On the $L^2$-norm of Gegenbauer polynomials
Damir Ferizović
盖根鲍尔多项式又称超球面多项式，常出现在数值分析或插值中。在本文中，我们找到了一个递归公式，并计算其$L^2$ -范数的渐近行为。
Gegenbauer, also known as ultra-spherical polynomials appear often in numerical analysis or interpolation. In the present text we find a recursive formula and compute the asymptotic behavior for their $L^2$-norm.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On the asymptotic behavior of the maximum absolute value of generalized Gegenbauer polynomials
利用雅可比多项式的一些已知事实，得到了广义Gegenbauer多项式的最大绝对值的一些渐近估计。
Generalizations and specializations of generating functions for Jacobi, Gegenbauer, Chebyshev and Legendre polynomials with definite integrals
本文推广和特殊化了经典正交多项式的生成函数，即Jacobi、Gegenbauer、Chebyshev和勒让德多项式。通过推广雅可比多项式的二元生成函数序列，得到了Gegenbauer多项式生成函数的一个推广。生成函数的特殊化是通过高斯超几何函数用不太一般的函数重新表示来完成的。给出了与所提出的正交多项式级数展开式相对应的定积分。
Algebraic Generating Functions for Gegenbauer Polynomials
它表明，几个布拉夫曼的生成函数的Gegenbauer多项式的代数函数的参数，如果Gegenbauer参数不同于整数的四分之一或六分之一。给出了两个例子，这来自最近导出的表达式与八面体或四面体单值性相关的勒让德函数。它还表明，如果Gegenbauer参数限制如所述，泊松核的Gegenbauer多项式可以表示在完全的椭圆积分。给出了一个实例。
Exceptional Gegenbauer polynomials via isospectral deformation
给出了构造经典正交多项式等谱变形的一种方法。该构造基于合流达布变换，并且它允许构造具有任意数量的连续参数的多项式特征函数的Sturm-Liouville问题。我们建议把这些新的正交多项式系统称为\emph{exceptional polynomials of the second kind}。我们说明了这一建设通过描述类的例外Gegenbauer多项式的第二类。
On the relation between Gegenbauer polynomials and the Ferrers function of the first kind
利用Gegenbauer多项式和第一类费勒斯函数之间的直接关系，我们计算了某些雅可比多项式、Meixner多项式和第一类费勒斯函数之间的相互关系。然后，我们计算Rodrigues型和正交关系的第一和第二类费勒斯函数。在本文的其余部分中，利用盖根堡多项式和第一类费勒斯函数之间的关系，我们导出了连接和线性化关系，一些定积分和级数展开式，一些Mehler-Heine型的渐近展开，Christoffel-Darboux求和公式和无穷级数闭合关系（Dirac δ分布）。
Matrix-valued Gegenbauer polynomials
我们引入任意大小的矩阵值的权函数，这是类似的Gegenbauer或超球多项式的参数$ν>0$的权重函数。的LDU分解的重量是明确的Gegenbauer多项式。我们建立了一个矩阵值皮尔逊方程，这些矩阵的权重，导致明确的移位算子的权重参数$ν$和$ν+1$。皮尔逊方程的矩阵系数是使用对称微分算子交换代数中的特殊矩阵值微分算子获得的。相应的正交多项式是矩阵值Gegenbauer多项式，它是对称矩阵值微分算子的本征函数。使用移位算子，我们找到平方范数，我们建立一个简单的罗德里格斯公式。三项递推关系也是使用移位算子显式地得到的。利用LDU-分解和微分算子，给出了矩阵值Gegenbauer多项式的矩阵元以标量值Gegenbauer多项式和Racah多项式表示的显式非平凡表达式. $ν=1$的情况下减少到矩阵值的切比雪夫多项式先前获得使用群论的考虑。
