On behavior of the algebraic transfer
设V是秩为k的模2向量空间. W. Singer定义了从BV的同调中的基元的GL（k，2）共不变量到Steenrod代数的上同调的转移同态，作为从BV的稳定同伦到球面的稳定同伦的几何转移的代数版本。已经证明，代数转移是高度非平凡的，更确切地说，它是k=1，2或3的同构。然而，辛格证明了它不是k=5的满射。本文证明了当k=4时，它也不是满态映射。准确地说，它不会检测g族中的非零元素，在词干20、44、92中，并且一般来说，对于每个s > 0，12*2^s - 4。即使将Sq^0求逆，这种转移仍然不是满态，从而对南的预测给出了否定的答案。
2002-05-15 math.AT
A counter-example to Singer's conjecture for the algebraic transfer
Sài Gòn University（西贡大学）
本文利用Peterson hit problem技术，构造了代数转移在k=5、内次数n=108时的反例，否证了Singer关于代数转移为满态射的猜想。
2026-09-22 math.AT
On Singer's conjecture for the fourth algebraic transfer in certain generic degrees
本文在特定一般度数下证明了秩为4的Singer代数转移猜想，结合此前工作完成了该猜想在秩4情形的完整证明，并指出该猜想在秩6时不再成立。
2025-09-18 math.AT math.GT math.RA
On the hit problem for the polynomial algebra and the algebraic transfer
本文研究多项式代数命中问题与代数转移，通过考察特定度数的 cohit 模验证 Singer 猜想，扩展先前工作证明维数结果，并证伪部分非零元素属于代数转移像。
2025-09-18 math.AT
On quadratic coalgebras, duality and the universal Steenrod algebra
余代数的二次自对偶的概念是在代数拓扑中自然产生的代数结构中应用的，通过适当的对偶形式与泛Steenrod代数相关。这解释并统一了Lomonaco和Singer的结果。
2010-12-31 math.AT
On the lambda algebra and Singer's cohomological transfer
对于2-准素Steenrod代数，它是拓扑空间上模2上同调函子的稳定自然自同态的代数，给出了$\mathbb A$。在素数为2时，计算$\mathbb A$的上同调是代数拓扑学中的一个重要问题，因为它是Adams谱序列收敛到球面的稳定同伦群的起始页.描述这种上同调的一个相对有效的工具是秩$n$的Singer代数转移[Math.Z. 202（1989），493 - 523]，它从一个可分幂代数的某个次商传递到$\mathbb A.$的上同调Singer预言这个传递是一个单态，但这对于$n\geq 4.$来说仍然是开放的。
2021-10-02 math.AT math.RA math.RT
On the determination of the Singer transfer
本文利用 Peterson hit 问题结果证明 Singer 代数转移在 k≤3 时为同构，并确定第四转移在某些次数下的值，指出 Phuc 算法可能存在缺陷。
2025-08-07 math.AT
Geometric realization via unoriented bordism and a counterexample to Singer's conjecture for the sixth algebraic transfer
FPT University（富国航天科技大学）；Quy Nhon University（归仁大学）
本文通过开发计算Kameko同态核的GL(q)-不变量的新算法，证明了在双次数(6,6+36)上Singer猜想不成立。
2026-09-14 math.AT math.RA math.RT
On the algebraic transfers of ranks 4 and 6 at generic degrees
本文围绕Singer提出的代数转移单同态猜想，针对二元域上Steenrod代数的上同调群研究需求，给出秩4一般次数情形的详细证明，并验证秩6在若干内次数族下的猜想有效性。
2025-06-11 math.AT
A note on the hit problem for the Steenrod algebra and its applications
