Knobbly but nice
Neil Dobbs
本文的主要结果是：在朱利亚集为整个复平面的指数映射下，在每一条分片光滑Jordan曲线上都有一点的轨道是稠密的.这有后果的边界的尼斯集，用于归纳法研究遍历和几何性质的动态。
Our main result states that, under an exponential map whose Julia set is the whole complex plane, on each piecewise smooth Jordan curve there is a point whose orbit is dense. This has consequences for the boundaries of nice sets, used in induction methods to study ergodic and geometric properties of the dynamics.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Nice sets and invariant densities in complex dynamics
在复动力学中，我们构造了一个所谓的好集（第一个返回映射是马尔可夫）周围的任何点，这是在朱利亚集，但不是在后奇异集，适应建设胡安里维拉-莱特列。这简化了对绝对连续不变测度的研究。本文证明了Kotus和Swiatek最近的一个定理的逆定理，即对一类亚纯映射，绝对连续的不变测度是有限的当且仅当满足可积性条件.
Non-uniform hyperbolicity in complex dynamics
我们研究了满足可和性条件的有理函数，这是一类沿临界轨道展开的弱条件。假设它们的适当的版本，我们得到许多很好的性质：存在一个唯一的，遍历的，和非原子共形测度的指数等于朱利亚集的豪斯多夫维数。存在关于这个共形测度的绝对连续的不变测度。朱利亚集的Minkowski维数严格小于2。要么朱利亚集是整个球面，要么动力学是不稳定的。对于这样的多项式和Blaschke积，朱利亚集是共形可去的。不变Fatou分支的边界的连通分支是局部连通的。最后，我们得到了Jakobson-Benedicks-Carleson定理的一个共形类似定理，并证明了Julia集的豪斯多夫维数对Mandelbrot集上几乎所有点关于调和测度的外连续性.部分结果推广到了区间上的多峰映射。
Measures and dimensions of Julia sets of semi-hyperbolic rational semigroups
研究了黎曼球面上由多个有理映射生成的半双曲半群的动力学。在良开集条件成立的条件下，证明了Julia集上存在一个几何测度，其指数$h$等于朱利亚集的豪斯多夫维数. $h$ -维Hausdorff测度和packing测度在朱利亚集上都是有限的正测度，并且与Radon-Nikodym导数在零和无穷远处是一致分离的相互等价.所有三个分形维数，豪斯多夫，包装和盒计数是相等的。证明了正则相伴斜积映射存在唯一的$h$ -共形测度。此外，还证明了这个共形测度存在唯一的博雷尔概率绝对连续不变（在斜积映射下）测度。实际上这两个测度是等价的，而不变测度是度量精确的，因此是遍历的。
A structure theorem for semi-parabolic Hénon maps
考虑复Hénon映射$$ H_{c,a}(x,y)=(x^{2}+c+ay,ax),\ \ a\neq 0 $$的参数空间$\mathcal{P}_λ\subset \mathbb{C}^{2}$，该映射具有一个特征值为$λ=e^{2πi p/q}$的半抛物不动点.本文给出了曲线$\mathcal{P}_λ$上的Hénon映射的一个特征，这些Hénon映射是二次多项式$p$的小扰动，且具有乘子$λ$的抛物不动点.证明了在$\mathcal{P}_λ$中存在一个开参数圆盘，使得半抛物Hénon映射连通Julia集$J$，并且在$J$和$J^{+}$上是结构稳定的. Julia集$J^{+}$有一个很好的局部描述：在双圆盘$\mathbb{D}_{r}\times \mathbb{D}_{r}$中，它是$J_{p}$上的平凡纤维丛，多项式$p$的Julia集，纤维双全纯于$\mathbb{D}_{r}$。Julia集$J$同胚于一个约束螺线管。
Constructing entire functions with non-locally connected Julia set by quasiconformal surgery
本文给出了一种利用拟共形变换构造整函数的方法，使得整函数的所有Fatou分支都是拟圆，但朱利亚集是非局部连通的.
