On the action of the Steenrod-Milnor operations on the invariants of the general linear groups
设$p$是一个奇素数。用$GL_n = GL(n,\mathbb F_p)$表示素域$\mathbb F_p$上的一般线性群。$GL_n$的每个子群以通常的方式作用于代数$P_n=E(x_1,\ldots,x_n)\otimes \mathbb F_p(y_1,\ldots,y_n)$。我们通过分配$\dim x_i=1$和$\dim y_i=2.$来给$P_n$打分。这个代数是mod $p$ Steenrod代数$\mathcal A_p$上的模。本文的目的是计算Steenrod-Milnor运算对$P_2^{GL_2}$生成元的作用。更准确地说，我们明确地确定行动的$St^{(i,j)}$的迪克森不变量$Q_{2,0}$和$Q_{2,1}$。
2017-10-15 math.AT
Differential characters and the Steenrod squares
Cheeger和Simons的微分特征标群具有自然的乘法结构。由2k次微分特征标的平方给出的映射可化为普通上同调群的同态。我们证明了同态因子通过2k次Steenrod平方运算。一个简单的应用表明，五维B-场对的Chern-Simons理论在自旋流形上是SL（2，Z）-不变的。
2006-10-16 math.AT math.DG
Quotient rings of $H\mathbb{F}_2 \wedge H\mathbb{F}_2$
研究了交换环谱$H\mathbb F_2\wedge H\mathbb F_2$上的模，其系数群是对偶Steenrod代数的Milnor生成元的集合.我们表明，很少有这些concierents承认代数结构，但那些可以简单地构造：杀死一个生成器$ξ_k$的范畴内的结合代数自由杀死更高的生成器$ξ_{k+n}$。利用对偶Steenrod代数中共轭运算的新信息，我们还考虑了Milnor生成元族及其共轭的对偶。这使我们能够产生一个家庭的联合$H\mathbb F_2\wedge H\mathbb F_2$ -代数的系数环是有限维的，并表现出意想不到的对偶功能。然后，我们使用这些代数给出详细的计算的同伦群的几个模块在这个环谱。
2021-03-26 math.AT
Global structure of the mod two symmetric algebra, H^*(BO;F_2), over the Steenrod Algebra
二元域上的对称不变量代数S是Steenrod代数A上的一个不稳定代数，并且同构于向量丛的分类空间BO的模2上同调.我们给出了S在不稳定A-代数范畴中的极小表示，即，极小生成元和极小关系。由此，我们给出了与相关空间的上同调相关的各种不稳定A-代数的极小表示，例如分类有限维向量丛的BO（2^m-1），以及BO的连通覆盖。演示文稿，然后表明，某些这些不稳定的A-代数合并产生的迪克森代数的一般线性群不变量，我们推测可能相关的拓扑实现。我们的方法还产生了无限维实射影空间的上同调的一个相关的简单极小A-模表示，其滤子是不稳定模F（2^p-1）/A bar{A}_{p-2}，如在一个独立的附录中所描述的.
2003-12-10 math.AT
On the dimension of $H^{*}((\mathbb Z_2)^{\times t}, \mathbb Z_2)$ as a module over Steenrod ring
我们把有限域$\mathbb Z_2$上的一元多项式代数写成$\mathbb P$，把它的$t$ -倍张量积写成$\mathbb P^{\otimes t} = \mathbb Z_2[x_1, \ldots, x_t]$.我们通过为每个生成器分配度$1$来对$\mathbb P^{\otimes t}$进行分级。本文主要研究Steenrod环上的模不变量环$(\mathbb P^{\otimes t})^{G_t}$的极小生成元集$\mathscr A_2.$这里$G_t$是一般线性群$GL(t, \mathbb Z_2).$的一个子群。一个等价的问题是求“未命中”元素空间的单项式基，在每个$t$和度$n\geq 0.$中的$\mathbb Z_2\otimes_{\mathscr A_2} (\mathbb P^{\otimes t})^{G_t}$这个张量积的结构被证明是令人惊讶地困难的，并且还不为人所知。本文研究了$t \in \{5, 6\},$的子群$G_t = \{e\}$，得到了关于$(\mathbb P^{\otimes t})^{G_t}$的$\mathscr A_2$ -生成元的一些新结果.同时，提出了它们的一些应用。我们还提供了一个算法在MAGMA验证的结果。这项研究可以被理解为我们在[23，25]中最近工作的延续。
