\mathfrak g(1)$是阿贝尔，而$\mathfrak g(1)$不是，那…
On Categories $\mathcal{O}$ for Root-Reductive Lie Algebras
设$\mathfrak{g}$是特征为$0$的代数闭域$\mathbb{K}$上的根约化李代数，其分裂Borel子代数$\mathfrak{b}$包含分裂极大toral子代数$\mathfrak{h}$ .本文研究了由局部$\mathfrak{b}$ -有限且具有有限维$\mathfrak{h}$ -权空间的所有$\mathfrak{h}$ -权$\mathfrak{g}$ -模构成的范畴$\bar{\mathcal{O}}$.重点是非常特殊的Borel子代数称为Dynkin Borel子代数。本文是理解无限维根约化李代数范畴$\mathcal{O}$的第一步。
Spherical nilpotent orbits and abelian subalgebras in isotropy representations
设$G$是一个单连通半单代数群，其李代数为$\mathfrak g$，$G_0 \subset G$是由一个代数对合$σ$定义的对称子群，$\mathfrak g_1 \subset \mathfrak g$是$G_0$的各向同性表示.给定$\mathfrak g$的一个交换子代数$\mathfrak a$包含在$\mathfrak g_1$中，并且在某个Borel子群$B_0 \subset G_0$的作用下是稳定的，我们对$\mathfrak a$中的$B_0$ -轨道进行了分类，并刻画了$G_0 \mathfrak a$的球性.我们的主要工具是$\mathfrak g$的仿射Weyl群中的$σ$ -极小元和Hermitian对称空间中的强正交根的组合。
Representation theory of Mackey Lie algebras and their dense subalgebras
在这篇文章中，我们回顾了早期文献[I]的主要结果。Penkov，K. Styrkas，张量表示的无限维根约化李代数，在发展和趋势在无限维李理论，进展数学288，Birkhäuser，2011年，页。127-150]、[I. Penkov，V. Serganova，Categories of integrable $\mathfrak{sl}(\infty)$ -，$\mathfrak{o}(\infty)$ -，$\mathfrak{sp}(\infty)$ -modules，in“表示论and Mathematical Physics“，Contemporary Mathematics 557（2011），pp. 335-357]和[E.丹科恩岛Penkov，V. Serganova，A Koszul category of representations of finitary李代数，preprint 2011，arXiv：1105.3407]，并在相当大的一般性上建立了相关的新结果。引入了一类无限维李代数$\mathfrak{g}^{M}$，我们称之为Mackey李代数，并定义了张量$\mathfrak{g}^M-$模的monoidal范畴$\mathbb{T}_{\mathfrak{g}^M}$.我们还考虑了稠密子代数$\mathfrak{a} \subset \mathf…
Generic property and conjugacy classes of homogeneous Borel subalgebras of restricted Lie algebras
设$(\mathfrak{g},[p])$是特征为$p>0$的代数闭域$\mathbb{K}$上的有限维限制李代数，$G$是$\mathfrak{g}$的伴随群.如果$\mathfrak{g}$允许在\cite{BFS}中引入类属环面，则我们说$\mathfrak{g}$满足{ \sl类属性质}. $\mathfrak{g}$的Borel子代数（或简称Borel）是定义为包含$\mathfrak{g}$的极大环面的极大可解子代数，如果另外包含泛型环面，则进一步称为泛型。本文首先解决了Premet在\cite{Pr2}中提出的关于限制李代数的正则Cartan子代数的一个猜想。我们证明了对于一个给定的$\mathfrak{g}$，猜想中的陈述是有效的，当且仅当它是$\mathfrak{g}$满足泛型属性的情况。然后，我们对当$p>3$时，限制单李代数$\mathfrak{g}=W(n)$的齐次Borel子代数在$G$ -共轭下的共轭类进行了分类，并给出了这些类的代表.这里$W(n)$是所谓的Jacobson-Witt代数，根据定义是截断多项式环$\mathbb{K}[T_1,\cdots,T_n]\slash (T_1^p,\cdots,T_n^p)$的导子代数。我们还描述了与这些代表Borel子代数相关的$G$的闭连通可解子群。
On the automorphisms of the Drinfel'd double of a Borel Lie subalgebra
