Matrix biorthogonal polynomials on the unit circle and non-Abelian Ablowitz-Ladik hierarchy
Adler和van Moerbeke \cite{AVM}描述了称为Toeplitz格的2D-Toda层次的约化。这个层次原来是等效的Ablowitz和Ladik \cite{AL}使用半离散零曲率方程最初描述的。在本文中，我们得到了原来的半离散零曲率方程直接从Toeplitz格，我们推广这些计算矩阵的情况下。这种推广使我们的半离散零曲率方程的非阿贝尔（或多分量）版本的Ablowitz-Ladik方程\cite{GI}。这样，我们将单位圆上的双正交多项式与Ablowitz-Ladik族之间的联系推广到矩阵情形。
2009-08-24 math-ph math.CA math.MP
Asymptotics for Toeplitz determinants: perturbation of symbols with a gap
我们研究的决定因素的Toeplitz矩阵的矩阵的大小趋于无穷大，在特定的情况下，符号有两个跳跃的不连续性，并趋于零的单位圆的弧在一个足够快的速度。我们推广了Widom [22]的渐近展开式，该展开式已知用于弧上支持的符号。我们突出应用我们的结果在圆酉包络和研究Fredholm行列式与正弦内核。
2015-02-25 math-ph math.CA math.CV
Modulated Bi-orthogonal Polynomials on the Unit Circle: The $2j-k$ and $j-2k$ Systems
本文构造了单位圆上的双正交多项式组，其中矩行列式的Toeplitz结构用$ \det(w_{2j-k})_{0\leq j,k \leq N-1} $代替，相应的范德蒙模平方用$ \prod_{1 \le j < k \le N}(ζ^{2}_k - ζ^{2}_j)(ζ^{-1}_k - ζ^{-1}_j) $代替.这是$pj-qk$与$p,q$互质整数的一般系统的最简单情况。我们得到类似的结构众所周知的Toeplitz的情况下：三阶递归关系，行列式和多重积分表示，其再生核和Christoffel-Darboux和，以及相关的（Carath {é} odory）功能。我们关闭的系统定义的简单重量$ w(ζ)=e^ζ$，这是一个专门化的权重所产生的平均值的矩的导数的特征多项式超过$USp(2N)$，$SO(2N)$和$O^-(2N)$的完整的明确的细节。
2021-07-20 math-ph math.CA math.MP
Relative Szegő asymptotics for Toeplitz determinants
研究了单位圆上测度$μ$与充分光滑函数$h$定义的Toeplitz行列式$D_n(e^h dμ)/D_n(dμ)$之比的渐近性质.我们遵循的方法是基于正交多项式的理论。我们证明了二阶渐近依赖于$h$和只有几个Verblunsky系数相关的$μ$。因此，我们建立了一个相对版本的强SzegIgn极限定理的广泛的一类措施$μ$的本质支持在一个单一的弧。特别地，这允许测量在弧内或弧外具有奇异分量。
2017-09-06 math-ph math.CA math.MP
Discrete Painlevé equations, Orthogonal Polynomials on the Unit Circle and N-recurrences for averages over U(N) -- \PIIIa and \PV $τ$-functions
在这项工作中，我们表明，$ N\times N $ Toeplitz行列式的符号$ z^μ\exp(-{1/2}\sqrt{t}(z+1/z)) $和$ (1+z)^μ(1+1/z)^ν\exp(tz) $ -已知的$τ$ -功能的\PIIIa和\PV系统-其特征在于非线性递归的反射系数的相应的正交多项式系统的单位圆。结果表明，这些递推关系完全等价于与有理曲面$ D^{(1)}_{6} \to E^{(1)}_{7} $（离散Painlevé { \rm II}）和$ D^{(1)}_{5} \to E^{(1)}_{6} $（离散Painlevé { \rm IV}）退化相关的离散潘勒韦方程.此外，它示出的差分方程推导的方法的基础上的Toeplitz格和Virasoro的约束，减少时，为了精确求和，相当于我们的递归。分别给出了反射系数的广义超几何函数$ {{}^{\vphantom{(1)}}_0}F^{(1)}_1, {{}^{\vphantom{(1)}}_1}F^{(1)}_1 $的表达式。
2003-05-14 math-ph math.CA math.MP
The $2j-k$ and $j-2k$ Bi-orthogonal Polynomials on the Unit Circle: Further Properties and Riemann-Hilbert Characterizations
University of California Santa Cruz（加利福尼亚大学圣克鲁兹分校）；Victoria University of Wellington（惠灵顿维多利亚大学）
本文推导了$2j-k$和$j-2k$双正交多项式系统的简化统一递推关系、更清晰的Christoffel-Darboux公式，并给出了Riemann-Hilbert刻画。
2026-07-02 math.CA
Toeplitz determinants with merging singularities
研究了单位圆上两个Fisher-Hartwig奇点在$2t\ge0$之间的距离上的符号所对应的$n\times n$ Toeplitz矩阵行列式的渐近性质.我们得到了大的$n$渐近性是一致的$0<t<t_0$，其中$t_0$是固定的。他们描述的过渡为$t\to 0$之间的渐近制度的2个奇点和1个奇点。渐近性涉及Painlevé V方程的特定解。我们得到了这个解决方案的小和大的参数扩展。作为应用，我们证明了Dyson关于一维玻色气体基态最大占据数的一个猜想，以及Fyodorov和Keating关于随机矩阵的特征多项式的幂次二阶矩的一个猜想.