2022-01-10 math.AT math.GN math.RA
A note on the hit problem for the Steenrod algebra and its applications
设$P_{k}=H^{*}((\mathbb{R}P^{\infty})^{k})$是无限维实射影空间$\mathbb{R}P^{\infty}$的$k$副本的直积的模$2$上同调代数.然后，$P_{k}$同构于$k$变量的分次多项式代数$\mathbb{F}_{2}[x_{1},\ldots,x_{k}]$，其中每个$x_{j}$都是1次的，并且令$GL_k$是自然作用在$P_k$上的素域$\mathbb{F}_2$上的一般线性群。这里的上同调系数取在两个元素的素域$\mathbb F_2$中。本文研究了Frank Peterson提出的{ \it命中问题}，即寻找多项式代数$P_k$作为模在mod-2 Steenrod代数$\mathcal{A}$上的生成元的极小集.在本文中，我们明确地计算了$k = 5$的命中问题和度$5(2^s-1)+24.2^s$，其中$s$是任意非负整数。这些结果被用来研究Singer代数转移，它是从模$2$ Steenrod代数$\mbox{Tor}^{\mathcal{A}}_{k, k+n}(\mathbb{F}_2, \mathbb{F}_2),$的同调到$\mathbb{F}_2\otimes_{\mathcal{A}}P_k$的由所有$n.$度的$GL_k$ -不变类组成的子空间的同态。我们证明了Singer关于代数转移的猜想在$k=5$和…
2021-03-07 math.AT
The Steenrod problem of realizing polynomial cohomology rings
本文完全分类了哪些偶数次变元的分次多项式R-代数可以作为系数在R中的空间的奇异上同调出现，这是N. E. Steenrod，对于满足mild条件的交换环R.在R = Z的基本情形下，我们的结果表明，Z上唯一可能出现的多项式上同调环是H^*（CP^ \infty ;Z）= Z[x_2]，H^*（BSU（n）;Z）= Z[x_4，x_6，.，x_{2n} ]和H^*（BSp（n）：Z）= Z[x_4，x_8，.，x_{4n} ]证实了一个古老的猜想。我们的分类推广了R = F_p，p奇数的Notbohm解.奇度生成元，除上述之外，仅当R是F_2-代数时才出现，在这种情况下，作者最近对2-紧群的分类可以用来代替本文。我们的证明很短，依赖于p-紧群的一般理论，但不依赖于这些分类结果。
2008-08-04 math.AT math.GR
On modules over the mod 2 Steenrod algebra and hit problems
让我们考虑两个元素的素域，$\mathbb F_2\equiv \mathbb Z_2.$众所周知，模2 Steenrod代数$\mathscr A$上的模块的经典“命中问题”是代数拓扑学中一个有趣而重要的公开问题，它要求多项式代数$\mathcal P_m:=\mathbb F_2[x_1, x_2, \ldots, x_m]$的生成元的最小集合，将其视为$\mathscr A$ -模块上的$m$变量$x_1, \ldots, x_m,$，每个度为1。代数$\mathcal P_m$是$\mathbb F_2$ -上同调的产品$m$副本的Eilenberg-MacLan复杂的$K(\mathbb F_2, 1).$虽然命中问题已经深入研究了30多年，解决它仍然是一个谜$m\geq 5.$我们的目的是在这项工作中研究的命中问题的五个变量。更确切地说，我们发展我们以前的工作[Commun。Korean Math.Soc.35（2020），371-399]关于$\mathscr A$ -模块$\mathcal P_5$在泛型形式$n_t:=5(2^t-1) + 18.2^t,$的程度上对于任何非负整数$t.$的命中问题，提出了解决该问题的有效方法。本研究的两个应用是确定所有$t > 0$的泛度$5(2^{t+4}-1) + n_1.2^{t+4}$中$\mathcal P_6$的维数和…
2022-01-12 math.AT
On the Peterson hit problem
研究了F. Peterson，在mod-2 Steenrod代数$\mathcal{A}$上寻找多项式代数$P_k := \mathbb F_2[x_1,x_2,...,x_k]$作为模的生成元的最小集合.本文研究了$\mathcal A$ -模$P_k$在某些所谓的一般度下的生成元的极小集，并应用这些结果明确地确定了$k=4$的命中问题.
