New Invariants of Knotoids
本文构造了拟节胚的新的不变量，包括奇扭、奇偶括号多项式、仿射指数多项式和箭多项式，并介绍了虚拟节胚的理论。本文中的不变量定义为经典的knotoid在类比相应的不变量的虚拟节。仿射指数多项式和箭头多项式提供了经典knotoid的高度（端点之间的最小交叉距离）的界限。我们证明了经典的knotoid有对称的仿射指数多项式。
2017-03-15 math.GT
Virtual Knotoids in Thickened Surfaces
Izmir Institute of Technology（伊兹密尔理工大学）
本文通过将虚拟结oid解释为厚化表面中的弧，证明了虚拟结oid理论是经典结oid理论的推广，并验证了Kauffman的猜想。
2026-03-04 math.GT
Double branched covers of knotoids
通过使用双分支覆盖，我们证明了有一个1-1之间的对应关系的集合knotoids在2-球面，直到方向反转和旋转，和结与一个强反转，共轭。这种对应关系使我们能够通过来自纽结理论的工具和不变量来研究knotoid。特别是，从几何化的概念推广到knotoid，使我们能够在双曲情况下证明可逆性和其他性质。此外，与我们的建设，我们能够检测平凡knotoid在2球和平凡平面knotoid。
2019-09-25 math.GT
Signed Heights of Knotoids
结节状体的高度是衡量它离结有多远的尺度。在这里，我们定义了高度的正负部分，并证明了它们决定了无符号高度。一些多项式不变量提供了符号高度的下界。我们还研究了一组序列相关的knotoid。
2020-11-16 math.GT
Quantum invariants of knotoids
在这篇文章中，我们构造了$\mathbb{R}^2$中类结点图的量子不变量。这些图是相对于平面中的给定方向（{ \it Morse knotoid}）排列的。一个Morse knotoid图可以被分解成基本的基本图，每个基本图都与一个矩阵相关联，该矩阵产生量子杨-巴克斯特方程的解。我们恢复括号多项式，并定义了旋转括号多项式，二元括号多项式，亚历山大多项式，广义亚历山大多项式和无限的特殊化的Homflypt多项式的Morse knotoids通过量子状态和模型。
2021-02-25 math.GT
The unknotting numbers for plus-welded knotoids
Dalian University of Technology（大连理工大学）；Sobolev Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院西伯利亚分院索博列夫数学研究所）
本文研究plus-welded结oid的解结数，通过下降图和扭度提出两种解结操作并给出上界。
2026-01-27 math.GT
A three-variable transcendental invariant of planar knotoids via Gauss diagrams
该研究通过高斯图索引函数提出平面类纽结的三变量超越不变量，证明其为一阶Vassiliev不变量，并用于给出同伦平面类纽结Gordian距离的下界。
2025-01-14 math.GT
The r-coverings and local moves of planar virtual knotoids
Dalian University of Technology（大连理工大学）；Sobolev Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院西伯利亚分院索博列夫数学研究所）
该研究针对平面虚拟纽托伊德，引入$r$-覆盖确定其同伦关系、推导戈尔迪安距离下界，还研究$\triangle$-移动与虚拟区域交叉变换的对应距离下界，计算了部分同伦对的精确戈尔迪安距离。
2026-08-24 math.GT
The $F$-polynomial invariant for knotoids
本文为结环引入新的$F$-多项式不变量，并构造一族可由其区分但指数和第$n$多项式无法区分的结环图。
2023-12-26 math.GT
A relation between the crossing number and the height of a knotoid
结子是开放式的结图，被认为是Reidemeister移动和同位素。这个概念是由V.~引入的。2012年，图拉耶夫。结节的两个最重要的数字特征是交叉数和高度。后者是图和连接其端点的弧之间的最少交叉点数量，其中最小值是在所有代表性图上取的，并且所有这样的弧与交叉点不相交。本文回答了这样一个问题：交点数与纽结线的高度是否有关系？证明了拟结点的交叉数大于或等于拟结点高度的两倍。将该不等式与已知的高度下界相结合，利用纽结线的扩张括号多项式、仿射指数多项式和箭头多项式，得到了纽结线交叉数的一个下界.作为我们的结果的应用，我们证明了一个上界的桥的长度在一个最小图的一个经典的纽结：在一个最小图的纽结的交叉数是大于或等于三倍的长度最长的桥在图中。
