Reduced-Complexity Semidefinite Relaxations of Optimal Power Flow Problems
提出了一种新的生成最优潮流问题半定松弛解的方法。该方法基于弦转换技术：通过在转换中放弃一些等式约束，我们获得了比标准半定松弛更便宜但可能更弱的半定松弛。我们的数值结果表明，新的松弛往往产生相同的结果作为标准的半定松弛，但在一个较低的计算成本。
2013-12-06 math.OC
On Semidefinite Relaxations for Matrix-Weighted State-Estimation Problems in Robotics
University of Toronto（多伦多大学）；University of Toronto Robotics Institute（多伦多大学机器人研究所）；Inria（法国国家信息与自动化研究所）；École Normale Supérieure（巴黎高等师范学院）；PSL University（巴黎文理大学）
本文研究机器人矩阵加权状态估计的半定松弛紧致性，揭示矩阵权重导致松弛失去紧致性，提出用冗余约束恢复，并给出替代SLAM表述。
2025-01-20 cs.RO math.OC
New semidefinite relaxations for a class of complex quadratic programming problems
本文针对信号处理和电力系统中的一类非凸复二次规划问题，通过在提升空间中推导新的有效约束，提出了严格更紧且适用范围更广的新半定松弛方法，数值结果表明其能提供更紧的松弛界限并改进现有近似算法。
2023-05-17 math.OC
A note on the Lovasz-Schrijver Semidefinite Programming Relaxation for Binary Integer Programs
二进制整数规划（BIP）问题之所以引起人们的兴趣，部分是因为它们所造成的困难，以及因为它们的各种应用，包括在图论、组合优化和网络优化中的应用。在本文中，我们明确地陈述了BIP问题的Lovasz-Schrijver半定规划（SDP）松弛（原始标准式），该松弛产生比规范线性规划松弛更紧的上界。
2012-08-18 math.OC
Semidefinite relaxations for semi-infinite polynomial programming
研究了半无限多项式规划问题的半定松弛法。本文首先介绍了求解多约束多项式最优化问题的两种SDP松弛法。然后，我们提出了一个交换算法与SDP松弛解决SIPP问题的紧凑指标集。最后，我们通过均匀化方法将所提出的方法推广到具有非紧指标集的SIPP问题。数值结果表明该算法是有效的。
2013-06-08 math.OC
On the Robustness and Scalability of Semidefinite Relaxation for Optimal Power Flow Problems
半定松弛技术在求解非凸最优潮流问题中有着广阔的应用前景。然而，一些独立的数值实验已经导致了对现有SDP求解器的可扩展性和鲁棒性的关注。为了解决这些问题，我们调查了一些数值方面的问题，并比较不同的国家的最先进的解决方案。我们的研究结果表明，半定松弛的大型问题的例子，在10,000总线的顺序可以可靠地解决，并在几分钟内合理的精度。此外，半定松弛的测试用例与25,000总线可以在半小时内可靠地解决;最大的测试用例与82,000总线在8小时内解决。我们还比较了通过半定松弛得到的下界与用非线性最优化方法得到的局部最优解，并计算了最优性间隙。
2019-03-04 math.OC
Polynomial mathematical programs with equilibrium constraints and semidefinite programming relaxations
本文研究了一个带有平衡约束的数学规划问题，其中目标函数和约束函数都是多项式。给出了一种利用半定规划（SDP）松弛族求其全局极小值和全局极小值的方法，并证明了该方法的收敛性。数值实验表明了该算法的有效性。
2019-03-22 math.OC
Doubly nonnegative relaxations are equivalent to completely positive reformulations of quadratic optimization problems with block-clique graph structures
我们研究了非凸QOP，它的CPP和DNN松弛之间的等价性，假设CPP松弛的数据矩阵的聚集和相关稀疏性由块团图$G$表示。通过利用相关稀疏性，我们将CPP松弛问题分解成一个更小的子问题的二叉树结构的家庭。每个子问题与$G$的团树的节点相关联。最优值可以通过应用一个算法，我们提出了解决子问题递归从叶子节点到根节点的candle-tree。我们建立QOP和它的DNN松弛之间的等价性，从减少家庭的子问题和他们的DNN松弛之间的等价性，通过应用已知的结果：（i）CPP和DNN的一类QOP的线性等式，互补性和二元约束在4个非负变量的重新制定。(ii)一类任意大小的二次约束凸QOP的DNN重构(iii)DNN重构任何大小的LP。因此，我们证明了一个QOP的子问题是在（i），（ii）和（iii）中提到的QOP是等价的DNN松弛，如果子问题形成一个团树结构的家庭从块团图诱导。
2019-03-18 math.OC
A new semidefinite relaxation for $\ell_{1}$-constrained quadratic optimization and extensions
本文通过改进变量分裂方法，对$\ell_1$单位球（QPL 1）上的非凸二次最优化问题提出了一种新的半定规划（SDP）松弛方法。它主导了最先进的基于SDP的（QPL 1）边界。作为扩展，我们将新方法应用于稀疏主成分分析的松弛问题和$\ell_p$（$1< p<2$）单位球上的非凸二次最优化问题，并证明了新松弛方法的优势.