2015-02-19 math.AT
On Singer's conjecture for the fifth algebraic transfer
设$P_k:= \mathbb{F}_2[x_1,x_2,\ldots ,x_k]$是$k$变量中的多项式代数，每个$x_i$的次数是$1,$，将其视为mod-$2$ Steenrod代数$\mathcal{A},$上的模，并设$GL_k$是素域$\mathbb{F}_2$上自然作用于$P_k$的一般线性群。本文研究了Frank Peterson提出的多项式代数$P_k$作为模在mod-2 Steenrod代数$\mathcal{A}$上的生成元的最小集合的命中问题。这些结果被用来研究Singer代数转移，它是从mod-$2$ Steenrod代数$\mbox{Tor}^{\mathcal{A}}_{k, k+n}(\mathbb{F}_2, \mathbb{F}_2),$的同调到由$n.$度的所有$GL_k$不变类组成的$\mathbb{F}_2\otimes_{\mathcal{A}}P_k$的子空间的同态。本文中，我们显式地计算了$k = 5$和$s$为任意正整数的度$7.2^s-5$的命中问题。利用这一结果，我们证明了Singer关于代数转移的猜想在$k=5$和上述次数的情况下是成立的。
2016-09-08 math.AT
A minimal set of generators for the polynomial algebra of five variables in a generic degree
针对代数拓扑中模2 Steenrod代数上多项式代数极小生成元的公开命中问题，本文明确给出了五元变量多项式代数在所有d≥8的泛次数2^d下的极小A-生成元集。
2025-05-19 math.AT
The rank-five Peterson hit problem, the fifth Singer transfer, and a geometric generator in unoriented cobordism
FPT University（FPT大学）
研究五阶彼得森击中问题，通过精确稀疏消元等方法确定余击中模相关值，证明第五个辛格上同调转移是同构，找到无定向配边中49次幂的几何生成元，明确其与代数不变量的边界关系。
2026-07-24 math.AT
The "hit" problem of five variables in the generic degree and its application
设$P_s:= \mathbb F_2[x_1,x_2,\ldots ,x_s]$是二元素域$\mathbb F_2$上的分次多项式代数，其$s$变量$x_1, x_2, \ldots , x_s$的次数均为1。这个代数被认为是mod-2 Steenrod代数$\mathscr {A}$上的分次模。我们对寻找$\mathscr A$ -模$P_s.$的最小生成元集的“命中”问题很感兴趣。这个问题对于每个$s\geqslant 5.$都是未解决的。202（1989），493-523]对于秩$5$在给定度中的转移同态。这为研究代数迁移提供了一种有效的方法，它不同于Singer的方法。
2022-01-03 math.AT
On the hit problem of rank five
Sài Gòn University（西贡大学）
本文研究秩五的 hit Peterson 问题，在次数足够一般的条件下，给出了 $P_5$ 作为模 $2$ Steenrod 代数模的最小生成元集。
2026-09-29 math.AT
Dualization of the Hopf algebra of secondary cohomology operations and the Adams spectral sequence
我们描述的二元化代数的次级上同调运算的生成元扩展Milnor对偶的Steenrod代数。这样我们得到了收敛于球面的稳定同伦群的Adams谱序列的E_3项的显式计算公式。
2010-12-19 math.AT math.CT
The hit problem for the polynomial algebra of four variables
本文研究四变量多项式代数作为模-2 Steenrod 代数上模的 hit 问题，并以单项式形式给出了其极小生成元集的明确刻画。
2014-12-10 math.AT
The admissible monomial bases for the polynomial algebra of five variables in some types of generic degrees
本文研究Frank Peterson提出的命中问题，显式确定了分次多项式代数$P_5$在特定次数$n=2^{d+1}-1$和$n=2^{d+1}-2$（$d\geqslant6$）情形下作为模2 Steenrod代数模的极小生成集。
2022-10-06 math.AT
On the dimension of the "cohits" space $\mathbb Z_2\otimes_{\mathcal A_2} H^{*}((\mathbb RP(\infty))^{\times t}, \mathbb Z_2)$ and some applications
