Soliton solutions of an integrable nonlocal modified Korteweg-de Vries equation through inverse scattering transform
众所周知，非线性薛定谔方程是一类非常重要的可积方程。Ablowitz和Musslimani通过逆散射变换引入并研究了一个可积的非局部NLS方程。最近，我们提出了一个可积的非局部修正的Korteweg-de Vries方程（mKdV），它也可以在Ablowitz和Musslimani的论文中找到。我们构造了非局域mKdV方程的达布变换和孤子解。本文将进一步研究非局部mKdV方程。通过逆散射变换，我们将给出包括孤子和呼吸子在内的精确解。这些解具有一些不同于mKdV方程的新性质。
2016-03-13 nlin.SI
Coverings over Lax integrable equations and their nonlocal symmetries
利用带不可移参数的Lax表示，构造了三维rdDym方程$u_{ty} = u_xu_{xy} - u_yu_{xx}$的两族非局部守恒律，并描述了相应覆盖下的非局部对称代数.
2015-07-20 nlin.SI
Solutions to integrable space-time shifted nonlocal equations
本文提出了一种基于双线性化和双Wronskians（或双Casoratians）的约化方法，得到了Ablowitz和Musslimani在[Phys.Lett. A，2021]。例子包括时空移动的非局域非线性薛定谔方程和修正的Korteweg-de Vries方程组以及半离散非线性薛定谔方程。结果表明，这些非局部可积方程无论有无时空位移约化，其特征值分布都是相同的，但时空位移对解中的相位项带来了新的约束.
2021-07-09 nlin.SI
Integrable nonlocal nonlinear equations
作者最近发现了一个非局部非线性薛定谔（NLS）方程，并证明它是一个可积的无穷维Hamilton方程。与经典（局部）情况不同，这里的非线性诱导“势”是$PT$对称的，因此非局部NLS方程也是$PT$对称的。本文引入了新的{ \it逆时空}和{ \it逆时间}非局部非线性可积方程。它们产生于非常简单的对称性减少一般AKNS散射问题的非局部性出现在空间和时间或时间单独。它们是可积的无穷维Hamilton动力系统。这些包括反向时空，并在某些情况下反向时间，非局域非线性薛定谔，修改Korteweg-deVries（mKdV），正弦戈登，$(1+1)$和$(2+1)$维三波相互作用，导数NLS，“环孤子”，Davey-Stewartson（DS），部分$PT$对称DS和部分反向时空DS方程。讨论了线性拉克斯对，无穷多个守恒律，逆散射变换，找到了一个孤立子解，引入了可积的逆时空和逆时间非局域离散非线性薛定谔方程，并给出了几个守恒量。最后，从逆时空和逆时间非定域NLS方程出发，导出了非定域Painlevé型方程。
2016-10-08 nlin.SI
Integrable nonlocal complex mKdV equation: soliton solution and gauge equivalence
在本文中，我们证明了由Ablowitz和Musslimani [Nonlinearity，29，915-946（2016）]引入的非局部复修正Korteweg-de Vries（mKdV）方程是类自旋模型的规范等价。从规范等价性可以看出，非定域复mKdV方程与经典复mKdV方程之间存在着显著的差异。通过构造非局域复mKdV方程的达布变换（DT），得到了包括暗孤子、W型孤子、M型孤子和周期解在内的多种精确解.
