A new record of graph enumeration enabled by parallel processing
利用三台超级计算机，我们通过扩展在线百科全书（OEIS）中的A006820序列，打破了2011年在非同构正则图计数方面的记录，实现了23阶4-正则图的数量为429，668，180，677，439，同时发现了几个具有最小平均最短路长（ASPL）的最优正则图，它们可以作为并行计算机的互连网络。4-正则图和最优图的数量计算非常耗时，这是由于我们采用了经典的正则图生成器GENREG的方法，以适应超级计算机使用数千个处理器内核的优势。
2019-10-23 cs.DM math.CO
Enumeration of interval graphs and $d$-representable complexes
本文研究了$d$-可表示单纯复形数量的渐近估计，涵盖了$d=1$时的区间图计数问题，并得出$d$-可表示复形在$d$-可坍缩复形中占比极小的结论。
2023-06-28 math.CO
Enumeration of interval-closed sets via Motzkin paths and quarter-plane walks
Dartmouth College（达特茅斯学院）；Concordia University（康考迪亚大学）；The George Washington University（乔治华盛顿大学）；Willamette University（威拉米特大学）；North Dakota State University（北达科他州立大学）；Eastern Illinois University（东伊利诺伊大学）
本文通过构造双射分别将两条链之积偏序集的区间闭集映射到双色Motzkin路径，将截断矩形偏序集的区间闭集映射到四分仪游走，从而求得了对应的生成函数与函数方程。
2024-12-20 math.CO
Enumeration of lattices of nullity $k$ and containing $r$ comparable reducible elements
本文针对Birkhoff计数$n$元有限格的公开问题，先计数$n≥4$元、零化度$k≥1$且含$2≤r≤2k$个可比较可约元的非同构RC-格，再计数$n≥4$元、零化度$k≥1$的非同构RC-格，完成$n$元非同构RC-格的枚举。
2025-02-10 math.CO
The enumeration of simple permutations
一个简单的置换是一个没有适当的非单点区间映射到一个区间。本文从几个方面考虑了简单置换的计数问题。我们的结果包括一个简单的排列和普通的生成函数之间的直接关系，这一系列的系数是不是P-递归，这些系数的渐近展开，和一些同余结果。
2003-04-15 math.CO
Binomial posets with non-isomorphic intervals
对具有原子函数A（n）= max（1，2 ^（n-2））的合流二项偏序集进行了分类.特别是，研究表明，一般情况下存在相同长度的非同构区间。
2005-08-22 math.CO
Sieved Enumeration of Interval Orders and Other Fishburn Structures
根据Eriksen和Sjöstrand（2014）的结果，我们详细介绍了一种从适当的Mahonian结构构建遵循Fishburn分布的结构的技术。这种技术是在Bousquet-Mélou et al.（2010）的bivincular模式上引入的，然后用于引入以前未考虑的一类匹配;明确地，根据右交叉和左嵌套的弧的数量的零对齐匹配。然后，我们定义了Claesson和Linusson（2011）的阶乘偏序集的统计量，计算我们称为错误标记的特征的数量，并证明根据错误标记的数量，阶乘偏序集遵循Fishburn分布。作为我们的方法的结果，我们发现一个身份的菲什伯恩数的Mahonian数。
2015-03-10 math.CO
Oriented Interval Greedoids