Rational maps whose Julia sets are Cantor circles
本文给出了一类其朱利亚集是Cantor圈的有理映射，并证明了每一个其Julia集是Cantor圈集的有理映射必在其对应的朱利亚集上与这类映射拓扑共轭.特别地，我们给出了某些有理映射的具体表达式，这些有理映射的朱利亚集是Cantor圈，但它们在其朱利亚集上不与任何McMullen映射拓扑共轭。此外，还构造了一类朱利亚集为Cantor圈的非双曲有理映射.
Julia sets as buried Julia components
设$f$是一个次数为$d\geq 2$的有理映射，其朱利亚集连通但不等于整个黎曼球面.证明了存在一个有理映射$g$，使得$g$包含一个隐Julia分支，该分支上的动力学与$f$在朱利亚集上的动力学拟共形共轭当且仅当$f$不具有抛物盆和Siegel圆盘.如果存在这样的$g$，则可以选择度使得$\text{deg}(g)\leq 7d-2$。特别地，如果$f$是多项式，则可以选择$g$，使得$\text{deg}(g)\leq 4d+4$。此外，还构造了一些四次和三次有理映射，它们的朱利亚集中含有埋Jordan曲线.
On Hausdorff dimension of polynomial not totally disconnected Julia sets
证明了对于任意一个复变数的多项式，只要它的次数不小于2，且Julia集不是全不连通的，也不是圆，也不是区间，则该朱利亚集的豪斯多夫维数大于1.到目前为止，这只在相关的朱利亚集的情况下才知道。我们还给出了一个例子的多项式与非连接的，但不是全不连通的朱利亚集，使其所有组成部分包括多个单点是解析弧，从而解决了一个问题，克里斯托弗主教，谁问是否每个这样的组件必须有豪斯多夫维数大于1。
Symmetries for Julia sets of rational maps
自20世纪80年代以来，在完全确定哪些函数共享朱利亚集方面取得了很大进展。多项式的情况在1995年被完全解决了，并且证明了朱利亚集的对称性在回答这个问题中起着核心作用。理性的情形仍然是开放的，但它已经被证明比多项式的情形复杂得多。在这里，我们提供部分推广Beardon的结果对称群的朱利亚集，并讨论他们的背景下，奇摄动映射。
Biaccessiblility in quadratic Julia sets II: The Siegel and Cremer cases
设$f$是一个二次多项式，它有一个无理中立不动点$α$ .设$z$是$f$的朱利亚集上的一个双可达点.然后：1.在西格尔的例子中，$z$的轨道最终一定会碰到$f$的临界点。2.在Cremer的例子中，$z$的轨道最终必须撞击不动点$α$。具有双可达临界点的Siegel多项式当然存在，但在Cremer情况下，双可达点可能永远不存在。作为推论，我们得出Siegel或Cremer二次多项式的朱利亚集中的双可达点集的Brolin测度为零的结论.
Graphical exploration of the connectivity sets of alternated Julia sets; M, the set of disconnected alternated Julia sets
利用计算机图形学和可视化算法，我们推广了文献[1]中关于交替朱利亚集的连通域的解析结果，该连通域是通过切换两个二次朱利亚集的动态来定义的.如文[1]所证明的，交替朱利亚集除了具有标准朱利亚集所具有的已知二分法（连通性和完全不连通性）外，对于次数大于2的多项式，还具有不连通性.通过计算机图形学，我们揭示了这些连接域，这是四维分形。计算机图形结果表明，对于交错朱利亚集，Mandelbrot集由所有参数值的集合组成，每个交错朱利亚集不仅连通，而且不连通。
Julia sets of random exponential maps
对于正实数序列$(λ_n)$，我们考虑指数函数$f_{λ_n} (z) = λ_n e^z$和合成函数$F_n = f_{λ_n} \circ f_{λ_{n-1}} \circ ... \circ f_{λ_1}$。对于这样一个非自治族，我们可以类似于自治迭代的通常情况定义Fatou和朱利亚集。本文的目的是研究Julia集如何依赖于序列$(λ_n)$。在其他结果中，我们证明了随机序列$\{λ_n \}$的Julia集，从$\frac{1}{e}$的邻域中均匀选择，是概率为$1$的全平面。证明了$\frac{1}{e} + \frac{1}{n^p}$的Julia集是$p < \frac{1}{2}$的整个平面，并给出了一个$0$的迭代从任意指标开始收敛到无穷大的序列$\{λ_n \} $的例子，但Fatou集是非空的.
