Full non-differentiability sets of typical Lipschitz functions
Andrea Merlo
本文证明了典型Lipschitz函数在博雷尔集$E$的任一点上都没有方向导数当且仅当$E$包含在一个可数的纯不可求长闭集并中.
In this paper we prove that the typical Lipschitz function has no directional derivative at any point of a Borel set $E$ if and only if $E$ is contained in a countable union of closed purely unrectifiable sets.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Shortcut Laakso spaces, pure PI unrectifiability and differentiability of Lipschitz functions
该研究构造了纯PI不可 rectifiable 的Lipschitz可微空间族，探究捷径度量空间的几何并刻画其PI可 rectifiability 与Y-LDS性质，验证Laakso空间满足相关假设。
Porosity and Differentiability of Lipschitz Maps from Stratified Groups to Banach Homogeneous Groups
设$f$是从分层群的子集$A$到Banach齐次群的Lipschitz映射.我们证明了$f$的方向导数在$σ$ -多孔集之外的$A$的密度点处充当齐次同态。在$A$的密度点上，我们用方向导数建立了可微性的逐点刻画.我们使用这些新的结果，以获得另一个证明的几乎处处可微的Lipschitz映射从分层群的子集到Banach齐次群满足适当削弱Radon-Nikodym性质。作为结果，我们也得到了潘苏定理的另一种证明。
Porosity, Differentiability and Pansu's Theorem
利用孔隙度研究了卡诺群上Lipschitz映射的可微性。我们的第一个结果指出，Lipschitz函数的方向导数线性作用在$σ$ -多孔集之外。第二个结果说明Lipschitz函数的不规则点形成$σ$ -多孔集。利用这些观测结果给出了从一般卡诺群到欧几里得空间的Lipschitz映射的Pansu定理的一个新的证明。
A new characterization of Sobolev spaces on Lipschitz differentiability spaces
本文在不假设双重条件或Poincaré不等式的情况下，通过证明精确的Brezis-Van Schaftingen-Yung型渐进行式，给出了Sobolev范数通过非局部泛函渐进行为的新的刻画，并构造了反例以证明假设的必要性。
Tangent lines and Lipschitz differentiability spaces
研究了度量空间的切空间中切线的存在性，即切空间中与实直线等距的子集。我们首先讨论了Lipschitz连续曲线的几乎处处度量可微性。然后，我们表明，任何爆破完成的度量可微和密度为一个域的曲线给出了一条切线。度量可微性具有Borel可测性，这将允许我们在Lipschitz可微空间的框架中使用它。我们证明了Lipschitz可微空间的任何切空间至少包含$n$不同的切线，作为$n$ Lipschitz曲线的爆破而获得，其中$n$是局部可测图的维数。在对空间的附加假设下，例如曲率下界，这些$n$不同的切线跨越切空间的$n$维部分。
On the differentiability of Lipschitz functions with respect to measures in the Euclidean space
Rademacher定理指出，欧几里得空间上的每个Lipschitz函数几乎处处可微，其中“几乎处处“指的是勒贝格测度。本文证明了一个相似类型的可微性结果，其中勒贝格测度被任意测度$μ$所代替.特别是，我们证明了Lipschitz函数在$μ$ -几乎每一点的可微性与$μ$的可求长一维测度的分解有关。因此，我们得到了可微的结果Lipschitz函数就（措施相关）$k$维正常电流，我们用它来扩展某些公式，涉及正常电流和地图类$C^1$ Lipschitz地图。
Differentiability of Lipschitz maps from metric measure spaces to Banach spaces with the Radon Nikodym property
本文证明了Lipschitz映射X->V的可微性，其中X是满足加倍条件和Poincaré不等式的完备度量测度空间，V是具有Radon-Nikodym性质（RNP）的巴拿赫空间.证明依赖于一个新的特征的可微结构等度量测度空间，在方向导数的方向上的切向量的适当的可求长曲线。