2020-09-06 math.GT
A survey on knotoids, braidoids and their applications
本文是对节状体和辫状体理论的综述。结状体是表面上的开放式结图，而辫状体是类似于经典辫状体的几何对象，形成了平面上结状体理论的对应理论。我们通过这些对象的基本概念和现有的工作，以及它们在蛋白质研究中的应用进行调查。
2019-03-04 math.GT
Rail knotoids
我们的工作轨道弧和轨道合痕的概念，在$\mathbb{R}^3$，我们介绍的概念，轨道knotoid图及其等价。我们的主要结果是，两个轨道弧在$\mathbb{R}^3$是轨道同位素当且仅当他们的knotoid图投影到平面上的两条线，我们称之为轨道，是等价的。我们还把$\mathbb{R}^3$中的轨线合痕与亏格$2$的链体纽结理论联系起来。
2019-03-23 math.GT
A braidoid equivalence for spherical knotoids
本研究针对球面纽结类的辫状表示问题，通过细化辫状图的L-等价概念，建立了S²中（多）纽结类图以带标记辫状图闭包表示时的等价定理，完善了辫状理论与纽结类理论的对应关系。
2024-07-12 math.GT
Planar Equivalence of Knotoids and Quandle Invariants
针对平面纽结类分类难的问题，本文用受限广群着色与上循环不变量研究其等价性，还提出更强的三角广群上循环不变量，可用于检测平面性及分析对称性。
2024-07-10 math.GT
Tied pseudo links \& Pseudo knotoids
本文研究了{ \it伪结点}理论，它是一种具有缺失交叉信息的结点，介绍并研究了{ \it伪系链}理论和{ \it伪拟结点}理论。特别是，我们首先提出了一个编织算法的伪结，然后我们介绍了$L$ -移动在该设置中，使用它，我们制定了一个尖锐的版本的模拟伪辫子的马尔可夫定理。然后介绍并研究了{ \it系伪链}理论，它推广了系链的概念，并利用系伪链与系奇异链之间的关系。首先，我们提出了一个$L$移动编织等效捆绑奇异编织。然后，我们介绍了绑伪辫幺半群，我们制定和证明类似的亚历山大和马尔可夫定理绑伪链接。最后，我们介绍和研究了{ \it pseudo knotoids}的理论，它推广了knotoids的概念。我们提出了一个伪knotoid的合线定理，然后我们传递到braidoid水平。通过引入{ \it pseudo} $L$ { \it -moves}，并通过给出伪结子的Alexander定理和Markov定理的类似物，我们进一步介绍和研究了{ \it pseudo braidoid}.我们还讨论了进一步的研究有关{ \it绑（多）-knotoids和绑伪（多）-knotoids}。伪结理论可以作为研究DNA的有力工具，而捆绑连接在分子生物学的其他方面也有潜在的用途。
2020-11-26 math.GT
Vassiliev invariants for virtual knotoids
Dalian University of Technology（大连理工大学）；Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京国际数学研究中心）；Sobolev Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院西伯利亚分院索博列夫数学研究所）
本文提出了一种虚拟结的0平滑不变量F，证明其为一阶Vassiliev不变量，并展示F提供的信息少于Petit的粘合不变量。
2026-02-12 math.GT
On the neighborhood of knots
本文提出通过研究纽结嵌入的邻域及其纽结oid谱来区分纽结，证明邻域不变量能比直接应用于纽结本身区分更多纽结，包括某些突变纽结和平凡纽结检测问题。
2024-10-21 math.GT
Framed Knotoids and Their Quantum Invariants
我们修改球形knotoids的定义，包括一个框架，在类似的框架结，并定义了进一步的修改，包括一个二级的“coframming”，以获得“biframed”knotoids。我们展示了拓扑空间，其周围的合痕类是在一对一的对应框架和双框架knotoid分别。然后，我们展示了如何框架和biframe knotoid允许我们推广量子结不变量的knotoid设置，导致建设一般Reshetikhin-Turaev型biframe knotoid不变量。