2013-12-31 math.OC
Application of the Enhanced Semidefinite Relaxation Method to Construction of the Optimal Anisotropy Function
本文提出并应用增强半定松弛技术求解一类非凸二次最优化问题。该方法是基于增强的半定松弛方法补充线性等式约束的二次线性约束。我们给出了保证原始和增强半定松弛问题的最优值重合的充分条件。我们应用这种方法来解决最佳各向异性函数的问题。我们的想法是构造一个最佳的各向异性函数作为最小的各向异性界面能功能的一个给定的约旦曲线在平面上。我们提出了解决最佳各向异性函数的计算实例。示例包括真实雪花的边界。
2015-04-18 math.OC
Calculating Entanglement Eigenvalues for Non-Symmetric Quantum Pure States Based on the Jacobian Semidefinite Programming Relaxation Method
纠缠的几何度量是量子纯态的一种广泛应用的纠缠度量。计算几何测度的关键问题是计算纠缠本征值，这等价于计算对应复张量的最大酉本征值。本文提出了一种计算复张量最大酉特征值的雅可比半定规划松弛法。为此，首先介绍了等式约束多项式优化问题的雅可比半定规划松弛法，然后将求最大酉特征值的问题转化为一个实等式约束多项式最优化问题，用雅可比半定规划松弛法求解.数值算例表明了该方法的有效性。
2019-01-03 math.OC
Tight-and-cheap conic relaxation for the AC optimal power flow problem
经典的交流最优潮流问题是高度非凸的，一般难以求解。凸松弛，特别是半定，二阶锥，凸二次和线性松弛，最近吸引了显着的兴趣。其中半定松弛是最强的，并且在许多情况下是精确的。然而，求解大规模半定优化的计算效率低于二阶锥优化。我们提出了一个圆锥松弛通过半定优化与重构线性化技术相结合，通常被称为RLT。所提出的松弛比二阶锥松弛更强，几乎与标准半定松弛一样紧。使用标准测试用例与多达6515个总线的计算实验表明，解决新的圆锥松弛的时间是一个数量级低于弦松弛，半定松弛技术，利用电力网络的稀疏性。
2019-08-06 math.OC
Sufficient Conditions for Exact Semidefinite Relaxation of Optimal Power Flow in Unbalanced Multiphase Radial Networks
本文证明了在树形拓扑的不平衡多相网络中，当临界节点不相邻时，最优潮流问题的半定规划松弛是精确的。这里，关键总线直接贡献于费用函数，或者是注入约束在最优性时是紧的地方。我们的结果推广了单相树型网络中精确松弛的一个充分条件到任意相数的树型网络。
2020-09-12 math.OC
Semidefinite programming relaxations for linear semi-infinite polynomial programming
研究了一类线性半无限多项式规划问题。它是线性半无限规划问题的一个子类，其约束函数是关于参数的多项式，指标集是基本半代数集。我们提出了一个层次的半定规划（SDP）松弛的LSIPP问题。在已有结果的基础上，建立了SDP弛豫的收敛速度分析.我们展示了如何验证LSIPP问题的可行集的紧性。最后，我们将SDP松弛法推广到更一般的半无限规划问题。
2019-10-24 math.OC
Instance-specific linear relaxations of semidefinite optimization problems
Tepper School of Business, Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学泰珀商学院）；UNM（新墨西哥大学）
本文提出一种通用技术，通过约束和目标矩阵的可交换性获得半定规划的线性松弛，并证明其有效性，应用于max cut问题和Lovasz theta数，提供更优的近似方法。
2024-02-20 math.OC
A New Semidefinite Relaxation for Linear and Piecewise-Affine Optimal Control with Time Scaling
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
针对含时间缩放的线性及分段仿射（PWA）最优控制的非凸性问题，提出新型半定松弛方法，通过选择双线性项子集、变量替换及凸集图（GCS）扩展，实现紧松弛与轻量计算，可单半定规划求解PWA问题。
2025-04-17 cs.RO cs.SY eess.SY
Tightness of the semidefinite relaxation for orthogonal trace-sum maximization