Asymptotic of the terms of the Gegenbauer polynomial on the unit circle and applications to the inverse of Toeplitz matrices
本文第一部分研究了圆上关于$f_α(θ) = (2\cos θ- 2\cos θ_0)^{2α} c_1$型权的正交多项式，其中$θ_0 \in ]0,π[$，-1/2 <α<1/2，c_1是充分光滑函数。在本文的第二部分中，我们得到了一个渐近的条目$(T_N f_α)^{-1}_{k+1,l+1}$足够大的值$k,l$，这提供了一个下界上的特征值的矩阵。
Weighted $L^2$-Norms of Gegenbauer polynomials
我们研究\begin{equation*} \int_{-1}^1(C_n^{(λ)}(x))^2(1-x)^α(1+x)^β\, dx, \end{equation*}形式的积分，其中$C_n^{(λ)}$表示指数为$λ>0$和$α,β>-1$的盖根堡多项式。我们给出了积分及其母函数的精确公式，并得到了渐近公式$n\to\infty$。
Differential operator for discrete Gegenbauer--Sobolev orthogonal polynomials: eigenvalues and asymptotics
我们考虑以下离散Sobolev内积涉及Gegenbauer权重$$(f,g)_S:=\int_{-1}^1f(x)g(x)(1-x^2)^αdx+M\big[f^{(j)}(-1)g^{(j)}(-1)+f^{(j)}(1)g^{(j)}(1)\big],$$其中$α>-1,$ $j\in \mathbb{N}\cup \{0\},$和$M>0.$令$\{Q_n^{(α,M,j)}\}_{n\geq0}$是关于上述内积的正交多项式的序列。这些多项式是微分算子$\mathbf{T}. $的本征函数。此外，我们还计算了精确值$$r_0 = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\log \left(\max_{x\in [-1,1]} |\widetilde{Q}_n^{(α,M,j)}(x)|\right)}{\log \widetildeλ_n},$$，其中$\{\widetilde{Q}_n^{(α,M,j)}\}_{n\geq0}$是关于该Sobolev内积的正交多项式序列。这个值$r_0$与左定空间中的级数的收敛有关。最后，我们研究了$\{Q_n^{(α,M,j)}\}_{n\geq0}.$的Mehler-Heine型渐近性
On a Theorem by Bojanov and Naidenov applied to families of Gegenbauer-Sobolev polynomials
令$\{Q^{(α)}_{n,λ}\}_{n\geq 0}$是关于Gegenbauer-Sobolev内积$$\langle f,g\rangle_{S}:=\int_{-1}^{1}f(x)g(x)(1-x^{2})^{α-\frac{1}{2}}dx+λ\int_{-1}^{1}f'(x)g'(x)(1-x^{2})^{α-\frac{1}{2}} dx,$$的一元正交多项式序列，其中$α>-\frac{1}{2}$和$λ\geq 0$。在本文中，我们使用了B.D. Bojanov和N. Najanov的\cite{BN2010}，以研究$[-M_{n,λ}, M_{n,λ}]$中$k$的th导数$\frac{d^k}{dx^k}Q^{(α)}_{n,λ}$的局部极值的最大化，其中$M_{n,λ}$是使得多项式$Q^{(α)}_{n,λ}$的所有零包含在$[-M_{n,λ}, M_{n,λ}]$中并且函数$\left|Q^{(α)}_{n,λ}\right|$在这样的区间的端点处达到其最大值的合适值。最后给出了一些数值例子。
Uniform asymptotic expansions for Gegenbauer polynomials and related functions via differential equations having a simple pole
本文利用具有简单极点的微分方程，为大阶数盖根鲍尔多项式推导了在无界复自变量上一致有效且含初等函数显式误差界的高精度渐近展开式。
Hermite and Gegenbauer polynomials in superspace using Clifford analysis
