Counting subrings of $\mathbb Z^n$ of non-zero co-rank
本文研究了共秩$k$的$\mathbb Z^{n+k}$的子环.
2019-08-12 math.CO math.NT
An upper bound for counting algebraic tori over $\mathbb{Q}$ by Artin conductor
Ajou University（阿敬大学）
该研究给出Q上n维代数环面同构类数的上界，其证明借助ChatGPT 5.6 Pro的迭代对话完成。
2026-08-05 math.NT
Counting algebraic tori over $\mathbb{Q}$ by Artin conductor
Ajou University（亚洲大学）
本文通过Artin导数研究有理数上代数tori的计数问题，提出渐进行为猜想并证明其与Malle猜想的关系，同时给出二维tori的上界估计。
2026-07-22 math.NT
$2$-adic slopes of Hilbert modular forms over $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$
我们表明，算术权重与一个固定的有穷级字符，$U_p$（$p=2$）的斜率作用于过收敛的希尔伯特模形式的水平$U_0(4)$是独立的（代数部分）的重量，可以通过一个简单的配方从经典的平行重量$3$的斜率。
2020-05-10 math.NT
Counting rational points near planar curves
我们找到了平面曲线附近有理点个数的一个渐近公式。更确切地说，如果$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$是一个足够光滑函数定义的区间$[η,ξ]$，然后与分母不大于$Q$的有理点的数目位于$f$的图的$δ$ -邻域内被证明是渐近等价于$(ξ-η)δQ^2$。
2014-01-20 math.NT
A Note on Counting Lattice Points in Bounded Domains
本文利用$k$元组zeta函数的零点与极点，将正整数编码于成对互素的$k$格中，从而推导出计数素数幂$k$元组的显式公式，并应用于$\bb{R}^2$及$\bb{R}^n$中有界区域的格点计数，特别计算了圆内格点数。
2023-10-17 math.NT
Counting 5-isogenies of elliptic curves over $\mathbb{Q}$
本文通过建立模曲线栈与广义费马方程之间的显式同构，证明了有理数域上高度有界的椭圆曲线5-同源数量的渐近公式，从而解决了亏格零模曲线上有理点计数的渐近问题。
2025-06-06 math.NT
Counting multiplicative groups with prescribed subgroups
我们研究两个表面上看起来非常群论的计数问题，但仔细检查，原来是关于整数的限制，他们的素因子。首先，给定一个奇素数$q$和一个有限阿贝尔$q$ -群$H$，我们考虑整数集合$n\le x$使得乘法群$(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$的Sylow $q$ -子群同构于$H$ .我们表明，这组整数的计数功能是渐近$K x(\log\log x)^\ell/(\log x)^{1/(q-1)}$的显式常数$K$和$\ell$依赖于$q$和$H$。其次，我们考虑整数集合$n\le x$，使得乘法群$(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$是“极大非循环的”，也就是说，使得它的所有素幂子群都是初等群。我们表明，这一组整数的计数功能是渐近$A x/(\log x)^{1-ξ}$为一个明确的常数$A$，其中$ξ$是阿丁常数。事实证明，这两个群论问题都可以简化为对素数因子有限制的整数计数问题，从而可以通过解析数论的经典技术来解决。
2020-07-18 math.NT
Counting elliptic curves with prescribed entanglements
Cornell University（康奈尔大学）；Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）
该研究通过数论几何和筛法技术，证明了具有特定分裂场纠缠的椭圆曲线数量随高度增长的渐近下界。
2025-11-14 math.NT
Counting periodic points over finite fields
令$V$是定义在$\mathbb{F}_q$上的拟投射簇，并且令$ϕ:V\rightarrow V$是也定义在$\mathbb{F}_q$上的$V$的自同态。设$G$是$\operatorname{Aut}_{\mathbb{F}_q}(V)$的有限子群，且$ϕ$与$G$的每个元素都可交换.我们证明了群环$\mathbb{Q}[G]$中的幂等关系给出了由$ϕ$在$V$的子群上通过$G$的各个子群诱导的映射的周期点计数之间的关系.我们还表明，如果$G$是阿贝尔，周期点计数的自同态$V/G$诱导的$ϕ$的周期点计数的$V$和所有的扭曲由$G$。
2017-05-25 math.NT
Counting integer matrices with square-free determinants
University of New South Wales（新南威尔士大学）
研究整数矩阵集合中行列式为平方自由数的矩阵数量，并推导出相关渐进行为，同时改进方法计算矩阵行列式与欧拉函数的和。
2026-10-12 math.NT
Index, Prime Ideal Factorization in simplest Quartic Fields and counting their discriminants