2016-12-20 nlin.SI
General rogue waves and their dynamics in several reverse time integrable nonlocal nonlinear equations
研究了一类可积逆时非局部非线性方程中的一般异常波。具体而言，逆时非局部非线性薛定谔（NLS）和非局部Davey-Stewartson（DS）方程，这是从AKNS族的非局部约化。利用达布变换（DT）方法，构造了几种典型的异常波.特别地，对于这个非局部DS系统，找到了一个统一的二元DT，从而使得非局部DSI和DSII方程的求解公式可以写成一个统一的表达式。这些流氓波的动力学分别探讨。结果表明，非局部NLS方程中的（1+1）维异常波对x和t都是有界的，或者存在坍缩奇点.我们还证明了非局部DS方程中的（1+2）维线流氓波在所有时空都有界，或者有有限时间爆破。所有这些类型都依赖于解中引入的自由参数的值。此外，在多阶和更高阶的流氓波的动力学模式表现出更丰富的结构，其中大多数没有对应的本地非线性方程。
2017-12-16 nlin.SI
Nonlocal Hydrodynamic Type of Equations
我们证明了流体动力学型可积方程允许非局部约化。我们首先构造这样的减少一般Lax方程，然后给出几个例子。约化的非局部方程是流体动力学型的可积方程。他们承认Lax表示，因此拥有无穷多个守恒量。
2019-06-20 nlin.SI
Solutions and continuum limits to nonlocal discrete sine-Gordon equations: bilinearization reduction method
与非局部连续和半离散可积系统一样，非局部离散可积系统的研究也是人们感兴趣的。研究了全离散负阶Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程的局部约化和非局部约化.利用双线性化约化方法，给出了约化非局部离散sine-Gordon方程的双Casoratian形式的精确解。然后，通过连续极限，得到了非局部半离散sine-Gordon方程及其解。分析了孤子解的动力学性质，并通过渐近分析给出了孤子解的动力学性质。本文的研究思路和方法可以推广到非局部离散可积系统的研究。
2022-12-17 nlin.SI
The four-dimensional Martinez Alonso--Shabat equation: reductions and nonlocal symmetries
考虑四维可积Martinez Alonso-Shabat方程，列出了其三个可积的三维约化.我们还提出了一个四维可积的修正的Martinez Alonso-Shabat方程及其拉克斯对。我们还构建了一个无限层次的交换非局部对称性（而不仅仅是阴影，因为它通常是在文献中的情况下）的马丁内斯阿隆索-沙巴特方程。
2014-05-22 nlin.SI
A nonlocal coupled modified complex integrable dispersionless equation: Darboux transformation, soliton-type solutions and its asymptotic behavior
本文构造非局部cm-CID方程的Darboux变换，获得多种孤子型解并分析其渐近行为，发现区别于局部方程的新颖性质，有助于描述光纤中光脉冲传播。
2025-10-15 nlin.SI
Long-time asymptotics for the integrable nonlocal Lakshmanan-Porsezian-Daniel equation with decaying initial value problem
研究可积非局部Lakshmanan-Porsezian-Daniel方程在快速衰减初值下的Cauchy问题，通过Riemann-Hilbert问题和Deift-Zhou最速下降法得到显式长时间渐近公式，并指出其与局部模型因对称性不同而存在差异，误差项有九种可能。
2023-05-10 math.AP nlin.SI
Integrable nonlocal finite-dimensional Hamiltonian systems related to the Ablowitz-Kaup-Newell-Segur system
本文将 Lax 对非线性化推广到带空间反演约化的 AKNS 方程，构造并证明非局部有限维 Hamiltonian 系统的 Liouville 可积性，并用于生成相关代数几何解。
2024-01-24 nlin.SI
Local and nonlocal $(2+1)$-dimensional Maccari systems and their soliton solutions
本文利用Hirota双线性方法，得到了可积$(2+1)$维$3$分量Maccari系统的单孤子解和双孤子解，该系统被用作描述孤立波的模型，该孤立波局限于空间的很小一部分，与非线性薛定谔、Fokas和长波共振系统等非常著名的系统有关.我们表示了该系统的所有局部和Ablowitz-Musslimani型非局部约化，得到了新的可积系统.借助于$3$分量Maccari系统的约化公式和孤子解，我们得到了这些新的可积局部和非局部约化$2$分量Maccari系统的单孤子解和双孤子解.我们还说明了我们的解决方案，绘制他们的图形的参数的特定值。
2020-12-12 nlin.SI