2022-03-15 math.GT math.QA
Two-variable Parity Polynomial for Virtual Knotoids
Dalian University of Technology（大连理工大学）；Dalian Polytechnic University（大连工业大学）；Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京应用数学与计算科学研究所）；Sobolev Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院西伯利亚分院索博列夫数学研究所）；Tomsk State University（托木斯克国立大学）
提出虚拟结环的二元奇偶多项式不变量，基于经典交叉点的奇偶性分类，能区分奇扭数和仿射指标多项式无法区分的虚拟结环对，并证明其为一阶Vassiliev不变量。
2026-07-24 math.GT
New Quantum Invariants of Planar Knotoids
该研究将类纽结用于开曲线纽结建模，定义双标架平面类纽结并构造可多项式时间计算的新量子不变量，改进了交叉数≤5的平面类纽结的分类。
2022-07-11 math.GT math.QA
Studies of global and local entanglements of individual protein chains using the concept of knotoids
我们在这里研究全球和本地纠缠的开放蛋白质链的概念，通过实施knotoids。2012年，弗拉基米尔·图拉耶夫（Vladimir Turaev）提出了拟纽结，作为三维空间中纽结的推广。更确切地说，knotoid是表示开放曲线在3D空间中的投影的图，与表示闭合曲线在3D空间中的投影的结图相反。与经典的纽结理论的本质区别在于，由knotoids提供的推广承认开放曲线的非平凡拓扑纠缠，只要它们的几何形状被冻结，就像结晶蛋白质的情况一样。因此，我们的方法不需要封闭的链成圈，这意味着分析链的几何形状不需要改变关闭，以表征其拓扑结构。我们的研究表明，knotoid方法可以检测到早期被分类为打结的蛋白质区域，也可以检测到我们分类为预打结的新的拓扑有趣区域。
2017-05-22 math.GT q-bio.BM
Knoto-ID: a tool to study the entanglement of open protein chains using the concept of knotoids
大多数蛋白质的骨架形成开放曲线。为了研究它们的纠缠，一个常见的策略是使用拓扑不变量搜索它们的主链中是否存在结。然而，这种方法需要将曲线闭合成环，这改变了曲线的几何形状。Knoto-ID允许评估开放曲线的纠缠，而不需要关闭它们，使用最近的概念knotoids，这是经典的结理论开放曲线的推广。Knoto-ID可以分析完整链的全局拓扑结构，也可以通过详尽地研究所有子链或仅确定打结核心来分析局部拓扑结构。Knoto-ID允许定位拓扑非平凡的蛋白质折叠，这些折叠不能通过检测打结蛋白质折叠的信息学工具检测到。
2018-06-05 math.GT q-bio.BM
Slipknotting in Random Diagrams
在蛋白质和DNA的结构中存在滑结已经被证明会影响它们的功能，或者完全改变它们的功能。历史上，聚合物被建模为空间中的多边形链。作为空间曲线的替代方案，我们提供了一个框架，通过knotoid图与结图内部的子结。我们证明使用模式定理结图，不仅几乎所有的结图slipknotted，几乎所有的unknot图slipknotted。这在随机图模型中证明了一个在随机空间曲线模型中尚未证明的猜想。本文还讨论了纽结图的计数问题。
2018-03-19 math.CO math.GT
Biquandle-Based Invariants of Virtual Knotoids and Connected Sum
Izmir Institute of Technology（伊兹密尔理工大学）
本文研究虚拟纽结链环在连通和下基于双拟群的不变量，证明了基本双拟群为推出，并给出计数矩阵与虚拟括号不变量的连通和公式。
2026-10-20 math.CO math.GN math.GT
On a move reducing the genus of a knot diagram
对于纽结图，我们引入了一种操作，它不增加图的亏格，也不改变其表示纽结的类型。我们还描述了一个条件，这种操作，一定减少亏格。证明涉及到研究虚纽结图的亏格与拟纽结图的亏格之间的关系，前者是由Stoimenow，Tchernov和Vdovenov提出的，后者是最近由Turaev提出的.我们的操作有一个简单的解释高斯码，因此可以很容易地被计算机实现。
