A note on hamiltonian cycles in $4$-tough $(P_2\cup kP_1)$-free graphs
设$t>0$为实数，$G$为图.我们说$G$是$t$ -tough的，如果对于$G$的每个割集$S$，$|S|$与$G-S$的分量数之比至少是$t$。Chvátal的韧性猜想，即存在一个常数$t_0$使得每个至少有三个顶点的$t_0$ -坚韧图是Hamilton图，在一般情况下仍然是开放的。对于任意给定的整数$k\ge 1$，如果$G$不包含$P_2$和$k$孤立点的不交并作为导出子图，则图$G$是$(P_2\cup kP_1)$自由的.本文证明了至少有三个顶点的4-坚韧$2k$ -连通无$(P_2\cup kP_1)$图是Hamilton图.这个结果在某种意义上是经典的Chvátal-Erdés定理的“推广”，该定理证明了至少有三个顶点的$\max\{2,k\}$ -连通无$(k+1)P_1$图是Hamilton图.
2022-02-13 math.CO
Bounds on the Number of Edges in Hypertrees
设$\mathcal{H}$是$k$ -一致超图. $\mathcal{H}$中的链是其顶点的序列，使得每个$k$连续顶点形成边。在1999年，Katona和Kierstead建议在超图中使用链作为路径的推广。虽然近年来关于哈密尔顿链的一些结果已经发表，但树与链的推广仍然是一个开放的领域。我们推广了一致超图的树的概念。我们称一个$k$ -一致超图$\mathcal{F}$是一棵超树，如果$\mathcal{F}$的每两个顶点都由一条链连接，并且适当的无圈性质成立.边最小超树是边集关于包含是最小的超树。在考虑这些定义之后，我们证明了$n$顶点上的$k$ -均匀超树至少有$n-(k-1)$边直到有限个例外，并且它至多有$\binom{n}{k-1}$边.在3-一致情形下，后一个界是渐近尖锐的。
2014-04-25 math.CO
Remarks on the countable case of the Unfriendly Partition Problem
本文研究不友好划分问题在可数图上的情形，证明当图的射线不同时经过无限多个有限度和无限度顶点时存在二分划分，并推广了先前结果。
2024-12-18 math.CO
Almost-2-regular random graphs
我们研究了配置模型的一种特殊情况，在这种情况下，图的几乎所有顶点都具有度$2$。我们表明，图有一个非常奇特和有趣的行为，特别是当图是由绝大多数的度$2$和消失的比例较高的度的顶点，巨大的组件包含$n(1-o(1))$顶点，但第二个组件仍然可以多项式增长$n$。另一方面，当除了具有度$1$的$o(n)$之外几乎所有顶点都具有度$2$时，不存在线性大小的分量。
2020-01-16 math.CO math.PR
Ramsey and Gallai-Ramsey number for wheels
给定一个图$G$和一个正整数$k$，定义\emph{Gallai-Ramsey number}为$n$的最小顶点数，使得$K_n$的任何$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$G$的单色副本。与图中的Ramsey数非常相似，Gallai-Ramsey数通常被认为很难计算。到目前为止，人们所知道的精确结果仍然很少。本文给出了轮的Gallai-Ramsey数的界以及轮在$5$顶点上的精确值.