将标准Clifford分析中的Clifford-Hermite多项式和Clifford-Gegenbauer多项式仅以象征性的方式推广到超空间Clifford分析的新框架中。这意味着人们并不先验地需要超空间中的积分理论。并证明了它的正交关系、微分方程和递推公式等基本性质。最后，讨论了超Clifford-Hermite多项式的一个有趣的物理应用，从而给出了超维数的一个解释。
Some Ultraspheroidal Monogenic Clifford Gegenbauer Jacobi Polynomials and Associated Wavelets
本文在Clifford分析的框架下提出了一类新的小波函数。首先，给出了几类基于两参数权函数的正交多项式。当放松其中一个参数时，这样的类englobe著名的Jacobi和Gegenbauer多项式。所发现的多项式集接下来被应用于引入新的小波函数。重建公式以及Fourier-Plancherel规则已被证明。
On the Markov inequality in the $L_2$-norm with the Gegenbauer weight
令$w_λ(t) := (1-t^2)^{λ-1/2}$，其中$λ> -\frac{1}{2}$，是Gegenbauer权函数，令$\|\cdot\|_{w_λ}$是相关的$L_2$ -范数，$$ \|f\|_{w_λ} = \left\{\int_{-1}^1 |f(x)|^2 w_λ(x)\,dx\right\}^{1/2}\,, $$，并且用$\mathcal{P}_n$表示次数为$\le n$的代数多项式的空间。我们研究了马尔可夫不等式中的最佳常数$c_n(λ)$，在这个范数$$ \|p_n'\|_{w_λ} \le c_n(λ) \|p_n\|_{w_λ}\,,\qquad p_n \in \mathcal{P}_n\,, $$中，即常数$$ c_n(λ) := \sup_{p_n \in \mathcal{P}_n} \frac{\|p_n'\|_{w_λ}}{\|p_n\|_{w_λ}}\,. $$。我们导出了马尔可夫常数$c_n(λ)$的明确的上下界，它们对所有$n$和$λ$都有效。
On the Markov inequality in the $L_2$-norm with Gegenbauer weight
令$w_λ(t)=(1-t^2)^{λ-1/2}$、$λ>-1/2$是Gegenbauer权重函数，并且$\Vert\cdot\Vert$表示相关联的$L_2$范数，即，$$ \Vert f\Vert:=\Big(\int_{-1}^{1}w_λ(t)\vert f(t)\vert^2\,dt\Big)^{1/2}. $$用$\mathcal{P}_n$表示次数不超过$n$的代数多项式的集合。我们学习最好的（即，证明了马尔可夫不等式$$ \Vert p^{\prime}\Vert\leq c_{n,λ}\,\Vert p\Vert,\qquad p\in \mathcal{P}_n, $$中的最小常数$c_{n,λ}$，并证明了$$ c_{n,λ}< \frac{(n+1)(n+2λ+1)}{2\sqrt{2λ+1}},\qquad λ>-1/2\,. $$.此外，我们还证明了该不等式中的极值多项式是偶数还是奇数取决于$n$是偶数还是奇数.
Clifford-Gegenbauer polynomials related to the Dunkl Dirac operator
我们在Dunkl算子的框架中引入所谓的Clifford-Gegenbauer多项式，在单位球B（1）上也是如此，在欧几里得空间$R^m$上也是如此。在这两种情况下，我们得到了这些多项式的几个性质，如Rodrigues公式，微分方程和一个明确的关系，连接它们与雅可比多项式在实数线上。与经典Clifford情形一样，$R^m$上多项式的正交性必须以与B（1）上对应多项式的正交性完全不同的方式处理。在$R^m$的情况下，它必须用双线性型而不是积分来表示。本文进一步发展了Dunkl单演理论。
On a generalization of the generating function for Gegenbauer polynomials
介绍了Gegenbauer多项式的生成函数的一个推广，其系数由第二类Legendre函数给出。我们讨论了我们的扩展代表了几个以前推导出的公式，如海涅的公式和海涅的倒数平方根身份的推广。我们还展示了如何使用这种扩展来计算幂律基本解的多谐方程的超球谐展开。
Orthogonal expansions for generalized Gegenbauer weight function on the unit ball
