The axiom of choice and model-theoretic structures
J K Truss
我们讨论了集合论中选择选择公理的失败与具有足够对称性的某些模型论结构之间的联系。
We discuss the connections between the failure of the axiom of choice in set theory, and certain model-theoretic structures with enough symmetry.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Multiple Choices imply the Ingleton and Krein-Milman axioms
在没有选择选择公理的集合论中，我们考虑英格尔顿公理，它是哈恩-巴拿赫公理在超度量分析中的对应物。我们表明，在$ZFA$中，没有选择公理的集合论被削弱到允许“原子”，英格尔顿公理并不意味着选择公理（这解决了$ZFA$中van Rooij（1992）提出的一个问题）。我们还证明了在$ZFA$中，“多项选择”公理蕴涵Krein-Milman公理。我们推论，在$ZFA$中，Hahn-Banach公理、Ingleton公理和Krein-Milman公理的结合并不蕴含选择公理.
Dynamical ideals and the axiom of choice
研究无选择集合论置换模型中群作用性质与选择公理片段的关联，提出可转化为选择公理片段的群作用自然性质。
The axiom of choice, co-comprehension schema and redundancies in triposes
研究了选择选择公理和共理解在一阶谓词逻辑二阶编码中的作用
Paradox on the Countable Axiom of Choice
本文通过一个悖论例子，证明在构造性数学中拒绝排中律并采用可数选择公理和依赖选择公理仍无法保证一致性，且可数选择公理是依赖选择公理的推论。
Nielsen-Schreier implies the finite Axiom of Choice
本文给出了一个新的证明，证明了“自由群的每个子群都是自由的”这一命题蕴涵着有限集的选择公理。
On forcing axioms and weakenings of the Axiom of Choice
本文证明H_κ与DC_κ等选择公理弱化形式的力迫公理等价物，并借助针对特定稠密集族的新模板给出选择公理的新表述。
Relations between some cardinals in the absence of the Axiom of Choice
如果我们假设选择公理，那么每两个基数都是可比较的。在没有选择公理的情况下，情况不再如此。对于与任意无限集合相关的几个基数，我们将给出它们之间所有可能的关系，其中可能意味着这种关系与集合论的公理一致。在此基础上，我们进一步研究了某些特定置换模型中其他基数之间的关系，并给出了一些不用选择公理即可证明的结果。
The notion of Infinity within the Zermelo system and its relation to the Axiom of Countable Choice
在这篇文章中，我们考虑替代定义描述的一组是无限的原始公理系统的策梅罗。
A Gentle Introduction to the Axiom of Choice
本文介绍了选择公理，讨论了对其的常见反对意见，并提出了三种接受该公理的理由，同时为非集合论专家提供了较少为人知的结果。
The maximum principle in forcing and the axiom of choice
本文证明了强迫中的最大值原理等价于选择公理。最大值原理是强迫的性质：||- 存在x theta（x）当且仅当对于某个名字τ p||- θ（τ）。我们还研究了基本科恩模型中三个相似的偏序问题，以证明选择公理的失败。我们表明，尽管他们明显的相似之处，最大值原理仅适用于三个之一。
Zorn's Lemma- An elementary proof under the Axiom of Choice
本文给出了Zorn引理在选择公理下的一个初等证明，简化了Paul R. Halmos在他的书《朴素集合论》中。还提供，是一个序言佐恩引理，向读者介绍了这一重要的最大原则的简史。
Chain Conditions and the Axiom of Choice
该研究在无选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论中，于多数学领域语境下确立了可数有限集并集可数断言的等价命题，还挖掘了其背后的范畴论原理。