设${\mathfrak g}$是复单李代数，其Borel子代数为${\mathfrak b}$ .考虑半直积$I{\mathfrak b}={\mathfrak b}\ltimes{\mathfrak b}^*$，其中${\mathfrak b}$的对偶${\mathfrak b}^*$配备有${\mathfrak b}$的余伴随作用，并且被认为是$I{\mathfrak b}$的交换理想。我们描述了李代数$I{\mathfrak b}$的自同构群${\operatorname{Aut}}(I{\mathfrak b})$。特别地，我们证明了它包含${\mathfrak b}$的扩展Dynkin图的自同构群.在$A_n$型中，Dror Bar-Natan和Roland Van Der Veen最近在arXiv：2002.00697中证明了二面体子群包含在${\operatorname{Aut}}(I{\mathfrak b})$中（其中$I{\mathfrak b}$用$I{\mathfrak u}_n$表示）。他们的建筑是手工制作的，他们要求解释：这张纸条完全回答了这个问题。
Shifts of semi-invariants and complete commutative subalgebras in polynomial Poisson algebras
本研究推广Izosimov的扩展Mischenko-Fomenko子代数构造，通过李代数所有半不变量的移位得到新的交换子代数，并证明其与原扩展子代数有相同超越次数，丰富了多项式泊松代数交换子代数理论。
On commuting varieties of nilradicals of Borel subalgebras of reductive Lie algebras
设$G$是定义在特征为零的代数闭域$\mathbbm k$上的连通约化代数群.考虑$G$的Borel子群$B$的李代数$\mathfrak b$的诣零根$\mathfrak u$的交换簇$\mathcal C(\mathfrak u)$.当$B$作用于$\mathfrak u$上的轨道数有限时，我们证明了$\mathcal C(\mathfrak u)$是等维的，且不可约分量与$\mathfrak u$中的{ \em distinguished} $B$ -轨道相对应.我们观察到，在一般情况下，$\mathcal C(\mathfrak u)$是不是等维的，并确定了不可约组件的$\mathcal C(\mathfrak u)$在最小的情况下，有无穷多个$B$ -轨道在$\mathfrak u$。
Classification of Certain Regular Subalgebras of $\mathfrak{sl}(n, \mathbb C)$ up to Conjugacy
本文研究了 $\mathfrak{sl}(n, \mathbb C)$ 的正则上三角子代数在 $SL(n, \mathbb C)$ 矩阵共轭下的分类问题，通过将抽象分类转化为组合问题，解决了维度为 2 及余维度为 1、2 和 $k$ 的子代数分类。
On seaweed subalgebras and meander graphs in type C
2000年，Dergachev和Kirillov在$\mathfrak{gl}(n)$中引入了“海藻型”子代数，并利用某些图计算了它们的指数。在这篇文章中，这些图被称为A型曲折图。然后，Panyushev（2001）对任意单李代数定义了海藻型子代数，或简称为“海藻”。也就是说，如果$\mathfrak p_1,\mathfrak p_2\subset\mathfrak g$是抛物子代数使得$\mathfrak p_1+\mathfrak p_2=\mathfrak g$，则$\mathfrak q=\mathfrak p_1\cap\mathfrak p_2$是$\mathfrak g$中的海藻。Tauvel和Yu（2004）提出了海藻指数的通用代数公式，然后由Joseph（2006）证明。如果$\mathfrak p_1$和$\mathfrak p_2$“适应”于$\mathfrak g$的固定三角分解，则称$\mathfrak q$是标准的。标准海藻的数量是有限的。在本文中，详细阐述了Dergachev和Kirillov的“图形”方法，我们介绍了C型曲折图，即，给出了与$\mathfrak{sp}(2n)$标准海藻相关的图形，并给出了根据这些图形计算指数的公式。我们还注意到，在奇正交李代数的情况下，可以使用非常相同的图。我们还提供了几个应用程序，我们的公式Frobenius海藻…
Coisotropic Subalgebras of Complex Semisimple Lie Bialgebras
Marco Zambon在他的论文“A Construction for Coisotropic Subalgebras of Lie Bialgebras”中给出了利用复半单李双代数$\mathfrak{g}$的一个长根来构造$\mathfrak{g}$的一个上迷向子代数的方法。本文推广了Zambon的构造。我们的构造是基于$\mathfrak{g}$的二重$\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{g}$的拉格朗日子代数的理论，并且我们的上迷向子代数对应于$\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{g}$的拉格朗日子代数簇$\mathcal{L}(\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{g})$中的环面不动点.