研究了$\mathbb{R}^d$的单位球上的权函数$h_κ^2(x) \|x\|^{2ν} (1-\|x\|^2)^{μ-1/2}$的正交多项式和展开式，其中$h_κ$是反射不变函数，以及$\mathbb{R}^d$的单形上的相关权函数的正交多项式和展开式.导出了正交子空间再生核的一个简明公式，并利用它研究了Fourier正交展开式的可和性。
Information entropy of Gegenbauer polynomials of integer parameter
具有中心势的$D$维量子系统（如各向同性谐振子和氢原子）的位置和动量信息熵依赖于（超）球谐函数的熵.反过来，这些熵用盖根鲍尔（超球面）多项式$C_n^{(λ)}(x)$的熵表示，参数$λ$是整数或半整数。然而，到目前为止，任意次的Gegenbauer多项式$n$的熵的精确解析表达式仅针对参数$λ=0,1,2$的特定值获得。在这里，我们提出了一种新的方法来评估信息熵的Gegenbauer多项式，它利用三角表示这些多项式和复杂的集成技术。使用这种方法，我们能够找到任意值的$n$和$λ\in\mathbb{N}$的熵的解析表达式。
Mutually inverse series relating Ferrers and associated Legendre functions and generating functions pertaining to them
本文利用超几何及广义超几何多项式的生成函数，建立联系任意复指标 Ferrers 函数与连带 Legendre 函数的三类互反级数，并给出相关多项式的高阶渐近式及新连接公式。
On Gegenbauer Point Processes on the unit interval
本文计算了单位区间$[-1,1]$内不同Gegenbauer行列式点过程中点的对数能量。我们检验了所有不同的Gegenbauer多项式族在三阶时产生相同的渐近结果，精确地计算了切比雪夫多项式的值，并给出了最小可能对数能量的封闭表达式.比较表明，DPP不能匹配的最小值超过第三渐近项。
On Gegenbauer polynomials and Wronskian determinants of trigonometric functions
本文推广Larsen关于正弦函数Wronskian行列式的结果，证明其可用Gegenbauer正交多项式表示，并给出基于递推关系和Darboux-Crum变换的两种证明。
Fourier, Gegenbauer and Jacobi Expansions for a Power-Law Fundamental Solution of the Polyharmonic Equation and Polyspherical Addition Theorems
我们开发复杂的Jacobi，Gegenbauer和Chebyshev多项式展开的核与幂律基本解的多重调和方程的d维欧氏空间。从这些系列表示，我们得到傅立叶展开在某些旋转不变的坐标系和Gegenbauer多项式展开Vilenkin的多球坐标系。我们比较这两个扩展生成的方位角傅立叶系数的加法定理。
Radon Transform on spheres and generalized Bessel function associated with dihedral groups
受Dunkl算子理论的启发，我们考虑一个包含修正Bessel函数和Gegenbauer多项式的生成级数，它推广了L.盖根鲍尔。当Gegenbauer多项式的参数为严格的正整数时，我们实际上使用Fourier和Radon变换的反演公式来推导这个级数的闭公式。作为副产品，我们得到了偶二面体群的广义Bessel函数在重数和为整数时的一个相对简单的整表示。特别是，我们恢复以前的结果得到的平方对称性保持组，我们给一个特殊的兴趣的六边形。本文是关闭适应我们的方法，以奇数二面体群，从而耗尽列表Weyl二面体群。
Some integrals and series involving the Gegenbauer polynomials and the Legendre functions on the cut (-1,1)
