Approximating Minimum Cost Connectivity Orientation and Augmentation
我们调查的问题，解决组合连接增强和方向设置。我们给出了一个多项式时间的6-近似算法，找到一个最小成本的子图的无向图$G$，承认一个方向覆盖一个非负交叉$G$ -超模需求函数，由弗兰克定义。一个重要的例子是$(k,\ell)$ -边连通性，它是全局边连通性和根边连通性的一个常见推广。我们的算法是基于一个非标准的应用程序的迭代舍入方法。我们观察到，标准的线性规划与切割约束是不适合的，并使用替代的线性规划与分区和共分区的约束。该证明需要一种新型的分区和共分区不交叉技术。我们还考虑了问题设置时，成本的边缘可以是不同的两个可能的方向。对于$k$边缘连接性的更简单要求，问题已经变得更加困难。Khanna，Naor和Shepherd证明了当$k=1$为整数时，自然线性规划的完整性缺口至多为$4$，并证明了对于所有固定的$k$，它是常数。我们通过证明一个$Ω(|V|)$完整性缺口来反驳这个猜想，即使当$k=2$。
2017-11-16 cs.DM cs.DS math.CO
On structural properties of trees with minimal atom-bond connectivity index
{ \em原子-键连接性（ABC）指数}是一种基于度的分子描述符，发现了化学应用。众所周知，在所有连通图中，具有最小ABC指数的图是树。具有最小$ABC$指标的树的完全刻画仍然是一个未解决的问题。本文给出了具有最小ABC指标的树的新的结构性质。我们的主要结果表明，树与最小的ABC指数不包含所谓的{ \em $B_k$ -分支}，与$k \geq 5$，他们不超过四个$B_4$ -分支。
2014-01-01 cs.DM math.CO
Supermodularity in Unweighted Graph Opitimization III: Highly-connected Digraphs
通过推广Hong，Liu和Lai关于简单强连通有向图的度序列的一个结果，给出了简单$k$ -结点连通有向图的度序列的一个刻画.更一般地说，我们解决了有向节点连接增强问题时，增强有向图是度指定的和简单的。在边连通度扩充方面，我们解决了边连通度增加1且扩充有向图必须是简单图的特殊情况。
2017-09-04 cs.DM math.CO
On structural properties of trees with minimal atom-bond connectivity index II
{ \em原子-键连接性（ABC）指数}是一种基于度的图拓扑指数，在化学领域有着广泛的应用。具有最小$ABC$指标的树的完全刻画问题至今仍是一个未解决的问题。在~ \cite{d-sptmabci-2014}中，证明了具有最小ABC指数的树不包含所谓的{ \em $B_k$ -分支}，具有$k \geq 5$，并且它们不具有多于四个的$B_4$ -分支。我们的主要结果揭示了$B_1$和$B_2$ -分支的数目也是由小的固定常数从上到下有界的。也就是说，我们表明，最小ABC指数的树不包含超过四个$B_1$ -分支和超过11个$B_2$ -分支。
2015-01-23 cs.DM math.CO
Efficient computation of trees with minimal atom-bond connectivity index
\em原子-键连接性（ABC）指数是最近研究最多的基于度的分子结构描述符之一，在化学中具有应用。对于图$G$，ABC指标定义为$\sum_{uv\in E(G)}\sqrt{\frac{(d(u) +d(v)-2)}{d(u)d(v)}}$，其中$d(u)$是$G$中顶点$u$的度，$E(G)$是$G$的边的集合。尽管在过去的几年里，它仍然是一个开放的问题，以最小$ABC$指数的树的特征。本文通过考虑树的度序列和具有最小$ABC$指标的图的一些已知性质，给出了一种计算具有最小ABC指标的树的有效方法.所得结果反驳了现有的一些公式，并提出了新的公式。
2013-10-04 cs.DM math.CO
Hypergraph Connectivity Augmentation in Strongly Polynomial Time
本文研究超图网络设计问题，证明某些此类问题存在超边数为顶点数多项式级别的解，并开发了强多项式时间算法，改进了先前伪多项式运行时间，同时推导出三个连通性增广问题的首个强多项式时间算法。
2024-02-16 cs.DM cs.DS
Structured Connectivity Augmentation
