Computing a minimal resolution over the Steenrod algebra
Christian Nassau
我们描述了一个算法，允许计算的Steenrod代数的最小分辨率。该算法具有内置的知识消失线的子霍普夫代数的Steenrod代数的上同调，这使得它既更快，更经济的一般方法。
We describe an algorithm that allows to compute a minimal resolution of the Steenrod algebra. The algorithm has built-in knowledge about vanishing lines for the cohomology of sub Hopf algebras of the Steenrod algebra which makes it both faster and more economical than the generic approach.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On a minimal set of generators for the polynomial algebra of five variables as a module over the Steenrod algebra
用$P_k$表示二元素域$\mathbb F_2$上的分次多项式代数$\mathbb F_2[x_1,x_2,\ldots ,x_k]$，每个$x_i$的次数为1。本文研究了$P_k$作为模在$2$ Steenrod代数$\mathcal{A}.$上的生成元的极小集的Peterson击中问题.在本文中，我们明确地确定了$P_k$在$k=5$和度$4(2^d - 1)$的情形下的$\mathcal{A}$ -生成元的极小集，其中$d$为任意正整数.
On the anti-automorphism of the Steenrod algebra: II
本文证明了Barratt和Miller的关系包含了模$p$ Steenrod代数中元素$P^iχP^{n-i}$之间的所有关系，并给出了一个极小关系集.
A Combinatorial Method for Computing Steenrod Squares
本文提出了一种计算单纯集$X$的杯- $i$积和Steenrod平方的组合方法.该方法基本上基于确定更高对角近似的分量态射的显式公式（即，一个族的态射测量缺乏交换性的上积上链水平）方面的脸运营商的$X$。概括这种方法的Steenrod减少权力的草图。这种描述可以被认为是Steenrod平方的最古老的定义的一般设置的单纯拓扑的翻译。
The cohomology of the motivic Steenrod algebra over Spec C
本文的目的是通过几何70-茎计算SpecC上motivicSteenrod代数的上同调。主要的计算工具是motivic May谱序列。在本文中的任何地方，我们都只在Spec C上工作，并且我们总是在素数p = 2处计算。
The cohomology of the mod 2 Steenrod algebra
给出了模2 Steenrod代数在$0 \leq s \leq 128$，$0 \leq t \leq 200$范围内的最小分解，给出了Steenrod代数上同调中每个上圈的链映射和平方运算$Sq^0$的链映射.
Global structure of the mod two symmetric algebra, H^*(BO;F_2), over the Steenrod Algebra
二元域上的对称不变量代数S是Steenrod代数A上的一个不稳定代数，并且同构于向量丛的分类空间BO的模2上同调.我们给出了S在不稳定A-代数范畴中的极小表示，即，极小生成元和极小关系。由此，我们给出了与相关空间的上同调相关的各种不稳定A-代数的极小表示，例如分类有限维向量丛的BO（2^m-1），以及BO的连通覆盖。演示文稿，然后表明，某些这些不稳定的A-代数合并产生的迪克森代数的一般线性群不变量，我们推测可能相关的拓扑实现。我们的方法还产生了无限维实射影空间的上同调的一个相关的简单极小A-模表示，其滤子是不稳定模F（2^p-1）/A bar{A}_{p-2}，如在一个独立的附录中所描述的.