Nonlocal symmetries of Lax integrable equations: a comparative study
我们在这里继续研究Lax可积方程。我们考虑了四个三维方程：（1）rdDym方程$u_{ty} = u_x u_{xy} - u_y u_{xx}$，（2）三维Pavlov方程$u_{yy} = u_{tx} + u_y u_{xx} - u_x u_{xy}$，（3）通用层次方程$u_{yy} = u_t u_{xy} - u_y u_{tx}$，（4）修正的Veronese web方程$u_{ty} = u_t u_{xy} - u_y u_{tx}$ .对于每个方程，利用已知的拉克斯对，并将其展开为关于谱参数的形式级数，构造了两个无穷维微分覆盖，并给出了与这些覆盖相关的非局部对称代数的完整描述.对于所有的复盖对，所得到的对称李代数表现出相似的（但不是相同的）结构：它们是Witt代数、线上向量场代数和loop代数的（半）直和;它们都包含有限分次的分量。我们还讨论了递归算子对阴影的作用（在[I. S. Krasil'shchik，A. M. Vinogradov，Acta Appl. Math.，15（1989）1-2，161- 209.]）非局部对称性。
2016-12-24 nlin.SI
Instability of an integrable nonlocal NLS
Delft Institute of Applied Mathematics, Delft University of Technology（代尔夫特应用数学研究所，代尔夫特理工大学）
本文讨论了$\mathbb{R}$上可积非局部非线性系统的整体动力学，这是最近用可积系统方法研究的对象。我们证明了两个结果，这是在$\mathbb{R}$上的局部立方聚焦NLS的情况下形成鲜明对比。首先，有限时间爆破解决方案存在与任意小的初始数据在$H^s(\mathbb{R})$，任何$s\geqslant0$。另一方面，局域NLS的孤子，这也是非局域方程的解，是不稳定的爆破后者。
2017-01-27 math.AP nlin.SI
Discrete Symmetries and Nonlocal Reductions
证明了可积非线性偏微分方程组的非局部约化是一类特殊的离散对称变换。
2019-06-26 nlin.SI
High frequency integrable regimes in nonlocal nonlinear optics
本文考虑一个描述光束在Cole-Cole型非局域非线性介质中传播的可积模型。该模型是由麦克斯韦方程组和非局域非线性薛定谔方程的高频极限导出的。我们证明，对于一般形式的非线性存在自导引光束。在高频极限下，非局部扰动可以看作是一类沿某一方向的相位形变。我们详细研究了由无色散Veselov-Novikov（dVN）层次描述的非局部扰动。通过基于对称约束的约简方法和准经典的Dbar-dressing方法分析了dVN的层次结构。拟经典Dbar-dressing方法揭示了非局域非线性几何光学与平面拟共形映射理论之间的联系。
2006-03-27 nlin.SI physics.optics
Symmetries and reductions of integrable nonlocal partial differential equations
本文将对称性分析推广到非局部微分方程，特别是两个可积的非局部方程：非局部非线性薛定谔方程和非局部修正Korteweg--de Vries方程.李点对称性是基于一般理论获得的，并用于将这些方程分别减少到非局部和局部常微分方程;即一个对称性可以允许减少到非局部和局部方程，这取决于如何选择不变变量。对于非局部的修正Korteweg--de Vries方程，类似于局部情形，所有约化的局部方程都是可积的.最后，我们还定义了连接非局部微分方程和微分差分方程的复变换。
2019-07-04 math-ph math.AP math.MP
A nonlocal connection between certain linear and nonlinear ordinary differential equations/oscillators
我们探讨了某些线性和非线性常微分方程（ODE），物理上重要的振荡系统之间的非局部连接，并确定了一类可积的非线性ODE的任何顺序。我们还设计了一种方法来获得显式的一般解的非线性常微分方程。有趣的是，许多著名的可积模型可以容纳到我们的计划和我们的程序，从而提供了这些模型的进一步理解。
2006-07-19 nlin.SI
Nonlocal Reductions of a Generalized Heisenberg Ferromagnet Equation
我们研究了海森堡铁磁体类型的$1+1$维耦合方程的非定域约化。所考虑的方程是完全可积的，并且具有与极规范中的线性丛相关的拉克斯对。我们描述了与我们的系统有关的非线性方程的生成算子的可积族。我们提出了一些特殊的解决方案与四个不同的离散本征值的散射算子。利用拉克斯对对角化方法，我们导出了守恒密度的递推公式，并求出了前两个最简单的守恒密度。
2023-03-14 nlin.SI
Shifted nonlocal reductions of 5-component Maccari system
本文证明5分量Maccari系统的位移非局域约化是位移尺度变换特例，给出所有约化并获新可积系统，用Hirota法得单孤子解，推导约化系统的孤子解并给出示例图像。
2025-04-12 nlin.SI
Compatible nonlocal Poisson brackets of hydrodynamic type, and integrable hierarchies related to them