我们用$\mathbb Z_2$表示二元素域，用$P_t = \mathbb Z_2[x_1, \ldots, x_t]$表示$t$生成元$x_1, \ldots, x_t$的多项式代数，其中每个$x_i$的次数为1。设$\mathcal A_2$是$\mathbb Z_2.$上的Steenrod代数，同伦理论的一个中心问题是确定$\mathbb Z_2\otimes_{\mathcal A_2} P_t.$空间的最小生成元集。这个问题被称为Steenrod代数的“hit”问题，已在$t\leq 4.$上得到系统的研究。本文致力于研究$\mathbb Z_2\otimes_{\mathcal A_2} P_t$在某些“类属”度上的结构。更具体地说，我们明确地确定了$\mathbb Z_2\otimes_{\mathcal A_2} P_5$在$n_s=5(2^{s}-1) + 42.2^{s}$度上的单项式基，对于每个非负整数$s.$，结果证实了Sum关于在$t=5$和度$n_s$的情况下，代数$P_{t-1}$和$P_{t}$的$\mathcal A_2$ -生成元的极小集之间的关系的猜想[14]。作为应用，我们对所有的$s\geq 0,$得到了$\mathbb Z_2\otimes_{\mathcal A_2} P_6$在类属度$5(2^{s+5}-1) + n_0.2^{s+…
2021-12-01 math.AT math.RA math.RT
The rank-five Peterson hit problem, the Singer transfer, and canonical Milnor-operation layers
Department of Mathematics, FPT University（FPT大学数学系）
本文研究了$H^{*}(V^{\oplus 5})$的hit问题，验证了Singer猜想在特定度数下的成立，并提供了新算法的实现。
2026-08-11 math.AT
The A-decomposability of the Singer construction
令$R_s M$表示素数为2的Steenrod代数$A$上的不稳定模$M$上的Singer构造，$R_s M$是$P_s\otimes M$的正则子对象，其中$P_s$是s生成元上的一次多项式代数.通过$A$ -不可分解给出了自然变换$R_s M \rightarrow F \otimes_A (P_s \otimes M)$，它与辛格转移和Lannes-Zarati同态的合成的对偶相同。本文的主要结果证明了第一作者提出的弱广义代数球面类猜想。也就是说，当s>2时，这个态射在正次数的元素上是平凡的。条件s>2是必要的，如由Hopf不变项的球面类和Kervaire不变项的球面类所展示的。
2018-09-27 math.AT
On Modular Invariants of Truncated Polynomial Rings in low ranks
本文通过构造显式生成元验证了Lewis-Reiner-Stanton关于低秩截断多项式环不变环Hilbert级数的猜想，并提出关于Steenrod代数与Dickson代数在自然滤过上作用的新猜想。
2025-07-04 math.AT math.CO math.RA
Structure of the space of $GL_4(\mathbb Z_2)$-coinvariants $\mathbb Z_2\otimes_{GL_4(\mathbb Z_2)} PH_*(\mathbb Z_2^4, \mathbb Z_2)$ in some generic degrees and its application
同伦理论的一个公开问题是确定多项式环$P_q = k[x_1, \ldots, x_q] = H^{*}(k^{q}, k)$在$q$生成元$x_1, \ldots, x_q$上的$A$ -生成元的极小集，其中$|x_i|= 1.$等价于$A$-生成元，在每一个非负度$n.$中，可以显式地写出分次向量空间$Q^{\otimes q} := k\otimes_{A} P_q$的一个基。这就是文献[1]中经典的“命中问题”的内容。30]。基于这个问题，我们对Singer [39]的$q$ -次上同调转移$Tr_q^{A}$感兴趣，它是描述代数$A.$的模2上同调的有用工具之一。这个转移是从$Q^{\otimes q}$的$GL_q(k)$ -上不变$k\otimes _{GL_q(k)} P((P_q)_n^{*})$空间到Steenrod代数的$k$ -上同调群的线性映射，${\rm Ext}_{A}^{q, q+n}(k, k).$这里$GL_q(k)$是域$k,$上的次数为$q$的一般线性群，$P((P_q)_n^{*})$是$(P_q)^{*}_n$在$A.$作用下的本原部分Singer证明$Tr_q^{A}$是单态的，但对于所有的$q\geq 4.$，这仍然是没有答案的。本文致力于研究秩为4的情况下的这一猜想。更具体地说，基于四变量命中问题的技巧，我们明确地确定了$k\oti…
2021-12-28 math.AT
The fifth algebraic transfer in generic degrees and validation of a localized Kameko's conjecture
FPT University（FPT大学）
本文研究了五代数转移在通用次数下的性质，并验证了Kameko猜想的局部形式，通过同调代数方法确定了复射影空间商的同伦类型，且利用SageMath和OSCAR验证了结果。
2026-09-22 math.AT
The squaring operation and the hit problem for the polynomial algebra in a type of generic degree
设$P_k$是分次多项式代数$\mathbb F_2[x_1,x_2,\ldots ,x_k]$，每个生成元$x_i$的次数为1，其中$\mathbb F_2$表示含有两个元素的素域. Frank Peterson的命中问题要求多项式代数$P_k$作为模在mod-2 Steenrod代数$\mathcal{A}$上的一个极小生成集.等价地，我们想在每个度上为$\mathbb F_2 \otimes_{\mathcal A} P_k$找到一个向量空间基。在本文中，我们研究了Kameko平方运算$\widetilde{Sq}^0_*: \mathbb F_2 \otimes_{\mathcal A} P_k \longrightarrow \mathbb F_2 \otimes_{\mathcal A} P_k$的核的生成集在所谓的一般度。通过使用这个结果，我们明确地计算击中问题的$k=5$在各自的通用程度。