考虑由不可约四次多项式$$x^4-mx^3-6x^2+mx+1,$$定义的最简单四次数域$\mathbb{K}_m$，其中$m$遍历正有理整数，使得$m^2+16$的奇数部分是无平方的.本文研究了最简四次数域$\mathbb{K}_m$中的公共指标因子$I(\mathbb K_m)$，并明确地确定了任意素数的素理想分解.另一方面，我们建立了具有判别式$\leq x$和给定指标的最简四次域个数的渐近公式。
2018-01-12 math.NT
Poisson distribution of a prime counting function corresponding to elliptic curves
设$E$是定义在有理域$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，$N$是正整数.现在，$M_E(N)$表示素数$p$的个数，使得群$E_p(\mathbb{F}_p)$的阶为$N$。我们发现，$M_E(N)$遵循泊松分布时，采取了一个大类的曲线的平均值。
2016-09-27 math.NT
Counting elliptic curves with prescribed level structures over number fields
Harron和Snowden计算了$\mathbb{Q}$上每一个可能的挠群$G$在$\mathbb{Q}$上直到高度$X$上的椭圆曲线的个数。本文将他们的结果推广到所有数域和所有水平结构$G$，使得相应的模曲线$X_G$是加权射影线$\mathbb{P}(w_0,w_1)$，态射$X_G\to X(1)$满足一定的条件.特别地，这包括具有亏格$0$的粗模空间的所有模曲线$X_1(m,n)$。我们证明了我们的结果，定义一个大小函数$\mathbb{P}(w_0,w_1)$以下未发表的工作邓，并制定出如何计数的点的数量$\mathbb{P}(w_0,w_1)$的大小$X$。
2022-06-02 math.NT
Factorization of Hilbert class polynomials over prime fields
令$D$是与$0$或$1\bmod{4}$全等的负整数，并且$\mathcal{O}=\mathcal{O}_D$是$ K=\mathbb{Q}(\sqrt{D})$的对应阶。希尔伯特类多项式$H_D(x)$是$\mathcal{O}$在$K$上的$j$ -不变量$ j_D=j(\mathbb{C}/\mathcal{O})$的最小多项式.令$n_D=(\mathcal{O}_{\mathbb{Q}( j_D)}:\mathbb{Z}[ j_D])$表示$\mathbb{Z}[ j_D]$在$\mathbb{Q}(j_D)$的整数环中的指数。假设$p$是任意素数。如果$p\nmid n_D$或$p\nmid D$在$K$和$p$ -adic赋值$v_p(n_D)\leq 3$中是惰性的，则我们完全确定$H_D(x)$在$\mathbb{F}_p[x]$中的因式分解。作为一个应用，我们分析了Collivan和Kohel在2019年提出的定向超奇异同构Diffie-Hellman（OSIDH）协议的密钥空间，该密钥空间是$\mathbb{F}_{p^2}$中Hilbert类多项式的根集。
2021-08-04 math.NT
Counting biquadratic number fields with quaternionic and dihedral extensions
本文研究了可嵌入四元数或二面体扩张的双二次数域的计数问题，通过用 Hilbert 符号表达逆 Galois 问题的可解性，并应用 Heath-Brown 的方法界定关联二次特征标的和，建立了有界判别式下此类数域数量的渐近公式。
2025-06-26 math.NT
On the mean square of the remainder for the Euclidean lattice point counting problem
我们给出了均方边界的其余部分在格子点计数问题，计算格子点的数量在一个大的球在$\mathbb{R}^d$，当平均超过家庭的剪切晶格。
2015-12-18 math.NT
Counting flags of primitive lattices
我们计算原始格的标志，这些标志是${0}=Λ^{(0)}<Λ^{(1)}< \cdots <Λ^{(\ell)}= \mathbb{Z}^n$形式的对象，其中每个$Λ^{(i)}$是$\mathbb{Z}^n$中的原始格。计数是关于两个不同的自然高度函数，使我们能够给一个新的证明的Manin猜想旗品种超过有理数。我们推导了旗簇中有理点的等分布，以及相继商格$Λ^{(i)}/Λ^{(i-1)}$的形状的等分布。在这样做时，我们推广以前的工作施密特，以及我们自己的，计数原始格的秩$d<n$。
2022-02-25 math.NT
Counting solutions of special linear equations over finite fields
设$q$是素数幂，$\mathbb F_q$是具有$q$元素的有限域，$d_1, \ldots, d_k$是正整数.本文研究了方程\begin{equation*}L_1(x_1)+\cdots+L_k(x_k)=b,\end{equation*}在$z_i\in \mathbb F_{q^{d_i}}$约束下的解$(z_1, \ldots, z_k)\in\overline{\mathbb F}_q^k$的个数，其中每个$L_i(x)$都是$\sum_{j=0}^{m_i}a_{ij}x^{q^j}\in \mathbb F_q[x]$和$b\in \overline{\mathbb F}_q$形式的非零多项式.我们描述元素$b$上面的方程有一个解决方案，在肯定的情况下，我们确定的解决方案的确切数量。作为我们的主要结果的应用，我们得到的基数的和集$$\sum_{i=1}^k\mathbb F_{q^{d_i}}:=\{α_1+\cdots+α_k\,|\, α_i\in \mathbb F_{q^{d_i}}\}.$$我们的方法也使我们能够解决另一个有趣的问题，关于存在和数量的元素在$\mathbb F_{q^n}$与规定的轨迹在中间$\mathbb F_q$ -扩展$\mathbb F_{q^n}$。