On the hyperreal dual Steenrod algebra
本文计算了在特定系数下的双斯蒂罗代数，并利用同调谱序列研究了相关同调结构。
Ext and the Motivic Steenrod Algebra over $\R$
本文给出了$\R$上的运动Steenrod代数及其相关的子霍普夫代数上的Bockstein谱序列的一种下降形式的Ext.我们展示了这个谱序列的工作在几个例子中，提供motivic类似物的经典计算BP<n>和KO。
The graded algebra of Steenrod $q$th powers
Steenrod $q$次幂的代数${\mathsf A}_q$同构于Steenrod $p$次幂${\mathsf A}_p$的代数的子代数${\mathsf A}'_q$，其中$q = p^e$是素数$p$的幂。J.P.May在1964年的普林斯顿论文中研究了PDMATHAMR通过其增广理想的幂的过滤。我们将May的一些结果推广到${\mathsf A}_q$上，得到了分次代数$E^0({\mathsf A}_q)$的一组方便的定义关系.在$q=p$的情况下，我们恢复了S. B. Priddy证明了由$0 \le j \le n-2$的元素$P^{p^j}$生成的$E^0({\mathsf A}_p)$的子代数$E^0({\mathsf A}_p(n-2))$同构于与群代数${\mathbb F}_p{\mathsf U}(n)$的增广理想滤子相关的分次代数，其中${\mathsf U}(n)$是${\mathbb F}_p$上的上单三角矩阵群。${\mathsf A}_p$的Arnon A基是由在Steenrod幂中的形式单项式的左字典序中最小的单项式给出的。K. G. Monks（用于$p=2$）和D. Yu. Emelyanov和Th. Yu. Popelensky（$p>2$）发现了这个基础和Milnor基础之间的三角关系，使用Milnor基础上的某种排序。我们介绍了一…
On the generators of the polynomial algebra as a module over the Steenrod algebra
设$P_k:= \mathbb F_2[x_1,x_2,\ldots,x_k]$是两个元素的素域$\mathbb F_2$上的多项式代数，$k$变量$x_1, x_2, \ldots, x_k$中的每个变量的次数为1。我们感兴趣的彼得森击中问题，找到一个最小集的生成器$P_k$作为模2 Steenrod代数，$\mathcal{A}$。本文研究了度$(k-1)(2^d-1)$中的命中问题，其中$d$为正整数.我们的结果推广了Mothebe [4，5]的结果。
On the Homology of Elementary Abelian Groups as Modules over the Steenrod Algebra
我们研究对偶的所谓的“命中问题”，后者是确定一个最小生成集的产品的上同调的无限射影空间作为模块的Steenrod代数$\mathcal{A}$在素数2的问题。对偶问题是确定同源性中$\mathcal {A}$ -湮灭元件的集合。David Anick证明了$\mathcal{A}$ -零化子的集合是一个自由的结合代数。本文证明了对于每个$k \geq 0$，{ \it $k$部分$\mathcal{A}$ -零化的集合}，对于每个$i\leq 2^k$，被$Sq^i$零化的元素的集合，本身构成一个自由的结合代数.
Computing Cocycles on Simplicial Complexes
在这篇文章中，工作在单纯集的背景下，我们给出了一个详细的研究的复杂性计算链级Steenrod平方，在所需的面运算符的数量。这种分析是基于[R. Gonzalez-Diaz，P. Real.一种计算Steenrod平方的组合方法J. of Pure and Applied Algebra，139（1999）89-108]。作为应用，本文给出了在链级上计算单纯复形上整数的杯- $i$积的算法。
On a construction for the generators of the polynomial algebra as a module over the Steenrod algebra
