On Singer's conjecture for the fifth algebraic transfer
设$P_k:= \mathbb{F}_2[x_1,x_2,\ldots ,x_k]$是$k$变量中的多项式代数，每个$x_i$的次数是$1,$，将其视为mod-$2$ Steenrod代数$\mathcal{A},$上的模，并设$GL_k$是素域$\mathbb{F}_2$上自然作用于$P_k$的一般线性群。本文研究了Frank Peterson提出的多项式代数$P_k$作为模在mod-2 Steenrod代数$\mathcal{A}$上的生成元的最小集合的命中问题。这些结果被用来研究Singer代数转移，它是从mod-$2$ Steenrod代数$\mbox{Tor}^{\mathcal{A}}_{k, k+n}(\mathbb{F}_2, \mathbb{F}_2),$的同调到由$n.$度的所有$GL_k$不变类组成的$\mathbb{F}_2\otimes_{\mathcal{A}}P_k$的子空间的同态。本文中，我们显式地计算了$k = 5$和$s$为任意正整数的度$7.2^s-5$的命中问题。利用这一结果，我们证明了Singer关于代数转移的猜想在$k=5$和上述次数的情况下是成立的。
2016-09-08 math.AT
On a construction for the generators of the polynomial algebra as a module over the Steenrod algebra
设$P_n$是阶化多项式代数$\mathbb F_2[x_1,x_2,\ldots ,x_n]$，每个生成元$x_i$的阶为1，其中$\mathbb F_2$表示二元素域. Peterson击中问题是在mod-2 Steenrod代数$\mathcal{A}$上寻找$P_n$的极小生成集。等价地，我们想在每个度$d$中为$\mathbb F_2 \otimes_{\mathcal A} P_n$找到一个向量空间基。这样的基可以由次数$d$的单项式的列表表示。本文给出了$P_n$的$\mathcal A$ -生成元的一个构造，证明了它的一些性质，并明确地确定了$n = 5$的$\mathbb F_2 \otimes_{\mathcal A} P_n$的一个基和$s$为任意正整数时的次数$d = 15.2^s - 5$.这些结果被用来验证Singer猜想的第五次Singer代数转移在各自的程度。
2018-04-01 math.AT
On the determination of the Singer transfer
本文利用 Peterson hit 问题结果证明 Singer 代数转移在 k≤3 时为同构，并确定第四转移在某些次数下的值，指出 Phuc 算法可能存在缺陷。
2025-08-07 math.AT
An application of the hit problem to the algebraic transfer
本文利用四变量多项式代数的Peterson hit问题结果，证明了Singer猜想对于第四代数转移在特定通项次数族中成立，并指出Phúc相关工作的错误。
2025-05-29 math.AT
A note on the hit problem for the Steenrod algebra and its applications
设$P_{k}=H^{*}((\mathbb{R}P^{\infty})^{k})$是无限维实射影空间$\mathbb{R}P^{\infty}$的$k$副本的直积的模$2$上同调代数.然后，$P_{k}$同构于$k$变量的分次多项式代数$\mathbb{F}_{2}[x_{1},\ldots,x_{k}]$，其中每个$x_{j}$都是1次的，并且令$GL_k$是自然作用在$P_k$上的素域$\mathbb{F}_2$上的一般线性群。这里的上同调系数取在两个元素的素域$\mathbb F_2$中。本文研究了Frank Peterson提出的{ \it命中问题}，即寻找多项式代数$P_k$作为模在mod-2 Steenrod代数$\mathcal{A}$上的生成元的极小集.在本文中，我们明确地计算了$k = 5$的命中问题和度$5(2^s-1)+24.2^s$，其中$s$是任意非负整数。这些结果被用来研究Singer代数转移，它是从模$2$ Steenrod代数$\mbox{Tor}^{\mathcal{A}}_{k, k+n}(\mathbb{F}_2, \mathbb{F}_2),$的同调到$\mathbb{F}_2\otimes_{\mathcal{A}}P_k$的由所有$n.$度的$GL_k$ -不变类组成的子空间的同态。我们证明了Singer关于代数转移的猜想在$k=5$和…
2021-03-07 math.AT
On the hit problem for the Steenrod algebra in some generic degrees and applications
设$\mathcal P_{n}:=H^{*}((\mathbb{R}P^{\infty})^{n}) \cong \mathbb F_2[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$是素域上的多项式代数，$\mathbb F_2.$我们研究了多项式代数$\mathcal P_{n},$作为mod-$2$ Steenrod代数上的分次左模的Peterson击中问题，$\mathcal{A}.$对于$n>4,$，即使在$n=5$的情况下，借助于计算机，这个问题仍然没有解决.本文的目的是继续我们对命中问题的研究，在\cite{ph31}中得到了一般度为$r(2^s-1)+m.2^s$的$\mathcal P_n$的一个结果，其中$r=n=5,\ m=13,$和$s$是任意的非负整数.请注意，对于$s=0,$和$s=1,$，这个问题已经分别由\cite{ph20ta}和\cite{ph31}研究过。作为这些结果的应用，我们得到了一般次数为$d=(n-1).(2^{n+u-1}-1)+\ell.2^{n+u-1}$的多项式代数的维数结果，其中$u$是任意非负整数，$\ell \in \{23, 67 \},$和$n=6.$命中问题的一个主要应用是在测量Singer引入的同态中，这是一个同态$$Tr_n :\text{Tor}^{\mathcal A}_{n, n+d} (\math…
2021-11-18 math.AT
On the dimension of the "cohits" space $\mathbb Z_2\otimes_{\mathcal A_2} H^{*}((\mathbb RP(\infty))^{\times t}, \mathbb Z_2)$ and some applications