2020-09-27 math.NT
Counting embeddings of free groups into $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ and its subgroups
本文计数自由群到 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 及同余子群 $\Gamma_0(Q)$ 的嵌入，证明随机矩阵以高概率自由生成子群，并修正 Fuchs–Rivin 的相关结论。
2023-04-21 math.NT
Counting non-standard binary representations
令$\mathcal{A}$是包括$0$的$\mathbb{N}$的有限子集，并且$f_\mathcal{A}(n)$是写入$n=\sum_{i=0}^{\infty}ε_i2^i$的方式的数目，其中$ε_i\in\mathcal{A}$。我们考虑$f_\mathcal{A}(n)$的求和函数$s_\mathcal{A}(r,m)$从$m2^r$到$m2^{r+1}-1$的渐近性，并表明对于某些$c(\mathcal{A},m)\in\mathbb{Q}$，$s_{\mathcal{A}}(r,m)\approx c(\mathcal{A},m)\left|\mathcal{A}\right|^r$。
2015-09-03 math.NT
Counting points on bilinear and trilinear hypersurfaces
考虑具有整数系数的不可约双线性型$f(x_1,x_2;y_1,y_2)$。我们推导出一个上界的整数点$(\mathbf{x},\mathbf{y})\in\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$内满足方程$f=0$的框的数量。我们的界限似乎是最好的可能的界限，主项随着$f$形式的行列式的增大而减小。我们进一步讨论的情况下，$f(x_1,x_2;y_1,y_2;z_1,z_2)$是一个不可约的非奇异三线性形式定义在$\mathbb{P}^1\times \mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$，整数系数。在这种情况下，我们研究的奇异性和约化条件的$f$。为此，我们使用与$f$相关的Cayley超行列式$D$。然后，我们推导出一个上界的整数点的盒子上这样的三线性形式的数量。估计的主项随着$D$的增大而提高。我们的方法是基于基本的晶格结果。
2015-02-26 math.NT
Counting Finite Index Subrings of $\mathbb{Z}^n$
本文对$\mathbb{Z}^n$的小指标子环进行了计数，其中加法和乘法是按分量定义的.令$f_n(k)$表示指数为$k$的子环的数目。对于任何$n$，我们给出了一个公式，这个数量的所有整数$k$是不能整除的9次幂的素数，刘的结果。
2020-07-31 math.CO math.NT
On rational singularities and counting points of schemes over finite rings
本文研究了有限型$\mathbb{Z}$ -格式X的奇点与各种有限环上X的渐近点计数之间的关系。特别是，如果通用纤维$X_{\mathbb{Q}}=X\times_{\mathrm{Spec}\mathbb{Z}}\mathrm{Spec}\mathbb{Q}$是一个局部完全相交，我们表明，有界的$\frac{\left|X(\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z})\right|}{p^{n\mathrm{dim}X_{\mathbb{Q}}}}$在p和n实际上是等价的条件，即$X_{\mathbb{Q}}$减少，并有合理的奇点。本文完善了Aizenbud和Avni的一个结果。
2017-11-04 math.AG math.NT
Counting in Vieta graphs over $\mathbb{F}_p$
Indiana University Indianapolis（印第安纳大学印第安纳波利斯分校）
该研究引入有限域F_p上的Vieta图（Markoff图的推广），基于二次特征和系统方法研究其顶点数与度分布等计数问题，处理了三、四变量的低维显式计数情形。
2026-08-05 math.CO math.NT
Counting Separable Polynomials in $\mathbb{Z}/n[x]$
对于交换环$R$，多项式$f\in R[x]$称为可分的，如果$R[x]/f$是可分的$R$ -代数。本文导出了当$R = \mathbb{Z}/n$时可分多项式个数的计算公式，推广了L. Carlitz例如，我们证明了$\mathbb{Z}/n[x]$中可分多项式的个数是$ϕ(n)n^d\prod_i(1-p_i^{-d})$，其中$n = \prod p_i^{k_i}$是$n$的素因子分解，$ϕ$是欧拉函数。
2017-03-21 math.NT math.RA
Counting rational maps on $\mathbb{P}^1$ with prescribed local conditions
University of Calgary（卡尔加里大学）；Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）
本文研究了具有指定局部条件的有理映射计数问题，证明了具有最小余数的映射集合具有正密度，并对度数为2的映射进行了显式计算。