2022-11-24 math-ph math.CA math.CV
Orthogonal Laurent polynomials in unit circle, extended CMV ordering and 2D Toda type integrable hierarchies
利用支持在单位圆上的复拟定测度构造的Cantero-Moral-Velazquez矩矩阵的Gauss-Borel分解，将单位圆上的正交Laurent多项式与Toda-like可积系统理论联系起来.通过矩量矩阵的因式分解，得到了单位圆内的正交Laurent多项式和相应的第二类函数。在这个观点下，以完全代数的方法得到了Jacobi算子、5项递归关系和投影到特定截断Laurent多项式空间的Christoffel-Darboux核以及相应的Christoffel-Darboux公式.推广了Laurent单项式的Cantero-Moral-Velazquez序列，并在此基础上得到了递归关系、Christoffel-Darboux核、投影到一般截断Laurent多项式空间的关系以及相应的Christoffel-Darboux公式.连续变形的时刻矩阵的介绍，并示出它们如何诱导一个依赖于时间的正交性问题有关的Toda型可积系统，这是众所周知的Toeplitz格。利用经典的可积性理论工具得到了Lax方程和Zakharov-Shabat方程。明确地导出了与正交Laurent多项式的系数相关联的动力系统，并与经典的Toeplitz格动力系统在正测度下的SzegIgn多项式的Verblunsky系数进行了比较.离散流的介绍和达布变换。最后，利用Miwa移位的形式，给出了正交Laurent多项式（及其第二…
2012-02-14 math-ph math.CA math.MP
An extremal problem for functions annihilated by a Toeplitz operator
对于单位圆$\mathbb T$上的有界函数$φ$，设$T_φ$是Hardy空间$H^2$上的Toeplitz算子。假设内核$$K_2(φ):=\{f\in H^2:\,T_φf=0\}$$是非平凡的。给定$K_2(φ)$中的单位范数函数$f$，我们问$|f|^2=\frac12\left(|f_1|^2+|f_2|^2\right)$形式的恒等式是否可以保持a.e.对于某些$f_1,f_2\in K_2(φ)$，在$\mathbb T$上，既有范数$1$，又有使得$|f_1|\ne|f_2|$在一个正测度集上的情形。然后，我们表明，这样的分解是可能的，当且仅当$f$或$\overline{zφf}$有一个非平凡的内部因素。的证明依赖于一个内在的特性的模的功能$K_2(φ)$，结果，我们也扩展到$K_p(φ)$（核心的$T_φ$在$H^p$）与$1\le p\le\infty$。
2021-04-29 math.CA math.CV math.FA
Lommel polynomials and explicitly solvable prediction problems on the unit circle
University of North Carolina at Charlotte（北卡罗来纳大学夏洛特分校）
该研究将实轴上的对称测度σ关联到单位圆测度μ，利用σ的正交多项式数据表示μ的预测相关量，结合洛梅尔多项式测度构造出具有归一化行列式极限的两参数纯原子圆测度族。
2026-08-14 math.CA
Asymptotics of orthogonal polynomials with respect to an analytic weight with algebraic singularities on the circle
单位圆上正交多项式关于$$ W(z) = w(z) \prod_{k=1}^m |z-a_k|^{2β_k}, \quad |z|=1, \quad |a_k|=1, \quad β_k>-1/2, \quad k=1, ..., m, $$形式的权的强渐近性，其中$w(z)>0$对于$|z|=1$，并且可以作为全纯非零函数推广到包含单位圆的环上.所得公式在整个复平面上一致有效。因此，我们得到了关于这些多项式的零点分布，它们的前导系数和Verblunsky系数的性质的一些结果，并给出了关于这类权的Toeplitz行列式的渐近性的Fisher-Hartwig猜想的另一种证明.主要技术是Deift和Zhou的最速下降分析，基于Fokas，Its和Kitaev提出的矩阵Riemann-Hilbert特征。
2006-05-29 math.CA math.CV
Bi-orthogonal systems on the unit circle, Regular Semi-Classical Weights and Integrable Systems - II