Cone unrectifiable sets and non-differentiability of Lipschitz functions
给出了集合$E\subset\mathbb{R}^n$是非泛可微集的充分条件，即包含在实值Lipschitz函数的不可微点集中.这些条件是由Alberti，Csörnyei和Preiss给出的$\mathbb{R}^n$的Lipschitz自映射的不可微集所产生的理想的描述激发的，这最终导致Jones和Csörnyei的结果，即对于$\mathbb{R}^n$中的每个Lebesgue零集$E$，存在一个在$E$的任何点不可微的Lipschitz映射$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$，即使对于$n>1$和从$\mathbb{R}^n$到$\mathbb{R}$的Lipschitz函数存在Lebesgue空泛可微集。
Differentiability of semigroups of Lipschitz or smooth mappings
本文研究了巴拿赫空间中整环的Lipschitz自映射或光滑自映射所构成的半群关于时间参数的可微性。
Abstract and concrete tangent modules on Lipschitz differentiability spaces
本文构造了一个从Gigli的抽象切模到含有（弱）Lipschitz可微结构的空间的具体切模的等距嵌入，并给出了该嵌入同构的两个等价条件.结合Bate-Kangasniemi-Orponen最近的一篇文章中的论点，这个等价性被用来证明${\rm Lip}-{\rm lip}$型条件${\rm lip} f\le C|Df|$意味着Lipschitz可微结构的存在，而且自改进为${\rm lip} f =|Df|$。我们还提供了一个直接的证明结果的吉利和第二作者说，对于一个空间的强可求积分解，吉利的切线模块承认等距嵌入到所谓的Gromov-Hausdorff切线模块，没有任何先验的自反性假设。
Non-linear operators and differentiability of Lipschitz functions
本文利用一类Lipschitz函数的可微性，给出了巴拿赫空间之间不同类型（线性和非线性）映射的一个刻画.我们的结果是在抽象的出生论和非线性框架中陈述的。仅限于线性情形，我们的结果可以应用于紧、弱紧、有限和完全连续线性算子。此外，我们的结果给出了Gelfand-Phillips空间的一个特征，并恢复了Schur空间和自反空间中关于实值Lipschitz函数可微性的一些已知结果.
Gâteaux differentiability on infinite-dimensional Carnot groups
本文推广了Rademacher关于Lipschitz函数的可微性结果，当区域是无穷维的且具有非交换群结构时。我们引入度量可扩展群的概念，这是我们的无限维卡诺群的类似物。我们最感兴趣的群是那些允许有限维卡诺子群的稠密递增序列的群。事实上，在这些空间中，我们证明了每个Lipschitz函数都有一个Gâteaux可微点。我们提供的例子和标准时，这样的卡诺子群存在。主要定理的证明遵循Aronszajn和Pansu的工作。
Points of differentiability of the norm in Lipschitz-free spaces
考虑Lipschitz自由空间中的凸分子列，即$μ=\sum_n λ_n \frac{δ_{x_n}-δ_{y_n}}{d(x_n,y_n)}$形式的元素，使得$\|μ\|=\sum_n |λ_n |$ .我们将这些元素按照几何条件在底层度量空间的点$x_n$，$y_n$上进行映射，并确定它们何时是范数的Gâteaux可微点。特别地，我们证明了对于一致离散有界度量空间上Lipschitz自由空间的无支撑元，Gâteaux可微性和Fréchet可微性是等价的，并且它们与Gâteaux（resp. Fréchet）可微元素的巴拿赫空间Gâteaux（resp. Fréchet）在相应的射影张量积中可微。
Differentiability of Lipschitz Functions in Lebesgue Null Sets
证明了当n>1时，R^n中存在一个Lebesgue零集，其中包含R^n到R^（n-1）的Lipschitz函数的一个可微点;结合他人的工作，完成了经典Rademacher定理何时允许逆定理的研究.避免sigma-porous集，出现不规则点的Lipschitz函数，在证明中起着关键作用。
Extreme non-differentiability of typical Lipschitz mappings