设$P_n$是阶化多项式代数$\mathbb F_2[x_1,x_2,\ldots ,x_n]$，每个生成元$x_i$的阶为1，其中$\mathbb F_2$表示二元素域. Peterson击中问题是在mod-2 Steenrod代数$\mathcal{A}$上寻找$P_n$的极小生成集。等价地，我们想在每个度$d$中为$\mathbb F_2 \otimes_{\mathcal A} P_n$找到一个向量空间基。这样的基可以由次数$d$的单项式的列表表示。本文给出了$P_n$的$\mathcal A$ -生成元的一个构造，证明了它的一些性质，并明确地确定了$n = 5$的$\mathbb F_2 \otimes_{\mathcal A} P_n$的一个基和$s$为任意正整数时的次数$d = 15.2^s - 5$.这些结果被用来验证Singer猜想的第五次Singer代数转移在各自的程度。
A note on the hit problem for the Steenrod algebra and its applications
设$P_{k}=H^{*}((\mathbb{R}P^{\infty})^{k})$是无限维实射影空间$\mathbb{R}P^{\infty}$的$k$副本的直积的模$2$上同调代数.然后，$P_{k}$同构于$k$变量的分次多项式代数$\mathbb{F}_{2}[x_{1},\ldots,x_{k}]$，其中每个$x_{j}$都是1次的，并且令$GL_k$是自然作用在$P_k$上的素域$\mathbb{F}_2$上的一般线性群。这里的上同调系数取在两个元素的素域$\mathbb F_2$中。本文研究了Frank Peterson提出的{ \it命中问题}，即寻找多项式代数$P_k$作为模在mod-2 Steenrod代数$\mathcal{A}$上的生成元的极小集.在本文中，我们明确地计算了$k = 5$的命中问题和度$5(2^s-1)+24.2^s$，其中$s$是任意非负整数。这些结果被用来研究Singer代数转移，它是从模$2$ Steenrod代数$\mbox{Tor}^{\mathcal{A}}_{k, k+n}(\mathbb{F}_2, \mathbb{F}_2),$的同调到$\mathbb{F}_2\otimes_{\mathcal{A}}P_k$的由所有$n.$度的$GL_k$ -不变类组成的子空间的同态。我们证明了Singer关于代数转移的猜想在$k=5$和…
On modules over the mod 2 Steenrod algebra and hit problems
让我们考虑两个元素的素域，$\mathbb F_2\equiv \mathbb Z_2.$众所周知，模2 Steenrod代数$\mathscr A$上的模块的经典“命中问题”是代数拓扑学中一个有趣而重要的公开问题，它要求多项式代数$\mathcal P_m:=\mathbb F_2[x_1, x_2, \ldots, x_m]$的生成元的最小集合，将其视为$\mathscr A$ -模块上的$m$变量$x_1, \ldots, x_m,$，每个度为1。代数$\mathcal P_m$是$\mathbb F_2$ -上同调的产品$m$副本的Eilenberg-MacLan复杂的$K(\mathbb F_2, 1).$虽然命中问题已经深入研究了30多年，解决它仍然是一个谜$m\geq 5.$我们的目的是在这项工作中研究的命中问题的五个变量。更确切地说，我们发展我们以前的工作[Commun。Korean Math.Soc.35（2020），371-399]关于$\mathscr A$ -模块$\mathcal P_5$在泛型形式$n_t:=5(2^t-1) + 18.2^t,$的程度上对于任何非负整数$t.$的命中问题，提出了解决该问题的有效方法。本研究的两个应用是确定所有$t > 0$的泛度$5(2^{t+4}-1) + n_1.2^{t+4}$中$\mathcal P_6$的维数和…
Product formulas for conjugated motivic milnor basis
研究给出共轭动机米尔诺基中模2动机斯廷罗德代数的乘积公式，为计算动机亚当斯谱序列的E2页提供有效工具。
Normalized Derivations for Steenrod--Milnor Operations on the Dickson Algebra and Applications
本文研究了斯蒂恩罗德-米尔诺操作对迪克森代数的作用，通过归一化得到导出，推导出高阶迭代的闭式表达，并应用归一化系数构造了结构类比于马格利斯同调的普通柯兹尔型构造。
On the Peterson hit problem
研究了F. Peterson，在mod-2 Steenrod代数$\mathcal{A}$上寻找多项式代数$P_k := \mathbb F_2[x_1,x_2,...,x_k]$作为模的生成元的最小集合.本文研究了$\mathcal A$ -模$P_k$在某些所谓的一般度下的生成元的极小集，并应用这些结果明确地确定了$k=4$的命中问题.