Meromorphic functions whose action on their Julia sets is Non-Ergodic
本文研究超越函数在其 Julia 集上的 ergodic 性，证明当所有渐近值趋于无穷时，Julia 集为整个球面且映射非 ergodic。
Julia sets appear quasiconformally in the Mandelbrot set
本文证明在小 Mandelbrot 集的抛物型或 Misiurewicz 参数附近可拟共形地看到 Cantor Julia 集及其嵌套装饰结构，并由此证明半双曲但非 Misiurewicz 且非双曲的参数在 Mandelbrot 集边界中稠密且 Hausdorff 维数为 2。
Speiser class Julia sets with dimension near one
对任意$ δ>0$，构造了一个具有三个奇异值的整函数$f$，其朱利亚集的豪斯多夫维数至多为$1=δ$ . Stallard证明了只要$f$具有有界奇异集，维数就必须严格大于1，但以前没有已知维数严格小于小于2的有限奇异集的例子。
Newton's method applied to rational functions: Fixed points and Julia sets
本文研究了牛顿映射在有理函数中的固定点与朱利亚集性质，证明了特定条件下朱利亚集的连通性和局部连通性。
Random Dynamics of a Family of Cubic Polynomials
本文研究三次多项式族的随机动力学，证明参数序列导致Julia集完全不连通的条件，并展示非超几何系统的示例。
Unmating of expanding Thurston maps with Julia set $\mathbb{S}^2$
本文针对临界预周期扩展 Thurston 映射，通过调整拆配算法以适应同伦意义下完全不变的非 Jordan 曲线，实现了无需迭代即可进行多项式拆配。
Dynamics of postcritically bounded polynomial semigroups III: classification of semi-hyperbolic semigroups and random Julia sets which are Jordan curves but not quasicircles
我们研究了多项式半群（由黎曼球面上的一族多项式映射生成的半群）的动力学和黎曼球面上多项式的随机动力学。结合半群的动力学和纤维（随机）动力学，给出了多项式半群$G$的一个分类，使得$G$由紧族$Γ$生成，$G$的平面后临界集是有界的，且$G$是（半）双曲的.在其中一类中，我们证明了对几乎所有序列$γ\in Γ^{\Bbb{N}}$，$γ$的朱利亚集$J_γ$是Jordan曲线而不是拟圆，$γ$的法图集$F_γ$的无界分支是John域，而$F_γ$的有界分支不是John域.注意，这种现象在通常的单个多项式的迭代中不成立。此外，我们还研究了多项式半群$G$的动力学，使得$G$的平面后临界集是有界的，朱利亚集是不连通的.系统地研究了多项式半群和多项式随机动力学中通常的多项式动力学所不存在的现象。
Locally connected models for Julia sets
设$P$是一个具有连通Julia集$J$的多项式。我们用连续统理论证明了它允许一个\emph{finest monotone map $\ph$ onto a locally connected continuum $J_{\sim_P}$}，即一个单调映射$\ph:J\to J_{\sim_P}$，使得对于任何其他单调映射$ψ:J\to J'$，存在一个单调映射$h$，其中有$ψ=h\circ \ph$ .然后，我们扩展$\ph$到复平面$\C$（保持相同的符号），并表明，$\ph$单调共轭$P|_{\C}$的\emph{topological polynomial $g:\C\to \C$}。如果$P$没有西格尔或克雷默周期点这给了另一种证明新西兰的基本结果的局部连接模型的动力学的朱利亚集，但结果持有所有多项式与连接朱利亚集。我们还给出了映射$\ph$不坍缩为点的一个判据和一个有用的充分条件。