On the Bourbaki's fixed point theorem and the axiom of choice
本文推广了Moroianu的不动点定理.我们给出了布尔巴基不动点定理的一个非常优美的普通证明和我们的结果。我们应用我们的结果给出了一个非常优雅的证明，证明了在Zermelo-Fraenkel系统中，选择的选择公理等价于以下陈述中的每一个：H。Kneser引理Zorn引理Zermelo引理
The Rigid Relation Principle, a New Weak Choice Principle
刚性关系原理，在这篇文章中介绍，断言，每一个集承认一个刚性二元关系。这是从选择公理，因为良好的秩序是刚性的，但我们证明，它既不等同于选择公理，也不能证明在Zermelo-Fraenkel集合论没有选择公理。因此，它是一个新的弱选择原则。尽管如此，该原理对实数集（以及其他一般实例）的限制在没有选择选择公理的情况下也是可以证明的。
Convex sets and Axiom of Choice
在ZF集合论中，研究了实向量空间子集的极大凸子集的存在性与选择公理的关系，特别指出R²和R³的情况分别等价于可数实数选择公理和均匀化公理。
Maximality Principles in Modal Logic and the Axiom of Choice
本文研究模态逻辑中Fine与Esakia极大性原理的集合论强度，证明其强形式等价于选择公理，弱形式等价于布尔素理想定理。
Relationships between Principles of Choice in Second-Order Henkin Structures
本文研究了Henkin解释下二阶逻辑中经典选择公理的强度，利用已知关系并证明了Ackermann、Asser与Zermelo-Asser公理间的新关系，提供了2022年DMV年会结果的详细证明。
A realizability semantics for inductive formal topologies, Church's Thesis and Axiom of Choice
本文为扩展了归纳形式拓扑、丘奇论题和选择公理的极简主义基础理论意向层（mtt）提出了一种Kleene可实现性语义，并在Aczel构造性集合论CZF加正则扩展公理中形式化该语义，以证明其一致性。
The Axiom of Determinacy Implies Dependent Choices in Mice
我们证明了依赖选择公理$\operatorname{DC}$在$\operatorname{ZF}+\operatorname{DC}_{\mathbb{R}^{\mathcal{M}}}$背景宇宙中，在满足确定性公理$\operatorname{AD}$的实数上构造的可数可迭代被动前小鼠$\mathcal{M}$中成立。这推广了Kechris使用Steel对小鼠鳞片的分析对$L(\mathbb{R})$的论证。特别地，我们证明了，对于任何$n \leq ω$和任何可数集的真正$A$，使$M_n(A) \cap \mathbb{R} = A$和$M_n(A) \vDash \operatorname{AD}$，我们有$M_n(A) \vDash \operatorname{DC}$。
Flow: the Axiom of Choice is independent from the Partition Principle
我们介绍一个一般的理论称为流的功能。我们证明了ZF，非良基ZF和ZFC可以沉浸在流作为一个自然的结果，从我们的框架。强不可达基数的存在性是由我们的公理导出的。我们的第一个重要应用是引入了一个Zermelo-Fraenkel集合论模型，其中划分原理（PP）成立，但选择公理（AC）不成立。因此，流允许我们回答集合论中最古老的开放问题：如果PP包含AC。
Structures Associated with Real Closed Fields and the Axiom of Choice
本文研究了实闭域的整数部分的存在性，证明选择公理在构造实闭域的整数部分时是必要的，并探讨了在某些情况下选择公理并非必需，同时指出相关问题在算法上是不可判定的。
Existence of bases implies the axiom of choice, a foundation-free proof
在无基础公理的ZF集合论中，证明每个向量空间有基蕴含选择公理，且该结果可推广至含原子的集合论。
A 5-quantifier (\in,=)-expression ZF-equivalent to the Axiom of Choice