本文研究了$m$正交矩阵上矩阵二次型迹和的最优化问题，它可以看作是旋转同步问题的推广.当问题是非凸的时，本文证明了在加性噪声模型下，当噪声为$O(-m^{1/4})$阶时，它的半定规划松弛可以精确地求解原非凸问题，其中$m$是正交矩阵的个数.这一结果可以被认为是现有的相位同步结果的推广。
2019-11-20 math.OC
Bilevel Polynomial Programs and Semidefinite Relaxation Methods
二层规划是一个最优化问题，其约束涉及另一个最优化问题。本文研究二层多项式规划（BPP），即，所有的函数都是多项式。我们重新制定BPPs相当于半无限多项式程序（SIPPs），使用弗里茨约翰条件和雅可比表示。结合交换技术和Lasserre型半定松弛，我们提出了求解简单和一般BPP的数值方法。对于简单的BPP，我们证明了全局最优解的收敛性。数值实验表明了算法的有效性。
2016-11-03 math.OC
Global Extendability of Local Atoms in Sparse Moment Relaxations
School of Engineering and Applied Sciences, Harvard University（哈佛工程学院与应用科学学院）
本文研究稀疏矩松弛中平面团的全局可扩展性，通过单轮车轨迹优化实验发现部分平面团原子可恢复近最优轨迹，构造反例证明部分平面团原子无法扩展为全局极小元，并给出基于团边界的全局可扩展性充分条件。
2026-11-03 math.OC
The equivalence between doubly nonnegative relaxation and semidefinite relaxation for binary quadratic programming problems
最近已经表明（Burer，Math. Program Ser.A120：479-495，2009），可以将一大类NP难的非凸二次规划问题建模为所谓的完全正规划问题，其是凸的但通常仍然是NP难的。通过双重非负松弛得到一个基本的易处理松弛，从而得到一个双重非负规划。本文证明了二元二次规划（BQP）问题的双重非负松弛等价于它的一个紧半正定松弛，当问题（BQP）化为最大割（MC）问题时，它的双重非负松弛等价于标准半正定松弛.此外，一些比较的数值结果报告。
2012-11-23 math.OC
T-semidefinite programming relaxation with third-order tensors for constrained polynomial optimization
针对带多项式不等式约束的多项式优化问题，提出基于三阶张量的T-半定规划松弛方法，证明其可转化为块对角标准半定规划松弛，在适度假设下收敛于最优值，且数值效率更优。
2024-05-14 math.OC
Global Contact-Rich Planning with Sparsity-Rich Semidefinite Relaxations
Harvard University（哈佛大学）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
该研究将富接触运动规划转化为多项式优化问题，利用其多重稀疏性设计出基于Lasserre层级的高阶稀疏半定规划松弛，可快速求解接近全局最优的非凸规划方案，并发布了支持多语言的SPOT工具箱。
2025-09-04 cs.RO math.OC
Approximating Pareto Curves using Semidefinite Relaxations
CNRS（法国国家科学研究中心）；LAAS（法国国家科学研究中心系统分析与架构实验室）；Université de Toulouse（图卢兹大学）；Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）
我们考虑与多目标最优化问题$\min_{\mathbf{x} \in \mathbf{S}}\{ (f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x})) \}$相关的Pareto曲线的近似构造问题，其中$f_1$和$f_2$是两个冲突的多项式准则，而$\mathbf{S} \subset \mathbb{R}^n$是一个紧的基本半代数集.我们提供了一个系统的数值方案来近似帕累托曲线。我们首先将初始问题简化为一个标量化多项式最优化问题（POP）。三种标量化方法导致考虑不同的参数POP，即（a）加权凸和近似，（b）加权切比雪夫近似，和（c）参数子水平集近似。对于每一种情况下，我们必须解决一个半定规划（SDP）层次参数化的时刻或等价的程度多项式平方和近似的帕累托曲线。当多项式逼近的次数趋于无穷大时，我们保证方法（a）和（b）收敛于$L^2$ -范数的Pareto曲线，方法（c）收敛于$L^1$ -范数的Pareto曲线。
2014-06-16 cs.RO math.OC
