弗鲁赫特定理以及选择公理和基础公理之下的其他集合论原理
Frucht's theorem and other set-theoretic principles below the axiom of choice and the axiom of foundation
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中文总结 AI 辅助
研究在选择公理和基础公理之下的集合论原理，以弗鲁赫特定理及其变体为切入点，提出相关原理，通过图论构造和置换模型研究其与标准公理的关系及可证性等，绘制该领域初步图谱。
中文摘要 AI 辅助
我们通过研究弗鲁赫特定理迈出了在选择公理（$\mathsf{AC}$）和基础公理（$\mathsf{AF}$）之下研究集合论原理的第一步。弗鲁赫特定理是一个普通数学定理，在$\mathsf{AC}$或$\mathsf{AF}$下可证，但没有两者时不可证及其变体。具体而言，我们提出了一些这样的原理，研究这些原理与标准公理之间的关系，并使用（无限）图论构造和置换模型证明可证性和不可证性结果，绘制了集合论这一新领域的初步图谱。
英文摘要
We take the first step toward the study of set-theoretic principles below the axiom of choice $\mathsf{AC}$ and the axiom of foundation $\mathsf{AF}$ by studying Frucht's theorem, an ordinary mathematical theorem which is provable with either $\mathsf{AC}$ or $\mathsf{AF}$ but not provable without both, and its variants. Specifically, we propose a number of such principles, study the relations between these principles and the standard axioms, and prove provability and unprovability results using (infinite) graph-theoretic constructions and permutation models, which draw a preliminary map of this new area of set theory.