Quasitriangular coideal subalgebras of $U_q(\mathfrak{g})$ in terms of generalized Satake diagrams
设$\mathfrak{g}$是有限维半单复李代数，$θ$是$\mathfrak{g}$的对合自同构.根据G. Letzter，S. Kolb和M. Balagović不动点子代数$\mathfrak{k} = \mathfrak{g}^θ$有一个量子对应物$B$，它是Drinfeld-Jimbo量子群$U_q(\mathfrak{g})$的一个共理想子代数，拥有一个泛K-矩阵$\mathcal{K}$。对象$θ$、$\mathfrak{k}$、$B$和$\mathcal{K}$都可以用佐竹图来描述。在目前的工作中，我们将这种结构推广到广义佐竹图，组合数据首先考虑的A。见鬼广义Satake图自然地定义了限制于标准Cartan子代数$\mathfrak{h}$的$\mathfrak{g}$的半单自同构$θ$作为对合。它还定义了满足$\mathfrak{k} \cap \mathfrak{h} = \mathfrak{h}^θ$的子代数$\mathfrak{k}\subset \mathfrak{g}$，但不一定是不动点子代数。子代数$\mathfrak{k}$可以量子化为$U_q(\mathfrak{g})$的一个余理想子代数，该余理想子代数具有Kolb和Balagović意义下的泛K-矩阵。我们猜想$U_q(\mathfrak{g})$的所有这样的共理想子代数都以这种方式产生于广义…
On adjoint orbits in nilpotent ideals of a Borel subalgebra
本文研究复半单 Lie 代数 Borel 子代数幂零理想中的伴随轨道，证明由确定该最小理想的幂零元组成的集合恰有一个闭 Borel 子群轨道，并用相关极小根刻画其代表元。
On the reducibility of scalar generalized Verma modules associated to two-step nilpotent parabolic subalgebras
本文利用Gelfand-Kirillov维数研究非极大型二步幂零抛物子代数对应的标量广义Verma模可约性，限定三类李代数，并将可约点表示在二维复平面中。
Categories O for Dynkin Borel Subalgebras of Root-Reductive Lie Algebras
我读博士的目的研究的目的是为李代数$\mathfrak{g}$定义和研究经典Bernstein-Gelfand-Gelfand（BGG）范畴$\mathcal{O}$的类似物，其中$\mathfrak{g}$是有限的无限维李代数$\mathfrak{gl}_\infty(\mathbb{K})$、$\mathfrak{sl}_\infty(\mathbb{K})$、$\mathfrak{so}_\infty(\mathbb{K})$和$\mathfrak{sp}_\infty(\mathbb{K})$之一。这里，$\mathbb{K}$是特征$0$的代数闭域。我们称这些范畴为“扩展范畴$\mathcal{O}$“，并使用符号$\bar{\mathcal{O}}$。在对$\mathfrak{g}$的所有分裂Borel子代数定义范畴$\bar{\mathcal{O}}$的基础上，本文研究了$\mathfrak{g}$中非常特殊的Borel子代数的范畴$\bar{\mathcal{O}}$，我们称之为Dynkin Borel子代数.一些关于块分解和Kazhdan-Lusztig重数的结果从通常的范畴$\mathcal{O}$延续到我们的范畴$\bar{\mathcal{O}}$。有一些差异，我们将详细探讨，如缺乏一些内射壳。在这方面，我们研究截断类别$\bar{\mathcal{O}}$…
$\mathfrak{sl}_2$ triples whose nilpositive elements are in a space which is spanned by the real root vectors in rank 2 symmetric hyperbolic Kac-Moody Lie algebras
类似于有限维半单李代数的幂零轨道理论，已知在双曲Kac-Moody李代数中可以构造出主$\mathfrak{sl}_2$子代数.通过推广上述构造，得到了秩2对称双曲Kac-Moody李代数中的一系列$\mathfrak{sl}_2$子代数.我们给出了这个结果，并讨论了$\mathfrak{sl}_2$子代数在原李代数上的作用所得到的$\mathfrak{sl}_2$模。
On the Dynkin index of a principal $\mathfrak{sl}_2$-subalgebra
设$g$是特征为零的代数闭域上的单李代数.本文的目的是证明$g$的一个主子$sl_2$-代数的Dynkin指标的一个闭公式。证明的关键步骤使用了弗赖登塔尔-德弗里斯的“奇怪公式”。作为应用，我们（1）计算了任意简单$g$ -模的Dynkin指数，（2）得到了连接$g$的指数与$g$的对偶Coxeter数和Langlands对偶$g^\vee$的对偶Coxeter数的恒等式.