2026-01-04 math.DS math.NT
A lattice point counting approach for the study of the number of self-avoiding walks on $\mathbb{Z}^{d}$
该研究通过将正方形格自回避行走计数简化为多维域整点计数，得到其长度为$n$的渐近估计，并为任意$d\geq 2$维$\mathbb{Z}^{d}$格自回避行走数量性质研究提供统一框架。
2025-04-20 math.CO math.NT math.PR
Counting rational points on quartic del Pezzo surfaces with a rational conic
上，下界，预期的数量级，得到的数量有理点的有界高度上的任何四次del Pezzo表面上的$\mathbb{Q}$，其中包含一个圆锥曲线定义在$\mathbb{Q}$。
2018-05-23 math.AG math.NT
Counting the number of $n$-periodic $\mathbb{Z}_{p}$-and $\mathbb{F}_{p}[t]$-points of a discrete dynamical system with applications from arithmetic statistics, VI
本文研究了多项式映射φ_{d,c}的n-周期点数量，揭示了其与系数c的关系，并在算术统计中应用了密度和等分布结果。
2026-04-03 math.DS math.NT
Counting and Hausdorff measures for integers and $p$-adic integers
本文利用 $p$-进整数的分形结构研究整数集合，建立计数测度界、计数维数与盒计数维数关系，并给出整数集为闭集投影的充要组合条件。
2024-08-06 math.CO math.DS math.NT
Counting elliptic curves of bounded Faltings height
给出了$\mathbb{Q}$上Faltings高度有界的椭圆曲线个数的一个渐近公式. Silverman证明了数域上椭圆曲线的Faltings高度可以用模函数和椭圆曲线的最小判别式表示。我们用这个来重铸的问题之一，在$\mathbb{R}^2$的特定区域的晶格点计数。
2016-02-16 math.AG math.NT
Divisibility on point counting over finite Witt rings
令$\mathbb{F}_q$表示具有特征$p$的$q$元素的有限域。令$\mathbb{Z}_q$表示$p$ -进整数$\mathbb{Z}_p$的带剩余域$\mathbb{F}_q$的非分歧扩张.本文研究了有限Witt环$\mathbb{Z}_q/p^m\mathbb{Z}_q$上以$n$为变量的多项式系统的解的个数的$q$ -整除性，其中多项式的$n$变量被限制为通过组合箱提升$\mathbb{F}_q^n$ .组合箱的引入使问题变得复杂得多。本文证明了一个$q$ -整除定理，它适用于任何代数复杂度低的盒，包括最简单的Teichmüller盒，推广了有限域$\mathbb{F}_q$上的经典Ax-Katz定理（即$m=1$情形）.当$q=p$是素数时，我们的结果推广和改进了Grynkiewicz的一个组合定理.我们不同的方法是基于维特向量的加法运算，在概念上更加透明。
2022-10-22 math.AC math.NT
Counting the number of $\mathbb{Z}_{p}$-and $\mathbb{F}_{p}[t]$-fixed points of a discrete dynamical system with applications from arithmetic statistics, III
本文研究多项式动力系统中$\mathbb{Z}_{p}$-和$\mathbb{F}_{p}[t]$-固定点的计数问题，并应用算术统计结果获得数域和函数场的统计结果。
2026-01-13 math.DS math.NT
Counting Co-Cyclic Lattices
由于W. M. Schmidt（1968）给出了在$\mathbb{Z}^n$中索引至多为$V$的满秩整数格的个数。该格集$L$可以自然地关于因子组$\mathbb{Z}^n/L$被划分。相应地，我们计算了满秩整数格$L \subseteq \mathbb{Z}^n$的个数，使得$\mathbb{Z}^n/L$是循环的，且阶数至多为$V$，并推导出这些共循环格在所有整数格中占优势：它们的自然密度为$\left(ζ(6) \prod_{k=4}^n ζ(k)\right)^{-1} \approx 85\%$ .这个问题的动机是复杂性理论，即最坏情况下的平均情况下减少格问题。
2015-05-24 cs.DM math.NT
Counting distinct functional graphs from linear finite dynamical systems
设$\mathbb F_q$是具有$q$元素的有限域，对于每个正整数$n$，$A_q(n)$是由$\mathbb F_q$ -线性映射$T:\mathbb F_{q}^n\to \mathbb F_{q}^n$产生的非同构函数图的个数.在2013年，巴赫和布里迪证明了，如果$q$是固定的，并且$n$足够大，则量$\frac{\log \log A_q(n)}{\log n}$位于区间$[\frac{1}{2}, 1]$中。结合线性代数、组合数学和数论的一些思想，本文给出了函数$A_q(n)$的较精确的估计，特别地，我们证明了对每一个素数幂$q$，$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\log\log A_q(n)}{\log n}=1$都成立.