设$P_{k}=H^{*}((\mathbb{R}P^{\infty})^{k})$是无限维实射影空间$\mathbb{R}P^{\infty}$的$k$副本的直积的模$2$上同调代数.然后，$P_{k}$同构于$k$变量的分次多项式代数$\mathbb{F}_{2}[x_{1},\ldots,x_{k}]$，其中每个$x_{j}$都是1次的，并且令$GL_k$是自然作用在$P_k$上的素域$\mathbb{F}_2$上的一般线性群。这里的上同调系数取在两个元素的素域$\mathbb F_2$中。本文研究了Frank Peterson提出的{ \it命中问题}，即寻找多项式代数$P_k$作为模在mod-2 Steenrod代数$\mathcal{A}$上的生成元的极小集.在本文中，我们明确地计算了$k = 5$的命中问题和度$5(2^s-1)+24.2^s$，其中$s$是任意非负整数。这些结果被用来研究Singer代数转移，它是从模$2$ Steenrod代数$\mbox{Tor}^{\mathcal{A}}_{k, k+n}(\mathbb{F}_2, \mathbb{F}_2),$的同调到$\mathbb{F}_2\otimes_{\mathcal{A}}P_k$的由所有$n.$度的$GL_k$ -不变类组成的子空间的同态。我们证明了Singer关于代数转移的猜想在$k=5$和…
2021-03-07 math.AT
Algebraic infinite delooping and derived destabilization
在特征为2的素域上，研究了Steenrod代数与大Dyer-Lashof代数之间的Koszul对偶性的结果，着重讨论了Steenrod代数作用的不稳定性与Dyer-Lashof运算的不稳定性之间的相互影响.中心代数框架是Steenrod代数上的长度-分次模范畴，它具有Dyer-Lashof代数的不稳定作用，通过Nishida关系具有相容性。第一个成分是一个函子定义的模块上的Steenrod代数，出现在工作的库恩和麦卡蒂的同源性无限闭路空间。这个函子是根据从Steenrod代数上的模范畴到不稳定模的不稳定化的导出函子给出的，通过考虑Dyer-Lashof操作的作用而丰富。第二个成分是Steenrod代数上的Dyer-Lashof不可分解函子到长度-分次模的导出函子。这些都涉及函子使用米勒在他的研究一个谱序列计算同源性的无限delooping。一个重要的事实是，这些函子可以计算为显式Koszul复形的同调，其中的项表示为某些Steinberg函子。后者是二次对偶更熟悉的辛格函子。通过利用明确的复形从辛格函子计算导出函子的不稳定，Koszul对偶导致代数无限delooping谱序列。这在概念上类似于米勒的谱序列，但似乎没有直接的关系。谱序列揭示了Steenrod代数上不稳定模与所有模之间的关系。
2017-05-11 math.AT
Computational Approaches to the Singer Transfer: Preimages in the Lambda Algebra and $G_k$-Invariant Theory
本文利用lambda代数和不变量公式将Singer转移原像计算转化为线性代数问题，纠正$d_0$相关证明，给出$p_0$原像，并开发自动化SageMath算法。
2025-07-24 math.AT
The rank-five Peterson hit problem, the Singer transfer, and canonical Milnor-operation layers
Department of Mathematics, FPT University（FPT大学数学系）
本文研究了$H^{*}(V^{\oplus 5})$的hit问题，验证了Singer猜想在特定度数下的成立，并提供了新算法的实现。
2026-08-11 math.AT
The "hit" problem of five variables in the generic degree and its application
设$P_s:= \mathbb F_2[x_1,x_2,\ldots ,x_s]$是二元素域$\mathbb F_2$上的分次多项式代数，其$s$变量$x_1, x_2, \ldots , x_s$的次数均为1。这个代数被认为是mod-2 Steenrod代数$\mathscr {A}$上的分次模。我们对寻找$\mathscr A$ -模$P_s.$的最小生成元集的“命中”问题很感兴趣。这个问题对于每个$s\geqslant 5.$都是未解决的。202（1989），493-523]对于秩$5$在给定度中的转移同态。这为研究代数迁移提供了一种有效的方法，它不同于Singer的方法。
2022-01-03 math.AT
An application of the hit problem to the algebraic transfer
本文利用四变量多项式代数的Peterson hit问题结果，证明了Singer猜想对于第四代数转移在特定通项次数族中成立，并指出Phúc相关工作的错误。
2025-05-29 math.AT
The rank-five Peterson hit problem, the fifth Singer transfer, and a geometric generator in unoriented cobordism
FPT University（FPT大学）
研究五阶彼得森击中问题，通过精确稀疏消元等方法确定余击中模相关值，证明第五个辛格上同调转移是同构，找到无定向配边中49次幂的几何生成元，明确其与代数不变量的边界关系。
2026-07-24 math.AT