Convergent Semidefinite Programming Relaxations for Global Bilevel Polynomial Optimization Problems
本文考虑一个两层多项式最优化问题，其中上下层问题的目标函数和约束函数都是多项式。我们提出了使用一系列半定规划（SDP）松弛来寻找其全局极小值和全局极小值的方法，并给出了这些方法的收敛结果。我们的方案的问题与凸低级别的问题涉及到解决一个转换的等价单级问题的SDP松弛序列，而我们的方法一般问题，涉及一个非凸多项式低级别的问题，解决了一个序列的近似问题，通过另一个序列的SDP松弛。
2016-01-13 math.OC
Nondegeneracy and Inexactness of Semidefinite Relaxations of Optimal Power Flow
最优潮流问题可以转化为一个非凸的二次约束二次规划问题。有越来越多的工作使用半定规划松弛来解决最优潮流。松弛是精确的当且仅当相应的最优解集包含秩1矩阵。本文给出了该最优解集中秩为1的矩阵不存在的充分条件。特别是，我们表明，在温和的假设下，问题的非退化，任何半定松弛的最优解将有秩大于1，如果平等和积极的不等式约束的数量至少是两倍的网络中的巴士。该充分条件适用于任意网络拓扑（包括树形网络）。我们从经验上评估这些结果的实际影响，从文献中的几个测试案例。
2014-11-17 math.OC
A Lagrangian relaxation view of linear and semidefinite hierarchies
考虑一般多项式最优化问题$P: f^*=\min \{f(x)\,:\,x\in K\}$，其中$K$是一个紧的基本半代数集.我们首先表明，标准的拉格朗日松弛产生一个下界，如所需的全局最优值$f^*$，只要它被施加到一个问题$\tilde{P}$相当于$P$，其中足够多的冗余约束（产品的初始）被添加到初始描述的$P$。接下来，我们证明了$P$的LP松弛的标准层次（在Sherali-Adams的RLT的精神中）可以被解释为上述拉格朗日松弛的强力简化，其中非负多项式（系数待定）被替换为等于零的常数多项式。受这种解释的启发，我们提供了一个系统的LP-层次结构的改进，做了一个不那么残酷的简化，结果成一个参数化的层次结构的半定程序（而不是线性程序）。对于每个半定程序的参数化层次结构中，半定约束有一个固定的大小$O(n^k)$，独立的等级在层次结构中，与标准层次的半定松弛。参数$k$由用户决定。当应用到一个非平凡的一类凸问题，参数化的层次的第一松弛是准确的，在LP-层次的收敛不能是有限的。当应用于0/1程序时，它至少和半定松弛层次中的第一个一样好。然而，准确性的障碍仍然存在，并简要分析。最后，标准的半定层次也可以被看作是一个扩展的拉格朗日松弛的简化，但不同的精神，因为平方和（而不是标量）乘数是允许的。
2012-10-17 math.OC
Solution to the Inverse Wulff Problem by Means of the Enhanced Semidefinite Relaxation Method
提出了一种求解最优各向异性函数的新方法。我们的想法是构造最佳的各向异性函数作为逆Wulff问题的解决方案，即作为一个最小的不等周比为一个给定的约旦曲线在平面上。它导致一个非凸的二次最优化问题与线性矩阵不等式。为了解决这个问题，我们提出了所谓的增强半定松弛法，它是基于一个凸半定问题的解决方案，通过二次线性约束增强的原问题的半定松弛。我们表明，序列的有限维近似的最佳不等周比收敛到最佳不等周比，这是一个解决方案的逆Wulff问题。文中还给出了几个计算实例，包括对应于真实雪花边界的计算实例，并对数值方法的收敛速率进行了讨论。
2014-03-17 math.OC
Exactness Conditions for Semidefinite Relaxations of the Quadratic Assignment Problem
本文研究了二次指派问题半正定松弛的强度，提出了基于输入矩阵线性不等式的确定性精确性条件，并证明在微小扰动模型下松弛仍精确，克服了对偶可行解集非闭合的技术难点。
2024-10-15 math.OC
Multi-objective convex polynomial optimization and semidefinite programming relaxations
针对一类具有凸多项式数据的多目标最优化问题，给出了有效解。为此，一个混合方法，它允许我们转换问题（MP）到一个标量凸多项式最优化问题（P $_z$），并不破坏凸性的性质，被认为是。首先，我们在一些温和的假设下证明了问题（MP）的有效解的存在性。然后，对于问题（P $_z$），建立了凸半代数集上凸多项式的两种非负性表示，并在适当的假设下，给出了问题（P $_z$）的Lasserre型半定规划松弛族的两种有限收敛性结果.最后，我们发现，找到有效解的问题（MP）可以成功地实现解决层次的半定规划松弛和检查一个平坦的截断条件。
2020-11-02 math.OC