2019-05-28 math.CO
The Erdős--Faber--Lovász Conjecture revisited
1972年提出的Erdens-Faber-Lovász猜想指出，如果一个图$G$是$n$阶的$n$团的并集（称为定义$n$ -团），使得两个团最多可以共享一个顶点，那么$G$的顶点可以用$n$颜色适当地着色。虽然在近50年后仍然开放，但可以很容易地证明，当每个共享顶点恰好属于两个定义$n$ -团时，该猜想是正确的。在这种情况下，我们提供了一个快速而简单的算法来着色$G$的顶点，并讨论了与图的顶点分解和边着色的连接。
2021-12-07 math.CO
Leaky Forcing: A New Variation of Zero Forcing
零强迫是一个玩家在图上玩的游戏。玩家选择一组顶点进行着色，然后迭代地应用颜色变化规则：如果一个着色顶点的所有邻居都着色，则对剩余的未着色邻居着色（即“强制”）。通常，目标是找到最初着色的顶点的最小数量，使得所有顶点最终都着色。最近，已经在不同的设置中开发了迫零的等效形式，包括传感器分配以求解线性系（K.- Lin 2018），追随者-领导者动力学的可控性（Monshizadeh-Zhang-Camlibel 2014），以及特定超图的边覆盖（Brimkov-Fast-Hicks 2016）。虽然迫零的许多变化是由一个相关的最小秩问题的动机，这些新的配方提供了新的灵感，新的有意义的迫零变量。在我们的例子中，我们研究了一个新的变化的基础上，上述线性代数解释。特别是，如果网络中有一个节点存在泄漏，因此不可靠，无法求解网络上的线性系，该怎么办？在迫零的上下文中，这对应于我们称之为$\ell$ -迫零的以下变体：给定$\ell$，找到一组顶点，使得对于任何不能迫零的$\ell$顶点集，所有顶点都将仍然是着色的。我们计算的$\ell$ -强迫数为选定的家庭的图，包括网格图。也许令人惊讶的是，我们发现了一些例子，其中额外的边使图对这些泄漏更具“弹性”。此外，我们还实现了已知的计算方法，我们的新的泄漏强迫变化。
2019-10-01 math.CO
On the Connectivity and Diameter of Geodetic Graphs
本文研究了测地图的连通性与直径问题，证明了不含度为1或2顶点的2-连通测地图实际为3-连通，并构造了已知最大直径为5的无限图族。
2023-04-02 math.CO
Covering complete graphs by monochromatically bounded sets
给定完全图$K_n$的边的$k$ -着色，是否存在覆盖其顶点的$k-1$单色分量？著名的洛瓦兹-莱瑟猜想的这个重要特例仍然悬而未决。在本文中，我们考虑加强这个问题，我们坚持覆盖集不仅是连接的，但有界直径。特别是，我们证明了，对于任何着色的$E(K_n)$与4种颜色，有一个选择的集合$A_1, A_2, A_3$，覆盖所有顶点，和颜色$c_1, c_2, c_3$，使每个$i = 1,2,3$的单色子图诱导的集合$A_i$和颜色$c_i$的直径最多为160。
2017-05-25 math.CO
Hamiltonian cycles in tough $(P_2\cup P_3)$-free graphs
设$t>0$为实数，$G$为图.如果对于$G$的每个割集$S$，$|S|$与$G-S$的分量数之比至少为$t$，则我们说$G$是$t$ -tough的。确定任意图的韧性是一个NP-难问题。Chvátal的韧性猜想，即存在一个常数$t_0$使得每个至少有三个顶点的$t_0$ -坚韧图是Hamilton图，在一般情况下仍然是开的.一个图称为$(P_2\cup P_3)$ -free，如果它不包含任何同构于$P_2\cup P_3$的导出子图，$P_2\cup P_3$是两个顶点不相交的2阶和3阶路的并集。本文证明了至少有三个顶点的15-tough无$(P_2\cup P_3)$图是Hamilton图。
2019-01-08 math.CO
On Validity of Reed Conjecture for Classes of Graphs with Two Forbidden Subgraphs
Reed Conjecture已经开放了20多年。本文证明了Reed猜想对（1）{P4 UnionK 1，Kite}-free图（2）{Chair，Kite}-free图（3）{K2 UnionK 2 complement，H}-free图和（4）{2K 2，M}-free图是成立的，其中H和M都是六点图.里德猜想一般来说仍然是开放的。
2019-09-05 math.CO
Hamilton cycles in tough $(2P_2 \cup P_1)$-free graphs
本文针对 Chvátal 坚韧图 Hamilton 性猜想遗留的禁图情形，证明至少三个顶点的11-坚韧 $(2P_2\cup P_1)$-无关图必为 Hamilton 图。
2025-06-15 math.CO
Classifying Prime Character Degree Graphs With Eight Vertices