2023-02-17 math.AT
On Peterson's open problem and representations of the general linear groups
修正$\mathbb Z/2$是两个元素的素域，并将mod $2$ Steenrod代数写成$\mathcal A_2$。用$GL_d:= GL(d, \mathbb Z/2)$表示$\mathbb Z/2$上秩为$d$的一般线性群，用$\mathscr P_d$表示多项式代数$\mathbb Z/2[x_1, x_2, \ldots, x_d]$作为$d$一次生成元上的连通不稳定$\mathcal A_2$ -模。我们研究的彼得森“击中问题”的最小集的$\mathcal A_2$ -生成器的$\mathscr P_d.$它相当于确定一个$\mathbb Z/2$ -基础的空间“cohits”$Q\mathscr P_d := \mathbb Z/2\otimes_{\mathcal A_2} \mathscr P_d \cong \mathscr P_d/\mathcal A_2^+\mathscr P_d.$这$Q\mathscr P_d$也是一个表示的$GL_d$的$\mathbb Z/2.$的问题$d= 5$尚未完全解决，和未知的一般。本文给出了一般度$n = r(2^t -1) + 2^ts$中五个变量的命中问题的显式解，其中$r = d = 5,\ s =8$和$t$为任意非负整数.本文应用于$t = 0$和$t = 1$的情形，证明了秩$5$的Singer代数转移在二…
2021-12-03 math.AT math.RA
On the algebraic transfers of ranks 4 and 6 at generic degrees
本文围绕Singer提出的代数转移单同态猜想，针对二元域上Steenrod代数的上同调群研究需求，给出秩4一般次数情形的详细证明，并验证秩6在若干内次数族下的猜想有效性。
2025-06-11 math.AT
Determination of the fifth Singer algebraic transfer in some degrees
本文利用 Peterson hit problem 的结果，证明了秩为 5 的 Singer 代数转移在内部次数 $d=20$ 和 $d=30$ 时为同构，并由此反驳了 Phúc 关于 $d=20$ 情形的证明。
2024-09-26 math.AT
Two-Sided Dimension Bounds for the Peterson Hit Problem via Projections and Matrix Minors
FPT University（FPT大学）；Department of Mathematics and Statistics, Quy Nhon University（平定大学数学与统计系）；Institute of Mathematics and Informatics, Bulgarian Academy of Sciences（保加利亚科学院数学与信息学研究所）
该研究针对$k \boldsymbol{\textit{≥}} 5$的彼得森击中问题，构建稀疏矩阵并推导认证矩阵子式，得到对矩阵秩的双侧组合界，为该问题提供了可计算的通用离散认证。
2026-10-21 math.AT math.CO
Idempotents, Localizations and Picard groups of A(1)-modules
研究了模2 Steenrod代数的子代数A（1）= <Sq^1，Sq^2>上的1次生成元上的多项式环的稳定同构类型.由于它们的增广理想是Q_1-局部的，我们通过研究Q_1-局部子范畴和相应的Margolis局部化来实现。这种模块所表现出的周期性将计算减少到有限的计算。通过计算这些子范畴的Picard群并利用它们确定下有界A（1）-模的稳定范畴中的所有幂等元，我们证明了这些是唯一保持张量积的局部化.我们证明了整个范畴的Picard群在局部Picard群中可检测，并且证明了每个下有界A（1）-模唯一地可表示为Q_0-局部模被Q_1-局部模的扩张，直到稳定等价.应用程序包括正确的，完整的证明奥萨定理，应用鲍威尔的工作描述连接K-理论分类空间的基本阿贝尔群在函式方面，和奥尔特的工作击中的问题。
2013-10-06 math.AT math.RT
On the computation of $\mathrm{Ext}_{\mathcal A}^{k,k+*}(\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/2)$ for $k \leq 5$
本文提出一种计算算法，基于已知生成元和Adams关系确定 $k \leq 5$ 时模2 Steenrod代数上同调的基，以验证手工计算结果，并完成特定次数下第四次代数转移的定义域与到达域验证。
2025-09-18 math.AT math.GT math.RA
Geometric realization via unoriented bordism and a counterexample to Singer's conjecture for the sixth algebraic transfer
FPT University（富国航天科技大学）；Quy Nhon University（归仁大学）
本文通过开发计算Kameko同态核的GL(q)-不变量的新算法，证明了在双次数(6,6+36)上Singer猜想不成立。
2026-09-14 math.AT math.RA math.RT