本文提出了一个“有向区间拟阵”的定义，它同时推广了有向拟阵的概念和L. J. Billera，S. K. Hsiao和J.S. Provan在“凸几何和相关的多面体细分领域的枚举”[离散计算。39（2008），no. 1 - 3，123 - 137]。对于有向拟阵，每个有向区间拟阵都对应一个球面单纯复形，其面的计数仅依赖于其下的区间拟阵。
2009-09-07 math.CO
Equivalence Classes Induced by Binary Tree Isomorphism -- Generating Functions
本文利用生成函数重述了有序与非同构有根二叉树的枚举结果，并提出了以节点数、特定颜色数和非同构兄弟子树数为参数的二色二叉树同构新枚举结果，给出了可乘性分离为简化方程的多变量生成函数。
2025-03-04 cs.NA math.CO math.NA
On the Enumeration of Circulant Graphs of Prime-Power Order: the case of $p^3$
代数组合学中的一个著名问题是循环图的计数。亚当猜想对于含有重复素数的图的失败，导致研究人员使用两种不同的方法来研究这个问题，即乘数方法和结构方法。前者利用同构定理，而后者涉及舒尔环。这两种方法都已用于计算$p^2$阶非同构循环数。本研究的重点是扩展这两种方法，以枚举循环的顺序$p^3$，特别是$p=3$和$p=5$，通过使用计算机软件包GAP。
2017-04-04 math.CO
Improved enumeration of simple topological graphs
简单拓扑图T =（V（T），E（T））是平面上的一个图，其中每两条边最多有一个公共点（端点或交叉点），并且没有三条边通过一个交叉点。拓扑图G和H是同构的，如果H可以通过球面的同胚从G得到，并且弱同构的，如果G和H具有相同的交叉边对集合。我们推广了Pach和Toth的结果和作者以前的结果计数不同图纸的一个图下的同构的概念。证明了对任意n点m边无孤立点的图G，实现G的简单拓扑图的弱同构类数至多为2^O（n^2 log（m/n）），当m < n^{3/2}时至多为2^O（mn^{1/2} log n）.由此得到了n个伪线段的交图个数的一个新的上界2^O（n^{3/2} log n）.利用Cibulka和作者最近证明的VC维数有界的置换集的大小的上界，将n阶简单完全拓扑图的弱同构类个数的上界改进为2^{n^2 alpha（n）^O（1）}.我们证明了简单拓扑图实现G的同构类的个数至多为2^{m^2+O（mn）}，对于m >（6+ n）n的图，至少为2^Omega（m^2）.
2022-12-10 cs.DM math.CO
Enumerating Cayley digraphs on dihedral groups
该研究聚焦二面体群上Cayley有向图的CI-同构计数，借助Cauchy-Frobenius引理与自同构性质，推导了具有DCI性质的二面体群（特别是$\text{D}_{6p}$，p为大于3的素数）上非同构Cayley有向图数的显式公式。
2025-07-29 math.CO
Regular Bipartite Graphs And Their Properties
我们引入了一个新的符号表示标记的正则二部图的任意度。介绍了标号正则二部图和非标号正则二部图的计数问题。本文给出了一个计算具有指定顶点数的所有非同构2-正则二部图的一般算法，并给出了算法完备性的数学证明。为了可视化2 m个顶点的标记r-正则二部图并计算其自同构群，引入了m对称置换树的一种抽象。本文介绍了一种生成两个相容排列对应的划分的算法。利用自同构群与置换计数问题之间的关系，导出了对应于指定划分的相容置换个数的计算公式。
2015-12-29 cs.DM math.CO
Orientably-regular maps on twisted linear fractional groups
对任意奇素数幂$q$，给出了自同构群同构于扭线性分式群$M(q^2)$的定向正则映射的一个计数.
