A Note on the Inversion Complexity of Boolean Functions in Boolean Formulas
本文讨论了布尔公式中表示布尔函数的NOT算子的最小数目问题。在电路复杂性理论中，计算布尔函数$f$的布尔电路中的最小“非”门数称为$f$的求逆复杂度。在1958年，马尔可夫确定了每个布尔函数的反演复杂度，并特别证明了$\lceil \log_2(n+1) \rceil$“非”门足以计算任何关于$n$变量的布尔函数。据我们所知，布尔公式中的反演复杂度没有结果，即，在表示布尔函数的布尔公式中，非运算符的最小数目。本文在对电路复杂性进行研究的基础上，指出可以通过自变量来确定布尔公式中每个布尔函数的求逆复杂性。
2008-11-05 cs.CC cs.DM
Submodular Goal Value of Boolean Functions
最近，Deshpande等人引入了一种新的布尔函数复杂性度量。我们将此度量称为函数的“目标值”。根据与$f$相关的单调次模效用函数定义$f$的目标值。如Deshpande等人所示，证明布尔函数$f$具有小的目标值可以得到求解$f$的随机布尔函数求值问题的良好近似算法。此外，如果$f$具有小的目标值，则其指示$f$的复杂性的两个其他度量（其平均情况决策树复杂性和其平均情况证书复杂性）之间的密切关系。在本文中，我们详细探讨了目标价值测度。我们提出的任意和特定的布尔函数的目标值的界限，并提出的措施的性质的结果。我们比较目标值的措施，以前研究过的其他布尔函数的复杂性的措施。最后，我们讨论了一些开放的问题，我们的工作引起的。
2017-09-27 cs.DM
Combinatorial method of polynomial expansion of symmetric Boolean functions
提出了一种新的对称布尔函数的多项式展开方法。该方法对小数值集的对称布尔函数是有效的，对初等对称布尔函数具有线性复杂性，而已知方法对这类函数的复杂性是二次的.所提出的方法是基于组合卢卡斯定理的后果。
2013-06-24 cs.DM
Attractor separation and signed cycles in asynchronous Boolean networks
由布尔网络中的相互作用定义的图的结构可以确定渐近动力学的性质。例如，考虑到异步动力学，不存在正循环保证了唯一吸引子的存在，不存在负循环保证了所有吸引子都是不动点。在存在多个吸引子的情况下，人们可能对确保吸引子充分“隔离”的属性感兴趣，也就是说，它们可以在单独的子空间甚至陷阱空间中找到，这些子空间相对于动力学是封闭的。在这里，我们引入吸引子的可分性的概念，并确定相应的必要条件的相互作用图。特别地，我们证明了如果相互作用图至多有一个正圈，或至多有一个负圈，或如果没有正圈与负圈相交，则吸引子可以被子空间分开。如果相互作用图没有从负循环到正循环的路径，则吸引子可以被陷阱空间分开。此外，我们研究网络的互动图承认两个顶点相交的所有周期，并表明，如果他们的吸引子不能被分离的子空间，那么他们的互动图必须包含一个副本的两个顶点上的完全签署的有向图，剥夺了一个负回路。因此，我们建立了一个动力学性质和复杂的网络模体之间的连接。这个话题还远没有结束，我们最后提出了一些悬而未决的问题。
2022-06-23 cs.DM math.CO
Some Extensions of the Inversion Complexity of Boolean Functions
在计算布尔函数的布尔电路中，“非”门的最小数量称为该函数的求逆复杂度。1957年，A. A.马尔可夫确定了每一个布尔函数的反演复杂度，并证明了$\lceil\log_{2}(d(f)+1)\rceil$“非”门是计算任何布尔函数$f$的必要和充分条件（其中$d(f)$是在所有变量值的元组链上从1到0的值变化的最大数量）。本文研究了任意基上的布尔电路，该基由所有单调函数（权为零）和有限个非空非单调函数集（权为单位）组成。证明了布尔函数$f$的非单调门数的最小充分实现等于$\lceil\log_{2}(d(f)+1)\rceil - O(1)$。类似地推广了A. A.得到了布尔函数系的逆复杂性的马氏性。
2015-08-31 cs.DM math.LO
A combinatorial problem about binary necklaces and attractors of Boolean automata networks