On Singer's conjecture for the fifth algebraic transfer
设$P_k:= \mathbb{F}_2[x_1,x_2,\ldots ,x_k]$是$k$变量中的多项式代数，每个$x_i$的次数是$1,$，将其视为mod-$2$ Steenrod代数$\mathcal{A},$上的模，并设$GL_k$是素域$\mathbb{F}_2$上自然作用于$P_k$的一般线性群。本文研究了Frank Peterson提出的多项式代数$P_k$作为模在mod-2 Steenrod代数$\mathcal{A}$上的生成元的最小集合的命中问题。这些结果被用来研究Singer代数转移，它是从mod-$2$ Steenrod代数$\mbox{Tor}^{\mathcal{A}}_{k, k+n}(\mathbb{F}_2, \mathbb{F}_2),$的同调到由$n.$度的所有$GL_k$不变类组成的$\mathbb{F}_2\otimes_{\mathcal{A}}P_k$的子空间的同态。本文中，我们显式地计算了$k = 5$和$s$为任意正整数的度$7.2^s-5$的命中问题。利用这一结果，我们证明了Singer关于代数转移的猜想在$k=5$和上述次数的情况下是成立的。
The stable Picard group of Hopf algebras via descent, and an application
设$A$是二元域上的有限维余交换霍普夫代数，满足一定的条件.我们建立了一个下降谱序列来计算$A$上模的稳定范畴的Picard群。我们的出发点是观察到$A$ -模的稳定范畴可以被重构为$\infty$ -范畴，作为上单纯$\infty$ -范畴的总和，其层与$A$的准初等子Hopf-代数上的模的稳定范畴有关。这导致计算皮卡德群的谱序列，在某些情况下，皮卡德群是完全理解的。这也导致一个谱序列回答提升问题的类别中的$A$ -模块。然后，我们展示了如何应用这种机器来计算皮卡德群和解决提升问题的情况下，$\mathcal{A}(1)$ -模块，其中$\mathcal{A}(1)$是子代数的Steenrod代数所产生的两个第一Steenrod广场。
On the dimension of $H^{*}((\mathbb Z_2)^{\times t}, \mathbb Z_2)$ as a module over Steenrod ring
我们把有限域$\mathbb Z_2$上的一元多项式代数写成$\mathbb P$，把它的$t$ -倍张量积写成$\mathbb P^{\otimes t} = \mathbb Z_2[x_1, \ldots, x_t]$.我们通过为每个生成器分配度$1$来对$\mathbb P^{\otimes t}$进行分级。本文主要研究Steenrod环上的模不变量环$(\mathbb P^{\otimes t})^{G_t}$的极小生成元集$\mathscr A_2.$这里$G_t$是一般线性群$GL(t, \mathbb Z_2).$的一个子群。一个等价的问题是求“未命中”元素空间的单项式基，在每个$t$和度$n\geq 0.$中的$\mathbb Z_2\otimes_{\mathscr A_2} (\mathbb P^{\otimes t})^{G_t}$这个张量积的结构被证明是令人惊讶地困难的，并且还不为人所知。本文研究了$t \in \{5, 6\},$的子群$G_t = \{e\}$，得到了关于$(\mathbb P^{\otimes t})^{G_t}$的$\mathscr A_2$ -生成元的一些新结果.同时，提出了它们的一些应用。我们还提供了一个算法在MAGMA验证的结果。这项研究可以被理解为我们在[23，25]中最近工作的延续。
A minimal set of generators for the polynomial algebra of five variables in a generic degree
针对代数拓扑中模2 Steenrod代数上多项式代数极小生成元的公开命中问题，本文明确给出了五元变量多项式代数在所有d≥8的泛次数2^d下的极小A-生成元集。
The hit problem for the polynomial algebra of four variables
本文研究四变量多项式代数作为模-2 Steenrod 代数上模的 hit 问题，并以单项式形式给出了其极小生成元集的明确刻画。
On the hit problem of rank five
本文研究秩五的 hit Peterson 问题，在次数足够一般的条件下，给出了 $P_5$ 作为模 $2$ Steenrod 代数模的最小生成元集。
The "hit" problem of five variables in the generic degree and its application