2017-01-20 math.CO
Another Enumeration of Caterpillar Trees
毛毛虫树是一个连通的非循环图，其中所有顶点都是中心路径的成员，或者通过单条边连接到该中心路径。换句话说，毛毛虫树是一类树，在删除所有叶子后成为路径图。1973年，F. Harary和A.J.Schwenk在[1]中给出了两个证明，证明了具有N个顶点的非同构毛毛虫的个数由公式$2^{N-4} + \ 2^{ \lfloor \frac{N - 4}{2}\rfloor}$给出，其中$\lfloor \ \rfloor$表示地板函数。第一个证明是从一个特殊情况下的应用波利亚的枚举定理的图与整数加权顶点。第二个证明通过对毛毛虫进行适当的边缘标记来进行。这里提出的证明在很大程度上要归功于前两个，但也有利用毛毛虫的自然标签的好处。我们将继续标记的顶点的毛虫与整数权重，其次是应用轨道计数定理。
2018-10-28 math.CO
Linear equations for the number of intervals which are isomorphic with Boolean lattices and the Dehn--Sommerville equations
设$P$是有限偏序集.令$L:=J(P)$表示$P$的序理想格。令$b_i(L)$表示等级为$i$的$L$的布尔区间数。我们从偏序集$P$构造了一个简单图$G(P)$。用$f_i(P)$表示图$G(P)$中包含的团$K_{i+1}$的数目。我们的主要结果是连接数$f_i(P)$和$b_i(L)$的一些线性方程。本文重新证明了单纯多面体的Dehn-Sommerville方程。在我们的证明中，我们使用自由决议和理论的斯坦利-Reisner环。
2010-02-10 math.AC math.CO
Enumeration of chord diagrams on many intervals and their non-orientable analogs
两种类型的连接弦图的弦端点位于一个集合的有序和定向的真正的部分被认为是在这里：真正的部分可能包含额外的二价顶点在一个模型，但不是在其他。在前一种情况下，我们在生成函数中记录包含固定数量的二价顶点的胖图边界圈的数量，而在后者中，我们记录每个固定长度的边界圈的数量。二阶，非线性，代数偏微分方程推导出满足这些生成函数在每种情况下，给出有效的枚举计划。此外，这些生成函数提供多参数家庭的解决方案的KP层次。对于每个模型，还存在不可定向的类似物，并且每个这样的模型同样具有其自己的相关联的微分方程。我们解决的枚举问题解释在某些多边形胶合。作为具体的应用，我们讨论了几个相互作用的RNA分子的模型。我们还研究了一个矩阵积分计算的弦图的数量在定向和非定向的情况下，在模型中的二价顶点，和大N极限计算使用的技术的自由概率。
2015-12-14 math.CO math.PR
Hereditary Semiorders and Enumeration of Semiorders by Dimension
2010年，Bousquet-Mélou等人定义了称为上升序列的非负整数序列，并证明了长度为$n$的上升序列与区间序一一对应，即，不包含偏序集$\mathbf{2}+\mathbf{2}$的偏序集。通过生成函数的使用，这为枚举（未标记的）区间序的长期开放问题提供了答案。半序是一个区间序，它的表示中所有区间都有相同的长度。就禁止子集而言，半序排除了$\mathbf{2}+\mathbf{2}$和$\mathbf{1}+\mathbf{3}$。在$n$点上的未标号半序的个数一直被认为是$n$ -th Catalan数。然而，描述对应于Bousquet-Mélou等人的双射下的半序的上升序列被证明是困难的。在本文中，我们讨论了在这方面的困难的一个主要部分：对应于半序的上升序列可能有一个初始子序列，对应于一个区间秩序，是不是半序。我们定义的遗传半序是那些对应于一个上升序列的每一个初始子序列也对应于一个半序。我们提供了一个结构的结果，特点的遗传半序，并使用此特征来确定遗传半序的普通生成函数。我们还使用我们的遗传半序的特征和Rabinovitch给出的3维半序的特征，以提供一个结构描述的半序的维数最多为2。从这个描述中，我们能够确定维数至多为2的半序的普通生成元。
2020-04-17 math.CO
Semirigidity and the enumeration of nilpotent semigroups of index three
University of Novi Sad（诺维萨德大学）；University of Tasmania（塔斯马尼亚大学）；University of St Andrews（圣安德鲁斯大学）
本文研究了指数为三的 nilpotent 半群的计数问题，提出半刚性概念并给出了上界公式，改进了同构类数量的下界。
2025-10-27 math.CO math.GR
The number of non-isomorphic arithmetic expressions that can be constructed using +,-,x and /