本文有效地构造了与相容非局部流体动力学型泊松括号相关的可积双Hamilton族。为了达到这个目的，首先解决了一种特殊类型的水动力相容非局部泊松括号的标准形问题。
2002-01-25 math-ph math.DG math.MP
On SK and KK Integrable Systems
本文证明近期发表的一些可积方程组是可积标量方程的 M2-扩展，并由此构造了具有递归算子的新可积系统，同时给出孤子解及非局部约化。
2024-03-31 nlin.SI
New Nonlocal Charges in SUSY Integrable Models
本文系统地研究了任意可积模型的$B$ -扩张的一般性质。除了讨论哈密顿量、哈密顿结构等的一般性质外，我们还阐明了这类模型中“奇异”电荷的起源。我们表明，在这样的模型中，存在至少两套非本地保守的费用（和更多的，如果$N>1$超对称性存在）和“异国情调”的收费是这个非本地的收费层次结构的一部分。这些非本地收费的建设从拉克斯运营商的解释。
2000-04-19 hep-th nlin.SI
Integrable nonlocal vector nonlinear Schrödinger equation with self-induced parity-time-symmetric Potential
研究了具有自诱导$ {\cal PT}$对称势的两分量非局域矢量非线性薛定谔方程（VNLSE）.证明了该系统具有一个拉克斯对和无穷多个守恒量，因而是可积的.一些守恒量，如数算符，哈密顿量等被发现是实值的，尽管这些费用是非厄米。利用逆散射变换的方法得到了该方程的孤子解，并给出了从非局域化为局域化的条件。一个非齐次版本的VNLSE与时空调制的非线性相互作用项也被认为是和映射的这个方程。与标准VNLSE通过相似性变换来生成其解。
2015-06-09 hep-th nlin.SI
Nonlocal brackets and integrable string models
假设弦模型是特定背景场的可积模型，将背景引力场中的闭合弦模型看作双哈密顿系统。得到了依赖于背景场及其导数的对偶非局部Poisson括号。可积性条件被表述为双Hamilton条件和对偶Poisson括号的Jacobi恒等式的相容性。介绍了两类非局部括号。常曲率和时间相关的度量被认为是，作为例子。证明了非局部括号的Jacobi恒等式作为单李群的矩阵表示，在时空坐标下有特解。
2004-03-30 hep-th nlin.SI
Paraxial light in a Cole-Cole nonlocal medium: integrable regimes and singularities
推导了非局域非线性薛定谔方程，作为描述傍轴光在不同非局域度的非线性介质中传输的模型。在Cole-Cole色散定律和沿传播方向的慢相关性的特定假设下，研究了该方程的高频极限。相方程是可积的，它们对应于Veselov-Novikov族的无色散极限。分析了强度定律（强度与折射率的关系）与坡印廷矢量守恒定律的高频极限之间的相容性，揭示了奇异波前的存在。结果表明，光束的特征主要取决于平面的拟共形映射的取向性质。另一类波前，不管是什么强度定律，都由调和极小曲面提供。以螺旋面为例进行了说明。第一和第三度非局部扰动和明确的解决方案的兼容性进行了讨论。
2005-09-09 nlin.SI physics.optics
Liouville canonical form for compatible nonlocal Poisson brackets of hydrodynamic type, and integrable hierarchies
我们解决了由常黎曼曲率度量生成的任意一对相容的流体动力学型非局部泊松括号的标准形的简化问题，从而得到了与所有相容的泊松括号相关的可积族的有效构造.
2002-01-23 math-ph math.DG math.MP
Nonintegrable Spatial Discrete Nonlocal Nonlinear Schrödinger Equation
可积和不可积离散非线性薛定谔方程（NLS）是描述物理学中许多现象的重要模型。最近，Ablowitz和Musslimani引入了一类逆空间、逆时间和逆时空的非局部可积方程，包括非局部NLS、非局部sine-Gordon方程和非局部Davey-Stewartson方程等，并利用逆散射变换精确求解了可积的非局部离散NLS。本文研究了一类不可积的离散非局部NLS，它是逆空间非局部NLS的直接离散化形式。利用离散傅里叶变换和修正的Neumann迭代法，数值求解了该方程的稳态解.考察了定态解的线性稳定性。最后，我们对非局部NLS方程的Cauchy问题进行了数值研究，并与NLS方程的Cauchy问题的数值解进行了比较，发现了一些不同的新的性质。
2019-08-11 nlin.PS nlin.SI
Nonlocal Fordy - Kulish Equations on Symmetric Spaces
给出了非线性Schrodinger方程组的Fordy-Kulish系统和非线性Schrodinger方程组的Fordy系统在Hermitian对称空间上的非局部可积约化.给出了对称空间$\frac{SU(4)}{SU(2) \times SU(2)}$上的例子。
2017-04-07 nlin.SI
Inverse scattering transform for continuous and discrete space-time shifted integrable equations