Tight SDP relaxations for cardinality-constrained problems
本文用半定规划松弛基数约束投资组合问题，实验证明该松弛产生紧下界且常达最优，凸显半定规划对混合整数二次问题的建模能力。
2024-02-07 math.OC
A certificate for semidefinite relaxations in computing positive dimensional real varieties
对于具有正维实簇的理想I，基于矩松弛，研究了如何计算一个Pommaret基，它同时也是一个理想J的Groebner基，该理想J是由截断矩矩阵的核和I与其实根理想之间的嵌套生成的.我们提供了一个证书，包括一个条件的矩矩阵coranks终止算法。对于一般的δ-正则坐标系，我们证明了该条件在足够大的矩松弛阶下是可满足的。
2012-12-20 math.OC
On the integrality gap of the maximum-cut semidefinite programming relaxation in fixed dimension
我们描述了一个最大割半定规划松弛的完整性间隙的因子揭示凸优化问题：对于每个$n \geq 2$，我们提出了一个凸优化问题，其最优值是最大可能的最佳秩- $n$解决方案的松弛和最佳割的值之间的比率。这个问题，然后用来计算完整性差距的下界。
2020-08-05 cs.DS math.OC
A Low-Rank Coordinate-Descent Algorithm for Semidefinite Programming Relaxations of Optimal Power Flow
交流最优潮流（ACOPF）是最著名的非凸非线性优化问题之一。我们提出了一种新的重新制定的ACOPF，这是基于提升的矩形功率电压等级约束的制定，并使之有可能获得替代SDP松弛。针对这些问题，我们提出了一种基于平行坐标下降的一阶方法，该方法具有基于三次多项式根的新的封闭形式步骤。
2016-10-16 math.OC
Inexactness of the Hydro-Thermal Coordination Semidefinite Relaxation
水热协调是确定水、火电厂随时间变化的最优经济调度问题。水力发电的物理过程通常在文献中被简化，以解释其基本的非线性性质。在凸松弛理论的进步已经允许出现的肖尔的半定规划（SDP）松弛的二次模型的问题。本文展示了最近发表的SDP松弛如何仅在观察到关于涡轮机效率的非常严格的条件时才是准确的，否则失败。它进一步提出了使用一组凸包络作为一种策略，成功地获得一个更严格的下界的最优解。该策略与一个标准的迭代凹凸过程相结合，以恢复原来的非凸问题的一个稳定点。
2017-11-10 math.OC
Sparse Sub-gaussian Random Projections for Semidefinite Programming Relaxations
本研究提出用稀疏次高斯随机投影缩减半定规划的矩阵变量规模，给出依赖稀疏性参数的理论界，在MAXCUT等组合优化半定松弛上验证了效果，为低计算量近似求解约束不多的此类问题提供了方法。
2024-06-20 math.OC
A Low-Rank Rounding Heuristic for Semidefinite Relaxation of Hydro Unit Commitment Problems
水电机组组合是指在满足短期水库运行约束和长期目标的前提下，在多个水电站的日常运行中，使水资源利用效率最大化，同时使启动成本最小化的问题。一个低秩舍入启发式半定松弛的混合整数二次约束制定这个问题。除了水库和发电机运行的限制，传输约束表示的近似交流潮流模型。在我们提出的方法中，数学规划等价地制定为QCQP问题解决的凸松弛的基础上半定规划，其次是MILP解决方案的未定义的机组承诺时间表。最后，一个降秩过程。所提出的启发式的有效性进行比较，分支定界的解决方案，不同大小的发电和输电系统的数值案例研究。
2017-11-16 math.OC
On semidefinite programming relaxations of the traveling salesman problem
我们考虑一个新的半定规划（SDP）松弛的对称流动推销员问题（TSP），可以通过一个SDP松弛的更一般的二次指派问题（QAP）。我们证明了新的弛豫优于[D. Cvetkovic，M. Cangalovic和V. Kovacevic-Vujcic，对称流动推销员问题的半定规划方法，第7届国际IPCO会议，Springer，伦敦，1999年，第100页。126- 136]。与Cvetkovic等人的边界不同，新的SDP界不受Held-Karp线性规划界的支配，反之亦然。
2009-02-11 math.CO math.OC
Tight semidefinite programming relaxations for sparse box-constrained quadratic programs