设$P_s:= \mathbb F_2[x_1,x_2,\ldots ,x_s]$是二元素域$\mathbb F_2$上的分次多项式代数，其$s$变量$x_1, x_2, \ldots , x_s$的次数均为1。这个代数被认为是mod-2 Steenrod代数$\mathscr {A}$上的分次模。我们对寻找$\mathscr A$ -模$P_s.$的最小生成元集的“命中”问题很感兴趣。这个问题对于每个$s\geqslant 5.$都是未解决的。202（1989），493-523]对于秩$5$在给定度中的转移同态。这为研究代数迁移提供了一种有效的方法，它不同于Singer的方法。
The Pseudo-hyperresolution and Applications
同调代数技巧几乎可以在所有现代数学领域中找到。数学中许多有趣的问题都可以用外群来公式化、计算或找到它们的等价性。例如，重要的（上）同调论，如环的Mac Lane上同调或交换代数的Hochschild和循环同调可以定义为适当函子范畴中的Ext-群;同伦不变量也可以在不稳定亚当斯谱序列的帮助下从同调数据中获得信息，其输入采用Steenrod代数上不稳定模范畴中的Ext-群的形式。因此，在阿贝尔范畴中构造显内射（投射）归结是非常重要的。在这篇文章中，我们介绍了一种新的方法，称为伪超分辨，来研究这样的结构。该方法起源于不稳定模的范畴，旨在建立球的约化奇异上同调的显式分解。特别地，对于所有整数$n\geq 0$，我们可以基于Steenrod代数的Bockstein运算来描述球面$S^{n}$的最小内射分解的大范围。此外，代数拓扑中的许多经典结构，如代数EHP序列或Lambda代数，都可以使用伪超分辨方法恢复。建立了球面与无限复射影空间之间的特殊联系。尽管它的起源，伪超归结推广到所有的阿贝尔范畴。特别地，许多经典严格多项式函子的显式分解可以通过伪超分解得到统一。因此，我们恢复了有限次齐次严格多项式函子范畴的整体维数以及有限域的Mac Lane上同调。
The admissible monomial bases for the polynomial algebra of five variables in some types of generic degrees
本文研究Frank Peterson提出的命中问题，显式确定了分次多项式代数$P_5$在特定次数$n=2^{d+1}-1$和$n=2^{d+1}-2$（$d\geqslant6$）情形下作为模2 Steenrod代数模的极小生成集。
Computing Minimal Injective Resolutions of Sheaves on Finite Posets
本文介绍了构造有限偏序集上有限维向量空间层的内射分解的两种新方法。我们的主要结果是一个给定的层的最小内射决议的存在性和唯一性及其构造算法。对于单纯复形上的常数层，给出了不可分解的内射层在极小内射归结中的重数的拓扑解释，并给出了算法计算极小内射归结复杂性的渐近紧界.
Cup-one algebras and 1-minimal models
本文研究了双项单项代数与1-极小模型的关系，揭示了其在区分同构 torsion-free 整数上同调环空间中的作用，并建立了有限生成 torsion-free-nilpotent 群与1-极小模型之间的等价关系。
Computing Minimal Persistent Cycles: Polynomial and Hard Cases
持久性循环，特别是最小循环，是有用的几何特征，在纯拓扑持久性图（也称为条形码）中用作区间的扩充。在我们早期的工作中，我们证明了计算有限区间的最小1维持久圈（持久1-圈）是NP-困难的，而计算无限区间的最小1维持久圈（持久1-圈）是多项式易处理的。在本文中，我们解决这个问题的一般尺寸与$\mathbb{Z}_2$系数。除了证明它是NP-困难的计算最小持久d-圈（d>1）的任意单纯复形的两种类型的间隔，我们确定了两个有趣的情况下，这是多项式听话。这两种情况假设复形是流形的某种推广，我们称之为弱伪流形。对于弱（d+1）-伪流形的d次持久图的有限区间，利用了这样的区间的持久圈是零同调的这一事实，将问题归结为最小割问题.由于无穷区间上的问题是NP-难的，我们进一步假设弱（d+1）-伪流形嵌入到$\mathbb{R}^{d+1}$中，使得复形具有自然的对偶图结构，问题转化为最小割问题.这两种算法在科学数据上的实验表明，最小持久周期捕获数据的各种重要特征。
Computation of Cohomology Operations on Finite Simplicial Complexes
提出了一种计算有限单纯复形上同调运算的方法。当然，存在用于计算（上）同调群的众所周知的方法，例如，归约算法在于将对应于每个维度中的微分的矩阵归约为Smith标准形，从该标准形可以读出复合物的（上）同调群，或者增量算法（由于Edelsbrunner等人）。来计算贝蒂数然而，有一个空白，在文献中关于计算上同调运算的一般方法。对于给定的有限单纯复形K，我们给出了一个计算过程，包括一些初等和次级上同调运算以及K上同调的$A_{\infty}$-代数结构。这种方法是基于上述约简算法的转录，根据一种特殊类型的代数同伦等价，称为压缩，K的（上）链复形到"最小"（上）链复形M（K）。例如，只要基环是域或K的（上）同调是自由的，则M（K）同构于K的（上）同调。结合\cite{GR99}和\cite{Gon00}中给出的上链水平上的Steenrod约化$p$次幂的组合公式，可以计算上同调水平上的这些运算.最后给出了Adem次上同调运算$Φ_q: Ker(Sq^2H^q(K))\ra H^{q+3}(K)/Sq^2H^q(K)$的计算方法。