我们开始的算法研究以下的“结构化增强”的问题：是否有可能增加一个给定的图G的连接，通过叠加它与另一个给定的图H？更精确地说，图F是G和H关于内射映射V（H）->V（G）的叠加，如果F的每条边uv是G的一条边，或者是H的一条边，则F是G和H关于内射映射V（H）->V（G）的叠加。我们考虑以下优化问题。给定图G，H，以及一个赋予V（G）的顶点对非负权的权函数ω，我们的任务是找到最小权值ω（x）= \sum_{xy\in E(H)} ω（x）φ（y））的φ，使得G和H关于x的叠加F的边连通度高于G的边连通度.我们的主要结果是下面的“二分法”复杂性分类。我们称一类图C的点覆盖数有界，如果存在一个只依赖于C的常数t，使得C中的每个图的点覆盖数不超过t.本文证明了对每一类顶点覆盖数有界的图C，当H \in C.另一方面，对于任意顶点覆盖数无界的遗传类C，当H \in C.对于结构化增强问题的未加权变体，即任务是确定是否存在所需连通性的图的叠加的问题，我们提供了存在这种叠加的必要和充分组合条件。这些条件意味着多项式时间算法解决未加权的问题的变种。
2017-06-13 cs.DM cs.DS
On structural properties of trees with minimal atom-bond connectivity index IV: Solving a conjecture about the pendent paths of length three
原子-键连接性（ABC）指数是研究最多的基于度的分子结构描述符之一，具有多种化学应用。已知在所有连通图中，树最小化ABC指数。然而，一个完整的表征树与最小的ABC指数仍然是一个悬而未决的问题。到目前为止，已证明的性质之一是，具有最小ABC指数的树可能最多有一条长度为$3$的悬垂路径，并推测如果树的阶大于$1178$，则不可能是这种情况。在这里，我们提供了一个肯定的答案，加强版本的猜想，表明一棵树与最小的ABC指数不能包含一个悬垂路径长度$3$，如果它的顺序是大于$415$。
2017-06-26 cs.DM
Forbidden branches in trees with minimal atom-bond connectivity index
原子-键连接性指数是近年来化学图论中研究最活跃的基于顶点度的图不变量之一。对于给定的图$G$，ABC指数被定义为$\sum_{uv\in E}\sqrt{\frac{d(u) +d(v)-2}{d(u)d(v)}}$，其中$d(u)$是$G$中的顶点$u$的度，并且$E(G)$表示$G$的边的集合。在本文中，我们提出了一些新的结构性质的树与最小的ABC指数（也称为最小ABC树），这是一个步骤，进一步了解他们的完整表征。我们证明了最小ABC树不能同时包含一个$B_4$ -分支和$B_1$或$B_2$ -分支。
2017-06-27 cs.DM
Temporal Connectivity Augmentation
本文研究时间图中通过添加最少候选时间边实现时间连通的 TCA 问题，证明固定寿命下其 NP 完全性，并给出若干可多项式求解或 NP 难的变体。
2025-02-20 cs.DM
Hardness results on generalized connectivity
设$G$是一个非平凡的$n$阶连通图，$k$是一个具有$2\leq k\leq n$的整数.对于$G$的$k$顶点的集合$S$，令$κ(S)$表示$G$中的边不相交树$T_1,T_2,...,T_\ell$的最大数目$\ell$，使得对于具有$1\leq i,j\leq \ell$的每个不同整数对$i,j$，$V(T_i)\cap V(T_j)=S$。具有此属性的$G$中树的集合$\{T_1,T_2,...,T_\ell\}$称为连接$S$的树的内部不相交集。Chartrand等人将连通性的概念概括如下：$G$的$k$ - $connectivity$，用$κ_k(G)$表示，由$κ_k(G)=$ min $\{κ(S)\}$定义，其中最小值取在$V(G)$的所有$k$ -子集$S$上。因此，$κ_2(G)=κ(G)$，其中$κ(G)$是$G$的连通性，有多项式时间算法来解决它。首先，我们证明了对于两个固定的正整数$k_1$和$k_2$，给定一个图$G$和$V(G)$的一个$k_1$ -子集$S$，判定$G$是否包含连接$S$的$k_2$内部不交树的问题可以用一个多项式时间算法来解决.然后，我们表明，当$k_1$是一个固定的整数至少为4，但$k_2$是不是一个固定的整数，问题原来是NP-完全的。另一方面，当$k_2$是一个固定的整数至少为2，但$k_1$不是一个固定的整数，我们表明…