Kent State University（肯特州立大学）
本文致力于分类具有八个顶点的素数特征度图，通过现有结果和构造开发通用算法，对八顶点图进行分类，发现37个连通图出现，56个图不出现，206个图尚未分类。
2026-10-16 math.CO math.GR
On Fault-Tolerant Resolvability of Double Antiprism and its related Graphs
对于一个连通图$Γ=(V,E)$，如果到$V$中顶点的距离向量对于每个$u^{i}\in V(Γ)$是唯一的，则称$Γ=(V,E)$中有序顶点的子集$R$是$Γ$中的一个分解集. $Γ$的度量维数是这样的集合$R$的最小基数。如果$R\setminus \{u^{i}\}$仍然是一个解析集$\forall$ $u^{i}\in R$，则$R$称为$Γ$的容错解析集（FTRS），其最小基数是$Γ$的容错度量维数（FTMD）.在这篇文章中，我们引入了一个独立的容错解决集（IFTRS）的概念，并研究它的几个著名的图。我们还表明，FTMD是四个密切相关的家庭凸多面体在文献中（即，双反棱镜$\mathbb{A}_{n}$、$S_{n}$和$T_{n}$）。
2021-04-19 math.CO
Counting geodesic paths in graphs
Slovak University of Technology（斯洛伐克技术大学）；University of Split（斯普利特大学）；Faculty of Information Studies, Novo Mesto（诺沃梅斯托信息研究学院）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）；Rudolfovo - Science and Technology Centre（鲁多尔福夫科学与技术中心）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
研究图中测地路径数量的极值问题，定义测地子路径数gpn(G)，探讨其性质及极值图的特征，提出开放性问题。
2026-07-16 math.CO
Random graphs with few disjoint cycles
经典的Erdens-Pósa定理指出，对于每个正整数k，存在一个f（k），使得在每个不具有k+1个不相交圈的图G中，存在一个大小至多为f（k）的阻塞器;也就是说，一个至多为f（k）个顶点的集合B，使得G-B没有圈。我们证明，在顶点集{1，.上的所有此类图中，n}，除了指数小的比例之外，所有的都具有大小为k的阻塞器。我们还给出了从这类图中均匀抽样的随机图的进一步性质，包括阻塞唯一性、连通性、色数和团数。证明主定理的一个关键步骤是证明必须有一个blocker，就像在Erdens-Pósa定理中一样，具有额外的“冗余”性质，即B-v对于B中的所有顶点v仍然是blocker，但至多k个顶点v。
2010-10-29 math.CO
On distinguishing special trees by their chromatic symmetric functions
1995年，Stanley提出了图$G$的色对称函数$X_{G}(x_{1},x_{2},\ldots)$.它是一个单项对称函数的和，使得对于$G$的每个顶点着色，恰好有一个这些和项。$X_{G}(x_1,x_{2},\ldots)$是否能区分顶点数相同的非同构树的问题，在一般情况下仍然是一个悬而未决的问题。对于特殊的树木，它已经被证明。2008年，马丁、莫林和瓦格纳证明了蜘蛛和一些毛毛虫。我们通过分离叶子和它们的邻居来分解一棵树，并对剩余的森林做同样的事情，直到剩下一个度不大于$1$的森林。对于顶点数相同的非同构树$G$和$H$，以及它们的叶分解中每个子图的叶数和叶邻居数的特殊性质，我们证明了色对称函数区分图。我们的想法是找到独立的分区的$G$和$H$分别与块的最大基数为$G$以及为$H$。这些基数对于图$G$和$H$是不同的，它们具有特殊的叶分解性质。此外，我们给出了明确的公式，这样的一个最大的块的独立分区的星形连接和蜘蛛的基数。
2017-02-27 math.CO
Hamiltonian cycles in 7-tough $(P_3\cup 2P_1)$-free graphs
不完全图$G$的韧性是最大实数$t$，使得对于$G$的每个割集$S$，$|S|$与$G-S$的分量数之比至少为$t$，并且完全图的韧性被定义为$\infty$。确定给定图的韧性是NP困难的。Chvátal的韧性猜想，指出存在一个常数$t_0$，使得任何韧性至少为$t_0$的图都是Hamilton的，对于一般图仍然是开放的。一个图称为无$(P_3\cup 2P_1)$的，如果它不包含任何同构于$P_3\cup 2P_1$的导出子图，即$P_3$与两个孤立点的不交并.本文证明了Chvátal关于无$(P_3\cup 2P_1)$图的坚韧性猜想，证明了至少有三个顶点的无7-坚韧$(P_3\cup 2P_1)$图是Hamilton图.