Filtrations on block subalgebras of reduced universal enveloping algebras
研究了正特征约化泛包络代数的块分解、PBW滤子和幂零锥之间的相互作用。我们提供了两个自然版本的PBW过滤块子代数$A_λ$的限制泛包络代数$\mathcal{U}_χ(\mathfrak{g})$，并显示这些是对偶的对方。我们还考虑了转移PBW过滤，我们相关的分次代数的Frobenius邻域的$0$在幂零锥和共不变代数对应的$λ$的功能的代数。在特征$p>2$中的$\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_2(k)$的情况下，我们确定了这些滤子在$\mathcal{U}_0(\mathfrak{sl}_2)$的块子代数上的相关分次代数.我们也将此应用于确定$\mathcal{U}_0(\mathfrak{sl}_2)$的伴随表示的结构。
Gelfand-Tsetlin degeneration of shift of argument subalgebras in type D
任何半单李代数$\mathfrak{g}$的泛包络代数包含一族极大交换子代数，称为辐角移位子代数，由$\mathfrak{g}$的正则Cartan元参数化。对于$\mathfrak{g}=\mathfrak{gl}_n$，$U(\mathfrak{g})$中的Gelfand-Tsetlin交换子代数作为来自这个族的子代数的某种极限而产生。在我们以前的工作（arXiv：1807.11126）中，我们研究了李代数$\mathfrak{g}=\mathfrak{sp}_{2n}$和$\mathfrak{g}=\mathfrak{o}_{2n+1}$的辐角子代数的相似移位极限.我们分别用扭曲Yangians $Y^-(2)$和$Y^+(2)$的Bethe子代数来描述极限子代数，并用C型和B型Gelfand-Tsetlin模式来参数化这些极限子代数在有限维不可约最高权表示中的特征基.本文对经典李代数的最后一种情形$\mathfrak{g}=\mathfrak{o}_{2n}$给出并证明了类似的结果。利用扭曲Yangian $Y^+(2)$中的Bethe子代数描述了辐角子代数的极限移位，并利用D型Gelfand-Tsetlin模式给出了任意有限维不可约最高权$\mathfrak{g}$ -模中辐角子代数的本征基的自然指标.
Reductive subalgebras of semisimple Lie algebras and Poisson commutativity
设$\mathfrak g$是半单李代数，$\mathfrak h\subset\mathfrak g$是约化子代数，使得$\mathfrak h^\perp$是$\mathfrak g$的补$\mathfrak h$ -子模.在1983年，Bogoyavlenski声称，通过取由所有$H\in{\mathcal S}(\mathfrak g)^{\mathfrak g}$的双齐次分量生成的子代数${\mathcal Z}$，可以得到对称代数${\mathcal S}(\mathfrak g)$的泊松交换子代数。但这是错误的，我们提出一个反例。我们还提供了这样的子代数${\mathcal Z}$的泊松交换性的一个准则。作为一个副产品，我们证明了如果$\mathfrak h$是交换的，则${\mathcal Z}$是Poisson交换的，并在$\mathfrak h$是Cartan子代数的特殊情况下描述了${\mathcal Z}$.在这种情况下，${\mathcal Z}$似乎是多项式，并具有最大超越度$(\mathrm{dim}\,\mathfrak g+\mathrm{rk}\,\mathfrak g)/2$。
Classification of reductive real spherical pairs II. The semisimple case
若${\mathfrak g}$是实约化李代数，${\mathfrak h} < {\mathfrak g}$是一个子代数，则称$({\mathfrak g}, {\mathfrak h})$是实球面的，只要${\mathfrak g} = {\mathfrak h} + {\mathfrak p}$对极小抛物子代数${\mathfrak p} \subset {\mathfrak g}$有某种选择.本文对实球面对$({\mathfrak g}, {\mathfrak h})$进行了分类，其中${\mathfrak g}$是半单的但不是单的，${\mathfrak h}$是约化的实代数子代数.本文基于${\mathfrak g}$为简单情形的分类（参见arXiv：1609.00963），推广了Brion和Mikityuk在（复杂）球面情形下的结果。
Gelfand-Tsetlin degeneration of shift of argument subalgebras in types B and C