2010-05-04 cs.DM math.CO
Tangled up in Blue (A Survey on Connectivity, Decompositions, and Tangles)
我们调查的抽象理论的连接，对称子模集函数的基础上。我们首先发展罗伯逊和西摩的分支分解（相关的更知名的树分解）和所谓的缠结，这可能被视为高度连接的区域在连接系统之间的基本对偶。我们继续研究连通性系统到其最大缠结的规范分解。最后，但并非最不重要的，我们将讨论算法方面的理论。
2016-05-21 cs.DM math.CO
A Menger-like property of tree-cut width
在1990年，Thomas证明了每个图都有一个最小宽度的树分解，并且还满足一个称为leanness的顶点连通性条件[A Menger-like property of tree-width：The finite case. Journal of Combinatorial Theory，Series B，48（1）：67-76，1990]。这个结果有许多用途，并已推广到其他几个分解。在本文中，我们考虑树割分解，这已被引入Wollan作为树分解的一个可能的边版本[图的结构不承认一个固定的浸入。Journal of Combinatorial Theory，Series B，110：47-66，2015]。我们表明，每个图承认树切割分解的最小宽度，另外满足边连通性条件类似于托马斯的精益。
2020-12-14 cs.DM math.CO
The role of planarity in connectivity problems parameterized by treewidth
For some years it was believed that for "connectivity" problems such as Hamiltonian Cycle, algorithms running in time 2^{O(tw)}n^{O(1)} -called single-exponential- existed only on planar and other sparse graph classes, where tw stands for the treewidth of the n-vertex input graph. This was recently disproved by Cygan et al. [FOCS 2011], Bodlaender et al. [ICALP 2013], and Fomin et al. [SODA 2014], who provided single-exponential algorithms on general graphs for essentially all connectivity problems that were known to be solvable in single-exponential time on sparse graphs. In this article we f…
2013-12-10 cs.DM cs.DS math.CO
A New Perspective on Vertex Connectivity
边连通度和点连通度是图论中的两个基本概念。虽然到目前为止，基于图的边连通性对图的结构有了很好的理解，但我们在顶点连通性方面的知识要有限得多。在捕捉边连接的一个重要工具是边不相交的生成树。Tutte和Nash-Williams的著名结果表明，边连通的图$λ$包含$\floor{λ/2}$边不交生成树.我们提出了连接支配集（CDS）的划分和包装的工具，类似于边不相交的生成树，并帮助我们更好地掌握基于其顶点连通图的结构。CDS划分问题的目标是将图的节点划分为尽可能多的连通支配集。CDS包装问题是相应的分数松弛，其中CDS被允许重叠，只要通过分配适当的权重来补偿。CDS划分和CDS包装可以被看作是边不相交生成树的对应物，重点是顶点不相交而不是边不相交。我们构造性地证明了每一个具有$n$节点的$k$ -顶点连通图都有一个大小为$Ω(k/\log n)$的CDS填充和一个大小为$Ω(k/\log^5 n)$的CDS划分.我们证明了$Ω(k/\log n)$ CDS packing界是存在最优的。利用CDS填充，证明了如果$k$ -点连通图的顶点以概率$p$独立采样，则由采样点导出的图具有点连通性$\tildeΩ(kp^2)$ .此外，使用我们的$Ω(k/\log n)$ CDS包装，我们得到了一个存储和转发广播算法的最佳吞吐量的网络模型中，在每一轮，每个节点可以发送一个有限大小的消息到所有的邻…