Dynamics of postcritically bounded polynomial semigroups II: fiberwise dynamics and the Julia sets
研究了黎曼球面上多项式映射生成的半群的动力学，使得复平面上的后临界集是有界的。此外，我们还研究了多项式的相关随机动力学。此外，我们还研究了具有有界平面后临界集的多项式半群的斜积的纤维动力学。对纤维丛进行均匀纤维拟共形的处理，证明了如果这样的半群的Julia集是不连通的，则存在由不可数个相互不相交的具有均匀伸缩的拟圆构成的族，这些拟圆由康托尔集参数化，稠密地存在于该半群的朱利亚集内.此外，我们给出了纤维朱利亚集$J_γ$满足以下条件的一个充分条件：$J_γ$是Jordan曲线而不是拟圆，$J_γ$的补的无界分支是John整环，$J_γ$的补的有界分支不是John整环.证明了在一定条件下，随机朱利亚集几乎必然是Jordan曲线，而不是拟圆.人们发现并系统地研究了多项式半群和多项式随机动力学中许多在通常的多项式动力学中不出现的新现象。
Non-degenerate locally connected models for plane continua and Julia sets
假设$X$是\emph{unshielded}平面连续体（即，$X$与$X$的无界互补分量的边界重合）。则存在\emph{finest monotone}映射$m:X\to L$，其中$L$是局部连接的连续统（即，对于每个$y\in L$，$m^{-1}(y)$是连接的，并且任何单调映射$φ:X\to L'$到局部连接的连续统上是组合$φ=φ'\circ m$，其中$φ':L\to L'$是单调的）。$X$的这种最精细局部连接模型$L$更容易理解，因为$L$是局部连接的（特别是它可以通过图片来描述），并且表示$X$到可能复杂但成对不相交的$m$的\emph{fibers}（点原像）的最精细但仍然可理解的分解。然而，在某些情况下（即，在$X$不可分解情况下）$L$是单例。本文给出了依赖于$X$的某些子连续统存在的非退化模型存在的充分条件，并将这些结果应用于多项式的连通朱利亚集.
Teichmuller distance for some polynomial-like maps
在这篇文章中，我们将证明某类广义多项式映射（非临界双曲广义多项式映射）的所有元素的Teichmüller距离实际上是一个距离，就像Sullivan研究的具有连通朱利亚集的实多项式的情况一样。这个类包含几个重要的类广义多项式映射，即：Yoccoz，Lyubich，Sullivan和Fibonacci。在我们的证明中，我们不能使用外部参数（如外部类）。相反，我们在映射的朱利亚集中使用双曲集。这些双曲集将允许我们使用我们的主要分析工具，即沙利文的刚性定理的非线性解析双曲系统。Lyubich在任意有理函数$f$的朱利亚集上构造了极大熵测度$m$.当$m$的Hausdorff维数等于朱利亚集的豪斯多夫维数时，Zdunik可以准确分类.证明了当$f$为非临界双曲时，除切比雪夫多项式外，严格不等式成立.如果我们把$f$看作多项式，则这个结果是Zdunik结果的一个特例，但是如果$f$是广义多项式映射，则这个结果是Zdunik结果的一个推广。证明如下从不存在不变仿射结构。
Quadratic Dynamics Over Hyperbolic Numbers
双曲数是复数的一种变体，但它们的动力学是完全不同的。双曲数上的二次函数的双曲曼德尔布罗特集是一个填充的正方形，而双曲曼德尔布罗特集内的双曲参数的填充的朱利亚集是一个填充的矩形。对于双曲Mandelbrot集之外的双曲参数，填充朱利亚集有3种可能的拓扑描述，如果它不是空的，与它总是非空的全不连通的集的复杂情况相反。这些结果已在文献[1，2，4，5，6，7]中得到了证明，本文予以评述
Laplacians on the basilica Julia set
我们考虑了多项式$P(z)=z^{2}-1$的巴西利卡朱利亚集，并构造了所有可能的阻力（Dirichlet）形式，以及相应的拉普拉斯算子，使有效阻力度量中的拓扑与通常的拓扑一致.然后，我们集中讨论两个特殊情况。一种是自相似谐振结构，其能量重整化因子为2，谱维数为$\log9/\log6$，我们可以通过谱抽取方法计算所有的本征值和本征函数。另一种是图定向自相似映射$z\mapsto P(z)$，它具有能量重整化因子$\sqrt2$和4/3的谱维数，但谱的精确计算比较困难.后一种狄利克雷形式和拉普拉斯算子在某种意义上在巴西利卡朱利亚集上是共形不变的。