2012-01-24 math.CO math.GT
A Functorial Map from Virtual Knots to Classical Knots and Generalisations of Parity
我们构造了从虚拟节点到经典节点的各种函子映射（投影）。这些映射被定义在虚结点的图上;根据高斯图，它们中的每一个都可以被表示为一些弦的删除。这种解释依赖于对等的概念。作为推论，我们证明了经典纽结的最小经典交叉数。
2012-09-02 math.GT
On universal parity on free two-dimensional knots
我们证明了自由二维纽结上的高斯宇称是普适的。
2021-10-02 math.GT
The Virtual Spectrum of Linkoids and Open Curves in 3-space
本文通过链oids与虚拟结的射影映射，提出新的链oids不变量，用于度量三维空间中开放曲线的结合程度，并在端点重合时趋近经典不变量。
2023-10-17 math.GT
Virtual Knot Invariants Arising From Parities
在\cite {FrKn，Sbornik}中，我们证明了在某些纽结理论中，{ \em宇称}起着决定性的作用，即一个在交叉点上以$\{0,1\}$为值的函数，并且相对于Reidemeister移动表现良好。任何奇偶校验允许一个构造函映射从节点到节点，以改善许多不变量和证明极小定理的节点。在本文中，我们推广的奇偶校验的概念和构造奇偶校验的系数从一个阿贝尔群，而不是$\mathbb{Z}_2$和调查他们为不同的纽结理论。对于某些纽结理论，我们证明了存在普适宇称，即这样的奇偶校验，任何其他奇偶因子通过它。我们意识到，在平坦的结的情况下，所有的奇偶校验起源于底层表面的同调群，并在同一时间，允许一个“本地化”的全球同调信息的周围空间的交叉点。我们证明，只有一个非平凡的奇偶自由结，高斯奇偶校验。在文章的最后，我们分析了一些不变量的行为构造的一些修改的奇偶校验。
2011-02-24 math.GT
Parity functors
奇偶校验是一种规则，以与Reidemeister移动兼容的方式将标签分配给结图的交叉点。奇偶函子可以被看作是奇偶校验，它为每个纽结图提供它自己的包含交叉奇偶校验的系数群。本文描述了自由纽结和固定曲面上纽结的泛定向宇称函子。
2021-09-24 math.GT
Parity and Cobordisms of Free Knots
在本文中，我们构造了一个简单的不变量，它为{ \em free knots}提供了一个sliceness障碍。这个障碍提供了一个新的观点，研究问题的共边的曲线浸入2-曲面，一个问题以前研究的卡特，Turaev，奥尔，和其他人。利用作者最近在研究虚纽结及其变形时引入的{ \em宇称}概念，构造了无证性的障碍。这个不变量是一个障碍，更高的属的配边与一些额外的限制。
2010-05-16 math.GT
The parity hierarchy and new invariants of knots in thickened surfaces
在本文中，我们构造了一个不变量的虚拟纽结加厚球与g手柄，这个不变量是一个Laurent多项式在2g+3个变量。为此，我们使用修改的Wirtinger介绍的纽结群和宇称的概念介绍了V. O. Manturov。第四节利用V. O. Manturov提出的奇偶性层次概念对不变式进行了改进（构造不变模）。也就是说，我们区分奇数交叉和两种类型的偶数交叉;后两种类型取决于是否偶数交叉仍然是偶数/奇数后，所有奇数交叉的图被删除。不变量的构造也适用于虚拟节点。
2013-05-09 math.GT
Parity and Exotic Combinatorial Formulae for Finite-Type Invariants of Virtual Knots
本文给出了虚纽结不变量的高斯图公式的例子，这些公式在经典纽结情况下没有类似的。这些组合公式包含有关如何将子图嵌入虚拟结图的附加信息。额外的信息来自第二作者最近发现的奇偶性概念。对于平坦虚纽结的奇偶性，新的组合公式是Kauffman有限型不变量。然而，许多组合公式具有奇异性质。证明了对于任意n，存在一个n阶的整数值虚拟化不变组合公式（即它在改变一个箭头的方向但保持符号的映射下是稳定的）.因此，它不是Goussarov-Polyak-Viro有限型的。此外，每一个齐次Polyak-Viro组合公式允许分解成一个“偶数”部分和一个“奇数”部分。对于高斯宇称，公式的任何部分都不是GPV有限型时，它是在经典的纽结集上的非常数。此外，还得到了11个新的非GPV有限型的二阶非平凡组合公式.