研究显示，无论给定规范空间的子集如何，典型1-Lipschitz映射在强意义上在集合的典型点处非可导，且在任意小尺度上导数比近似任意线性算子。
Bochner Partial Derivatives, Cheeger-Kleiner Differentiability, and Non-Embedding
该研究在庞加莱不等式空间中定义含次黎曼Heisenberg群的Cheeger分形类，证明此类分形无法双Lipschitz嵌入满足特定Bochner偏导数条件的Banach空间，拓展了Creutz和Evseev的相关成果。
A compact null set containing a differentiability point of every Lipschitz function
证明了在至少2维的欧几里得空间中，存在一个勒贝格测度为零的紧集，使得定义在该空间上的实值Lipschitz函数在该紧集的某点可微.这样的集合是显式构造的。
Differentiability of Lipschitz curves in $p$-Banach spaces
本文刻画了拟Banach空间中每条Lipschitz曲线可微的充要条件为同构于具有Radon–Nikodým性质的Banach空间，并研究$\ell_p$（$0<p<1$）中解耦坐标构造下的几乎处处可微性。
Weak derivatives and metric differentiability almost everywhere
本文针对任意度量或Banach空间中Lipschitz映射不一定弱*可微的问题，提出基于弱弱*导数的方法，为度量微分提供线性表示并使其可通过线性算子范数计算。
On Fréchet differentiability of Lipschitz maps between Banach spaces
一个著名的公开问题是：在具有可分对偶的巴拿赫空间X上，Lipschitz函数的可数集合是否有一个公共的Frechet可微点。我们证明了对于某些无限维X，答案是肯定的。以前，即使是由两个函数组成的集合，这也只对有限维X是已知的（尽管对于一个函数，答案在完全一般性上是肯定的）。通过在巴拿赫空间中引入一类新的空集（称为$Γ$-null sets），我们的目的得以实现，它的定义包含了范畴和测度的概念，并证明了所需的可微性关于它几乎处处成立，我们甚至得到了某些无限维巴拿赫空间之间Lipschitz函数的Fréchet导数的存在性;以前没有这样的结果。我们的主要结果表明，可分巴拿赫空间之间的Lipschitz映射是Fréchet可微的$Γ$-几乎处处，只要它是正则的Gateaux可微的$Γ$-几乎处处，并且Gateaux导数保持在一个范数可分空间内.很容易看出，X到具有Radon-Nikodym性质的空间的Lipschitz映射$Γ$-几乎处处是Gateaux可微的。此外，除了另一类可忽略集（即所谓的$σ$-多孔集）之外，Gateaux可微性还包含正则Gateaux可微性.因此，在每个$σ$-多孔集为$Γ$-空的空间中，问题的答案是肯定的。我们证明了这对具有$K$可数紧的$C(K)$、Tsirelson空间和$c_0$的所有子空间都成立，但对希尔伯特空间不成立.
Locally Lipschitz Functions and Bornological Derivatives
本文研究了Lipschitz函数和凸函数的Gateaux可微性、弱Hadamard可微性和Frechet可微性之间的关系以及它们的代数学。特别地，Frechet和弱Hadamard可微性对所有Lipschitz函数重合当且仅当空间是自反的（前两位作者的早期论文表明，这两个概念的可微性对连续凸函数重合当且仅当空间不包含$\ell_1$的副本）。我们还研究了当连续凸函数的Gateaux和弱Hadamard可微性一致时。例如，具有Dunford-Pettis（Schur）性质的空间可以通过对偶范数的Gateaux和弱Hadamard（Frechet）可微性的重合来表征。
On Gateaux differentiability of pointwise Lipschitz mappings
我们证明了对于每个函数$f:X\to Y$，其中$X$是可分的Banach空间，$Y$是具有RNP的Banach空间，存在一个集合$A\in\tilde\mcA$使得$f$在所有$x\in S(f)\setminus A$处都是Gateaux可微的，其中$S(f)$是$f$是逐点Lipschitz的点的集合。这改善了Bongiorno的结果。作为推论，我们得到了可分Banach空间上的每一个$K$ -单调函数在属于$\tilde\mcC$的集合之外都是Hadamard可微的，这改进了Borwein和Wang的一个结果.另一个推论是如果$X$是Asplund，$f:X\to\R$锥单调，$g:X\to\R$连续凸的，则在$X$中存在一个点，其中$f$是Hadamard可微的，$g$是Frechet可微的.