众所周知，长度为n的林登字并不比相同长度的周期项链多。本文考虑了一个类似的问题，另外，项链必须没有一些禁止的因素。这个问题涉及到一个不同的背景下，有关的行为，特别是离散动力系统，即布尔自动机网络。本文给出了一个支持以下观点的形式化论证：在网络结构中增加圈交叉点会导致网络吸引子数量的指数减少。
2016-05-05 cs.DM
Testing Odd-Cycle-Freeness in Boolean Functions
调用函数f：F_2^n -> {0，1}如果没有x_1，.，x_k在F_2 ^n中，k是奇数，使得f（x_1）=. = f（x_k）= 1和x_1 +. + x_k = 0。我们表明，通过对评估预言机进行poly（1/eps）查询，可以将无奇循环函数与那些远非无奇循环的eps区分开来。为了得到这个结果，我们使用基本傅立叶分析和谱图理论之间的联系，以表明可以减少测试布尔函数的奇循环自由测试的稠密图的二分性。我们的工作形式的一部分，最近的一系列工程，显示布尔函数和图形属性的可测性之间的连接。我们还证明，有一个规范的测试奇循环自由使聚（1/eps）查询，这意味着测试算法的操作通过挑选一个随机的线性子空间的维度O（log 1/eps），然后检查是否限制的功能的子空间是奇循环自由或没有。通过研究随机子空间约束对函数傅里叶系数的影响，分析了该检验。我们的工作意味着，测试奇循环免费使用规范测试，而不是任意测试招致不超过一个多项式爆破的查询复杂度。是否存在一个典型的测试多项式爆破的问题仍然是一个悬而未决的问题。
2011-05-06 cs.DM cs.DS math.CO
Inversion Complexity of Functions of Multi-Valued Logic
The minimum number of NOT gates in a logic circuit computing a Boolean function is called the inversion complexity of the function. In 1957, A. A. Markov determined the inversion complexity of every Boolean function and proved that $\lceil\log_{2}(d(f)+1)\rceil$ NOT gates are necessary and sufficient to compute any Boolean function $f$ (where $d(f)$ is the maximum number of value changes from greater to smaller over all increasing chains of tuples of variables values). This result is extended to $k$ -valued functions computing in this paper. Thereupon one can use monotone functions "for free" …
2015-10-29 cs.DM
On the conversion of multivalued to Boolean dynamics
离散交互网络的结果和工具通常与布尔变量有关，而考虑两个以上的水平有时是有用的。多值网络可以转换为部分布尔映射，以保持异步动态的方式。我们调查的问题，这些地图扩展到不可接受的状态，即没有一个多值对应的国家。我们观察到，吸引子被保存，如果一个逐步版本的原始功能被认为是转换。布尔转换的不同扩展以不同的方式影响交互图的结构。确定了用于扩展部分布尔转换的特定技术，该技术确保了反馈周期被保留。这个属性，结合保守的渐近行为，可以证明有用的应用程序中定义的布尔设置多值网络的结果和分析，反之亦然。作为第一个应用程序，通过考虑离散多值情况下的一个已知的例子的转换，我们创建了一个布尔映射，表明存在一个循环吸引子和不动点的情况下是兼容的本地负循环的情况下。然后，我们状态连接镜像状态和局部反馈周期的结果的多值版本。
2018-12-10 cs.DM math.CO
Hamiltonian dynamics of Boolean networks
Universidad de Concepción（康塞普西翁大学）
研究哈密顿动力学对布尔网络交互图的影响，分析三种动力学类型对图连通性和系统变量依赖性的影响，并提出能描述三种哈密顿行为的unate布尔网络。
2026-05-13 cs.DM