2021-07-18 math.CO
A universal dichotomy for concentration in randomly colored graphs
Consiglio Nazionale delle Ricerche, Istituto per le Applicazioni del Calcolo, M. Picone（意大利国家研究委员会，计算应用研究所）
本文通过图度序列的欧几里得范数ζ，证明了在顶点随机着色且各类颜色比例有界远离零时，ζ=o(1)导致子图大小集中，而ζ=Θ(1)时浓度依赖于颜色平衡性。
2026-09-03 math.CO
Implicit representation conjecture for semi-algebraic graphs
隐表示猜想涉及图的遗传族。给定这样一个族中的一个图，我们希望为每个顶点分配一些比特串，以便我们可以仅使用与这两个顶点相关联的2个比特串来恢复关于这两个顶点是否连通的信息。然后我们要最小化这个字符串的长度。该猜想指出，如果家族是遗传的并且足够小（它只有大小为$n$的$2^{O(n\ln(n))}$图），那么每个顶点的$O(\ln(n))$位应该是足够的。这个问题的平凡的界限是：（1）一些家庭需要至少$\ln_2(n)$位每顶点;（2）$(n-1)/2+\ln_2(n)$位每顶点是足够的所有家庭。在本文中，我们将讨论隐表示猜想的一个特殊情况，其中族是半代数的（这大致意味着顶点是某个欧几里得空间中的点，而边是几何定义的，或根据某些多项式）。我们将首先证明存储信息的“明显”方式，即存储每个顶点坐标的近似值，是不起作用的。然后，我们将提出一种存储信息的方法，该方法需要每个顶点的$O(n^{1-ε})$位，其中$ε$是仅取决于族的某个小常数。这是对平凡界的一个微小改进，但距离证明猜想还有很长的路要走。
2018-12-12 math.CO
On the construction of l-equienergetic graphs
对于一个点为$n$边为$m$的图，其Laplacian谱为$μ_1, μ_2, \cdots,μ_n$，无符号Laplacian谱为$μ^+_1,μ^+_2, \cdots,μ^+_n$，定义了$G$的Laplacian能量为$LE(G)=\sum_{i=1}^{n}|μ_i-\frac{2m}{n}|$，无符号Laplacian能量为$LE^+(G)=\sum_{i=1}^{n}|μ^+_i-\frac{2m}{n}|$ .相同阶数的两个图$G_1$和$G_2$被称为$L$ -如果$LE(G_1)=LE(G_2)$，则能量相等，而$Q$ -如果$LE^{+}(G_1)=LE^{+}(G_2)$，则能量相等。构造具有相同Laplacian能量的图的问题已经由Stevanovic（阈值图）和Liu和Liu（阶数为$n\equiv 0$（mod 7）的图）考虑过。在一般情况下，从任何一对给定的图构造$L$ -等能图的问题仍然没有解决，这项工作是在这个方向上的一个尝试。我们构造序列的非共谱（拉普拉斯，无符号拉普拉斯）$L$ -等能量和$Q$ -等能量图从任何一对图具有相同的顶点和边数。
2013-10-12 math.CO
Rainbow connections for planar graphs and line graphs
一个边着色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点通过一条边具有不同颜色的路相连。连通图$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是使$G$彩虹连接所需的最小颜色数。证明了计算$rc(G)$是NP-困难问题，甚至判定一个图是否有$rc(G)=2$也是NP-完全问题。已知判定给定边着色图是否彩虹连通是NP-完全的。我们将证明，即使边着色图是平面二部图，它仍然是NP-完全的。我们还给出了小直径外平面图的彩虹连通数的上界。一个点着色图是彩虹点连通的，如果任意两个点通过一条路相连，且该路的内部顶点具有不同的颜色。连通图$G$的彩虹顶点连接数，记为$rvc(G)$，是使$G$彩虹顶点连通所需的最小颜色数。已知判定给定的点着色图是否是彩虹点连通图是NP-完全的。我们将证明，即使顶点着色图是线图，它仍然是NP-完全的。
2011-11-14 cs.CC math.CO
Hamilton Cycles In Primitive Graphs of Order $2rs$
经过长期的努力，最近在\cite{DKM2}中证明了除Peterson图外，$rs$阶的连通点传递图都有Hamilton圈，其中$r$和$s$是素数.解决$2rs$的连通点传递图的Hamilton问题是一个很自然的课题。这个话题是相当琐碎的，因为即使对于$r=3$来说，这个问题仍然没有解决。本文证明了除Coxeter图外，$2rs$阶连通点传递图都含有Hamilton圈，只要自同构群连续作用于点.