2012-06-24 math.GT
Introduction to Virtual Knot Theory
本文介绍虚纽结理论，阐述了新的概念和构造，包括奇偶括号多项式、箭多项式、奇偶箭多项式和箭多项式的推广。本文是相对独立的，它描述了虚拟的纽结理论组合，并在加厚表面的纽结理论。箭头多项式（Dye和Kauffman）是琼斯多项式的自然推广，通过使用状态和中的图的定向结构获得。本文讨论了Vassily Manturov开创的宇称的应用，并用他的宇称括号多项式给出了Fenn，Kauffman和Manturov的一个猜想的反例。该文件给出了一个阐述的分类的箭头多项式由于染料，考夫曼和Manturov和它给出了一个例子（从许多发现亚伦Kaestner）的一对虚拟的结，没有区分的Khovanov同源性（模2），或箭头多项式，但区别于一个分类的箭头多项式。奇偶校验计算的其他示例被指示。例如，同一对通过奇偶括号多项式来区分。
2012-07-24 math.GT
Parities on 2-knots and 2-links
2-本文研究了空间纽结和空间链环。奇偶校验的概念是通过类似于第二个命名的作者在一维情况下使用的技术。通过使用奇偶校验构造新的不变量，并改进已知的不变量。
2016-06-22 math.GT
Parity and Relative Parity in Knot Theory
本文给出了原子可定向的虚链集是闭的一个简单证明。更准确地说，该定理指出，如果两个虚拟图$K$和$K'$具有可定向原子，并且它们通过Reidemeister移动是等价的，则存在一个图序列$K = K_1 \to...\to K_n=K'$，所有图都具有可定向原子，其中$K_i$通过Reidemeister移动从$K_{i-1}$获得。最初的证明严重依赖于虚拟链路的拓扑结构，并发表在\cite{IM}。我们的证明是基于奇偶性的概念，这是由第二个命名的作者在2009年介绍。我们按照固定的规则将虚拟链路图的交叉点集合分成{ \it奇}和{ \it偶}的集合。规则必须只满足Reidemeister类型的几个条件。然后可以通过使用奇偶性来构造链接图的函子映射。奇偶性的概念允许引入新的不变量并加强已知的\cite{Ma1}。
2010-12-30 math.GT
Parity on based matrices
奇偶性是与Reidemeister移动兼容的纽结图的交叉点的标记。我们定义的概念奇偶校验为基础的矩阵-代数对象介绍了V. Turaev在他的研究虚拟字符串。本文提出了基矩阵的约化稳定奇偶性，给出了虚纽结奇偶性的一个新例子。
2021-10-10 math.GT
One-Term Parity Bracket For Braids
在以前的论文中，作者认识到许多纽结理论的以下原则：如果纽结图足够复杂，那么它会自我复制，即，是与它等价的任何其他图的子图。这个原理是由纽结的n值不变量[ ]实现的，使得[K]=K。事实证明，在自由辫子的情况下，同样的原理可以通过一项不变公式以一种意想不到的简单方式实现。
2015-01-31 math.GT
Functorial maps and weak parities
函子映射和弱宇称是等价的描述规则的替代虚拟交叉的经典图中的一个结的方式兼容的Reidemeister移动。我们引入了最大弱宇称的概念，并描述了它的节点在一个给定的封闭定向表面。这种弱宇称定义了从虚纽结到经典纽结的投影。
2012-11-02 math.GT
Parity, Skein Polynomials and Categorification