本文导出了单位圆上双正交多项式及其相关函数的Christoffel-Geronimus-Uvarov变换，即对应于权函数的有理变换的变换.在特殊化的权函数的经常半经典的情况下，与任意数量的经常奇点$ \{z_1, ..., z_M \} $的双正交系是已知的是isomonodromy保持相对于变形的奇点。如果Christoffel-Geronimus-Uvarov因子的零点和极点与奇点重合，那么我们就得到了这个等单轨道系统的Schlesinger变换。明确推导了Schlesinger变换与系统的其它结构--递推关系、谱导数和形变导数的相容性。对于系统的$ τ$ -函数或等价的Toeplitz行列式导出了各种形式的Hirota-Miwa方程。
2008-11-25 math-ph math.CA math.MP
Polynomial perturbations of hermitian linear functionals and difference equations
本文研究了单位圆上的矩泛函的一般（Laurent）多项式修正，与Hermitian Toeplitz矩阵相关。我们提出了一种新的方法，使我们能够研究多项式修改的任意程度。主要目的是表征的拟定性的泛函中涉及的问题，在一个差分方程有关相应的Schur参数。结果是在一般框架（不一定准定）厄米泛函，使最大数量的正交多项式的特点是一致的步骤的算法的数量的基础上提到的递归的Schur参数。单位圆上正交多项式研究的一些具体应用表明了这种新方法的有效性：对勒贝格测度的一般一次逆多项式扰动所产生的泛函进行了详尽而有指导意义的分析，对多项式系数为常数的一类线性关系所连接的正交多项式对进行了分类，并给出了一些新的结果。以及确定其相关多项式与原始正交性泛函的一次多项式修改相关的那些正交多项式。
2009-08-18 math.CA
Matrix Orthogonal Laurent Polynomials on the Unit Circle and Toda Type Integrable Systems
利用Gauss-Borel分解，将单位圆上的矩阵正交Laurent多项式与Toda-like可积系统理论联系起来。这些矩量矩阵的块Gauss-Borel分解问题导致两组双正交矩阵正交Laurent多项式和矩阵SzegIgnolynomials，它们可以用块矩量矩阵的有边截断的Schur补来表示。导出了相应的Christoffel-Darboux理论的块扩张。研究了Toda型可积系统的拟定矩阵测度的变形。可积理论在这个矩阵的情况下给出;波和伴随波函数，Lax和Zakharov-Shabat方程，双线性方程和离散流-连接达布变换-。本文将Toeplitz格的Cafasso矩阵扩张的可积流推广到SzegIgnolynomials的Verblunsky系数。分析的Miwa移位允许发现有趣的连接之间的Christoffel-达布内核和Miwa移位的矩阵正交洛朗多项式。
2013-11-30 math-ph math.CA math.MP
Discrete Painlevé equations, Orthogonal Polynomials on the Unit Circle and $N$-recurrences for averages over U(N) -- \PVI $τ$-functions
单位圆上的正交多项式理论是为一般的权类而发展的，它导致多项式及其相关函数的递归关系和导数的系统，以及出现在理论中的某些系数函数的函数差分方程。一个自然制定的黎曼-希尔伯特问题的解决方案的正交多项式和相关功能的上述系统。特别是对于单位圆$ w(z) = \prod^m_{j=1}(z-z_j(t))^{ρ_j} $，由$ m \in \mathbb{Z}_{> 0} $奇点，差分方程的正交多项式次数$ n $（拉盖尔-弗洛伊德方程）和微分方程的变形变量$ z_j(t) $（施莱辛格方程）的经常半经典的重量的情况下，推导出完全表征系统。它是在最简单的非平凡的情况下$ m=3 $，相当普遍和简单的差分方程是等价的离散Painlevé方程与退化的有理曲面$ D^{(1)}_4 \to D^{(1)}_5 $，没有其他。在三个方面的比较与其他方法在这个问题上-的Toeplitz格和Virasoro的约束，isomonodromic变形的$ 2\times 2 $线性Fuchsian微分方程，和代数方法的基础上仿射Weyl群对称性-它示出了所有是完全等价的，当减少了顺序的精确求和，上述离散Painlevé方程通过显式变换公式。由广义超几何函数$ {{}^{\vphantom{(1)}}_2}F^{(1)}_1 $给出了酉群$ U(N) $上的基本矩阵积分。
2003-08-28 math-ph math.CA math.MP
Asymptotics for averages over classical orthogonal ensembles
我们研究了正交Haar分布矩阵集合中乘性特征值统计量的平均值，它也可以写成Toeplitz+Hankel行列式。我们获得新的渐近符号与费舍尔-哈特维希奇点的情况下，一些奇点合并在一起，和符号的差距或新兴的差距。我们得到这些渐近依赖于已知的类似结果在酉群和相关的正交多项式的单位圆上的渐近。作为我们的结果的后果，我们得到的间隙概率在圆形正交和辛合奏的渐近性，以及在正交合奏的全局特征值刚度的上限。
2020-08-18 math-ph math.CA math.CV