Computing Betti tables and minimal presentations of zero-dimensional persistent homology
本文提出在零维同调情况下，通过log-linear时间算法高效计算双格rade模块的Betti表，并在二次时间内计算最小呈现，提升拓扑数据分析效率。
Cup Product Persistence and Its Efficient Computation
本文提出计算持久杯模及更判别性的杯积分区模的高效算法，复杂度分别为O(d n^4)和O(c(d)n^4)，并加速了持久杯长的计算。
Computing Minimal Presentations and Bigraded Betti Numbers of 2-Parameter Persistent Homology
出于应用拓扑数据分析，我们给出了一个有效的算法计算（最小）表示的双阶$K[x,y]$ -模块$M$，其中$K$是一个字段。该算法将自由模块的短链复合体$X\xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z$作为输入，使得$M\cong \ker{g}/\mathrm{im}{f}$。它在时间$O(|X|^3+|Y|^3+|Z|^3)$中运行，需要$O(|X|^2+|Y|^2+|Z|^2)$内存，其中$|\cdot |$表示秩。给出了用我们的算法计算的表示，$M$的二阶贝蒂数很容易计算。我们的方法是基于一个简单的矩阵约简算法，轻微的变种，其中计算自由模块，最小生成集和Gröbner基地之间的态射的内核。我们的算法计算最小的介绍已经实现了RIVET，一个软件工具的可视化和分析的两个参数的持久同源性。在拓扑数据分析问题的实验中，我们的实现大大优于标准计算交换代数包Singular和Macaulay 2。
Two-Sided Dimension Bounds for the Peterson Hit Problem via Projections and Matrix Minors
该研究针对$k \boldsymbol{\textit{≥}} 5$的彼得森击中问题，构建稀疏矩阵并推导认证矩阵子式，得到对矩阵秩的双侧组合界，为该问题提供了可计算的通用离散认证。
Efficient algorithms for computing a minimal homology basis
在给定的单纯复形$\mathcal{K}$中，在$\mathbb{Z}_2$ -加法下形成同调基的最短圈的有效计算是近年来研究的热点。当复$\mathcal{K}$是一个具有$n$顶点和$m$边的加权图时，计算最短（同调）圈基的问题已知在$O(m^2n/\log n+ n^2m)$ -时间内是可解的.几个作品\cite{borradaile2017minimum, greedy}已经解决了当复$\mathcal{K}$是一个$2$流形的情况。这些算法的复杂性取决于$\mathcal{K}$的一维同调群的秩$g$。该秩$g$具有$Θ(n)$的下界，其中$n$表示$\mathcal{K}$中的单纯形的数量，给出\cite{borradaile2017minimum,greedy}中的算法的$O(n^4)$最坏情况时间复杂度。这种最坏情况的复杂度在\cite{annotation}中改进为一般单纯复形的$O(n^ω+ n^2g^{ω-1})$，其中$ω< 2.3728639$ \cite{le2014powers}是矩阵乘法指数。以$g=Θ(n)$为例，这提供了$O(n^{ω+1})$最差情况算法。在本文中，我们改进了这种时间复杂度。结合分而治之的技术从\cite{DivideConquer}与使用注释从\cite{annotation}，我们提出了一个算法，运行在$O(n^ω+n^2g…
Computing Invariant Spaces via Global Cluster Analysis and Representation Theory
本文提出全局聚类分析算法，通过构建权重交互图识别封闭子模，高效计算Singer代数转移中的GL_k不变空间，并基于Boardman表示论直接计算低秩情形下的定义域。
Geometric realization via unoriented bordism and a counterexample to Singer's conjecture for the sixth algebraic transfer
本文通过开发计算Kameko同态核的GL(q)-不变量的新算法，证明了在双次数(6,6+36)上Singer猜想不成立。
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