Jianwei Gao, Xun Xie
We prove Lusztig's conjectures P1-P15 for hyperbolic Coxeter groups of rank 3. Our proof enables us to give a description of the a-function and Kazhdan-Lusztig cells for these Coxeter groups.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Kazhdan-Lusztig cells in planar hyperbolic Coxeter groups and automata
设C是Coxeter群（W，S）中的单边或双边Kazhdan-Lusztig胞腔，Reduced（C）表示C中所有w的约化表达式的集合，C被看作是字母表S上的语言。Casselman证明了约化（C）是正则的。本文给出了当W是双曲多边形所对应的群时，胞腔的几何描述，并证明了我们的描述蕴含了Casselman的描述。
The Poincare series of the hyperbolic Coxeter groups with finite volume of fundamental domains
由球面、欧几里得空间或双曲空间的反射生成的离散群被称为分别为球面型、欧几里得型或双曲型的考克斯特群。双曲Coxeter群被称为（拟）Lannér，如果覆盖空间的瓦片是有限体积的，并且所有（分别）其中一些）是紧凑的。对于任何由其元素的长度分层的Coxeter群，Poincaré级数（a.k.a.增长函数）是相等长度的元素的集合的基数的生成函数。Solomon证明了对任意Coxeter群，其Poincaré级数是一个有理函数，其零点在以原点为中心的单位圆上的某个地方，并给出了一个递推公式.庞加莱级数的显式表达式是已知的球形和欧几里德考克斯特群，和3-生成考克斯特群，和（错误）Lannér群。在这里，我们给出了一个清晰的描述分子的庞加莱系列的任何考克斯特群，和recruitators为每个（准）Lannér组，并审查现场。我们给出了一个解释的一些系数的分母的庞加莱级数。非实极点的行为与Enestrom定理中的一样（位于一个狭窄的环中），尽管双极点的系数不满足定理的要求。
We prove that a weighted Coxeter group (W,S,L) is bounded in the sense of G.Lusztig if the rank of W is 3.
In a recent paper by K.-H. Lee and K. Lee, rigid reflections are defined for any Coxeter group via non-self-intersecting curves on a Riemann surface with labeled curves. When the Coxeter group arises from an acyclic quiver, the rigid reflections are related to the rigid representations of the quiver. For a family of rank $3$ Coxeter groups, it was conjectured in the same paper that there is a natural bijection from the set of reduced positive roots of a symmetric rank $2$ Kac--Moody algebra onto the set of rigid reflections of the corresponding rank $3$ Coxeter group. In this paper, we prove t…
In this paper, we give precise description for the lowest lowest two-sided cell c_{0} and the left cells in it for a weighted Coxeter group of rank 3. Then we show conjectures P1-P15 and \widetilde{P} hold for c_{0} and do some calculation for the based ring of c_{0}.
Boundedness of Lusztig's $\boldsymbol{a}$-function for Coxeter groups of finite rank
本文证明了有限秩正加权Coxeter群存在界$N'_L(W)$，从而确立了Lusztig $a$-函数的有界性。
In this paper we extend the computations in parts I and II of this series of papers and complete the proof of a conjecture of Lehrer and Solomon expressing the character of a finite Coxeter group W acting on the pth graded component of its Orlik-Solomon algebra as a sum of characters induced from linear characters of centralizers of elements of W for groups of rank seven and eight. For classical Coxeter groups, these characters are given using a formula that is expected to hold in all ranks.
Lusztig's $a$ function for Coxeter groups of rank 3
证明了Coxeter群的Lusztig $a$ -函数是有界的，如果Coxeter群的秩为3.
Cells and representations of right-angled Coxeter groups
本文研究了直角Coxeter群和与之相关的Hecke代数的Kazhdan-Lusztig胞腔和相应的表示。对于在双曲平面上关于直角多边形边的反射所产生的无限群，我们得到了左胞和双侧胞的显式描述。特别地，我们证明了有无穷多个左细胞，但他们都只形成三个双边细胞。
On fundamental domains and volumes of hyperbolic Coxeter-Weyl groups
给出了一个确定双曲Kac-Moody代数中与外尔群相关的广义模群的基本区形状的简单方法.这些域被给定为某些广义上半平面的子集，外尔群通过广义模变换作用于这些平面上。我们的构造只需要底层有限维李代数的Cartan矩阵和相关的Coxeter标签作为输入信息。我们提出了一个简单的公式来确定这些基本区的体积。这使我们能够以简单的方式再现以前通过其他方法获得的这些体积的已知值。
Extended Weyl groups, Hurwitz transitivity and weighted projective lines II: a uniform approach
本文研究扩展Weyl群的双曲覆盖，证明其为星型扩展Coxeter群，并证明Hurwitz作用在Coxeter变换既约反射分解上的传递性，最后给出在代数表示论与单模奇点理论中的两个应用。
The dominance hierarchy in root systems of Coxeter groups
如果$x$和$y$是根系中关于Coxeter群$W$的标准（Tits）几何实现的根，我们说$x$ \emph{dominates} $y$，如果对于所有$w\in W$，只要$wx$是负根，$wy$就是负根。我们称一个正根为\emph{elementary}，如果它不支配除自身以外的任何正根。所有初等根的集合用$\E$表示。这已被B证明。Brink和R. B. Howlett（Math. Ann. \textbf{296}（1993），179- 190）证明了$\E$是有限的当（且仅当）$W$是有限秩Coxeter群。除此之外，这个有限性属性使布林克和豪利特能够建立所有有限秩考克斯特群的自动性。后来Brink也给出了任意有限秩Coxeter群的集合$\E$的完整描述（J. Algebra \textbf{206}（1998））。然而，非初等正根的集合在文献中很少受到关注。在本文中，我们回答了一系列的问题，这些非初等正根之间的优势行为。特别地，我们证明了对于任何有限秩Coxeter群和任何非负整数$n$，每个根精确地支配$n$其他正根的集合是有限的。我们给出了所有这些集合的大小的上界和下界，以及它们的计算的归纳算法。