Relationships between the number of inputs and other complexity measures of Boolean functions
我们推广和扩展的想法在最近的一份文件中的Chiarelli，哈塔米和萨克斯证明新的界限的数量有关的变量的布尔函数的各种复杂性措施。我们的方法统一和细化所有以前已知的这种类型的界限。我们还改进了Nisan和Szegedy著名的块灵敏度与度不等式的常数因子，从而改进了黄的最近证明的灵敏度猜想相同的常数。
2022-12-22 cs.DM math.CO
Nondeterministic Communication Complexity of Random Boolean Functions
本文研究了随机函数$f\colon X\times Y \to \{0,1\}$的非确定性通信复杂性及其相关概念（愚弄集、分数覆盖数），其中每个值都以概率$p=p(n)$，$n := |X|=|Y|$独立地被选择为1。
2016-12-02 cs.CC cs.DM
The Binary Linearization Complexity of Pseudo-Boolean Functions
该研究提出伪布尔函数的线性化复杂度概念，证明随机多项式几乎必然具有高线性化复杂度，刻画了不同约束下的复杂度取值，并通过低自相关二进制序列问题的建模实验验证了其实际价值。
2024-08-12 cs.DM math.OC
From Exact Learning to Computing Boolean Functions and Back Again
Rutgers University（罗格斯大学）
本文的目标是与评估的布尔函数（证书的复杂性，决策树复杂性）和学习维度用于表征精确学习（教学维度，扩展教学维度）的复杂性措施。高层次的动机是发现一个未知概念的精确学习和测试一个未知概念是否是一个概念类的一部分之间的非平凡关系。具体地说，我们的目标是提供一个问题类型的复杂性度量的下限和上限。
2012-05-19 cs.DM cs.LG
Number of fixed points and disjoint cycles in monotone Boolean networks
给定一个有向图$G$，以$G$为交互图的布尔网络$f:\{0,1\}^n\to\{0,1\}^n$中不动点的最大个数$ϕ(G)$一直是一个值得关注的问题.特别是，在网络编码的一个中心问题在于研究的经典上限$ϕ(G)\leq 2^τ$，其中$τ$是$G$的反馈顶点集的最小尺寸的最优性。本文研究了具有交互图$G$的{ \em单调}布尔网络中不动点的最大数量$ϕ_m(G)$。我们建立了新的上限和下限的$ϕ_m(G)$，这取决于$G$的循环结构。除了$τ$之外，所涉及的参数是验证一些附加技术条件的顶点不相交循环的最大数目$ν$和顶点不相交循环的最大数目$ν^{*}$。我们改进了经典的上界$2^τ$，证明了$ϕ_m(G)$至多是$\{0,1\}^τ$的最大子格，不存在大小为$ν+1$的链，也不存在另一个大小为$2ν^{*}$的禁止模式.然后，我们证明了两个最优下界：$ϕ_m(G)\geq ν+1$和$ϕ_m(G)\geq 2^{ν^{*}}$。因此，我们得到以下特征：$ϕ_m(G)=2^τ$当且仅当$ν^{*}=τ$。作为另一个结果，我们得到，如果$c$是$G$的无弦循环的最大长度，则$2^{ν/3^c}\leqϕ_m(G)\leq 2^{cν}$。最后，利用所介绍的技巧，根据布尔网络的符号交互图，给出了布尔网络的不动点个数的一个上界。
2017-11-07 cs.DM cs.IT math.CO
Certificate complexity and symmetry of nested canalizing functions
布尔嵌套渠化函数在分子调控网络、工程和计算机科学中有着重要的应用。在本文中，我们研究他们的证书复杂性。对于这两个布尔值$b\in\{0,1\}$，我们得到了一个公式的$b$ -证书的复杂性，因此，我们开发了一个直接证明的证书复杂性公式的NCF。对称性是布尔函数的另一个有趣的性质，我们显着简化了最近的一些定理的证明NCF的部分对称性。我们还描述了$s$ -对称NCF的代数正规形。得到了$s=1,\dots,n$的$n$ -变量$s$ -对称布尔NCF集的基数的一般公式.特别是，我们列举了强非对称布尔NCF。
2021-02-12 cs.DM math.CO