本文提出了一个只有5个量词的（\in，=）-句子AC**，它在逻辑上蕴涵了选择的选择公理AC。此外，利用ZF集合论的一个弱片断，证明了AC蕴涵AC**。到目前为止，6个量词是最少的，3个量词是不够的，因为所有的3-量词（\in，=）-句子是在ZF集合论的一个弱片段中决定的。因此，差距减少到一个4个量词的句子ZF相当于AC的未定的情况。
Sequential and distributive forcings without choice
本文研究无选择公理下集合论中$κ$-分配力迫与$κ$-序列力迫的等价性问题，证明该等价在弱选择公理下失效，给出拟正常性条件以刻画依赖选择公理的保持性，并分析两类力迫对不同选择公理的保持与违反情况。
Flow: the Axiom of Choice is independent from the Partition Principle in ZFU
我们引入一个正式的理论称为流，其条款的预期解释是功能。我们证明了ZF，ZFC和ZFU（ZF与原子）可以沉浸在流从我们的框架的自然后果。我们的第一个重要的应用程序是引入ZFU模型的划分原则，但选择公理失败，如果流量是一致的。因此，我们的框架允许我们解决集合论中最古老的开放问题：如果划分原则包含选择公理。
Transcendence bases, well-orderings of the reals and the axiom of choice
证明了$ZF+DC+"$存在超越基，对于实$"+"$不存在良序，$"$相对于$ZFC$是一致的.这回答了Larson和Zapletal的一个问题。
A note on Łoś's Theorem without the Axiom of Choice
本文在不使用选择公理的前提下研究Łoś定理，证明其等价于超幂初等等价弱形式，并构造反例说明该弱形式不蕴含基本定理，同时表明可数选择等弱选择公理不能由Łoś定理推出。
Multi-level Nonstandard Analysis and the Axiom of Choice
本文将公理化非标准集合论SPOT和SCOT扩展为多层次标准性理论SPOTS和SCOTS，证明SCOTS是ZF+ADC的保守扩展，并表明Jin关于Szemerédi定理的非标准证明可在SPOTS中实现。
Baire property and Axiom of Choice
证明了：（1）若ZF相容，则“ZF + DC（omega_{1}）+每一实数集都具有Baire性质”是相容的;（2）若ZF相容，则“ZFC + `每一实数投影集都具有Baire性质' + `任何omega_{1}贫乏集的并都是贫乏的“是相容的.
Linear extenders and the Axiom of Choice
在没有选择选择公理ZF的集合论中，我们证明了对于每个交换域IK，下面的陈述D_{\IK}：“在每个非空的IK-向量空间上，存在一个非空的线性型“暗示了在$\IK$ -向量空间的每个向量子空间上存在一个IK-线性扩张器.这解决了在\cite{Mo09}中提出的问题。在第二部分中，我们将我们的结果推广到球完备超度量值域的情形，并证明了Ingleton的陈述等价于“等距线性扩张”的存在性。
Infinitesimal analysis without the Axiom of Choice
人们常说，与传统的初等分析相比，无穷小的分析需要更多地使用选择选择公理。这个主张是基于这样的观察，即超实数必然存在N上的非主超滤子，这是选择公理的一个强版本，而实数可以在ZF中构造。非标准方法的公理化方法驳斥了这种反对意见。我们制定了一个理论SPOT在st- $\in$ -语言，足以进行无穷小的论点，并证明SPOT是一个保守的推广ZF。因此，微积分中的无穷小方法与传统的微积分方法一样有效。这个结论延伸到普通数学的大部分领域，甚至更广。我们还开发了一个更强的公理系统SCOT，保守的ZF+ADC，这是适合于处理这样的功能作为一个无穷小的方法的勒贝格测度。保守性结果的证明结合并扩展了Enayat和Spector开发的强迫方法。
The uncountability of the reals and the Axiom of Choice
本文研究实数不可数性的逻辑基础，证明强逻辑系统无法证明单位区间到自然数的注入性，涉及选择公理的片段及高阶反证数学研究。
The Axiom of Choice in the $κ$-Mantle
本文针对Usuba关于$\kappa$-mantle是否为ZFC模型的问题，构造了三种反例（马洛基数、$\omega_1$、正则不可数基数后继），给出否定答案。
Nonarchimedean groups and the axiom of choice
本文建立了非阿基米德群的性质与关联置换模型中成立的选择公理片段之间的新联系。
Reverse mathematics and equivalents of the axiom of choice