Lehigh University（利哈伊大学）
本文提出了一种基于重构线性化技术的紧半正定规划松弛方法，用于解决稀疏盒约束二次规划问题，并给出了多项式规模的可构造性证明。
2026-10-14 math.OC
Enhancing low-rank solutions in semidefinite relaxations of Boolean quadratic problems
布尔二次最优化问题出现在许多应用中。它们的混合整数连续性质是具有挑战性的，因为它本质上是NP难的。为此，文献中提出了半定规划松弛（SDR）来近似解，将问题转化为凸优化问题。然而，SDR不能保证提取正确的二进制最小值。在本文中，我们提出了一种新的方法来提高二元溶液的回收率。所提出的方法的关键是利用已知的信息的特征值所需的解决方案。由于所提出的方法产生一个非凸规划，我们开发和分析的迭代下降策略，其实际有效性通过数值结果显示。
2020-03-19 math.OC
Lebesgue decomposition in action via semidefinite relaxations
给定$\R^n$上两个测度$μ$和$λ$的所有（有限）矩，我们给出了一个用$ν\llλ$和$ψ\perpλ$得到Lebesgue分解$μ=ν+ψ$的数值格式.当$ν$在$L\_\infty(λ)$中有密度时，我们得到两个大小（矩数）增加的有限矩向量序列，随着矩数的增加，它们分别收敛到$ν$和$ψ$的矩.重要的是，需要关于$μ, ν$和$ψ$的支持的{ \it no}先验知识。
2016-01-26 math.OC
D-optimal design for multivariate polynomial regression via the Christoffel function and semidefinite relaxations
在紧致半代数设计空间上，提出了一种新的D-最优试验设计方法，该方法采用多元多项式回归。我们应用半定规划问题的矩平方和的层次来解决数字和近似的最优设计问题。利用半定规划对偶理论和Christoffel多项式恢复了设计的几何形状。
2017-03-06 math.OC math.ST stat.TH
Completely positive and completely positive semidefinite tensor relaxations for polynomial optimization
完全正（CP）张量对应于CP矩阵的推广，允许用CP张量的锥上的圆锥最优化问题来重新表达或近似一般多项式最优化问题（POP）。类似地，完全半正定（CPSD）张量，这对应于一个推广的半正定（PSD）矩阵，可以用来近似一般的持久性有机污染物与锥上的CPSD张量的圆锥最优化问题。在本文中，我们研究CP和CPSD张量松弛一般持久性有机污染物，并通过拉格朗日松弛的持久性有机污染物得到的界限进行比较。这表明，在这一方向上针对二次持久性有机污染物的现有结果可扩展到一般持久性有机污染物。此外，我们提供了一些易于处理的近似策略CP和CPSD张量松弛。这些近似策略表明，具有类似的计算工作，从他们获得的一般持久性有机污染物的界限可以更紧比这些问题的界限通过重新制定的POP作为二次POP，随后可以近似使用CP和PSD矩阵。为了说明我们的研究结果，我们数值比较小规模的四阶度持久性有机污染物从这些放松的方法得到的界限。
2016-10-10 math.OC
Orthogonal Trace-Sum Maximization: Tightness of the Semidefinite Relaxation and Guarantee of Locally Optimal Solutions
本文研究了$m$半正交矩阵中矩阵二次型迹和的最优化问题，它可以看作是旋转同步问题的推广.当问题为非凸时，在噪声为$O(m^{1/4})$阶的加性噪声模型下，证明了其半定规划松弛解以高概率精确地解决了原非凸问题.此外，它表明，在Won，Zhou和Lange [SIAM J. Matrix Anal.应用程序、2（2021），pp. 859-882]也是它在类似条件下的高概率全局解。这些结果可以被认为是现有的结果相同步的推广。
2021-10-12 math.OC
Open problem: Tightness of maximum likelihood semidefinite relaxations
Princeton University（普林斯顿大学）
我们已经观察到一个有趣的，但无法解释的现象：半定规划（SDP）的最大似然估计（MLE）的松弛往往是紧的恢复问题与噪声数据，即使当MLE不能完全恢复地面真相。几个结果建立紧密的SDP为基础的松弛的制度，从MLE的精确恢复是可能的。然而，据我们所知，在这一制度之外，人们并不了解它们的紧密性。作为一个说明性的例子，我们专注于广义Procrustes问题。
2014-04-10 cs.LG math.OC stat.ML
Semidefinite Relaxations for Stochastic Optimal Control Policies