我们使用Cohl [arXiv：1105.2735]的最新发现并评估涉及Gegenbauer多项式的两个积分：$\int_{-1}^{x}\mathrm{d}t\:(1-t^{2})^{λ-1/2}(x-t)^{-κ-1/2}C_{n}^λ(t)$和$\int_{x}^{1}\mathrm{d}t\:(1-t^{2})^{λ-1/2}(t-x)^{-κ-1/2}C_{n}^λ(t)$，两者都具有$\Realλ>-1/2$、$\Realκ<1/2$、$-1<x<1$。结果表示在切割相关的勒让德函数$P_{n+λ-1/2}^{κ-λ}(\pm x)$和$Q_{n+λ-1/2}^{κ-λ}(x)$。此外，我们发现封闭形式表示的系列$\sum_{n=0}^{\infty}(\pm)^{n}[(n+λ)/λ]P_{n+λ-1/2}^{κ-λ}(\pm x)C_{n}^λ(t)$和$\sum_{n=0}^{\infty}(\pm)^{n}[(n+λ)/λ]Q_{n+λ-1/2}^{κ-λ}(\pm x)C_{n}^λ(t)$，都与$\Realλ>-1/2$，$\Realκ<1/2$，$-1<t<1$，$-1<x<1$。
Romanovski polynomials, Gegenbauer connections, and $\mathrm{su}(1,1)$ ladder structures
该研究探讨罗马诺夫斯基多项式的参数构造、与盖根鲍尔多项式的联系及su(1,1)梯级结构，推导相关递推关系与算子性质，为其模结构分析提供支撑。
Fundamental Solutions and Gegenbauer Expansions of Helmholtz Operators in Riemannian Spaces of Constant Curvature
本文研究了Helmholtz算子$\big({-}Δ\pmβ^2\big)$在$d$ -维、$R$ -半径双曲${\mathbf H}_R^d$和超球${\mathbf S}_R^d$几何中的振动和阻尼球对称基本解的整体和局部性质，这些几何分别表示具有正常截面曲率和负常截面曲率的黎曼流形.特别是，我们计算${\mathbf H}_R^d$上的$\big({-}Δ\pm β^2\big)$的基本解的封闭形式的表达式，${\mathbf S}_R^d$上的$\big({-}Δ+β^2\big)$，并提出了两个候选基本解的$\big({-}Δ-β^2\big)$的${\mathbf S}_R^d$。平坦空间的限制，其相应的渐近表示，用于限制这些基本解的比例常数。为了实现这一点，我们总结并推导出新的大程度的渐近相关联的勒让德和费勒斯功能的第一和第二类。此外，我们还证明了我们在双曲面上的基本解是唯一的，因为它们在无穷远处衰减。为了得到超球面和双曲面上Helmholtz算子的基本解的Gegenbauer多项式展开式，我们得到了Ferrers和相关Legendre函数的无穷级数加法定理，它们是Gegenbauer多项式加法定理的推广和扩展.使用这些附加定理，在测地极坐标的尺寸大于或等于3，我们计算Gegenbauer多项式展开这些基本解，方位傅立叶展开在二维。
A note on parameter derivatives of classical orthogonal polynomials
计算了$\partial P_{n}(λ;z)}/\partialλ=\sum_{k=0}^{n}a_{nk}(λ)P_{k}(λ;z)$形式展开式中的系数，其中$P_{n}(λ;z)$是变量$z$的第$n$经典（广义Laguerre、Gegenbauer或Jacobi）正交多项式，$λ$是参数。本文所采用的方法与Fröhlich [积分变换Spec.Funct. 2（1994）253]和Koepf [积分变换Spec.Funct. 5（1997）69]的广义Laguerre和Gegenbauer多项式。
Properties of Clifford Legendre Polynomials
Clifford-Legendre多项式和Clifford-Gegenbauer多项式是某些微分算子的本征函数，这些微分算子作用于定义在$m$维欧几里得空间${\mathbb R}^m$上的函数，并且在相关的Clifford代数${\mathbb R}_m$中取值。在计算这些多项式的傅里叶变换时，证明了新的递推公式和Bonnet型公式。明确表示在球面单基因和雅可比多项式，后果包括交错的零。在$m=2$的情况下，我们描述了偶数和奇数索引多项式之间的退化。
Orthogonal polynomial projection error measured in Sobolev norms in the unit ball
本文研究了单位球上有界次数多项式空间上的加权$L^2$ -正交投影算子的逼近性质，其中权为广义Gegenbauer形式$x \mapsto (1-\|x\|^2)^α$，$α> -1$ .所述性质在Sobolev型范数中测量，其中相同的加权$L^2$范数用于控制所有涉及的弱导数。证明的方法不依赖于任何特定的基础正交多项式，这允许一个简短的，精简的和维度无关的阐述。
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