我们研究了等价于集合论中的选择公理的几个极大性原理的可数类似物的逆数学。其中的原则断言，每一个家庭的集合有一个$\subseteq$ -最大的子家庭的有限交叉财产和原则断言，如果$P$是一个财产的有限字符，然后每一个集有一个$\subseteq$ -最大的子集，其中$P$举行。我们发现，这些原则及其变化有很大的优势，在二阶算术的背景下，从相当于$\mathsf{Z}_2$弱于$\mathsf{ACA}_0$和$\mathsf{WKL}_0$无法比拟的。特别是，我们确定了一个选择原则，模$Σ^0_2$感应，严格低于原子模型定理原则$\mathsf{AMT}$，并暗示省略部分类型原则$\mathsf{OPT}$。
Nash Equilibrium and Axiom of Choice Are Equivalent
本文证明无限参与者博弈中纯策略纳什均衡的存在性与选择公理等价，建立了博弈论基础与集合论公理之间的等价关系。
The Logic of Cardinality Comparison Without the Axiom of Choice
该研究在无选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论中，给出了可同时推理集合布尔运算与基数比较的完备公理系统，明确了戴德金有限集和一般情形下的核心原理。
Choiceless Löwenheim-Skolem property and uniform definability of grounds
在本文中，在没有选择公理的情况下，我们证明了如果某个向下的Löwenheim-Skolem性质成立，那么所有的理由都是一致可定义的。我们还证明了选择公理是强制的当且仅当宇宙是$\mathsf{ZFC}$的某个传递模型的小扩展。
The Ordering Principle and Dependent Choice
本文通过有限支持对称系统的迭代，证明了依赖选择公理在ZF基础上结合顺序原理且选择公理失效时的独立性。
An Easton-like Theorem for Zermelo-Fraenkel Set Theory with the Axiom of Dependent Choice
我们证明了在理论ZF + DC +中，对于每个基数λ，λ的无限子集的集合是良序的（即，Shelah的AX 4），度量幂集P（κ）的满射大小的θ-函数可以在任何不可数基数集上取几乎任意的值。这补充了我们在[FK 16]中的结果，在[FK 16]中，我们证明了在ZF（没有DC）中，θ函数的任何可能行为都可以实现;并回答了Shelah在[She 16]中的一个问题，他强调ZF + DC + AX 4是一个合理的理论，其中大部分集合论和组合学都是可能的。
Power Kripke-Platek set theory and the axiom of choice
虽然幂次Kripke-Platek集合论（KPP）与普通Kripke-Platek集合论（KP）有许多相同的性质，但在几个方面它的行为与KP完全不同。这也许是最引人注目的证明结果，由于马蒂亚斯，大意是增加公理的可构造性KPP产生了一个更强的理论，而在KP的情况下，可构造的层次提供了一个内部模型，使KP和KP+V=L具有相同的强度。本文将讨论KPP和KPP加上选择公理甚至全局选择公理GAC之间的关系。由于L是提供一个模型的标准工具，在这个模型中，这个公理成立，通常的论点，证明增加AC或GAC的KPP不增加证明理论的强度不适用于任何明显的方式。在其他工具中，本文使用了序数分析的技术来表明KPP+GAC与KPP具有相同的强度，从而回答了Mathias的问题。此外，它表明，KPP+GAC是保守的KPP的Pi-1-4的分析报表。理论的序分析方法与幂集是在早期的论文中发展起来的。该技术允许人们从无穷证明中计算见证信息，为理论中可证明的幂集运算的超限迭代提供边界。由于KPP+GAC理论为定义其他理论的模型和可实现性模型提供了非常有用的工具，这些模型在没有统一选择机制的情况下很难构建，因此需要确定其确切的证明理论强度。这方面的知识，例如可以用来确定的力量费弗曼的操作集合论与幂集的运作，以及建设性的泽梅罗-弗兰克尔集合论与选择公理。
Compactness beyond choice and HOD
本文用逻辑和拓扑空间的紧致性刻画了多种Berkeley型大基数，表明紧致性假设可违反选择公理和V=HOD，从而提升已知一致性强度。
The Axiom of Multiple Choice and Models for Constructive Set Theory