The Academic College of Tel-Aviv（特拉维夫学术学院）
本文研究了使用+、-、×和/运算符构造的n个变量算术表达式的非同构数量，通过分类和计数方法确定其数量。
2026-02-19 math.CO math.NT
On Bruhat intervals of small lengths for Weyl groups
Coxeter群中的Bruhat区间的个数是有限的，并且对于前几个长度，A. Hultman使用Bruhat间隔和二维球体的胞腔剖分之间的对应关系和简单的计算。本文的主要目的是在高维区间的描述，Hultman的几何方法是很难应用，由于快速增长的长度数量的非同构区间。利用Bruhat图的特殊性质，构造了Bruhat图的子区间上的一个不变量.这给了我们一个比较两个Bruhat区间的方法，这比检查两个图是否同构的一般算法更快。这种构造是归纳的，因此，可以很容易地应用于任何区间长度和外尔群。
2021-10-02 math.CO
The {-3}-reconstruction and the {-3}-self duality of tournaments
设T =（V，A）是一个（有限）竞赛图，k是非负整数.对于V的每个子集X，与由X诱导的T的子竞赛图T[X] =（X，A \cap（X \timesX））相关联。T的对偶竞赛图，记为T \ast，是通过反转T的所有弧而获得的竞赛图。竞赛图T是自对偶的，如果它同构于它的对偶。T是{-k}-自对偶的，如果对于每个k个顶点的集合X，T[V \ X]是自对偶的。T是强自对偶的，如果它的每个导出子竞赛图都是自对偶的。V的子集I是T的区间，如果对于a，b \in I和对于x \in V \ I，（a，x）\in A当且仅当（b，x）\in A。例如，\varnothing，V和{x}，其中x \in，V是T的区间，称为平凡区间。T是不可分解的，如果它的所有区间都是平凡的;否则，它是可分解的。集合V上的竞赛图T '是T的{-k}-亚纯的，如果对每个k个顶点的集合X，T[V \ X]和T'[V \ X]同构.竞赛图T是{-k}-可重构的，如果每个竞赛图{-k}-亚同构于T。假设T是可分解的，|V| \geq 9.本文首先证明了T的{-3}-自对偶与强自对偶之间的等价性。然后我们刻画了每个竞赛图{-3}-亚纯于T。作为这一特征的结果，我们证明了，如果不存在T的区间X使得T[X]是不可分解的，|V \ X| \leq 2，则T是{-3}-可重构的。最后，我们通过将{-3}-重建问题简化为不可分解的情况（…
2012-04-11 math.CO
A note on monotonicity of mixed Ramsey numbers
对于两个图$G$和$H$，完全图的边着色是$(G,H)$ -好的，如果在这个着色中没有与$G$同构的单色子图，也没有与$H$同构的彩虹子图.由$K_n$的某些$(G,H)$ -着色所使用的颜色数的集合称为混合拉姆齐谱。这说明解决了一个基本的问题，是否频谱是一个区间。它示出的答案是“是”，如果$G$是不是一个明星和$H$不包含一个悬垂的边缘。
2010-05-14 math.CO
The niche graphs of doubly partial orders
已知双偏序的竞争图是区间图。双偏序的竞争共敌图也被称为区间图，除非它包含一个长度为4的圈作为诱导子图。本文证明了双偏序的小生境图不一定是区间图。事实上，我们证明了，对于每个整数n至少4，存在一个双重偏序，其生态位图包含一个诱导子图同构于一个长度为n的圈。我们还证明了如果双偏序的小生境图是无三角形的，那么它是区间图。
2009-05-25 math.CO
Median eigenvalues of bipartite subcubic graphs
证明了除Heawood图的中值特征值为$\pm\sqrt{2}$外，所有最大度不超过3的连通二部图$G$的中值特征值都属于区间$[-1,1]$.此外，如果$G$不是同构的希伍德图，那么它的中值特征值的一个正分数位于区间$[-1,1]$。这个令人惊讶的结果是由数学化学中出现的HOMO-LUMO分离问题激发的。
2013-09-28 math.CO
A trinity of duality: non-separable planar maps, $β$-(1,0) trees and synchronized intervals
映射的对偶是组合映射的一个基本构造，但许多其他组合对象也具有对偶的概念。例如，Tamari格同构于它的阶对偶，这导致了由Préville-Ratelle和本作者引入的所谓“同步区间”集合上的对合。另一个例子是$β$ -（1，0）树类，它有一个神秘的对合$h$，由Claesson，Kitaev和Steingrímsson（2009）提出。这两类组合对象与不可分平面映射类都是双射的，这类映射是由映射对偶封闭的。在这篇文章中，我们展示了我们可以使用以前已知的自然双射来识别这三类对象中的对偶概念，这导致了Kitaev和de Mier（2013）结果的双射证明。我们还讨论了各种统计量是如何通过对偶和我们使用的双射来转移的。
2017-03-09 math.CO