本文研究了交叉宇称在琼斯多项式虚结点括号展开中的应用。此外，我们考虑的应用程序的奇偶校验的箭头多项式，以及为两个多项式的重复。我们提出了一些例子，通过我们的计算发现。我们提供的表计算这些不变量的虚拟结最多4个真正的交叉。
2011-10-21 math.GT
Local transformations and functorial maps
图值不变量是V. O.曼图罗夫在本文中，我们给出了这样的不变量，可以分配给一个奇偶校验（一般来说，一个特征）图交叉的一般描述。我们区分两种类型的图像值不变量：导子（Turaev bracker，指数多项式等）。和函子映射（Kauffman括号、奇偶括号、奇偶投影等）。我们考虑一些二元函子映射的例子。除了已知的函子映射的情况下，我们提出了两个新的例子。序函子映射与曲面群的（预）序密切相关，并导致了兄弟节点的概念，即节点使得一个节点的任何图可以通过交叉切换转换为另一个节点的图。另一种是提升映射，它与遗忘下-过交叉信息相反，将虚拟节点转化为平坦节点。我们给出了一些例子，可提升的平结和可平坦的虚拟结。本文的附录中包含了一些光滑化的绞链模的描述。特别是，我们证明了$Δ$-等价的缠结在一个固定的表面分类的扩展同伦指数多项式。
2023-01-31 math.GT
Free Knots and Parity
我们考虑具有{ \em奇偶性}的纽结理论：根据某种普遍规则，每个交叉被判定为{ \em奇}或{ \em偶}.如果这条规则满足一些简单的公理下的行为Reidemeister移动，这导致了一种可能性，建设新的不变量和证明极小性和非平凡性定理的结从这些类，并构建地图从结到结。我们的主要例子是虚结理论及其简化，{ \em自由纽结理论}。利用高斯图，我们证明了非平凡自由纽结的存在性（Turaev猜想的反例），并构造了简单而深刻的宇称不变量。一些不变量在类图对象中取值，另一些不变量在群中取值。我们讨论应用程序的奇偶校验虚拟结和扩展著名的不变量的方式。经典纽结的非平凡宇称的存在性仍然是一个悬而未决的问题。
2009-12-29 math.CO math.GT
Parity Biquandle Invariants of Virtual Knots
我们使用宇称双量子点定义虚拟结的计数和上循环增强不变量。这些不变量是由一个双四元2-上循环和一个映射组成的对确定的，在一定的相容条件下，虚纽结的多项式不变量是单变量或双变量的。我们提供的例子表明，宇称上循环不变量可以区分虚拟的纽结，这是不区分相应的非宇称不变量。
2016-06-15 math.GT math.QA
Parity Biquandles
我们使用交叉宇称来构造一个广义的双量子点，我们称之为宇称双量子点。这些结构包括所有的双量子点作为标准示例，称为偶宇称双量子点。此外，我们发现所有的宇称倍对于一个特定的建设命名的z-奇偶亚历山大Biquandle，我们表明，相关的多项式产生一个下界的奇数交叉的数量，以及实际的交叉和虚拟交叉的虚拟结的总数。此外，我们将这种结构扩展到链接，以获得一个虚拟链路的组件之间的交叉点的数量的下界。
2011-03-15 math.GT
Picture-valued biquandle bracket
在[14]中，第二个命名的作者构造了括号不变式[]。图中取值的虚拟节点的值（省略了一些交叉信息的虚拟节点图的线性组合），使得对于许多图K，以下公式成立：[K]= K '，其中K'是图的基础图，即，图上的不变量的值等于图本身，省略了一些交叉信息。这一现象使人们可以将许多关于虚结的问题简化为关于它们的图的问题。在[25]中，作者发现了以下现象：具有某个结的双量子着色，可以通过使用依赖于颜色的各种系数来增强各种状态和不变量（例如，考夫曼括号）。考虑到奇偶性可以用双量子来处理，我们将这些论文中的两个思想结合起来，构造了经典和虚纽结的图值奇偶性双量子括号。这是一个不变量的虚结值的图片。奇偶括号和Nelson-Orrison-Rivera不变量都是这个不变量的部分情况，因此这个不变量具有许多不同的性质。