Julia sets of complex Hénon maps
复Hénon映射的朱利亚集有两个自然定义：集合$J$和$J^\star$。这两个集合是否总是相等的是该领域的主要开放问题之一。我们证明了平等时，地图上的先验较小的集合$J^\star$双曲行为，大量耗散的额外假设。这一结果在文献[For06]中得到了证明，但没有使用附加假设，证明是不完整的。我们的证明紧密遵循[For06]的思想，在使用实质耗散性的两个点上偏离。我们表明，$J = J^\star$也成立时，双曲性是由两个较弱的条件之一。第一个是准双曲性，在[BS 02]中介绍，半双曲性的一维概念的自然推广。第二个是$J^\star$上存在支配分裂。最近在[LP 14]中研究了在可能较大的集合$J$上允许支配分裂的实质上耗散的Hénon映射。
On hyperbolic dimension gap for entire functions
该研究解决了双曲维数小于Julia集Hausdorff维数的整函数是否仅存在于后者维数为2的情况的问题，构造出了Julia集Hausdorff维数小于2且双曲维数仍小于该值的双曲整函数，填补了相关维数间隙研究的空白。
Geometrically finite transcendental entire functions
本文引入“温顺函数”概念刻画超越整函数的拓扑动力学，证明一大类具有界临界性的几何有限超越整函数满足该性质，类比了多项式Julia集局部连通性的经典结果并推广了前期工作。
A bouquet of pseudo-arcs
证明了一个超越整函数的存在性，它的朱利亚集是一束伪弧.更准确地说，朱利亚集与无穷大的并集是一个不可数的伪弧的并集，这些伪弧除了在无穷大之外是成对不相交的。这样一个函数的存在遵循第二作者的一个更一般的结果，但是我们的构造要简单得多，也更明确。特别地，我们构造的函数可以被选择为具有较低阶的$1/2$，而在先前已知的示例中，较低阶是无限的。
Rigidity and absence of line fields for meromorphic and Ahlfors islands maps
本文给出了一元解析函数的锥朱利亚集上不存在不变线场的初等证明。这个证明不仅适用于有理函数和超越亚纯函数（在那里它是以前已知的），而且甚至适用于亚当·爱泼斯坦所定义的阿尔福斯岛映射的极其一般的设定。事实上，我们证明了一个更一般的结果不变_微分_的情况下，可测量的关于一个共形措施，支持（无分支）锥朱利亚集。这包括$\log|f'|$的上同调方程的研究，这些方程与一些著名的刚性问题有关。
Dynamics of postcritically bounded polynomial semigroups
研究了黎曼球面上一类多项式映射生成的半群的动力学，使得复平面上的后临界集是有界的。此外，我们还研究了多项式的相关随机动力学。证明了对于这样的多项式半群，如果$A$和$B$是朱利亚集的两个连通分支，则$A$和$B$中的一个包围另一个.证明了对任意$n\in \Bbb{N} \cup \{\aleph_{0}\} ,$，存在一个具有有界平面后临界集的生成多项式半群，使得Julia集的连通分支集的基数等于$n.$.此外，还证明了在一定条件下，随机朱利亚集几乎必然是Jordan曲线，而不是拟圆.人们发现并系统地研究了多项式半群和多项式随机动力学中许多在通常的多项式动力学中不出现的新现象。
Dynamics of groups of automorphisms of character varieties and Fatou/Julia decomposition for Painlevé 6
本文研究仿射三次曲面自同构群的动力学，定义并分析其Julia与Fatou集，证明Julia集中存在稠密轨道，并揭示Fatou/Julia二分法与局部离散性二分法的关联，为Painlevé 6方程及特征簇研究提供新视角。
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