Typical differentiability within an exceptionally small set
我们验证了存在一个纯粹的不可求长集，其中典型的Lipschitz函数有一个大的全可微点集。这个例子来自于一个由Csörnyei、Preiss和Tišer提出的泛可微集的构造，其中某个Lipschitz函数只有一个纯不可求长的可微点集。
Maximal Directional Derivatives in Laakso Space
研究了定义在Laakso空间上的Lipschitz函数的最大方向导数与可微性之间的关系.我们证明了Lipschitz函数的方向导数的极大性仅对$σ$ -多孔点集才意味着可微性。另一方面，到一个不动点的距离在任何地方都是可微的，除了一个$σ$ -多孔点集。这种行为与以前研究的欧几里得空间和卡诺群的设置完全不同。
Universal Differentiability Sets in Laakso Space
本文在 Laakso 空间中构造一族相互奇异的加倍测度，使实值 Lipschitz 函数几乎处处可微，并由此得到测度为零的通用可微性集合，同时证明这些测度均支持 Poincaré 不等式。
G\^ ateaux and Hadamard differentiability via directional differentiability
设$X$是可分Banach空间，$Y$是Banach空间，$f: X \to Y$是任意映射.然后下面的含义保持在每个点$x \in X$除了$σ$ -定向多孔集：如果单侧阿达玛方向导数$f'_{H+}(x,u)$存在于所有方向$u$从一个集$S_x \subset X$，其线性跨度是密集的$X$，然后$f$是阿达玛可微$x$。这个定理改进和推广了A. D. Ioffe最近的一个结果，其中$S_x$的线性跨度等于$X$和$Y = \R$ .本文还证明了一个类似的定理，其中$f$是点态Lipschitz的，它涉及到通常的单侧导数和Gateaux可微性.它推广了D. Preiss和作者，其中$f$应该是Lipschitz。
A dichotomy of sets via typical differentiability
我们得到了一个标准的解析子集的欧几里得空间包含一个典型的Lipschitz函数的可微点，即，它不能被覆盖的可数许多集，其中每个是封闭的，纯粹不可求长（有零长度的交集与每一个$C^1$曲线）。令人惊讶的是，我们建立了任何一个不符合这一标准的集合都见证了典型行为的相反极端：在任何这样的可覆盖集合中，典型的Lipschitz函数在任何地方都是严重不可微的。
On the structure of universal differentiability sets
证明了欧几里得空间中的泛可微集具有独特的结构性质。也就是说，我们表明，任何普遍的可微集包含一个“内核”，其中每个Lipschitz函数的可微点是密集的。我们进一步证明，没有泛可微集可以分解为相对封闭的，非泛可微集的可数并。这个结果的锐度，相对于现有的分解结果的相反性质，进行了讨论。
Differentiability inside sets with upper Minkowski dimension one
我们证明了每个有限维欧几里得空间都包含上Minkowski维为1的紧致泛可微集。换句话说，存在上闵可夫斯基维数为1的紧集$S$，使得在整个空间上定义的每个Lipschitz函数在$S$内可微。这样的集合是显式构造的。
A compact universal differentiability set with Hausdorff dimension one
我们给出了一个简短的证明，即任何非零欧几里得空间都有一个豪斯多夫维数为1的紧致子集，该子集包含定义在该空间上的每个实值Lipschitz函数的可微点。
A universal differentiability set in Banach spaces with separable dual
证明了任何具有可分对偶的非零巴拿赫空间都包含一个全不连通的闭有界的豪斯多夫维数为1的子集S，使得空间上的每一个Lipschitz函数在S中某处是Fréchet可微的.