任何半单李代数$\mathfrak{g}$的泛包络代数包含一族极大交换子代数，称为辐角移位子代数，由$\mathfrak{g}$的正则Cartan元参数化。对于$\mathfrak{g}=\mathfrak{gl}_n$，$U(\mathfrak{g})$中的Gelfand-Tsetlin交换子代数作为来自这个族的子代数的某种极限而产生。研究了李代数$\mathfrak{g}=\mathfrak{sp}_{2n}$和$\mathfrak{g}=\mathfrak{so}_{2n+1}$的辐角子代数的相似移位极限.极限子代数分别用扭杨格数$Y^-(2)$和$Y^+(2)$中的Bethe子代数来描述.我们指数的特征基的任何不可约有限维表示的$\mathfrak{g}$的相应类型的Gelfand-Tsetlin模式，这样的极限子代数，并推测，在适当的意义下，这种索引是自然的。根据arXiv：1708.05105，这种本征基具有天然的$\mathfrak{g}$晶体结构。我们推测，这种晶体结构与Littelmann在https://doi.org/10.1007/BF01236431中定义的Gelfand-Tsetlin模式一致。
Classification of reductive real spherical pairs I. The simple case
本文给出了所有对$(\mathfrak g, \mathfrak h)$的分类，其中$\mathfrak g$是单实李代数，$\mathfrak h < \mathfrak g$是存在极小抛物子代数$\mathfrak p < \mathfrak g$使得$\mathfrak g = \mathfrak h + \mathfrak p$为向量和的约化子代数.
A proof of Casselman's comparison theorem for standard minimal parabolic subalgebra
设$G$是一个实线性约化群，$K$是一个极大紧子群。设$P$是$G$的极小抛物子群，其复化李代数为$\mathfrak{p}$，$\mathfrak{n}$是它的幂零根.本文证明了：对于$G$的任意容许的非线性生成的适度增长光滑Fréchet表示$V$，包含$V_{K}\subset V$诱导同构$H_{i}(\mathfrak{n},V_{K})\cong H_{i}(\mathfrak{n},V)$（$i\geq 0$），其中$V_{K}$表示$V$中$K$有限向量的$(\mathfrak{g},K)$模.这就是Casselman比较定理。结果表明：对于任意的$k\geq 1$，$\mathfrak{n}^{k}V$是$V$的闭子空间，并且包含$V_{K}\subset V$诱导同构$V_{K}/\mathfrak{n}^{k}V_{K}= V/\mathfrak{n}^{k}V$ .这加强了Casselman的自动连续性定理。
The integrality of an adapted pair
设$\mathfrak a$是一个代数李代数。$\mathfrak a$的适配对是由$h \in \mathfrak a$的ad-半单元素和满足$(ad \ h)η=-η$的$η\in \mathfrak a^*$的正则元素组成的对$(h,η)$。如果$ad \ h$在$\mathfrak a$上具有整数特征值，则称自适应对$(h,η)$满足完整性。积分是持有任何Frobenius李代数，这是一个双抛物子代数的半单李代数，但可能失败的一般。如果在$\mathfrak a^*$上没有适当的半不变多项式函数，并且如果不变函数的子代数是多项式，则称$\mathfrak a$为正则的。在这种情况下，没有已知的完整性反例。证明了若$\mathfrak a$是正则单李代数$\mathfrak g$的双抛物子代数的正则截断，且$(h,η)$是自适应对，则$\mathfrak a$上的$ad \ h$的特征值位于$\frac{1}{m}\mathbb Z$中，其中$m$是$\mathfrak g$的最高根中的单根的系数.设$\mathfrak a$是一个正则李代数，它含有一个自适应对$(h,η)$ .设$\mathfrak a_\mathbb Z$是由$ad \ h$的特征值为整数的特征子空间所张成的子代数.证明了$\mathfrak a_\mathbb Z$的正则截断是正则的。充分了解$\mat…
Simplicity of spectra for Bethe subalgebras in $Y(\mathfrak{gl}_2)$
考虑具有$C$正则$2\times 2$矩阵的Yangian $Y(\mathfrak{gl}_2)$中的Bethe子代数B（C）.研究了$Y(\mathfrak{gl}_2)$的Bethe子代数在$Y(\mathfrak{gl}_2)$的有限维表示上的作用.我们证明了具有实对角$C$的$B(C)$在对应于实弦的不交并的任何不可约$Y(\mathfrak{gl}_2)$ -模上具有简单谱。我们把这个结果推广到Bethe代数的极限上。我们的主要工具是计算$B(C)$的幂零退化的Shapovalov型行列式。
The index of subalgebras and strange coadjoint orbits
本文发展了一种通过余伴随轨道估计子代数指标的方法，并研究了半单李代数中的奇特轨道，证明了复杂度至多为1的轨道是奇特的，且包含奇特幂零轨道的片层中所有轨道都是奇特的。