On a construction for the generators of the polynomial algebra as a module over the Steenrod algebra
设$P_n$是阶化多项式代数$\mathbb F_2[x_1,x_2,\ldots ,x_n]$，每个生成元$x_i$的阶为1，其中$\mathbb F_2$表示二元素域. Peterson击中问题是在mod-2 Steenrod代数$\mathcal{A}$上寻找$P_n$的极小生成集。等价地，我们想在每个度$d$中为$\mathbb F_2 \otimes_{\mathcal A} P_n$找到一个向量空间基。这样的基可以由次数$d$的单项式的列表表示。本文给出了$P_n$的$\mathcal A$ -生成元的一个构造，证明了它的一些性质，并明确地确定了$n = 5$的$\mathbb F_2 \otimes_{\mathcal A} P_n$的一个基和$s$为任意正整数时的次数$d = 15.2^s - 5$.这些结果被用来验证Singer猜想的第五次Singer代数转移在各自的程度。
2018-04-01 math.AT
The fifth algebraic transfer in generic degrees and validation of a localized Kameko's conjecture
FPT University（FPT大学）
本文研究了五代数转移在通用次数下的性质，并验证了Kameko猜想的局部形式，通过同调代数方法确定了复射影空间商的同伦类型，且利用SageMath和OSCAR验证了结果。
2026-09-22 math.AT
A note on the non-trivial elements in the cohomology groups of the Steenrod algebra
设$F_2$为二元素域，$GL_s:= GL(s, F_2)$为秩为$s.$的一般线性群用$\mathscr A$表示$F_2.$上的Steenrod代数（mod-2）Lambda代数$Λ,$是描述那些神秘的“Ext-group”的工具之一。此外，William Singer的$s$代数转换\cite{Singer}也有望成为研究它们的有用工具。该转移是同态$Tr_s: F_2 \otimes_{GL_s}P_{\mathscr A}(H_{*}(B\mathbb V_s, F_2))\to {\rm Ext}_{\mathscr {A}}^{s,s+*}(F_2, F_2),$，其中$\mathbb V_s$表示秩为$s$的初等阿贝尔$2$ -群，并且$H_*(B\mathbb V_s)$是$\mathbb V_s,$的分类空间的同调群，而$P_{\mathscr A}(H_{*}(B\mathbb V_s, F_2))$表示在$\mathscr A.$的作用下的$H_{*}(B\mathbb V_s, F_2)$的本原部分。已经表明，$Tr_s$是高度非平凡的，并且更精确地，$Tr_s$是$s\leq 3.$的同构。另外，Singer证明了$Tr_4$在某些内度上是同构的。他还利用不变量理论研究了第五次转移的图像。在本文中，我们使用另一种方法来研究图像的$Tr_5.$更准确地说…
2021-05-13 math.AT
Computing Invariant Spaces via Global Cluster Analysis and Representation Theory
本文提出全局聚类分析算法，通过构建权重交互图识别封闭子模，高效计算Singer代数转移中的GL_k不变空间，并基于Boardman表示论直接计算低秩情形下的定义域。
2025-08-07 math.AT math.RA math.RT
The mod 2 homology of infinite loopspaces
我们研究的谱序列，一个得到的应用模2同调的古德威利塔发送一个频谱X的悬浮频谱的第0空间X_0。当X是0-连通的时，它强收敛于H_*（X_0）. E^1项是X的广义幂的同调，因此是H_*（X）的一个著名函子，包括双阶霍普夫代数、模2 Steenrod代数A上的右模和Dyer-Lashof运算上的左模.霍普夫代数的考虑表明，谱序列的所有页都是连续生成的，其中基元等于E^1中基元的子商。我们使用一个操作符结构的塔和Z/2泰特建设，以显示如何戴尔-拉肖夫操作和差异的相互作用。然后，这些确定了对任何光谱X都成立的微分。然后，这些泛微分引导我们对每个A-模M构造一个泛函依赖于M的代数谱序列。H_*（X）的代数谱序列与X的拓扑谱序列在许多谱（包括悬浮谱和几乎所有的广义Eilenberg-MacLane谱）上一致，并且给出了一个一般的上界.代数谱序列的E^infty项具有类似于E^1的形式和结构，但现在右A-模结构是不稳定的。我们的显式公式包括了W. Singer、J. Lannes和S. Zarati和P. Goerss。
2013-06-25 math.AT
On modules over the mod 2 Steenrod algebra and hit problems