2013-04-16 cs.DM cs.DS math.CO
Graph Sparsification by Edge-Connectivity and Random Spanning Trees
我们提出了新的方法来构建图稀疏--加权子图，其中每个切割具有相同的值作为原始图，高达一个因素的$(1 \pm ε)$。我们的第一种方法独立地采样每个边$uv$，其概率与$u$和$v$之间的边连接性成反比。这种方法产生稀疏因子的事实解决了Benczúr和Karger（2002）提出的一个问题。Hariharan和Panigrahi的同时工作也解决了这个问题。我们的第二种方法构造了一个稀疏形成几个均匀随机生成树的联盟。我们的两种方法都产生具有$O(n \log^2(n)/ε^2)$边的稀疏化器。我们的证明是基于Karger的收缩算法，这可能是独立的利益的扩展。
2010-08-09 cs.DM cs.DS
A $\frac{3}{2}$-Approximation Algorithm for Tree Augmentation via Chvátal-Gomory Cuts
加权树扩充问题（WTAP）是一个基本的网络设计问题。我们给出了一个无向树$G = (V,E)$，一个额外的一组边$L$称为链接和成本向量$c \in \mathbb{R}^L_{\geq 1}$。目标是选择最小成本子集$S \subseteq L$，使得$G = (V, E \cup S)$是$2$ -边缘连接的。在未加权的情况下，也就是说，当我们有$c_\ell = 1$为所有$\ell \in L$，问题被称为树扩增问题（TAP）。已知这两个问题都是APX困难的，最著名的近似因子是WTAP的$2$（Frederickson和JáJá，'81）和TAP的$\tfrac{3}{2}$（Kortsarz和Nutov，TALG '16）。在所有链路成本由恒定$M$限定的情况下，（Adjiashvili，SODA '17）最近给出了在此假设下WTAP的$\approx 1.96418+\varepsilon$近似算法。这是第一个比$2$有更好保证的近似，它不需要对树或链接的结构进行限制。在本文中，我们改进Adjiashvili的近似的$\frac{3}{2}+\varepsilon$ -近似的有界成本假设下的WTAP。我们实现这一点，通过引入一个强大的LP，结合$\{0,\frac{1}{2}\}$ -Chvátal-Gomory削减标准LP的问题，捆绑约束Adjiashvili。我们表…
2017-02-23 cs.DM
Solving weighted and counting variants of connectivity problems parameterized by treewidth deterministically in single exponential time
众所周知，对于图G=（V，E），给定树分解宽度为tw，许多局部图问题，如顶点覆盖和支配集，都可以在2^{O（tw）} |V| ^{O（1）}时间内得到解决.然而，对于非局部问题，比如连通性问题的基本类，很长一段时间我们不知道如何比tw^{O（tw）} |V| ^{O（1）}更快地完成这一过程。最近，Cygan等人（FOCS 2011）提出了一种用于在时间$c^{tw} |V| ^{O（1）}中运行的各种连通性问题的Monte Carlo算法，其中c是一个小常数，例如，哈密尔顿圈和斯坦纳树。当然，这就提出了一个问题，随机化是否是实现这个运行时所必需的;此外，还需要解决计数和加权版本（后者不会在权重方面产生伪多项式成本）。我们提出了两个新的方法植根于线性代数，矩阵秩和行列式的基础上，提供确定性c^{tw} |V| ^{O（1）}时间算法，也为加权和计数版本。例如，在这段时间里，我们可以解决旅行推销员问题或计算哈密尔顿圈的数量。基于秩的思想提供了一个相当普遍的方法，通过确定“小”集的代表性部分解决方案，以加快甚至直接的动态规划配方，我们专注于通过分区集表示连接的情况下，但基本的想法应该有进一步的应用。基于行列式的方法使用矩阵树定理推导出封闭的公式计算版本的连通性问题，我们展示了如何通过动态规划来评估这些公式。
2012-11-07 cs.CC cs.DM cs.DS
On the complexity of the vector connectivity problem