Gâteaux differentiability on non-separable Banach spaces
本文讨论了R.费尔普斯关于可分巴拿赫空间上的Lipschitz函数到不可分情形的Gâteaux可微性。该定理的推广对于一般的不可分巴拿赫空间是不可能的，如Larman所示。因此，我们将研究一些重要的非可分空间。我们考虑了不可可分空间$\ell^{\infty}(\mathbb{R})$的一个范数，证明了它与上述定理命题是一致的.我们还考虑了其他例子如$L^{\infty}(\mathbb{R})$和$NBV[a,b]$，在所有情况下显示了它们的$G$ -可微集和这些集的一些性质。所有上述，密切遵循菲尔普斯定理的假设，这将在可分离的情况下扩展到Asplund空间上的秩函数，并在不可分离的情况下，投射极限和局部Lipschitz柱面函数。
Universal Differentiability Sets in Carnot Groups of Arbitrarily High Step
证明了每个模型丝状群$\mathbb{E}_{n}$都包含一个测度零集$N$，使得每个Lipschitz映射$f\colon \mathbb{E}_{n}\to \mathbb{R}$在$N$的某点可微.模丝状群是一类可以具有任意步长的卡诺群。我们的工作的关键是一个问题，是否存在一个（几乎）最大的方向导数$Ef(x)$在卡诺群意味着可微的Lipschitz映射$f$在$x$。我们证明了这样的蕴涵在模型Filiform群中是有效的，除了一维水平方向的子空间。相反，我们表明，这意味着失败的每一个水平方向的自由卡诺群的步骤三和秩二。
Universal differentiability sets and maximal directional derivatives in Carnot groups
我们证明了每个第二步的Carnot群G都有一个豪斯多夫维数为一个“泛可微集”N，使得G上的每个实值Lipschitz映射在N的某点是Pansu可微的.这依赖于这样一个事实，即f在点x的最大方向导数的存在意味着在同一点x的潘苏可微性。我们发现，这样的蕴涵在卡诺集团的步骤2，但失败的恩格尔集团，其中有步骤3。
Removability of exceptional sets for differentiable and Lipschitz functions
讨论了实变量函数的可微性和逐点利普希茨条件的可去性问题。我们证明，在每一个正在考虑的设置，一个集是可移动的，当且仅当它没有完美的子集。
Compact and Limited Operators
设$T:Y\to X$是两个赋范空间之间的有界线性算子.我们用定义在$X$上的Lipschitz函数的可微性来刻画$T$的紧性，这些函数的值在另一个赋范空间$Z$中.此外，使用类似的技术，我们也可以根据更广泛的一类函数的可微性来表征有限秩算子，但仍然具有Lipschitz味。作为应用，我们得到了一个Banach-Stone-like定理。另一方面，我们推广了Bourgain和Diestel关于有限算子和余奇异性的一个结果.