让我们考虑两个元素的素域，$\mathbb F_2\equiv \mathbb Z_2.$众所周知，模2 Steenrod代数$\mathscr A$上的模块的经典“命中问题”是代数拓扑学中一个有趣而重要的公开问题，它要求多项式代数$\mathcal P_m:=\mathbb F_2[x_1, x_2, \ldots, x_m]$的生成元的最小集合，将其视为$\mathscr A$ -模块上的$m$变量$x_1, \ldots, x_m,$，每个度为1。代数$\mathcal P_m$是$\mathbb F_2$ -上同调的产品$m$副本的Eilenberg-MacLan复杂的$K(\mathbb F_2, 1).$虽然命中问题已经深入研究了30多年，解决它仍然是一个谜$m\geq 5.$我们的目的是在这项工作中研究的命中问题的五个变量。更确切地说，我们发展我们以前的工作[Commun。Korean Math.Soc.35（2020），371-399]关于$\mathscr A$ -模块$\mathcal P_5$在泛型形式$n_t:=5(2^t-1) + 18.2^t,$的程度上对于任何非负整数$t.$的命中问题，提出了解决该问题的有效方法。本研究的两个应用是确定所有$t > 0$的泛度$5(2^{t+4}-1) + n_1.2^{t+4}$中$\mathcal P_6$的维数和…
2022-01-12 math.AT
On the hit problem for the Steenrod algebra in some generic degrees and applications
设$\mathcal P_{n}:=H^{*}((\mathbb{R}P^{\infty})^{n}) \cong \mathbb F_2[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$是素域上的多项式代数，$\mathbb F_2.$我们研究了多项式代数$\mathcal P_{n},$作为mod-$2$ Steenrod代数上的分次左模的Peterson击中问题，$\mathcal{A}.$对于$n>4,$，即使在$n=5$的情况下，借助于计算机，这个问题仍然没有解决.本文的目的是继续我们对命中问题的研究，在\cite{ph31}中得到了一般度为$r(2^s-1)+m.2^s$的$\mathcal P_n$的一个结果，其中$r=n=5,\ m=13,$和$s$是任意的非负整数.请注意，对于$s=0,$和$s=1,$，这个问题已经分别由\cite{ph20ta}和\cite{ph31}研究过。作为这些结果的应用，我们得到了一般次数为$d=(n-1).(2^{n+u-1}-1)+\ell.2^{n+u-1}$的多项式代数的维数结果，其中$u$是任意非负整数，$\ell \in \{23, 67 \},$和$n=6.$命中问题的一个主要应用是在测量Singer引入的同态中，这是一个同态$$Tr_n :\text{Tor}^{\mathcal A}_{n, n+d} (\math…
2021-11-18 math.AT
On Peterson's open problem and representations of the general linear groups
修正$\mathbb Z/2$是两个元素的素域，并将mod $2$ Steenrod代数写成$\mathcal A_2$。用$GL_d:= GL(d, \mathbb Z/2)$表示$\mathbb Z/2$上秩为$d$的一般线性群，用$\mathscr P_d$表示多项式代数$\mathbb Z/2[x_1, x_2, \ldots, x_d]$作为$d$一次生成元上的连通不稳定$\mathcal A_2$ -模。我们研究的彼得森“击中问题”的最小集的$\mathcal A_2$ -生成器的$\mathscr P_d.$它相当于确定一个$\mathbb Z/2$ -基础的空间“cohits”$Q\mathscr P_d := \mathbb Z/2\otimes_{\mathcal A_2} \mathscr P_d \cong \mathscr P_d/\mathcal A_2^+\mathscr P_d.$这$Q\mathscr P_d$也是一个表示的$GL_d$的$\mathbb Z/2.$的问题$d= 5$尚未完全解决，和未知的一般。本文给出了一般度$n = r(2^t -1) + 2^ts$中五个变量的命中问题的显式解，其中$r = d = 5,\ s =8$和$t$为任意非负整数.本文应用于$t = 0$和$t = 1$的情形，证明了秩$5$的Singer代数转移在二…
2021-12-03 math.AT math.RA
Corrections and additions to "A note on the hit problem for the polynomial algebra in the case of odd primes and its application" [Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fís. Nat. Ser. A Mat. 118 (2024), article 22]
FPT University（FPT大学）
本文研究了奇素数情况下多项式代数的hit问题，并证明了第三代数转移在特定次数下为同构。
2026-10-26 math.AT