The hyperbolic cover of an elliptic Weyl group
本文研究了椭圆韦伊系统双曲覆盖的结构及其与扩展柯西特系统的同构性，并建立了加权射影线的厚子范畴与偏序集之间的双射关系。
On rigidity of abstract root systems of Coxeter systems
本文引入并研究了可能无限Coxeter群的（实）根系的根基的组合定义概念。已知的结果共轭的根基础的某些不可约的有限秩实根的符号扩展到抽象的根基础，一个更大的类的实根，并与一个简短的列表（真正的）例外，无限秩不可约Coxeter系统。
Computations for Coxeter arrangements and Solomon's descent algebra II: Groups of rank five and six
在最近的论文中，我们改进了Lehrer和Solomon的一个猜想，即有限Coxeter群$W$作用于其Orlik-Solomon代数的$p$次分支的特征标是由$W$的元素的中心化子的线性特征标导出的特征标之和.我们的改进猜想涉及到上述字符的一个组件的分解的正则字符的$W$相关的所罗门的下降代数的$W$。精化猜想已被证明为对称和二面体群，以及有限Coxeter群的秩为3和4。在本文中，第二个在一系列的三个处理组的秩高达八（特别是，所有例外的考克斯特群），我们证明了猜想有限考克斯特群秩五和六，进一步发展的算法工具中所描述的前一篇文章。在本文中开发和实现的技术提供了以前未知的分解的定期和Orlik-Solomon字符的组考虑。
The notion of limit roots of a Coxeter group W was recently introduced (see arXiv:1112.5415 and arXiv:1303.6710): they are the accumulation points of directions of roots of a root system for W. In the case where the root system lives in a Lorentzian space W admits a faithful representation as a discrete reflection group of isometries on a hyperbolic space; the accumulation set of any of its orbits is then classically called the limit set of W. In this article we show that the limit roots of a Coxeter group W acting on a Lorentzian space is equal to the limit set of W seen as a discrete reflect…
Let (W,S) be a finite rank Coxeter system with W infinite. We prove that the limit weak order on the blocks of infinite reduced words of W is encoded by the topology of the Tits boundary of the Davis complex X of W. We consider many special cases, including W word hyperbolic, and X with isolated flats. We establish that when W is word hyperbolic, the limit weak order is the disjoint union of weak orders of finite Coxeter groups. We also establish, for each boundary point ξ, a natural order-preserving correspondence between infinite reduced words which "point towards" ξ, and elements of the ref…
Computations for Coxeter arrangements and Solomon's descent algebra: Groups of rank three and four
在最近的论文中，我们改进了Lehrer和Solomon的一个猜想，即有限Coxeter群$W$的特征标由其Orlik-Solomon代数的齐次分支表示为由$W$的元素的中心化子的线性特征标导出的特征标之和.我们的精化猜想还将上面的Orlik-Solomon特征标与$W$的正则特征标的分解项相关联，该分解项与$W$的下降代数相关联。我们猜想的一个结果是，$W$的正则特征和Orlik-Solomon代数的特征都有平行的、分次的分解，作为从$W$的元素的中心化子的线性特征导出的特征的和，一个对应于$W$的元素的每个共轭类。对对称群和二面体群证明了精化猜想。在本文中，我们开发的算法工具来证明一个给定的有限Coxeter群的猜想计算。我们使用这些工具来验证所有有限Coxeter群的秩三和四的猜想，从而提供以前未知的分解的正则字符和这些群体的Orlik-Solomon字符。
We describe an algorithm to identify a minimal set of "braid relations" which span and preserve all sets of involution words for twisted Coxeter systems of finite or affine type. We classify the cases in which adding the smallest possible set of "half-braid" relations to the ordinary braid relations produces a spanning set: in the untwisted case, this occurs for the Coxeter systems which are finite with rank two or type $A_n$, or affine with rank three or type $\tilde A_n$. These results generalize recent work of Hu and Zhang on the finite classical cases.
In this paper we first present a Birman-Murakami-Wenzl type algebra for every Coxeter system of rank 2 (corresponding to dihedral groups). We prove they have semisimple for generic parameters, and having natural cellular structures. And classcify their irreducible representations. Among them there is one serving as a generalization of the Lawrence-Krammer representation with quite neat shape and the "correct" dimension. We conjecture they are isomorphic to the generalized Lawrence-Krammer representaions defined by I.Marin as monodromy of certain KZ connections. We prove these representations a…
Reflection Representations of Coxeter Groups and Homology of Coxeter Graphs
本文利用与Coxeter图相关图的整同调群特征标，分类有限秩Coxeter群的广义几何表示，并刻画生成元以反射方式作用的表示。
A note on the transitive Hurwitz action on decompositions of parabolic Coxeter elements
本文给出了一个简短而完备的证明：n股上的辫群传递作用于有限秩n的Coxeter群中Coxeter元的约化分解为反射积的集合.此外，我们使用相同的参数也表明，所有的分解的一个元素在一个抛物子群的W谎言，以及在这个抛物子群。
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