Lipschitz Flow-box Theorem
给出了流盒定理的一个推广。将向量场连续可微的假设放宽为局部利普希茨条件。该定理在任何巴拿赫空间中成立。
Differentiating maps into L^1 and the geometry of BV functions
这是一个系列的文件审查之间的相互作用微分理论的Lipschitz地图，X->V，和双Lipschitz nonembeddability，其中X是一个度量测度空间和V是一个巴拿赫空间。在这里，我们考虑V=L^1的情况，其中可微性失败。我们建立了X的另一种可微性，包括R^n和H，海森堡群及其Carnot-Cartheodory度量。由此可见，H并不像J. Lee和A. Naor.当与他们的工作相结合时，这为理论计算机科学中的Goemans-Linial猜想提供了一个自然的反例;第一个这样的反例是由Khot-Vishnoi发现的。证明我们的主要定理的一个关键因素是到L^1的Lipschitz映射与有界变差函数之间的新联系，这使我们能够利用最近关于海森堡群上BV函数结构的工作。
Differential Sensitivity Analysis of Variational Inequalities with Locally Lipschitz Continuous Solution Operators
研究Banach空间中解算子满足广义利普希茨条件的变分不等式的微分灵敏度分析.证明了解映射的方向可微性的一个充分判据，该判据对于希尔伯特空间中的椭圆型变分不等式也是必要的（即使存在非对称双线性型、非线性算子和非凸泛函）.与经典结果相反，我们的证明方法不依赖于Attouch定理的特征的Mosco收敛，但完全是小学。此外，我们的技术允许我们也研究这些情况下，变分不等式在手不是唯一可解的，方向可微只能获得w.r.t.基础空间的弱或弱- $\star$拓扑。作为具体的例子，我们考虑了弹塑性中的一个变分不等式，在正则集上的投影，以及一个bang-bang最优控制问题。
Geometric characterizations of the strict Hadamard differentiability of sets
设$S$是Banach空间$X$的闭子集。假设$S$在$\bar{x}$上是epi-Lipschitz的，在$S$的边界$ \bd S$上，我们证明了$S$在$\bar{x}$上是严格Hadamard可微的;如果在$\bar{x}$上，$T(S, \bar{x})$到$S$的Clarke切锥包含一个闭超平面，那么在$\bar{x}$上，$S$到$S$的Clarke切锥$T(\bd S, \bar{x})$是一个闭超平面。而且当$X$是有限维时，$Y$是Banach空间，$g: X \mapsto Y$是$\bar{x}$周围的局部Lipschitz映射，证明了$g$在$\bar{x}$上是严格Hadamard可微的，IFF $T(\mathrm{graph}\,g, (\bar{x}, g(\bar{x})))$是isp同构于$X$ IFF，集值映射$x\rightrightarrows K(\gh g, (x, g(x)))$在$\bar{x}$和$K(\gh g, (\bar{x}, g(\bar{x})))$处连续同构于$X$，其中$K(A, a)$表示集合$A$在$a \in A$处的相依锥。
From resolvents to generalized equations and quasi-variational inequalities: existence and differentiability
本文研究Hilbert空间中由强单调Lipschitz单值映射和极大单调集值映射支配的广义方程，通过单值算子和预解式的方向可微性验证解映射的方向可微性，并应用于拟广义方程。
Extensions of vector-valued functions with preservation of derivatives
设$X$和$Y$是Banach或赋范线性空间，$F\subset X$是闭集.我们应用我们最近的向量值Baire 1函数的扩张定理arXiv：1512.03717来获得具有预分配导数的向量值函数$f\colon F\to Y$的扩张定理，保持可微性（在预分配导数实际上是导数的每个点处），保持连续性，保持（逐点）Lipschitz性质和（对于有限维域$X$）保持严格可微性和全局（最终局部）Lipschitz连续性。
Finite order differentiability properties, fixed points and implicit functions over valued fields
证明了值域上任意拓扑向量空间到巴拿赫空间（k至少为2）的C^k-映射的一个隐函数定理.作为一种工具，我们证明了巴拿赫空间的适当收缩族的不动点对参数的C^k依赖性.对k次严格可微映射和k次Lipschitz可微映射也得到了类似的结果。在实际情况下，我们的结果推广了从任意拓扑向量空间到巴拿赫空间的Keller C^k_c-映射的一个隐函数定理.