对Hamilton Jacobi Bellman（HJB）方程研究的最新结果，发现了随机非线性系统的值函数可以表述为一个对扰动有轻度约束的线性偏微分方程（PDE）。这为非线性系统的规划和控制研究提供了有前途的方向。本文提出了一种求解线性随机最优控制（SOC）问题近似解的新方法。提出了一种变系数的候选多项式作为SOC问题的解决方案。一个平方和（SOS）松弛，然后采取偏微分约束，导致一个层次的半定松弛改善次优间隙。所得到的近似解被证明是保证过和下近似的最优值函数。
2014-02-12 math.OC
A Method for Quickly Bounding the Optimal Objective Value of an OPF Problem using a Semidefinite Relaxation and a Local Solution
最优潮流是电力系统运行中的一个重要问题。由于最优潮流问题的非凸性，可能存在多个局部最优解。证明获得整体解对于OPF问题的某些应用是重要的。许多全局优化技术计算最优性间隙，该最优性间隙将对应于来自局部解算法的可行点的可实现目标值与来自凸松弛技术的目标值界限进行比较。而不是传统的做法，完全分离的局部解和凸松弛计算，本文提出了一种方法，利用局部解的信息，使用半定规划（SDP）松弛的目标值界的计算速度。计算易处理性的改善伴随着所得客观值界的紧密性降低的权衡。数值实验说明了这种权衡，与所提出的方法是更快，但比SDP松弛和更慢，但更紧比二阶锥规划（SOCP）和二次凸（QC）松弛许多大型测试用例。
2019-06-14 math.OC
Guaranteed Recovery of Planted Cliques and Dense Subgraphs by Convex Relaxation
本文研究了给定图中任意k结点子图的判定问题。我们把这个问题写为秩约束基数最小化的一个实例，然后使用核和11范数放松。虽然原来的组合问题是NP-困难的，我们证明了denominik-子图可以从我们的凸松弛的解决方案，某些程序的输入。特别是，我们建立准确的恢复的情况下，输入图包含一个单一的种植集团加噪声的形式损坏的邻接关系。我们考虑这种噪声的两种构造。在第一种情况下，噪声是由对手确定性地删除种植集团内的边缘，并放置转移边缘。在第二种情况下，随机执行这些边缘损坏。在二部图中，也建立了类似的恢复保证确定的denominant子图的固定大小，和随机生成的图的数值模拟的结果，包括证明我们的算法的有效性。
2015-05-17 math.OC
Benders' decomposition of the unit commitment problem with semidefinite relaxation of AC power flow constraints
在本文中，我们提出了一个公式的机组组合问题的交流潮流约束。它是通过Benders分解，其中的机组组合主问题制定为一个混合整数问题与线性化的发电约束，以提高收敛性。在子问题中采用了矩形交流最优潮流的半定规划松弛法，提供了一定程度的保守性。数值算例研究，包括6节点和IEEE 118节点网络，提供了我们的建议来测试的有效性。我们表明，在我们的数值实验中，使用这种策略提高了质量的可行性和最优性削减所产生的解决方案的凸松弛的子问题，从而减少了算法收敛所需的迭代次数。
2020-11-23 math.OC
Positive Maps and Separable Matrices
如果所有的正半定矩阵都映射到正半定矩阵，则实对称矩阵空间之间的线性映射是正的。一个实对称矩阵是可分的，如果它可以表示为正半定矩阵的克罗内克积之和。本文研究了线性映射的正性检验和矩阵的可分性检验。我们提出了数值算法，Lasserre型半定松弛的基础上，解决这些问题。为了检验线性映射的正性，我们构造了一个半定松弛族来极小化单位球面上的双二次型。我们发现，可以通过解决有限数量的这种半定松弛检测的积极性。为了检验矩阵的可分性，我们构造了一个半定松弛族。如果它不可分，我们可以得到一个数学证明;如果它是，我们可以得到一个分解的可分性。
2016-03-26 math.OC
The Unbounded Integrality Gap of a Semidefinite Relaxation of the Traveling Salesman Problem
研究了de Klerk，Pasechnik和Sotirov [8]提出的旅行商问题的半定规划松弛，证明了其松弛具有无界的积分间隙.特别是，我们给出了一个家庭的情况下，使差距与$n$线性增加。为了得到这个结果，我们在一个高度结构化的矩阵类中寻找可行的解决方案;找到这样的解决方案的问题归结为找到一个相关的线性规划的可行的解决方案，我们分析。我们找到的解决方案意味着无界的完整性差距。此外，他们暗示了几个推论，帮助我们更好地理解半定计划和它的关系，其他TSP松弛。利用同样的技巧，我们证明了由de Klerk，de Oliveira Filho和Pasechnik [7]引入的一个更一般的半定规划对于$k$ -圈覆盖问题也有一个无界的完整性缺口.