Social choice, computational complexity, Gaussian geometry, and Boolean functions
我们描述了以下主题之间的连接网络：投票和社会选择的数学理论;最大割问题的计算复杂性;高斯等周不等式和博雷尔的推广;超压缩不等式的Bonami;以及布尔函数的分析。一个主要的主题是将关于高斯函数的不等式约化为关于布尔函数f：{-1，1}^n -> {-1，1}的不等式，然后利用n上的归纳法进一步约化为关于函数f：{-1，1} -> {-1，1}的不等式。我们特别强调德，莫塞尔和尼曼最近使用这种技术来证明多数是最稳定的定理和博雷尔的等周不等式同时。
2014-08-04 cs.CC cs.DM math.PR
Certificate complexity and symmetry of nested canalizing functions
本文研究布尔嵌套信道函数的证书复杂度与对称性，给出了证书复杂度公式、简化了部分对称性证明，并枚举了强不对称NCF。
2021-11-23 cs.DM math.CO
The Complexity of Weighted Boolean #CSP with Mixed Signs
对加权布尔约束满足问题的配分函数的计算问题给出了一个复杂性二分法。这样的问题是参数化的一组合理值的功能，推广的约束。每个函数为一组布尔变量的每次赋值都分配一个权重。我们的二分法扩展了以前的工作，其中的权重函数被限制为非负的。我们将权重函数表示为形式（-1）^s g的乘积，其中多项式s确定权重的符号，非负函数g确定其大小。我们表明，问题的计算分区函数（所有可能的变量分配的权重的总和）是在多项式时间，如果每个权重函数可以定义为一个“纯仿射”的幅度与二次符号多项式或每个功能可以定义的幅度的“产品类型”与线性符号多项式。在所有其他情况下，计算配分函数是FP^#P-完全的。
2009-06-03 cs.CC cs.DM
The Complexity of Approximating Bounded-Degree Boolean \sharp CSP
CSP实例的度是任何变量在约束范围中出现的最大次数。我们考虑了约束语言中包含两个一元常数关系{0}和{1}的有界度实例的布尔CSP的近似计数问题。当最大允许度足够大（至少6）时，我们得到了这个问题的复杂性的完整分类。如果约束语言中的每一个关系都是仿射的，则它在多项式时间内是精确可解的。如果每一个关系都可以表示为{0}、{1}和二元蕴涵的合取，则它等价于二部图中独立集的近似计数问题。否则，没有FPRAS，除非NP=RP。对于较低的度界，出现了其他情况，其中的复杂性与近似计数超图中的独立集的复杂性有关。
2011-09-16 cs.CC cs.DM
Complexity of limit cycles with block-sequential update schedules in conjunctive networks
本文讨论了如下判定问题：给定一个由其交互有向图定义的合取布尔网络，它是否有一个给定长度k的极限环？我们证明了这个问题是NP-完全的一般情况下，如果k是一个参数的问题，并在P，如果相互作用有向图是强连通的。$k$是常数，但交互作用有向图不是强连通的情况仍然是开放的。此外，我们还研究了决策问题的变化：给定一个合取布尔网络，是否存在一个块序列（分别为：顺序的）更新调度，使得存在长度为k的极限环？我们证明了这个问题是NP-完全的任何常数k >= 2。
2022-03-21 cs.CC cs.DM
On the Complexity of the Evaluation of Transient Extensions of Boolean Functions
瞬态代数是门电路中危险检测的多值代数。交替的0和1的序列，称为瞬变，表示信号值，“与”门通过布尔函数到瞬变的扩展来建模。从输入瞬变计算门的输出瞬变的公式对于NOT、AND、OR和“异”门以及它们的互补门是已知的，但是，一般来说，即使决定输出瞬变的长度是否超过给定界限的问题也是NP完全的。本文提出了一种计算一般布尔函数扩张的方法。我们介绍并研究了一类具有以下性质的函数：而不是评估一个布尔函数的扩展对一组给定的瞬态，它是可能的，以获得相同的值通过使用瞬态来自给定的，但长度最多为3。我们证明了所有的三个变量的功能，以及某些其他功能，有这个属性，并可以有效地评估。
2010-08-10 cs.CC cs.DM
Optimising attractor computation in Boolean automata networks