我们研究一个放松的向量支配问题称为向量连通性（VecCon）。给定一个图$G$，每个顶点$v$都有一个要求$r(v)$，VecCon要求顶点的最小基数集$S$，使得每个顶点$v\in V\setminus S$都通过$r(v)$不相交的路径连接到$S$。在介绍该问题的论文中，Boros等人[Networks，2014]给出了树、上图和分裂图中VecCon的多项式时间解，并表明该问题可以在$n$ -顶点图上的多项式时间内近似为$\log n+2$的因子，留下了问题在一般图上是否是NP困难的问题。我们证明了VecCon在一般图中是APX-硬的，在平面二部图和平面线图中是NP-硬的。我们还通过解决块图的问题推广了树的多项式结果。
2014-12-08 cs.CC cs.DM math.CO
Bounded indegree $k$-forests problem and a faster algorithm for directed graph augmentation
针对有向图，提出有界入度k-森林问题的极小极大刻画及O(kδm log n)算法，并利用其将边连通度增广问题复杂度从O(kδ(m+δn)log n)改进至O(kδm log n)，无向版本同样适用。
2025-10-15 cs.DM cs.DS math.CO
Flexible Graph Connectivity: Approximating Network Design Problems Between 1- and 2-connectivity
图的连通性和网络设计问题是组合优化中最基本的问题之一。最小生成树问题，两个边连接的生成子图问题（2-ECSS）和树增强问题（TAP）都是基本的网络设计任务的例子，假设不同的初始状态的网络和不同的假设网络组件的可靠性。在本文中，我们激励和研究\emph{Flexible Graph Connectivity}（FGC），一个问题，混合在一起的建模能力和所有上述问题的复杂性和更多。简而言之，FGC要求设计一个连接的网络，同时允许为各个边缘指定不同的可靠性级别。虽然这个问题的非均匀性使得它从建模的角度来看很有吸引力，但它也使得大多数现有的用于处理网络设计问题的算法工具不适合近似FGC。在本文中，我们开发了一个通用的算法方法近似FGC，产生近似算法的比率是非常接近的最佳已知的界限，许多特殊情况下，如2-ECSS和TAP。我们的算法和分析结合了各种技术，包括一个权重缩放算法，收费参数，使用一个变量的交换双射之间的生成树和一个因素，揭示最小-最大-最小优化问题。
2020-01-13 cs.DM cs.DS
Minimum Labelling bi-Connectivity
标号无向图是一个图，它的边被指定了来自特定集合的标号。给定一个有标号的无向图，著名的最小标号生成树问题的目的是找到具有最小标号集的图的生成树。这个组合问题，这是NP-困难的，也可以制定为给最少数量的标签，提供单一的连接之间的所有顶点的图。在这里，我们考虑的问题，而不是找到最小的一组标签，提供双向连接之间的所有顶点的图。一个图是双连通的，如果有至少两个不相交的道路连接每对顶点。我们考虑两个双连通性的概念：边双连通性，这些路径不能有一个共同的边缘和顶点双连通性的路径不能有一个共同的顶点。我们描述了我们对这个问题的初步调查，并提供了目前发展的问题的解决方案的细节。
2018-07-02 cs.DM
Survivable Network Design for Group Connectivity in Low-Treewidth Graphs
在群Steiner树问题（GST）中，我们给出了一个关于$n$个顶点的（点或边）赋权图$G=(V,E)$，一个根顶点$r$和一个群集合$\{S_i\}_{i\in[h]}: S_i\subseteq V(G)$ .目标是找到一个将根连接到每个组的最小成本子图$H$。我们认为GST的容错变种，我们称之为限制（根）组SNDP。在该设置中，每个组$S_i$具有需求$k_i\in[k],k\in\mathbb N$，并且我们希望找到最小成本$H\subseteq G$，使得对于每个组$S_i$，在$S_i$中存在经由$k_i$（顶点或边）不相交路径连接到根的顶点。虽然GST允许$O(\log^2 n\log h)$近似，但其高连接性变体是标签覆盖硬的，并且对于顶点加权版本，即使当$k=2$时，硬度也保持不变。以前，当$k=2$ [Gupta et al.，SODA 2010; Khandekar等人，Theor. Comput.科学，2012]以及对于不相交路径可以在组中的不同顶点处结束的松弛变体[Chalermsook等人，SODA 2015]。我们的主要结果是一个$O(\log n\log h)$近似的限制群SNDP运行在时间$n^{f(k, w)}$，其中$w$是$G$的树宽。当$k$和$w$恒定时，这几乎与下限匹配。实现该结果的关键是对[Chalermsook等人，SODA 201…
2018-02-28 cs.DM cs.DS
