Orthogonal trigonometric polynomials from Riemann-Hilbert view
本文建立了单位圆上正交多项式理论中的Favard、Baxter、Geronimus、Rakhmanov、Szegö和强Szegö定理。所有这些结果都是基于OPUC和OTP的互表示定理，该定理是由同时表征它们的黎曼-希尔伯特问题导出的。此外，利用OPUC和OTP的Riemann-Hilbert特征，还分别得到了它们的Szegö递推式、四项递推式和一些新的恒等式.
2021-12-15 math.CA math.CV
Orthogonal Trigonometric Polynomials: Riemann-Hilbert Analysis and Relations with OPUC
本文研究了正交三角多项式的理论。利用Riemann-Hilbert方法得到了权函数为正和解析的OTP的渐近性，并发现它们与单位圆上的正交多项式（OPUC）有关。利用正交三角多项式的关系式和OPUC理论，我们还得到了正交三角多项式的四项递推公式、Christoffel-Darboux公式和零点的一些性质。
2008-05-17 math-ph math.CV math.MP
Nonlinear steepest descent approach to orthogonality on elliptic curves
我们考虑最近推出的概念的Padé-样逼近问题的黎曼曲面上的算子。在经典的情况下，这些正交因子与轮廓上的正交性概念有关。我们研究了一个具体的设置，其中的黎曼曲面是一个真正的椭圆曲线和措施的正交性支持的两个真正的椭圆。利用一个黎曼-希尔伯特问题的特征，我们确定了相应的正交函数的强渐近性质.向量丛理论和非交换柯西核即使在这种简化的设置中也发挥了突出的作用，表明黎曼曲面上的最速下降方法必须克服的新挑战。
2022-01-18 math-ph math.CV math.MP
Numerical solution of Riemann--Hilbert problems: random matrix theory and orthogonal polynomials
本文综述了数值求解Riemann-Hilbert问题的一般框架，并将其应用于实直线上的正交多项式计算，结合Fredholm行列式方法，计算了一般有限维酉系综的能级密度和间隙统计，并给出了齐次Painlevé II方程的Hastings-McLeod解的数值方法。
2012-10-08 cs.NA math-ph math.CV
The Riemann-Hilbert approach to strong asymptotics for orthogonal polynomials on [-1,1]
我们考虑的多项式是正交的$[-1,1]$关于修改的Jacobi重量$(1-x)^α(1+x)^βh(x)$，与$α,β>-1$和$h$实解析和严格正的$[-1,1]$。我们得到充分的渐近展开的一元和正交多项式的间隔$[-1,1]$外，递归系数和首项系数的正交多项式。我们还推导出Hankel行列式的渐近行为。对于渐近分析，我们使用Deift和周开发的黎曼-希尔伯特问题的最速下降技术，并应用于Deift，Kriecherbauer，McLaughlin，Venakides和周的实直线上的正交多项式。在最速下降法中，我们将使用与权重相关的SzegIgn函数，对于端点$\pm 1$周围的局部分析，我们使用适当阶的Bessel函数，而Deift等人使用Airy函数。
2003-09-01 math.CA math.CV
Riemann-Hilbert hierarchies for hard edge planar orthogonal polynomials
本文得到了实解析边界Jordan域$\mathscr{D}$上正交多项式关于加权面积测度的完全渐近展开式。权重是固定的，并假设是实分析光滑和严格正的，对于任何给定的精度$\varkappa$，扩展保持与$\mathrm{O}(N^{-\varkappa-1})$错误在$N$依赖的邻域的外部区域的程度$N$趋于无穷大。主要成分是推导和分析的黎曼-希尔伯特层次-序列的标量黎曼-希尔伯特问题-这使我们能够表示所有高阶校正项的封闭形式。事实上，展开式可以理解为包含显式算子的诺依曼级数。展开定理导致相应的硬边概率波函数的半经典渐近展开的分布支持$\partial\mathscr{D}$。
2020-08-26 math-ph math.CV math.MP
Strong asymptotics of the recurrence coefficients of orthogonal polynomials associated to the generalized Jacobi weight
研究了$[-1,1]$上具有有限个代数奇点的权函数广义Jacobi权所对应的正交多项式的递推系数的渐近性。递推系数可以写成正交多项式的相应黎曼-希尔伯特问题的解。利用Deift和Zhou的最速下降法分析了黎曼-希尔伯特问题，得到了递推系数的完全渐近展开.我们将明确地确定展开式中的顺序$1/n$项。黎曼-希尔伯特问题分析的一个关键步骤是围绕代数奇点的局部分析，为此我们使用适当阶的贝塞尔函数。
2002-12-02 math.CA math.CV
Soft Riemann-Hilbert problems and planar orthogonal polynomials
本文研究平面指数权重正交多项式的强渐近问题，利用软黎曼-希尔伯特（矩阵∂̄）视角，以Cauchy位势代数ansatz替代复杂叶状结构，将问题分解为自由边界上的标量RH问题，得到实解析权重下L²与逐点指数误差渐近。