Tensor Products with Verma Module and Restriction to Parabolic Subalgebra
本文利用张量恒等式，基于模对抛物子代数的限制分解，研究了广义Verma模与范畴O^p中模的张量积分解。证明了该限制存在本质上唯一的不可分解分解，并识别出有限维商与倾斜子模两类直和项，最后给出了sl_2和sl_3中相关模的完整Borel分解及显式计算。
Birational equivalence of the Zassenhaus varieties for basic classical Lie superalgebras and their purely-even reductive Lie subalgebras in odd characteristic
本文研究奇特征代数闭域上基本经典李超代数的泛包络代数中心结构，证明其分式域与纯偶约化李子代数泛包络代数中心的分式域同构，进而得到两类Zassenhaus簇的双有理等价性及中心谱的有理性。
Quantisation and nilpotent limits of Mishchenko-Fomenko subalgebras
对任何单李代数$\mathfrak{g}$和一个元素$μ\in\mathfrak{g}^*$，$\mathcal{U}(\mathfrak{g})$的相应交换子代数$\mathcal{A}_μ$被定义为与$\mathfrak{g}$相关联的Feigin-Frenkel中心的同态像.它是已知的，当$μ$是正规的这个子代数解决了文伯格的量化问题，作为$\mathcal{A}_μ$的分级图像与$\mathcal{S}(\mathfrak{g})$的Mishchenko-Fomenko子代数$\overline{\mathcal{A}}_μ$重合。根据Feigin，Frenkel和Toledano Laredo的猜想，这个性质推广到任意元素$μ$.我们给出了充分条件，暗示某些选择的$μ$的性质。特别地，证明了C型猜想，并给出了A型猜想的一个新证明。我们证明了代数$\mathcal{A}_μ$在这两种情况下都是自由的，并以显式的形式产生它的生成元。证明了在所有经典类型中，$\mathcal{A}_μ$的生成元都可以由$\overline{\mathcal{A}}_μ$的某些生成元通过正则对称映射得到.利用对称化映射还可以产生$\mathcal{A}_μ$代数的幂零极限的自由生成元，并给出了这些极限子代数的Vinberg问题的正解.
Positive Systems of Kostant Roots
设$\mathfrak{g}$是一个单复李代数，$\mathfrak{t} \subset \mathfrak{g}$是$\mathfrak{g}$的一个toral子代数.作为一个$\mathfrak{t}$ -模，$\mathfrak{g}$分解为\[\mathfrak{g} = \mathfrak{s} \oplus \big(\oplus_{ν\in \mathcal{R}} \mathfrak{g}^ν\big)\]，其中$\mathfrak{s} \subset \mathfrak{g}$是$\mathfrak{g}$的抛物子代数的约化部分，$\mathcal{R}$是与$\mathfrak{t}$相关联的Kostant根系。当$\mathfrak{t}$是$\mathfrak{g}$的一个Cartan子代数时，上面的分解只是$\mathfrak{g}$关于$\mathfrak{t}$的根分解;一般来说，$\mathcal{R}$的性质类似于通常的根系的性质。本文研究如下问题：“给定一个子集$\mathcal{S} \subset \mathcal{R}$，是否存在$\mathcal{S} \subset \mathcal{R}$的抛物子代数PDMATHAMT包含$\mathcal{M} = \oplus_{ν\in \mathcal{S}} \mathfrak{g}^ν…
Wide Regular Subalgebras of Symmetrizable Kac-Moody Algebras and an Extension of Schur's Lemma
研究可对称化 Kac-Moody 代数的宽正则子代数，通过实闭包条件推广 Schur 引理，给出不可约可积最高权模在限制下保持不可分解的充分条件，并在仿射情形建立逆命题。
Compatible Poisson brackets associated with 2-splittings and Poisson commutative subalgebras of $\mathcal S(\mathfrak g)$