2021-05-20 math.CO math.NT
Counting factorisations of monomials over rings of integers modulo $N$
一个尖锐的界限，获得的方式来表达单式$X^n$作为一个产品的线性因子超过$\mathbb{Z}/p^α\mathbb{Z}$。证明依赖于一个归纳规模的程序，这是用来估计的解决方案的数量，以一定的系统多项式同余。该方法也适用于更一般的系统的多项式同余，满足非退化假设。
2017-11-15 math.CA math.NT
Sharp o-minimality and lattice point counting
本文在sharp o-极小结构与$\mathbb{R}_{\exp}$的语境下，分别给出了Barroero和Widmer关于o-极小可定义族纤维格点计数精确估计结果的有效版本。
2025-05-20 math.LO math.NT
As Easy as $\mathbb Q$: Hilbert's Tenth Problem for Subrings of the Rationals and Number Fields
有理数域$\mathbb Q$上的希尔伯特第十问题是数论中不可判定性领域最大的开放问题之一。在本文中，我们构造新的，可计算表示的子环$R$的$\mathbb Q$具有的性质，希尔伯特的第十问题$R$，表示$HTP(R)$，是图灵等价于$HTP(\mathbb Q)$。我们能够对我们构造的环$R$施加几个额外的约束。给定任意可计算非负实数$r \leq 1$，我们构造了这样一个环$R = Z[\frac1p : p \in S]$，其中$S$是一组密度较低的素数$r$ .我们还构造环$R$的例子，决定$R$的成员是图灵等价于决定$HTP(R)$，也相当于决定$HTP(\mathbb Q)$。或者，我们可以使$HTP(R)$具有任意可计算的可计算度，高于$HTP(\mathbb Q)$。最后，我们证明了对于数域的子环和它们的素理想也可以这样做。
2016-01-26 math.LO math.NT
A new sieve for restricted multiset counting
当基础集是对称的时，将Li-Wan筛法推广到多重集.证明的主要内容是$\{1,2,\dots,k\}$的细分偏序集上的Mobius反演公式。作为说明性的应用，我们研究了有限域上的划分问题和加法群$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$上的零和多重集问题。.
2021-10-08 math.CO math.NT
Counting flat cycles in the homology of locally symmetric spaces
像$SL(n,\mathbb Z)\backslash SL_n(\mathbb R)/SO(n)$这样的局部对称空间包含维数等于实秩的浸入紧致平坦流形。我们给出了这些圈对同余覆盖同调的贡献的一个下界。类似的结果证明了其他家庭的局部对称空间。
2022-06-23 math.GR math.GT math.NT
On quantum cohomology ring of elliptic $\mathbb{P}^1$ orbifolds
利用轨道曲线计数方法计算了椭圆$\mathbb{P}^1$轨道折叠的量子上同调环。主要技术是分类定理，它涉及全纯轨道曲线与某些orbifold覆盖。轨道曲线的计数与丢番图方程的整数解有关。这通过不同的方法再现了Satake和Takahashi在$\mathbb{P}^1_{3,3,3}$情况下的计算。
2014-06-15 math.NT math.SG
Counting Roots of Polynomials over $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$
直到最近，除了域之外，唯一已知的在素幂环上求多项式根的方法是蛮力。其中一个原因是缺乏除法算法，阻碍了最大公因数的使用。固定一个素数$p \in \mathbb{Z}$和$f \in ( \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z} ) [x]$任何非零多项式的次数$d$，其系数不都是可被$p$整除的。对于$n=2$，我们证明了在$(d+\operatorname{size}(f)+\log{p})$中的时间多项式内计算$\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$中的$f$的根的一个新的有效算法，并记录了Cheng，Gao，Rojas和Wan提出的根数的简明公式.