2021-12-26 math.AP math.CV
The Strong Asymptotic Analysis of the first kind Orthogonal Trigonometric Polynomial
本文利用周期解析函数的黎曼-希尔伯特问题研究了正交三角多项式的渐近分析。
2021-03-05 math.CA math.CV
Riemann-Hilbert analysis for Jacobi polynomials orthogonal on a single contour
经典的雅可比多项式$P_{n}^{(α,β)}$和$α, β>-1$具有许多众所周知的性质，特别是它们的零点在开区间$(-1,1)$中的位置。此属性对于其他参数值不再有效;通常，零是复数。本文研究了实参数$α_n,β_n$依赖于$n$的雅可比多项式的强渐近性，使得$$ \lim_{n\to\infty}\frac{α_{n}}{n}=A, \quad \lim_{n\to\infty}\frac{β_{n}}{n}=B, $$与$A,B \in \mathbb{R}$ .我们将我们的注意力限制在极限$A,B$不都是正的并且取由直线A=0、B=0和$A+B+2=0$限定的三角形之外的值的情况。作为推论，我们表明，在极限的零点分布沿某些曲线构成的二次微分的轨迹。非埃尔米特正交关系的雅可比多项式与不同的参数在于我们的方法的核心，在我们考虑的情况下，这些关系保持在一个单一的轮廓的复平面。渐近分析是使用Deift-Zhou最速下降法的基础上的Riemann-Hilbert的雅可比多项式重新制定。
2004-10-13 math.CA math.CV
A Riemann--Hilbert approach to computing the inverse spectral map for measures supported on disjoint intervals
本文提出一种基于 Riemann–Hilbert 表示的 O(N) 数值方法，用于计算不相交区间上正交多项式的递推系数、逐点值及 Cauchy 变换，并展示其在可积系统与逼近论中的应用。
2024-01-17 cs.NA math.CV math.NA
Critical measures on higher genus Riemann surfaces
复平面中的临界测度是外场作用下对数能量的鞍点。Martinez-Finkelshtein和Rakhmanov描述了它们的局部和全局结构。在本文中，我们开始的发展理论的临界措施的高亏格黎曼曲面，其中对数能量取代的能量相对于双极格林核。本文研究了外场作用下双极格林函数能量的极大极小问题，其中dV是亚纯微分。在合理的假设下，极大极小问题有一个解决方案，我们表明，相应的平衡测度是一个临界措施的外部领域。在一个特殊的亏格一的情况下，我们能够证明临界测度是亚纯二次微分的极大轨线所支持的。我们的动机是随机菱形平铺的六边形与周期性的权重的应用程序。这些模型中的相关性可用矩阵值正交多项式表示。矩阵正交性被解释为黎曼曲面上的（部分）标量正交性。临界测度理论将有助于相应的黎曼-希尔伯特问题的渐近分析，我们概述的文件。
2022-07-05 math-ph math.CV math.MP
Riemann--Hilbert analysis for Laguerre polynomials with large negative parameter
研究了Laguerre多项式$L_n^{(α_n)}(nz)$作为$n \to \infty$的渐近行为，其中$α_n$是一个负参数序列，使得$-α_n/n$趋于极限$A > 1$作为$n \to \infty$ .这些多项式在复平面中的某些轮廓上满足非厄米正交性。这一事实允许制定黎曼-希尔伯特问题，其解根据这些拉盖尔多项式给出。黎曼-希尔伯特问题的渐近分析是用Deift和Zhou的最速下降法进行的，其精神与Deift等人对实直线上的正交多项式的分析相同。本文的一个主要特点是正确的轮廓的选择。
2002-04-19 math.CA math.CV
A bicomplex proportional fractional $(\vartheta,φ)-$weighted Cauchy-Riemann operator using Riemann-Liouville derivatives with respect to an hyperbolic-valued function
本文首次定义了基于双曲值函数 Riemann-Liouville 导数的双复数比例分数加权 Cauchy-Riemann 算子，并证明了其分数 Borel-Pompeiu 公式。
2023-08-29 math.CV
Multi-critical unitary random matrix ensembles and the general Painleve II equation
研究了$Z_{n,N}^{-1} |\det M|^{2α} e^{-N \Tr V(M)}dM$形式的酉随机矩阵系综，其中$α>-1/2$和$V$使得$n,N\to\infty$和$n/N\to 1$的极限平均特征值密度在原点二次为零.为了计算特征值相关核在原点附近的双标度极限，我们使用Deift/Zhou最速下降法求解关于权值$|x|^{2α}e^{-NV(x)}$的实直线上正交多项式的Riemann-Hilbert问题.这里的主要重点是建设一个本地parameterian附近的起源与$ψ$ -功能与一个特殊的解决方案$q_α$的Painlevé II方程$q''=sq+2q^3-α$。通过证明相应的Riemann-Hilbert问题的可解性，我们证明了$q_α$对于$α> -1/2$没有实极点.我们还证明了正交多项式的递推系数的渐近性在双标度极限下可用$q_α$表示。