设${\mathcal S}(\mathfrak g)$是具有标准Poisson结构的约化李代数$\mathfrak g$的对称代数。若${\mathcal C}\subset\mathcal S(\mathfrak g)$是Poisson-交换子代数，则有${\rm trdeg\,}{\mathcal C}\le\boldsymbol{b}(\mathfrak g)$，其中$\boldsymbol{b}(\mathfrak g)=(\dim\mathfrak g+{\rm rk}\mathfrak g)/2$ .给出了一种构造超越度为$\boldsymbol{b}(\mathfrak g)$的Poisson-交换子代数$\mathcal Z_{\langle\mathfrak h,\mathfrak r\rangle}$的方法，通过将$\mathfrak g=\mathfrak h\oplus\mathfrak r$分解为两个球面子代数之和。有一些自然的例子，其中代数$\mathcal Z_{\langle\mathfrak h,\mathfrak r\rangle}$似乎是多项式。最有趣的情况是与对$(\mathfrak b,\mathfrak u_-)$有关，其中$\mathfrak b$是$\mathfrak g$的Borel子代数。本文证明了${\mathcal Z}_{…
Varieties of subalgebras and endotrivial modules
本文结合两种方法，描述了特征 p≥3 的完美域上超可解受限李代数的内平凡模。
Combinatorial and geometric constructions associated with the Kostant cascade
设$\mathfrak g$是复单李代数，$\mathfrak b=\mathfrak t\oplus\mathfrak u^+$是固定Borel子代数.令$Δ^+$为与$\mathfrak u^+$相关的正根集合，$\mathcal K\subsetΔ^+$为Kostant级联。本文详细介绍了与$\mathcal K$有关的几种结构以及$\mathcal K$的应用。这包括级联元素$x_{\mathcal K}$在嘉当子代数$\mathfrak t$和性质的某些对象自然与$\mathcal K$：一个阿贝尔理想的$\mathfrak b$，一个幂零的$G$ -轨道在$\mathfrak g$，和一个对合的$\mathfrak g$。
Higher spin representations of maximal compact subalgebras of simply-laced Kac-Moody-algebras
本文研究A型分裂实Kac-Moody代数极大紧子代数的有限维旋量表示，分析其可约性、半单性等性质，借助旋量扩张Weyl群得到表示矩阵由实根的部分参数化结果。
Classification of Compatible Parabolic Subalgebras for Complex Symmetric Pairs
本文首先回顾和整理了双曲元与抛物子代数的关系。然后，我们对复对称对$(\mathfrak{g},\mathfrak{g}^τ)$的所有包含$τ$稳定Borel子代数的相容抛物子代数进行分类，其中$τ$是$\mathfrak{g}$的对合自同构.
A recursion formula for Branching from $\mathfrak{sl}_n$ to $\mathfrak{sl}_2$ subalgebras
本文针对复单李代数 $\mathfrak{sl}_n$ 到 $\mathfrak{sl}_2$ 子代数的分支规则，通过限制张量表示并利用 Pieri 规则，推导出重数的递推公式，并研究基本表示作为初始条件。
Algebraic methods in the theory of generalized Harish-Chandra modules
本文是在上同调归纳框架下对广义Harish-Chandra模的研究结果的一个综述。主要结果，在过去的10年中，关注的结构基本系列的$(\mathfrak{g},\mathfrak{k})-$模块，其中$\mathfrak{g}$是一个半单李代数和$\mathfrak{k}$是一个任意的代数约化在$\mathfrak{g}$子代数。这些结果导致简单的$(\mathfrak{g},\mathfrak{k})-$模块的有限型的通用最小$\mathfrak{k}-$类型的分类，我们的状态。建立了基本级数模的Fernando-Kac子代数的一个新结果。此外，我们特别注意的情况下，当$\mathfrak{k}$是一个合格的$r-$子代数（见第4节中的定义），我们证明我们的主要结果的更强的版本。如果$\mathfrak{k}$是合格的，$(\mathfrak{g},\mathfrak{k})-$模的基本系列产生Harish-Chandra离散系列模的自然代数推广。
Classification of simple Harish-Chandra modules over the Neveu-Schwarz algebra and its contact subalgebra
本文对Neveu-Schwarz代数$\widehat{\mathfrak{k}}$及其接触子代数$\mathfrak{k}^+$的单喷流模进行了分类.基于这些结果，我们给出了$\widehat{\mathfrak{k}}$和$\mathfrak{k}^+$的简单Harish-Chandra模的分类.
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