基的存在性蕴含选择公理：一个不依赖基础公理的证明
Existence of bases implies the axiom of choice, a foundation-free proof
- University of São Paulo（圣保罗大学）
- State University of Santa Cruz（圣克鲁斯州立大学）
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AI总结：
在无基础公理的ZF集合论中，证明每个向量空间有基蕴含选择公理，且该结果可推广至含原子的集合论。
AI中文摘要：
我们证明，在去掉基础公理的策梅洛-弗兰克尔集合论中，每个向量空间都有基这一命题蕴含选择公理，从而得出经典等价关系——选择公理与基的存在性之间的等价——并不需要基础公理。更具体地，我们证明，如果特征为零的域上的每个向量空间都有基，那么选择公理成立。该结果可推广到含原子的集合论。
英文摘要：
We prove that, in Zermelo--Fraenkel set theory with the axiom of Foundation removed, the statement that every vector space has a basis implies the Axiom of Choice ($\mathsf{AC}$), concluding that the classical equivalence between $\mathsf{AC}$ and the existence of bases does not require regularity. This result extends to set theory with atoms.