我们用$\mathbb Z_2$表示二元素域，用$P_t = \mathbb Z_2[x_1, \ldots, x_t]$表示$t$生成元$x_1, \ldots, x_t$的多项式代数，其中每个$x_i$的次数为1。设$\mathcal A_2$是$\mathbb Z_2.$上的Steenrod代数，同伦理论的一个中心问题是确定$\mathbb Z_2\otimes_{\mathcal A_2} P_t.$空间的最小生成元集。这个问题被称为Steenrod代数的“hit”问题，已在$t\leq 4.$上得到系统的研究。本文致力于研究$\mathbb Z_2\otimes_{\mathcal A_2} P_t$在某些“类属”度上的结构。更具体地说，我们明确地确定了$\mathbb Z_2\otimes_{\mathcal A_2} P_5$在$n_s=5(2^{s}-1) + 42.2^{s}$度上的单项式基，对于每个非负整数$s.$，结果证实了Sum关于在$t=5$和度$n_s$的情况下，代数$P_{t-1}$和$P_{t}$的$\mathcal A_2$ -生成元的极小集之间的关系的猜想[14]。作为应用，我们对所有的$s\geq 0,$得到了$\mathbb Z_2\otimes_{\mathcal A_2} P_6$在类属度$5(2^{s+5}-1) + n_0.2^{s+…
2021-12-01 math.AT math.RA math.RT
The rank-five Peterson hit problem, the Singer transfer, and canonical Milnor-operation layers
Department of Mathematics, FPT University（FPT大学数学系）
本文研究了$H^{*}(V^{\oplus 5})$的hit问题，验证了Singer猜想在特定度数下的成立，并提供了新算法的实现。
2026-08-11 math.AT
Geometric realization via unoriented bordism and a counterexample to Singer's conjecture for the sixth algebraic transfer
FPT University（富国航天科技大学）；Quy Nhon University（归仁大学）
本文通过开发计算Kameko同态核的GL(q)-不变量的新算法，证明了在双次数(6,6+36)上Singer猜想不成立。
2026-09-14 math.AT math.RA math.RT
On the algebraic transfers of ranks 4 and 6 at generic degrees
本文围绕Singer提出的代数转移单同态猜想，针对二元域上Steenrod代数的上同调群研究需求，给出秩4一般次数情形的详细证明，并验证秩6在若干内次数族下的猜想有效性。
2025-06-11 math.AT
A note on the non-trivial elements in the cohomology groups of the Steenrod algebra
设$F_2$为二元素域，$GL_s:= GL(s, F_2)$为秩为$s.$的一般线性群用$\mathscr A$表示$F_2.$上的Steenrod代数（mod-2）Lambda代数$Λ,$是描述那些神秘的“Ext-group”的工具之一。此外，William Singer的$s$代数转换\cite{Singer}也有望成为研究它们的有用工具。该转移是同态$Tr_s: F_2 \otimes_{GL_s}P_{\mathscr A}(H_{*}(B\mathbb V_s, F_2))\to {\rm Ext}_{\mathscr {A}}^{s,s+*}(F_2, F_2),$，其中$\mathbb V_s$表示秩为$s$的初等阿贝尔$2$ -群，并且$H_*(B\mathbb V_s)$是$\mathbb V_s,$的分类空间的同调群，而$P_{\mathscr A}(H_{*}(B\mathbb V_s, F_2))$表示在$\mathscr A.$的作用下的$H_{*}(B\mathbb V_s, F_2)$的本原部分。已经表明，$Tr_s$是高度非平凡的，并且更精确地，$Tr_s$是$s\leq 3.$的同构。另外，Singer证明了$Tr_4$在某些内度上是同构的。他还利用不变量理论研究了第五次转移的图像。在本文中，我们使用另一种方法来研究图像的$Tr_5.$更准确地说…
2021-05-13 math.AT
On Peterson's open problem and representations of the general linear groups
修正$\mathbb Z/2$是两个元素的素域，并将mod $2$ Steenrod代数写成$\mathcal A_2$。用$GL_d:= GL(d, \mathbb Z/2)$表示$\mathbb Z/2$上秩为$d$的一般线性群，用$\mathscr P_d$表示多项式代数$\mathbb Z/2[x_1, x_2, \ldots, x_d]$作为$d$一次生成元上的连通不稳定$\mathcal A_2$ -模。我们研究的彼得森“击中问题”的最小集的$\mathcal A_2$ -生成器的$\mathscr P_d.$它相当于确定一个$\mathbb Z/2$ -基础的空间“cohits”$Q\mathscr P_d := \mathbb Z/2\otimes_{\mathcal A_2} \mathscr P_d \cong \mathscr P_d/\mathcal A_2^+\mathscr P_d.$这$Q\mathscr P_d$也是一个表示的$GL_d$的$\mathbb Z/2.$的问题$d= 5$尚未完全解决，和未知的一般。本文给出了一般度$n = r(2^t -1) + 2^ts$中五个变量的命中问题的显式解，其中$r = d = 5,\ s =8$和$t$为任意非负整数.本文应用于$t = 0$和$t = 1$的情形，证明了秩$5$的Singer代数转移在二…
2021-12-03 math.AT math.RA
The fifth algebraic transfer in generic degrees and validation of a localized Kameko's conjecture
FPT University（FPT大学）
本文研究了五代数转移在通用次数下的性质，并验证了Kameko猜想的局部形式，通过同调代数方法确定了复射影空间商的同伦类型，且利用SageMath和OSCAR验证了结果。
2026-09-22 math.AT