本文详细介绍了一种方法，用于优化布尔自动机网络的大小，以计算其吸引子下的并行更新时间表。这种方法依赖于最近引入的模块的形式主义，允许（解）组成这样的网络。我们讨论了这种方法的实用性，通过探索的例子。我们还提出了钉的过程中的大部分部分的复杂性的结果，而问题的一部分的复杂性是开放的。
2020-07-20 cs.DM cs.LO
Complexity of Boolean automata networks under block-parallel update modes
本文研究块并行更新模式下布尔自动机网络的复杂性，证明其能产生复杂计算，将多数动力学决策问题归入PSPACE类，但发现双射性仍属coNP的意外差距。
2024-02-09 cs.CC cs.DM
Approximating the Influence of a monotone Boolean function in O(\sqrt{n}) query complexity
离散函数的{\em总影响}（{\em平均灵敏度）是其基本度量之一。本文研究了单调布尔函数\ifnum \plusminus = 1 $f: \{\pm1\}^n \longrightarrow \{\pm1\}$，\else $f: \bitset^n \to \bitset$，\fi（记为$I[f]$）的全影响的逼近问题.我们提出了一个随机算法，近似的影响，这样的功能，在一个乘法因子的$(1\pm \eps)$通过执行$O(\frac{\sqrt{n}\log n}{I[f]} \poly(1/\eps)) $查询。% \mnote{D: say something about technique?}我们还证明了一个下界%$Ω(\frac{\sqrt{n/\log n}}{I[f]})$ $Ω(\frac{\sqrt{n}}{\log n \cdot I[f]})$的查询复杂性的任何常数因子近似算法为这个问题（适用于$I[f] = Ω(1)$），%和$I[f] = O(\sqrt{n}/\log n)$），因此表明，我们的算法几乎是最佳的$n$的依赖。对于一般的功能，我们给了一个下界的$Ω(\frac{n}{I[f]})$，它匹配的复杂性，一个简单的采样算法。
2011-01-27 cs.DM cs.DS
The complexity of Boolean surjective general-valued CSPs
值约束满足问题（VCSPs）是离散优化问题，其目标函数为固定值函数之和的$(\mathbb{Q}\cup\{\infty\})$值。在布尔满射VCSP中，变量采用来自$D=\{0,1\}$的标签，并且需要最优分配来使用来自$D$的两个标签。例子包括经典的全局最小割问题和编码理论中研究的最小距离问题。我们建立了一个二分法定理，从而给出了一个完整的布尔满射VCSP的精确可解性的复杂性分类。我们的工作推广的二分法的$\{0,\infty\}$值约束语言（对应满射决策CSP）得到的Creameru和Hébrard。对于$\mathbb{Q}_{\geq 0}$ -值满射VCSP的最大化问题，我们还建立了一个关于可逼近性的二分法。与布尔满射（决策）CSP的情况不同，出现了一种新的易处理的语言类，在非满射设置中是平凡的。这个新发现的易处理类有一个有趣的数学结构，与沮丧和沮丧有关。我们的主要贡献是识别这个类，并证明它位于易处理的边界上。我们的证明的一个关键部分是一个多项式时间算法枚举所有接近最优的解决方案的广义最小割问题，这可能是独立的利益。
2018-09-09 cs.CC cs.DM
Finding a Maximum Restricted $t$-Matching via Boolean Edge-CSP
本文研究排除指定完全t-部子图的最大t-匹配问题，针对禁止子图边不相交和输入图最大度至多2t-1两种情况提出多项式时间算法，利用受限t-匹配的离散结构与布尔边约束满足问题求解，推广了此前关于无短环2-匹配的相关结果。
2023-10-31 cs.DM cs.DS math.CO
Learning complexity of many-body quantum sign structures through the lens of Boolean Fourier analysis
本文利用布尔傅里叶分析方法研究自旋系统量子符号结构的学习复杂性，提出多项式ansatz在泛化能力上显著优于神经网络，并证明通过布尔函数增强数据可辅助网络预测符号。