2017-01-21 math.GT
Vassiliev Invariants from Parity Mappings
定义了从高斯图的弦到整数的奇偶映射。弦的奇偶性被用来构造高斯图和虚结点的不变量族。一个族由度$n$ Vassiliev不变量组成。
2012-03-13 math.GT
Rotational Virtual Knots and Quantum Link Invariants
研究了转动虚纽结理论及其与量子链不变量的关系。每个量子链接不变量的经典纽结和链接扩展到一个不变量的旋转虚拟纽结和链接。本文建立了背景虚纽结理论，定义了旋转虚纽结理论，研究了旋转向量的括号多项式和Manturov宇称括号的推广。我们给出的例子中，没有检测到的括号多项式，但检测到的扩展奇偶括号的链接。然后介绍了有向和无向量子不变量的一般框架，并对旋转虚拟链路进行了公式化。最后，在霍普夫代数框架中的量子链路不变量部分，可以看到使用正则同伦与虚拟交叉（置换算子）相结合的自然性，因为它们显著地出现在与霍普夫代数相关的类别中。我们展示了如何通过类别和量子代数这种方法照亮了我们已经通过状态求和描述的不变量的结构。特别地，我们证明了某个非平凡链L具有平凡函子像。这意味着这种联系不会被本文概述的任何量子不变量所检测到。我们在前面的文件中，链接L是一个非平凡的旋转链接使用的奇偶括号。这些用量子代数中的图解图像进行的计算显示了这一范畴如何形成理解旋转虚结和链接的更高层次的语言。单用量子代数研究转动虚纽结有其固有的局限性。
2015-12-07 math.GT
New Parities and Coverings over Free Knots
在本文中，我们开发的奇偶校验理论发明的\cite{ManSb}，我们构造新的奇偶校验的两个组件（虚拟和自由）的链接。新的奇偶校验显着依赖于图的几何性质，特别是，它们是突变敏感。新的奇偶性实际上可以用在所有的问题中，在那里奇偶性以前被应用。
2016-05-02 math.GT
Maps from knots in the cylinder to flat-virtual knots
在本文中，我们解决的问题是如何得到一个映射从结在圆柱体上和加厚环面上的一些（广义）虚拟结称为虚拟平坦结。主要的结构是在一个圆柱体（环面）上画一个图，并增加了一些“不可见”的交叉点，这些交叉点产生了一个可以正式浸入但不能嵌入（绘制）在圆柱体（环面）上的图，并舒适地生活在更高属的加厚表面上。这使得人们可以把虚理论的不变量“拉回”到加厚圆柱（环面）中的纽结理论，其中奇偶括号和其他图像值不变量不够强。
2022-10-18 math.GT
Maps from braids to virtual braids and braid representations
虚拟纽结理论经历了许多经典纽结理论中没有出现的美好特征，例如，奇偶校验和图像值不变量。在本文中，我们使用虚拟纽结理论的影响，以构建新的代表性的经典（纯）辫子。
2023-03-02 math.GT
Free Knots, Groups, and Finite-Type Invariants
基于作者最近提出的{ \em奇偶性}概念，本文构造了一个不变量序列（由自然数$m$索引）长虚结，在某些简单定义的群${\tilde G}_{m}$中取值（这些群的Cayley图用$(m+1)$ -空间中的网格表示）; $G_{m}$的元素的共轭类扮演{ \em compact}虚纽结的不变量的角色。通过构造，所有不变量在{ \em虚拟化}下都不会更改。通过某些多项式关系分解相应群的群代数导致在{ \em虚拟化下不改变的（长）结的有穷级不变量