A note on nonseparable Lipschitz-free spaces
本文研究 Lipschitz-free 空间中经典 Banach 空间性质与可分离性的等价性，指出部分性质下等价失效、相关 weak* 序列紧球问题在 ZFC 中不可判定，并构造缺失 Radon–Nikodým 性质的反例。
A C^k Lusin Approximation Theorem For Real-Valued Functions on Carnot Groups
研究了Carnot群上实值可测函数的Lusin逼近问题。我们证明了几乎处处k-近似可微等价于$C^{k}_{\mathbb{G}}$映射的Lusin逼近。我们还证明了几乎处处存在一个近似（k-1）-Taylor多项式等价于在适当的Lipschitz函数空间中允许映射的Lusin逼近.
Typical Lipschitz images of rectifiable metric spaces
本文研究可求长度量空间在典型 1-Lipschitz 映射下的像，依据切范数刻画 Hausdorff 测度保持性，并给出强可求长情形的近最优结果及范数空间中的反例。
Typical Lipschitz mappings are typically non-differentiable
本文证明任意两个Banach空间之间的典型Lipschitz映射在定义域子集的典型点上以最极端形式不可微，该结果对Euclidean空间情形也是新的。
Seip's differentiability concepts as a particular case of the Bertram--Gloeckner--Neeb construction
从微分理论统一的观点来看，Bertram，Gloeckner和Neeb的一般构造原理除了包含实Hausdorff局部凸空间上的Keller-Bastiani C_c^k可微性之外，还从一个给定的C ^0可微性导出了一个C^k可微性概念，也做了同样的“弧生成”的解释利普希茨理论的微分由Frolicher和Kriegl，同样的“composite生成”的理论塞普的连续微分。在这篇文章中，我们给出了有关赛普理论的断言的证明细节。我们还给出一个例子表明，塞普的各种逆和隐函数定理的前提可能太强，以使这些定理有很大的实用价值。还包括一个介绍的BGN-设置重新制定，以符合凯利-莫尔斯-哥德尔-伯奈斯-冯诺依曼型方法集合论，以及治疗的函数空间建设和发展的基本性质需要在证明的主要结果。
The Frolicher--Kriegl differentiabilities as a particular case of the Bertram--Glockner--Neeb construction
我们证明了顺序$k$可微类$k=0,1,...\infty$在“弧生成”的解释Lipschitz理论的分化Frolicher和Kriegl可以得到特殊情况下的一般建设由Bertram，Glockner和Neeb导致$C^k$可微性从一个给定的$C^0$概念。
On the volume measure of non-smooth spaces with Ricci curvature bounded below
我们证明，给定一个$RCD^{*}(K,N)$ -空间$(X,d,m)$，那么它是可能的$m$ -基本上覆盖$X$的可测量子集$(R_{i})_{i\in \mathbb{N}}$具有以下性质：对于每个$i$存在$k_{i} \in \mathbb{N}\cap [1,N]$，使$m\llcorner R_{i}$是绝对连续的$k_{i}$维Hausdorff措施。我们还表明，Lipschitz可微空间是双Lipschitz嵌入到一个欧氏空间是可求长的度量测度空间，我们的结论与Alexandrov空间的应用。
Uniqueness, Lipschitz stability and reconstruction for the inverse optical tomography problem
本文研究了由Neumann-to-Dirichlet映射恢复稳态光学层析成像中的扩散系数和吸收系数的反问题。在扩散已知的条件下，我们首先证明了吸收参数的全局唯一性和Lipschitz稳定性估计。然后，我们证明了一个Lipschitz稳定性结果的同时恢复扩散和吸收。在这两种情况下的参数属于一个已知的有限子空间与先验已知的界限。证明依赖于单调性的结果结合本地化的潜力的技术。为了数值求解反问题，我们提出了一类容许参数上的Kohn-Vogelius型代价泛函，该代价泛函服从两个边值问题。利用Neumann-toDirichlet算子的Frechet可微性和其逆算子的Frechet可微性，将极小化问题转化为最优性问题，从而得到了最优性的最优性条件.然后通过基于拟牛顿法的迭代算法来执行重建。最后，我们给出了一些数值结果。
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