2022-03-25 math.CO
On graphs with equal total domination and Grundy total domination number
图$G$中没有孤立点的顶点序列$(v_1,\ldots ,v_k)$称为全控制序列，如果序列中的每个顶点$v_i$完全控制至少一个不被$\{v_1,\ldots , v_{i-1}\}$完全控制的顶点，并且$\{v_1,\ldots ,v_k\}$是$G$的全控制集.最短的这样的序列的长度是G（$γ_t(G)$）的总控制数，而最长的这样的序列的长度是$G$（$γ_{gr}^t(G)$）的Grundy总控制数。本文研究了具有相等和Grundy全控制数的图.刻画了全控制数和Grundy全控制数均为4的二部图，证明了不存在具有$γ_t(G)=γ_{gr}^t(G)=4$的连通弦图$G$.本文的主要结果是一个经常二部图与$γ_t(G)=γ_{gr}^t(G)=6$证明建立一个令人惊讶的对应关系存在这样的图形和一个经典的，但仍然存在的问题，某些有限的射影平面的特征。
2019-06-28 math.CO
Conical SL(3) foams
在无向SL（3）泡沫理论中，奇异顶点是二维复形的一般奇点。奇异顶点的邻域同胚的圆锥上的一个骨架的四面体，被视为一个三价图上的两个球体。在本文中，我们考虑更一般的平面三价图上的奇异顶点的邻域同胚锥泡沫。这些图的Kempe等价Tait染色类满足适当的条件，包括十二面体图。在原始的同调论的这个修改中，它直接表明与十二面体图相关联的模块没有秩60，这对于原始的无向SL（3）泡沫理论仍然是一个开放的问题。
2020-11-22 math.CO math.GT math.QA
Hamiltonicity of $1$-tough $(P_2\cup kP_1)$-free graphs
给定一个图$H$，如果$G$不包含作为导出子图的$H$，则图$G$是无$H$的.对于正实数$t$，称一个非完全图$G$是$t$ -tough的，如果对$G$的每个点割$S$，$|S|$与$G-S$的分支数之比至少为$t$ .一个完整的图被称为$t$ -tough，对于任何$t>0$都是如此。Chvátal的坚韧性猜想，指出存在一个常数$t_0$使得每个至少有三个顶点的$t_0$ -坚韧图是Hamilton的，一般来说仍然是开放的。Chvátal和Erdös \cite{CE}证明了，对任意整数$k\ge 1$，每个至少有三个顶点的$\max\{2,k\}$ -连通无$(k+1)P_1$图是Hamilton图.根据Chvátal-Erdös定理，Shi和Shan证明了对任意整数$k\ge 4$，每个至少有三个顶点的$4$ -tough $2k$ -connected $(P_2\cup kP_1)$ -free图都是Hamilton图，并提出了对任意整数$k\ge 1$，任意$1$ -tough $2k$ -connected $(P_2\cup kP_1)$ -free图都是Hamilton图的猜想.在本文中，我们证实了这个猜想，并进一步证明，如果$k\ge 3$，那么条件“$2k$ -连通”可以减弱为“$2(k-1)$ -连通”。作为直接结果，对于任何整数$k\ge 3$，每个$…
2023-03-20 math.CO
Towards Erdos-Hajnal for graphs with no 5-hole
Erdos-Hajnal猜想认为，对于每个图$H$，存在$c>0$，使得对于每个具有$n$顶点的无$H$图$G$，存在$\max(α(G),ω(G))\ge n^c$，并且当$H=C_5$ .迄今为止，对于$G$-free图的$\max(α(G),ω(G))$，已知的最好的界是Erdos和Hajnal的一般界，即对于所有的$H$，如果$G$是$H$ -free的，则为$\max(α(G),ω(G))\ge 2^{Ω(\sqrt{\log n })}$.当$H=C_5$变为$\max(α(G),ω(G))\ge 2^{Ω(\sqrt{\log n \log \log n})}.$时，
2018-03-09 math.CO
The robust component structure of dense regular graphs and applications
本文研究了稠密正则图的大规模结构。这涉及到稳健扩张的概念，这是一个最近的概念，已经成功地用于解决几个长期存在的问题。粗略地说，如果一个图在删除一小部分顶点和边后仍然膨胀，则该图是鲁棒膨胀的。我们的主要结果使我们能够利用强大的扩张的有用的后果，即使图本身不是一个强大的扩展。它指出，每一个稠密正则图可以划分成“鲁棒组件”，每个组件是一个鲁棒扩展或二部鲁棒扩展。我们应用我们的结果来获得（除其他外）以下内容。(i)证明了只要$\eps >0$，任何具有$D \geq (1/4 + \eps)n$的n阶3-连通D-正则图都是Hamilton图.这渐近地证实了Bollobás和Häggkvist在20世纪70年代独立提出的猜想的唯一剩余情况。(ii)证明了给定连通度的稠密正则图的周长的一个渐近最佳可能结果。Bondy给出了这类问题的2-连通情形，并由Wei给出了证明.