我们提出了一个扩展的Aczel的建设性集合论CZF的公理归纳类型和选择原则，并表明，这种扩展具有以下性质：它是可解释的马丁-洛夫的类型理论（因此可以接受的建设性和广义谓词的观点）。此外，它也是证明集紧性定理和利用该定理的形式拓扑学结果的有力工具。此外，它在代数集论的标准构造下是稳定的，即精确完备化，可实现模型，强迫以及更一般的层扩张。其结果是，从我们早期的工作方法可以应用到表明，这种扩展满足各种派生规则，如导出的康托空间的紧性规则和导出的连续性规则Baire空间。最后，我们表明，这种扩展是强大的意义上说，它也反映了刚才提到的代数集论的模型构造。
On the relation of three theorems of analysis to the axiom of choice
在下面的内容中，基本上完成了两件事：首先，将证明Arzelà-Ascoli定理和Fréchet-Kolmogorov定理的一个版本等价于实数子集的可数选择公理。其次，取得了一定的进展，朝着确定的公理，必须添加到Zermelo-Fraenkel系统，使统一有界性原则举行。
Uniform Eberlein spaces and the finite axiom of choice
我们在没有选择$\ZF$的集合论中工作。给定$[0,1]^I$的一个闭子集$F$，它是$\ell^1(I)$（{ \em resp.}使得$F \subseteq \ell^0(I)$），我们证明了$I$有限子集的可数选择选择公理（{ \em resp.}选择的可数选择公理$\ACD$）意味着$F$是紧的。这增强了先前的结果，其中$\ACD$（{ \em resp.}依赖选择公理（$\DC$）。此外，如果$I$是线性可序的（例如$I=\IR$），则$\ell^2(I)$的闭单位球是弱紧的（在$\ZF$中）。
Frucht's theorem and other set-theoretic principles below the axiom of choice and the axiom of foundation
研究在选择公理和基础公理之下的集合论原理，以弗鲁赫特定理及其变体为切入点，提出相关原理，通过图论构造和置换模型研究其与标准公理的关系及可证性等，绘制该领域初步图谱。
Zornian Functional Analysis or: How I Learned to Stop Worrying and Love the Axiom of Choice
这篇课文是为那些想要学习更多关于选择公理对泛函分析的影响的分析学生准备的，以及在没有选择公理的情况下可能出错的事情。由于这是一个针对分析学生的文本，我们将不会专注于集合论证明或详述任何特定的集合论假设，以证明某些结果。
Hindman and Owings-like theorems without the Axiom of Choice
本文研究了在不使用选择公理的Zermelo-Fraenkel集合论中Hindman和Owings型Ramsey理论陈述的变体，发现Hindman定理在实数加法群和不可数维的Q向量空间中不成立，而Owings型配置在假设决定公理时获得了积极结果。
The Axiom of Choice in Computability Theory and Reverse Mathematics, with a cameo for the Continuum Hypothesis
选择选择公理（简称AC）是通常的数学基础ZFC集合论中最著名的公理。AC在数学中的（非）必要使用已经得到了很好的研究和彻底的分类。现在，在ZF中不可证明的可数AC片段最近被用于Kohlenbach的高阶逆向数学中，以获得紧密相关的紧性和局部全局原理之间的等价性。我们继续这项研究，并表明，NCC，弱选择原则证明在ZF和更弱的系统，足以满足许多这些结果。鉴于逆向数学和可计算性理论之间的密切联系，我们还研究了NCC的实现者，即从其他数据中产生选择函数的泛函。我们的傲慢承担迄今欠发达的研究（选择函数从）AC的计算特性导致有趣的结果。例如，使用Kleene的S1-S9计算方案，我们表明，各种总实现NCC计算Kleene的$\exists^3$，一个功能，产生完整的二阶算术，反之亦然。相比之下，NCC的部分实现者应该要弱得多，但建立这个猜想仍然是难以捉摸的。通过宣泄，我们证明了连续统假设（简称CH）等价于NCC的可数基部分实现者的存在性。后一种实现器不计算Kleene的$\exists^3$，因此严格弱于全实现器。
Descriptive Choice Principles and How to Separate Them
本文针对描述性选择原理的分层问题，提出基于Jensen力迫的分离技术，推广了Kanovei定理，为选择公理片段的研究提供了新方法。
Choice axioms and Postnikov completeness
本文引入无穷拓扑斯中选择公理的同伦变体，并以此给出 Postnikov 完备性的判定准则，重新审视了 Mondal 和 Reinecke 的结果。
Absolutely Choiceless Proofs