2010-04-25 math.GT
Signature and concordance of virtual knots
我们引入了虚拟节点的Tristram-Levine签名，并使用它们来研究虚拟节点的一致性。首先定义的签名几乎经典的结，这是虚拟的结承认同调平凡的表示。的签名和$ω$ -签名给出了几乎经典的结的拓扑片属上的界限，他们被应用到解决最近的问题染料，Kaestner和考夫曼的虚拟片属的经典结。一个猜想的拓扑切片属制定和确认所有经典的结与多达11个交叉和2150的2175的12个交叉结。塞弗特配对是用来定义有向亚历山大多项式，我们满足福克斯米尔诺准则时，几乎经典的结切片。我们引入虚拟盘带表面，并使用它们来建立几乎经典结的塞弗特矩阵的实现定理。作为结果，我们推断，任何整数多项式$Δ(t)$满足$Δ(1)=1$出现的亚历山大多项式的几乎经典的结。在最后一节中，我们利用宇称投影和Turaev的纽结覆盖将Tristram-Levine签名推广到所有的虚拟纽结。一个关键步骤是一个定理，说奇偶投影保持协调的虚拟节点。这个定理意味着签名、$ω$ -签名和Fox-Milnor准则可以被提升以给出所有虚拟节点的切片障碍。有76个几乎经典的结，最多有6个交叉点，我们使用我们的不变量来确定所有这些的切片状态和除了4个之外的所有切片属。最后的表2总结了我们的发现。
2018-07-06 math.GT
Alexander invariants of periodic virtual knots
我们发现，每个周期性的虚拟结可以实现为一个周期性的虚拟辫子的封闭，并使用此研究周期性的虚拟结的亚历山大不变量。如果$K$是一个$q$ -周期和几乎经典的结，我们表明，它的商结$K_*$也几乎是经典的，并在$q=p^r$是一个素数的权力的情况下，我们建立了一个类似的Murasugi的同余关系的亚历山大多项式的$K$和$K_*$在整数模$p$。这个结果被应用到确定虚拟结$K$的可能周期的问题。一个推论是，如果$K$是一个具有非平凡Alexander多项式的几乎经典纽结，那么它是$p$ -周期的，只有100个素数$p$。结合宇称和Manturov投影，我们的方法提供了一个一般的虚拟纽结必须满足的条件，以便是$q$ -周期的。
2017-06-08 math.GT
Bridge numbers for virtual and welded knots
使用高斯图，可以定义虚拟桥数${\rm vb}(K)$和焊接桥数${\rm wb}(K),$不变量的虚拟和焊接结与${\rm wb}(K) \leq {\rm vb}(K).$。如果$K$是一个经典的结，Brachov和Manturov表明，${\rm vb}(K) = {\rm br}(K),$的桥数作为一个经典的结，我们问是否同样的事情是真实的焊接结。焊接桥数是有界的纽结群$G_K$的双曲秩以下，我们使用这一点，这个问题与卡佩尔和Shaneson的猜想。我们将展示如何使用其他虚拟和焊接不变量，以进一步调查桥数。其中包括Manturov的宇称和约化的虚纽结群$\overline{G}_K$，并且我们应用这些方法来解决由Hirasawa、Kamada和Kamada在他们的论文“Bridge presentation of virtual knots，”J.纽结理论分支20（2011），no. 6，881- 893中提出的问题6.1、6.2、6.3和6.5。
2014-12-07 math.GT