2014-06-09 math.CO
Locating Dominating Sets in local tournaments
有向图中的支配集是一个顶点集$S$，使得所有不属于$S$的顶点在$S$中都有一个近邻。定位集$S$是这样的顶点集，使得所有不属于$S$的顶点由它们在$S$中具有的内邻居唯一地表征，即，对于不在$S$中的每两个顶点$u$和$v$，存在正好支配它们中的一个的顶点$s\in S$。同时具有定位性和支配性的有向图$D$的最小集合的大小由$γ^{LD}(D)$表示。Foucaud，Heydarshahi和Parreau证明了任意无孪生有向图PDMATHAMQ满足$γ^{LD}(D)\leq \frac{4n} 5 +1$，但猜想这个界可以降到$\frac{2n} 3$ .此猜想仍未得到解决.他们还证明，如果$D$是一个锦标赛，即有向图，其中有一个弧之间的每对顶点，然后$γ^{LD}(D)\leq \lceil \frac{n}{2}\rceil$。本文的主要结果是将这一界推广到连通局部竞赛图，即连通有向图，其中每个顶点的内邻域和外邻域都诱导一个竞赛图.我们还证明了对于所有准孪生自由有向图$D$，$γ^{LD}(D)\leq \frac{2n} 3$允许一个监督点（从该点可到达任何一个点）。这类有向图推广了无孪生无圈图，这是已知这一界的最一般的一类。
2021-09-07 cs.DM math.CO
The competition number of a graph with exactly two holes
设D是无圈有向图。D的竞争图是具有与D相同的顶点集且在x和y之间有一条边的图当且仅当存在D中的顶点v使得（x，v）和（y，v）是D的弧。对任意图G，G加上足够多的孤立点是某个无圈有向图的竞争图。图G的竞争数k（G）是图G中孤立点的最小个数。图的洞是作为诱导子图的长度至少为4的圈。2005年，Kim [5]证明了具有h个洞的图的竞争数至多为h+1。虽然李和张[8]和金等人。[7]表明，她的猜想是正确的，当孔不重叠太多，它仍然是开放的情况下，孔共享边缘在一个任意的方式。为了共享一条边，一个图必须至少有两个洞，所以很自然地从一个恰好有两个洞的图开始。本文证明了这一猜想对这类图是成立的。
2009-09-29 math.CO
Turán problems for suspension of a balanced tree
本文基于Erdős-Sós猜想，确定了当$n\ge 4(4k)^6$时平衡树悬挂图的Turán数$\ex(n,\widehat{T})$的精确界，刻画了所有极图，并证明了一类分解族不含线性森林的图的Turán数。
2025-03-07 math.CO
Coloring Graphs with Forbidden Minors
Hadwiger在1943年提出的猜想指出，对于每一个整数$t\ge1$，每一个图都可以是$t$着色的，或者有一个子图可以在$t+1$的顶点上收缩为完全图。正如保罗·西摩在他最近对哈德维格猜想的调查中指出的那样，证明没有$K_7$子图的图是$6$ -可着色的是哈德维格猜想的第一个仍然开放的情况。目前还不知道没有$K_7$子图的图是否是$7$可着色的。利用Kempe-链的论证以及在独立数为2的图中，三个顶点上的诱导路是支配路的事实，我们首先给出了Albar和Gonçalves最近的一个结果的一个非常简短且无需计算机的证明，并将其推广到下一步，证明了每个没有$K_t$子图的图都是$(2t-6)$ -可着色的，其中$t\in\{7,8,9\}$ .证明了不含$K_8^-$子图的图是$9$ -可着色的，不含$K_8^=$子图的图是$8$ -可着色的.最后证明了如果$K_p$子图的极值函数的Mader界为真，则不含$K_p$子图的图对所有$p\ge5$都是$(2t-6)$ -可着色的.这意味着我们的第一个结果。我们相信，我们在本文中开发的肯普链方法是独立的利益。
2016-12-21 math.CO
R-connectivity Augmentation in Trees