2025-08-13 cond-mat.dis-nn cond-mat.str-el cs.DM
Certificate Complexity of Elementary Symmetric Boolean Functions of Arbitrary Degree
Governors State University；Winston–Salem State University（温斯顿-塞勒姆州立大学）
本文解决了初等对称布尔函数证书复杂度的开放问题，给出了任意次数$d$（$1\le d\le n$）下的完整确定结果。
2026-09-29 cs.DM math.CO
Rice-like complexity lower bounds for Boolean and uniform automata networks
本文将类Rice复杂性下界推广到有界字母表（含布尔）自动机网络，证明非平凡一元二阶逻辑问题为NP难或coNP难，并借助有界团宽为非确定性情形建立复杂性下界元定理。
2025-09-23 cs.CC cs.DM cs.LO
Block Sensitivity and Certificate Complexity of Rotation Symmetric Boolean Functions
Winston–Salem State University（温斯顿-塞勒姆州立大学）；Governors State University（州长州立大学）
该研究分析旋转对称布尔函数的块灵敏度与证书复杂度，明确奇次、二次单项式旋转对称布尔函数的相关测度关系，还确定连续四次族Rₙ的测度，得到灵敏度小于块灵敏度且二者与证书复杂度相等的无穷多类函数。
2026-11-10 cs.CC cs.DM math.CO
A Complete Complexity Dichotomy for Cyclic Attractor Detection in Boolean Networks with Restricted Local Rules
AI Research Center, Faculty of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University（莫斯科国立大学力学与数学系人工智能研究中心）
研究在局部逻辑规则约束下，布尔网络中检测精确周期k的循环吸引子的计算复杂性，给出了Post格上的完全复杂性二分法，揭示了可解与不可解边界。
2026-07-09 cs.CC cs.DM math.DS
On the Relationship between Energy Complexity and other Boolean Function Measures
在这项工作中，我们调查到能量复杂性，一个布尔函数的措施有关的电路复杂性。给定标准基$\{\vee_2,\wedge_2,\neg\}$上的电路$\mathcal{C}$，由$\mathrm{EC}(\mathcal{C})$表示的$\mathcal{C}$的能量复杂度是其在所有输入上激活的内部门的最大数目。布尔函数$f$的能量复杂度，用$\mathrm{EC}(f)$表示，是所有电路$\mathcal{C}$上$\mathrm{EC}(\mathcal{C})$计算$f$的最小值。这个概念在文学中引起了很多关注。最近，Dinesh，Otiv和Sarma [COCOON'18]在决策树复杂性方面给了$\mathrm{EC}(f)$一个上限，$\mathrm{EC}(f)=O(\mathrm{D}(f)^3)$。他们还展示了$\mathrm{EC}(f)\leq 3n-1$，其中$n$是输入大小。回想一下，计算$f$的电路的最小大小可以与$2^n/n$一样大。通过证明$\mathrm{EC}(f)\leq\min\{\frac12\mathrm{D}(f)^2+O(\mathrm{D}(f)),n+2\mathrm{D}(f)-2\}$ .对于下限，Dinesh，Otiv和Sarma定义了正敏感性，一种由$\mathrm{psens}(f)$表示的复杂性度量，并表明$\mathrm{E…
2019-04-26 cs.CC cs.DM math.CO
Stability of Linear Boolean Networks
本文研究线性布尔网络的稳定性，通过 Derrida 曲线和吸引子分析证明其有序到混沌的相变发生在平均入度 Kc=1，并给出吸引子比例、不动点期望数量及双射网络数量的理论结果。
2023-05-09 cs.DM math.CO nlin.CD