2017-12-12 cs.CC cs.SC math.AC
Counting Drinfeld modules with prescribed local conditions
该研究针对$\mathbb{F}_q(T)$上给定高度且满足指定局部条件的Drinfeld $\mathbb{F}_q[T]$-模数量给出渐近估计，通过关联加权射影空间点计数问题实现，其关于全局函数域上加权射影空间有界高度点计数的结果具独立意义。
2024-12-01 math.AG math.NT
Counting elliptic curves with a cyclic $m$-isogeny over $\mathbb{Q}$
Dartmouth College（达特茅斯学院）
本文利用解析数论和Tauberian定理，给出了有理数域上具有循环$m$-同源的椭圆曲线在二次扭转和同构意义下的计数渐近式，并获得了幂次节省的误差项。
2026-09-28 math.AG math.NT
Sub-Linear Point Counting for Variable Separated Curves over Prime Power Rings
设$k,p\in \mathbb{N}$与$p$为素数，$f\in\mathbb{Z}[x_1,x_2]$为二元多项式，其次数为$d$，且所有绝对值系数至多为$p^k$ .还假设$f$是变量分离的，即，$g_i\in\mathbb{Z}[x_i]$的$f=g_1+g_2$。我们给出了第一个算法，在$p$的复杂性次线性，计算$f$的根数$\mathbb{Z}$ mod $p^k$为任意$k$：我们的拉斯维加斯随机算法的工作时间$(dk\log p)^{O(1)}\sqrt{p}$，并承认一个量子版本的光滑曲线工作时间$(d\log p)^{O(1)}k$。除了一些关于非孤立奇点的微妙之处，我们的技术推广到$\mathbb{Z}[x_1,\ldots,x_n]$在$\mathbb{Z}$ mod $p^k$上的多项式的根的计数。我们的技术是有效的点计数的品种在伽罗瓦环（这是相关的纠错码在高维品种）的第一步，也意味着新的速度计算Igusa zeta函数的曲线。后面的zeta函数是算术几何中的基础。
2021-02-02 cs.CC math.AG math.NT
Counting points on genus-3 hyperelliptic curves with explicit real multiplication
我们提出了一个Las Vegas概率算法来计算定义在有限域$\mathbb F_q$上的亏格-3超椭圆曲线的zeta函数，并在全实三次域中用一阶$\mathbb Z[η]$进行显式实数乘法。我们的主要结果表明，该算法需要一个预期数量的$\widetilde O((\log q)^6)$位操作，在$\widetilde O()$中的常数取决于环$\mathbb Z[η]$和多项式的次数表示的自同态$η$。作为概念验证，我们计算在64位素域上定义的曲线的zeta函数，并通过$\mathbb Z[2\cos(2π/7)]$进行显式实数乘法。
2018-09-20 cs.SC math.AG math.NT
Point counting and Wilkie's conjecture for non-archimedean Pfaffian and Noetherian functions
我们考虑的问题，计数多项式曲线的分析或定义的子集上的字段${\mathbb{C}}(\!(t)\!)$，作为一个功能的程度$r$。这类结果可以通过类比阿基米德情形下的经典皮拉-威尔基计数定理来预期。在Cluckers-Comte-Loeser对${\mathbb{Q}}_p$域的工作中，已经开发了一些这种类型的非阿基米德类似物，但在${\mathbb{C}}(\!(t)\!)$中的情况似乎有很大的不同。我们证明了一组多项式曲线的一个固定的程度$r$上的超越部分的子解析集${\mathbb{C}}(\!(t)\!)$是自动有限的，但给出的例子表明，他们的数量可以任意增长迅速，即使是解析集。因此，没有类似的皮拉-威尔基定理可以预期举行的一般解析集。另一方面，我们表明，如果一个限制到品种定义的Pfiran或诺特函数，然后在最多项式增长的数量在$r$，从而表明，模拟威尔基的猜想在这种情况下举行。
2021-08-12 math.AG math.LO math.NT