我们研究了一个著名的技术，使用绝对性给选择自由的证明，一些语句是已知的可证明的选择公理。这个想法是把问题简化为一个内部模型，在这个模型中，选择公理成立，并使用绝对性。我们研究的复杂性的句子，这种技术可以应用到，并表明，许多定理在基本的分区演算有足够的复杂性，这种技术的应用。
A program for the full axiom of choice
本文在经典可实现性框架下，提出了完全选择公理（AC）的第一个显式程序，填补了此前仅有依赖选择公理（DC）程序的空白。
Forcing indestructibility of set-theoretic axioms
各种定理的保存下强迫的集合论公理证明，关于强迫公理和公理真的利维崩溃。这些特别表明，某些应用的强制公理需要添加通用可数序列高的集合论层次，甚至在崩溃的一切下降到$\aleph\_1$。后来，我们给的应用程序，其中的一致性${\rm MM}$与$\aleph\_ω$不是琼森回答了一个问题，在Oberwolfach 2005年。
Irreducible distinguishing colourings and the Axiom of Choice
该研究证明了每个图存在不可约区分着色，并揭示了此类着色的存在性与选择公理之间的等价关系。
Maximal δ-separated sets in separable metric spaces and weak forms of choice
该研究证明了可分离度量空间中最大δ分离集的存在性与可数集合族上的选择公理之间的联系，并回答了Dybowski和Górka提出的问题。
Iterated failures of choice
我们结合了几个民俗观察提供了一个工作框架，迭代结构，违背了选择公理。我们用它来定义一个模型，在这个模型中，任何一种结构失效都必须有一个适当的反例。例如，有理数有一个合适的非同构代数闭包类，每个偏序嵌入到模型的基数中，每个集合都是戴德金有限集的像，每个形式为$\mathsf{AC}_X^Y$的弱选择公理都有一个合适的反例类，每个域都有一个向量空间，其中有两个线性无关的向量，但没有不是标量乘法的自同态，等等。
Useful axioms
我们给出了一个简要的调查之间的相互作用的强制公理和其他各种非建设性的原则广泛应用于许多领域的抽象数学，如选择公理和Baire的范畴定理。首先，我们概述如何使用基本的偏序理论，有可能重新制定的选择公理，Baire的范畴定理，和许多大基数公理的具体情况下，强制公理。然后，我们解决强制公理与模型理论的角度来看，并概述了一个深刻的类比之间存在的标准的超积一阶结构和Shoenfield的绝对性$Σ^1_2$ -属性的超积定理。最后，我们解决的问题，是否以及在何种程度上迫使公理可以提供一个“完整”的语义集合论。我们认为，这在很大程度上是可能的某些初始片段的宇宙集：Woodin关于类属绝对性的开创性工作表明，对于存在大基数的Chang模型$L(\text{Ord}^ω)$，情况就是如此，作者最近的工作表明，在存在大基数和Martin极大值或极大加强的情况下，这也可以是Chang模型$L(\text{Ord}^{ω_1})$的情况。正确的强制公理我们留下的主要开放问题是，这种情况是否是这些Chang模型所特有的，或者也可以提升到红衣主教$κ>ω_1$的$L(\text{Ord}^κ)$。
Consequences of Vopěnka's Principle over weak set theories
证明了Voppennka原理（VP）可以在ZF的一个弱片段上恢复几乎整个ZF，即如果EST是由可拓性、空集、配对、并、笛卡尔积、$Δ_0$ -分离和沿$ω$的归纳公理组成的理论，则${\rm EST+VP}$证明了无穷、替换（因而也是分离）和幂集公理.这一结果受到了\cite{Tz14}和H.弗里德曼的\cite{Fr05}，其中区分了各种形式的VP。作为推论，${\rm EST}+$基金会$+{\rm VP}$ = ${\rm ZF+VP}$和${\rm EST}+$基金会$+{\rm AC+VP}={\rm ZFC+VP}$。同时证明了Foundation公理与ZF-\{Foundation\}+ ${\rm VP}$无关.选择公理是否独立于${\rm ZF+VP}$是一个开放的问题。一个非常弱的形式的选择遵循VP和一些类似的其他形式的选择。
Geometric theories for real number algebra without sign test or dependent choice axiom
本文利用几何理论的动态版本，在没有依赖选择公理的构造性数学中构建尽可能完整的实数域代数性质理论，并初步勾勒了某些 o-minimal 结构的构造性理论。
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