2017-10-23 cs.DM cs.DS math.OC
A coordinate ascent method for solving semidefinite relaxations of non-convex quadratic integer programs
针对一类非凸二次整数优化中的半定规划问题，提出了一种坐标上升法。这些半定规划的特点是积极约束和低秩约束矩阵的总数少。我们利用这种特殊的结构，通过解决对偶问题，使用障碍的方法结合坐标明智的精确线搜索。我们的算法的主要成分是计算成本低的更新在每次迭代和一个简单的计算的确切步长。与内点方法相比，该方法在获得强对偶界方面要快得多。此外，即使原始约束的集合很大，也不需要显式分离和重新优化，因为在我们的对偶方法中，在选择下一个坐标时，隐式地考虑所有原始约束。
2016-03-08 math.OC
Achieving SDP Tightness Through SOCP Relaxation with Cycle-Based SDP Feasibility Constraints for AC OPF
在本文中，我们表明，标准的半定规划（SDP）松弛变电流最优潮流（AC OPF）可以等效地重新制定为二阶锥规划（SOCP）松弛最大团和循环为基础的SDP可行性约束。该公式是基于半正定（PSD）矩阵完成定理，该定理指出，如果弦图中对应于最大团的所有子矩阵都是PSD，则与弦图相关的部分矩阵可以被完成为完整的PSD矩阵。文献[1]中已有的方法首先通过Cholesky分解构造弦图。在本文中，我们首先确定最大团和最小弦圈。强制执行与最大团和循环PSD相关的子矩阵将保证PSD全矩阵。此外，我们进行弦松弛的最小无弦周期，通过添加虚拟线和分解每个无弦周期的3节点周期。因此，整个图由树、最大团和3节点圈组成。与最大团和3节点圈相关的子矩阵被强制为PSD以实现完整的PSD矩阵。由于大多数电网的最大团的大小限制在4个节点，这种图分解方法的结果是一个低秩的全PSD矩阵。该方法大大减少了交流最优潮流的SDP松弛计算时间，可以处理数千个节点的电力系统。
2018-10-06 math.OC
Exact Semidefinite Formulations for a Class of (Random and Non-Random) Nonconvex Quadratic Programs
研究了一类二次约束二次规划（QCQP），称为{ \em对角QCQP\/}，其中不含非对角项$x_j x_k$（对于$j \ne k$），并给出了保证基本Shor半定松弛是精确的一个充分条件.我们的条件补充和完善那些已经存在于文献中，可以在多项式时间内检查。然后，我们将我们的分析从对角QCQP扩展到一般QCQP，即，没有特殊结构的。通过将一般的QCQP转化为对角形式，我们建立了一般QCQP的半定松弛是精确的新的多项式时间可检验的充分条件。最后，这些想法被扩展到表明，一类随机一般QCQP具有精确的半定松弛与高概率，只要约束的数量增长不快于一个固定的多项式的变量的数量。据我们所知，这是第一个结果，建立随机一般QCQP的半定松弛的精确性。
2018-11-07 math.OC
Sparse Cuts for the Positive Semidefinite Cone
Georgia Tech（佐治亚理工学院）；Cornell Tech（康奈尔科技）；U. Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
本文提出了一种基于稀疏线性不等式的LP松弛方法，用于解决非凸优化问题，通过结构化SDP投影识别不等式，从而加速全局求解过程。
2026-09-01 math.OC