2005-08-31 math-ph math.CV math.MP
Supercritical Regime for the Kissing Polynomials
研究一类多项式族，它与$[-1,1]$上的变化的、高振荡的复权函数$e^{niλz}$正交，其中$λ$为正参数.这一系列的多项式出现在文献中最近与复杂的正交规则，和他们的渐近已被研究时，$λ$小于一定的临界值，$λ_c$。我们的主要目标是计算当$λ>λ_c$。首先，我们提供了一个几何描述，基于二次微分理论，在复杂的平面，最终将支持这些多项式的渐近零分布的曲线。接下来，使用强大的黎曼-希尔伯特制定的正交多项式由于Fokas，其和Kitaev，随着其渐近解的方法，通过Deift-Zhou非线性最速下降，我们提供了一致的渐近多项式在整个复平面。虽然这种渐近分析遵循的路线，以前的作品在文献中，主要的障碍出现在建设所谓的全球参数。这种构造是在某些椭圆型积分的帮助下以显式的方式进行的。与存在实正交性时通常遇到的情况形成鲜明对比，这种构造的一个有趣的副产品是存在$λ$的离散值集，对于该离散值集，不能求解模型黎曼-希尔伯特问题，因此相应的多项式不存在。
2020-04-06 math.CA math.CV
The dbar steepest descent method and the asymptotic behavior of polynomials orthogonal on the unit circle with fixed and exponentially varying nonanalytic weights
本文发展了一种分析矩阵黎曼-希尔伯特问题的新的渐近方法。我们的方法是由Deift和Zhou首先提出的最速下降方法的推广;然而，我们的方法系统地处理不需要解析的跳跃矩阵。基本的技术是引入非解析扩展的某些功能出现在跳转矩阵，并因此转换为一个dbar问题的黎曼-希尔伯特问题。我们使用我们的方法来研究几个关于单位圆上给定的测度正交多项式的渐近问题，获得新的详细的一致收敛性结果，并为某些类的非解析权重，完整的信息的渐近行为的个人零点。
2004-06-23 math.CA math.CV
Padé\ approximants on Riemann surfaces and KP tau functions
本文有两个相对不同的，但连接的目标;第一个是定义的概念Padé\近似的Weyl-Stiltjes变换的任意紧致黎曼曲面的高属。该数据由黎曼曲面中的轮廓线和其上的测量值以及点附近的局部坐标的附加数据和度因子$g$组成。由此产生的Padé-样近似的分解子也满足正交关系，并且是适当的线丛的部分。一个黎曼-希尔伯特问题的秩二方阵的特征，这些正交部分，在一个类似的方式，普通的正交多项式的情况下。第二部分扩展了这一思想，探讨其与可积系统的联系。相同的数据可用于定义两个线束序列之间的配对。在变形空间中的轨迹，配对成为退化为固定的程度与“tau”函数的零点重合。我们展示了这个tau函数如何满足Kadomtsev-Petviashvili层次结构相对于任何变形参数，和一定的修改2-户田层次结构时，考虑整个序列的tau函数。我们还展示了如何建设有关的Krichever建设代数几何解决方案。
2021-08-09 math-ph math.CV math.MP
Ladder operators and differential equations for multiple orthogonal polynomials
本文给出了第Ⅰ型和第Ⅱ型多重正交多项式的阶梯算子及其相容性条件。这些梯形方程推广了正交多项式的已知结果，并可用于导出多个正交多项式所满足的微分方程。我们的方法是基于黎曼-希尔伯特问题和多个正交多项式的Christoffel-Darboux公式，以及最近邻递归关系。作为说明，我们给出了几个明确的例子，涉及多个Hermite和Laguerre多项式，和多个正交多项式与指数权重和三次潜力。
2012-04-23 math.CA math.CV
A Christoffel-Darboux formula for multiple orthogonal polynomials
Bleher和Kuijlaars最近指出，矩阵系综与外部源的特征值相关性可以通过由特殊的多个正交多项式构建的核来表示。对于一般多重正交多项式，我们导出了这个核的Christoffel-Darboux公式.此外，我们还证明了该公式可以写成多个正交多项式的黎曼-希尔伯特问题的解，这将有助于渐近分析。
2004-02-03 math.CA math.CV
Computation of conformal representations of compact Riemann surfaces
我们发现一个系统的两个多项式方程在两个未知数，其解决方案允许给出一个明确的表达的保角表示的单连通的三个sheleted紧黎曼曲面上的扩充复平面。这个函数出现在多个正交多项式关于所谓的两个措施的Nikishin系统的比渐近的描述。
2009-03-03 math.CA math.CV
The Akhiezer iteration
本文提出Akhiezer迭代法，推广Chebyshev迭代以求解不定线性系统，利用多区间正交多项式和Riemann–Hilbert方法实现O(k)复杂度计算，并在两区间情形借助Akhiezer公式显著加速。
2024-01-17 cs.NA math.CV math.NA