连通图$G$的\emph{vertex separator}是将导致两个或更多个连通分量的顶点移除的集合，并且\emph{minimum vertex separator}是包含最小数量的这样的顶点的集合，即，该集合的基数在所有可能的顶点分隔符集合中是最小的。最小点分离子的基数是指图G的连通度。一个连通图被称为$k-connected$，如果从图中精确地移除$k$顶点$ k\geq 1$将导致两个或更多个连通分量，并且在移除任何$(k-1)$顶点时，图仍然是连通的。\emph{connectivity augmentation}集是一组边，当扩充到$k$ -连通图$G$时，$G$的连通性将增加$r$，$r \geq 1$，使图$connected$，而\emph{minimum connectivity augmentation}集是这样一个集，它包含增加$r$连通性所需的最小数量的边.在本文中，我们将研究树中的$r$ - $connectivity$扩充，$r \geq 2$。作为下界研究的一部分，我们证明了树中的任何最小$r$ -连通性增强集至少需要$ \lceil\frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{r-1} (r-i) \times l_{i} \rceil $边，其中$l_i$是度为$i$的顶点数。此外，我们将提出一个算法，将增加最小数量的边缘，使…
2016-08-05 cs.DM math.CO
The Gray graph is pseudo 2-factor isomorphic
Università degli Studi della Basilicata（巴西利卡塔大学）；KU Leuven Campus Kulak-Kortrijk（荷语鲁汶大学库尔阿克-科特赖克校区）；Ghent University（根特大学）
本文证明Gray图是伪2-因子同构猜想的反例，该图有54个顶点和8的圈长，是目前已知的第二大反例。通过计算机搜索验证了在特定圈长和顶点数范围内的反例不存在。
2026-05-07 cs.DM math.CO
The cover time, the blanket time, and the Matthews bound
图G的覆盖时间C是从最差顶点开始的随机游动覆盖G中所有顶点的期望时间。类似地，覆盖时间B是在固定分布所建议的恒定次数因子内访问所有顶点的预期时间。(Our定义会比这个稍微强一点）。显然，当图被覆盖时，所有顶点都被覆盖，因此C <= B。毯式时间是由Winkler和Zuckerman在马尔可夫估计和分布式计算中的应用而引入的。他们证明了B =O（C），并证明了B=O（C ln n）.本文利用Matthews定理引入了另一个参数M，证明了M/2 <= C <= B = O（（MLln ln n）^2）.因此，时间复杂度为O（n）。对于从平稳分布开始的覆盖时间C（π），下界仍然有效。我们还证明了存在一个多项式时间算法来在2倍内逼近M，并且在O（（ln ln n）^2）倍内逼近C，从而改进了Matthews的O（ln n）的上界。
2000-05-12 math.CO math.PR
Free Sets in Planar Graphs: History and Applications
本文综述了平面图中自由集的等价定义、大型自由集的存在性结果及其在图绘制中的应用，并列出了该活跃领域的未决问题。
2025-04-29 cs.CG cs.DM math.CO
On the total variation distance between the binomial random graph and the random intersection graph
当每个顶点被分配一个集合时，由集合生成的交图是其中两个不同顶点由一条边连接的图当且仅当它们的分配集合具有非空交。区间图是由实线中的区间生成的交图。弦图可以被认为是由树的子树生成的交图。1999年，Karoński、Scheinerman和Singer-Cohen [Combin Probab Comput 8（1999），131--159]通过随机分配集合引入了随机交图。随机交图$G(n,m;p)$具有$n$顶点，并且分配给顶点的集合被选择为独立同分布。- 大小为$m$的固定集合$M$的随机子集，其中$M$的每个元素独立于$M$中的所有其他元素，以概率$p$属于每个随机子集。Fill，Scheinerman和Singer-Cohen [Random Struct Algorithms 16（2000），156- 176]表明，如果$m=n^α$，$α>6$，则对于任何$0 \leq p=p(n) \leq 1$，随机图$G(n,m;p)$和Erdös-Rényi图$G(n,\hat{p})$之间的全变差距离趋于$0$，其中选择$\hat{p}$，使得两个图中的预期边数相同。本文证明了对任何$0 \leq p=p(n) \leq 1$，当$m \gg n^4$时，其全变差距离仍趋于$0$.
2017-02-10 math.CO math.PR
Finding Hamiltonian and Longest (s, t)-paths of C-shaped Supergrid Graphs in Linear Time
超格图是指无限图的有限点导出子图，其顶点集由平面上所有具有整数坐标的点组成，且其中两个顶点的x或y坐标之差不大于1时相邻.哈密尔顿路（圈）问题是确定一个图是否包含一个简单路（圈），其中图的每个顶点只出现一次。这个问题对于一般图是NP-完全的，对于一般超网格图也是NP-完全的。尽管该问题有许多应用，但它仍然是许多类开放的，包括固体超网格图和具有一些洞的超网格图。一个图称为哈密尔顿连通的，如果它包含任何两个不同的顶点之间的哈密尔顿路。本文首先研究了C形超格图的Hamilton圈性质，C形超格图是带矩形洞的矩形超格图的一个特例。接下来，我们将证明C形超网格图是Hamilton连通的，除了少数条件。最后，我们将计算这些图中两个不同顶点之间的最长路径。C形超网格图的Hamilton连通性可用于计算电脑绣花机的最优缝合轨迹，以及构造3D打印机打印类C形部件的最小打印轨迹。
2019-08-17 cs.CC cs.DM math.CO
The chromatic number of random Borsuk graphs
本文研究了顶点为$n$ i.i.d.的随机图模型。在$\mathbb{R}^{d+1}$中的单位球面$S^d$上的均匀随机点，并且如果一对顶点之间的欧几里德距离至少为$2- ε$，则它们是连通的。当$n$趋于无穷大时，我们对这个图的色数感兴趣.不难看出，如果$ε> 0$很小且固定，则色数是$d+2$的概率很高。我们表明，即使$ε\to 0$足够慢，这仍然成立。我们量化了$ε$可以趋于零并且仍然具有相同的色数的速率。证明依赖于结合拓扑方法（即Lyusternik-Schnirelman-Borsuk定理）与几何概率参数。我们得到的速率是最好的可能，直到一个常数因子-如果$ε\to 0$比这更快，我们表明，该图是$(d+1)$ -着色的概率很高。
2019-08-02 math.AT math.CO math.MG
Independent Sets of Random Trees and of Sparse Random Graphs
有限无向图$G$中的大小为$k$的独立集是图的$k$顶点的集合，其中没有两个顶点由边连接。令$x_{k}(G)$是图$G$中大小为$k$的独立集的数量，令$α(G)=\max\{k\geq0\colon x_{k}(G)\neq0\}$。1987年，Alavi、Malde、Schwenk和Erdös提出了一个问题：树的独立集序列$x_{0}(G),x_{1}(G),\ldots,x_{α(G)}(G)$是否是单峰的（序列先上升然后下降）。这个问题仍然悬而未决。2006年，Levit和Mandrescu证明了树的独立集序列的后三分之一是递减的。我们证明了随机树的独立集序列的前46.8%随着顶点数的无穷大以（指数）高概率增加.所以，Alavi、Malde、Schwenk和Erdös的问题是“五分之四正确”，概率很高。我们还表明单峰的独立集序列的Erdös-Renyi随机图，当一个单一的顶点的预期程度是大的（（指数）高概率的顶点数在图中走向无穷大，除了一个小区域附近的模式）。对随机正则图给出了一个较弱的结果。当$k$变化时，大小为$k$的独立集的结构在概率、统计物理、组合数学和计算机科学中是有意义的。
2020-06-08 cs.DM math-ph math.CO
Lower Bounds for Leaf Rank of Leaf Powers
本文构造了一族作为叶幂的根有向路径图，并借助 Rautenbach 子树模型证明其叶秩随顶点数指数增长，解决了 Brandstädt 等人的开放问题。
2024-02-28 cs.DM cs.DS math.CO