本文研究了具有偏移与反射组合的非局部可积方程，详细分析了时间、空间及时空偏移的NLS和mKdV方程的连续与半离散逆散射变换，并构造了相应的单孤子解。
2024-07-25 nlin.SI
Stability in integrable nonlocal nonlinear equations
最近，各种各样的非定域可积系统已经被引入，除了位于特定时空点的场之外，还同时包含位于不同但对称相关的点的场。在这里，我们研究不同类型的孤子解的稳定性对线性扰动获得的非本地版本的广田/非线性薛定谔方程和所谓的Alice和Bob版本的Korteweg-de Vries和Bousinesq方程。我们遇到不同类型的场景：线性稳定或不稳定的孤立解，以及根据其所处的参数状态改变其稳定性属性的解。
2021-12-22 hep-th math-ph math.MP
Long-time asymptotics for the integrable nonlocal nonlinear Schrödinger equation
研究了可积非局部非线性薛定谔（NNLS）方程\[ iq_{t}(x,t)+q_{xx}(x,t)+2σq^{2}(x,t)\bar{q}(-x,t)=0 \]在衰减（作为$x\to\pm\infty$）边界条件下的初值问题.主要目的是描述这个问题的解决方案的长期行为。为此，我们采用非线性最陡下降方法\cite{DZ}研究与NNLS方程相关的黎曼-希尔伯特问题。我们的主要结果是，在本地NLS方程，其中的主要渐近项（在无孤子的情况下）衰减到$0$作为$O(t^{-1/2})$沿任何射线$x/t=const$，在NNLS的情况下的功率衰减率取决于，在一般情况下，在$x/t$，并可以表示在与初始数据相关联的谱函数。
2018-04-18 math.AP nlin.SI
Integrable nonlocal Hirota equations
我们构造了几个新的对应于广田方程非局部版本的可积系统，广田方程是高阶非线性薛定谔方程的一个特殊例子。新模型的可积性是通过提供它们的拉克斯对或零曲率条件的显式形式来建立的。在这种结构中产生的两个相容性方程被发现是相互相关的奇偶变换$\mathcal{P}$，由时间反演$\mathcal{T}$或$\mathcal{PT}$ -变换可能结合共轭。我们构造这些模型的显式多孤子解采用Hirota的直接方法以及达布-克拉姆变换。这些模型的非局部性质允许修改这些解决方案的程序作为新的系统也具有不同的参数依赖性和不同的定性行为的新类型的解决方案。多孤子解的类型多种多样，如空间非局域的、时间非局域的时间晶体型的、在时间/空间上具有局域结构的规则的或Rogues波型的。
2017-10-31 hep-th nlin.SI quant-ph
Comment on "Space-time shifted solitons and solution interactions for a generalized nonlocal nonlinear Schrödinger equation"
Hacettepe University（哈塞特佩大学）
本文审视Zhou和Yu关于空时平移非局域NLS方程可积性的论断，指出仅当无时间反演（$\lambda=1, t_0=0$）时相容，$\lambda=-1$情形不能由标准NLS系统导出，并讨论平移等价性及修正Hirota方程。
2026-09-09 nlin.SI
On the classification of scalar evolutionary integrable equations in $2+1$ dimensions
我们考虑$u_t=F(u, w)$形式的发展方程，其中$w=D_x^{-1}D_yu$是非定域性，右侧的$F$是$u$和$w$的导数的多项式.最近的文件\cite{FMN}提供了一个完整的列表，可积三阶方程的这种。在这里，我们扩展到五阶方程的分类。除了已知的Kadomtsev-Petviashvili（KP），Veselov-Novikov（VN）和Harry Dym（HD）方程的例子，以及五阶类似物和修改，我们的列表包含一些显然是新的方程。我们猜想，我们的例子用尽列表的标量多项式可积方程的非局部性$w$。分类程序包括两个步骤。首先，我们分类准线性系统可能（潜在）发生的可积标量发展方程的无色散极限。在此基础上，我们重建的色散项的继承的要求的流体动力学减少的无色散极限的全色散方程。
2010-11-09 nlin.SI
Bilinearisation-reduction approach to the nonlocal discrete nonlinear Schrödinger equations
本文提出了一种求解非局部可积系统的双线性化约化方法，并用非局部离散非线性薛定谔方程作了说明。在这种方法中，我们首先双线性化的耦合系统之前减少，并获得其双重Casoratian解决方案，然后我们施加减少双重Casoratian，使他们符合非局部减少的潜力。给出了经典和非局部（逆空间、逆时间和逆时空）离散非线性薛定谔方程的双高斯解.
2017-07-23 nlin.SI
Integrable string and hydrodynamical type models and nonlocal brackets
假设弦模型是特定背景场的可积模型，将背景重力场中的闭合弦模型看作是一个双哈密顿系统。得到了依赖于背景场及其导数的对偶非局部Poisson括号（PB）。可积性条件表示为对偶PB的双Hamilton性条件和Jacobi恒等式的相容性。结果表明，通过对初始动力系统施加第二类约束，可以从正则PB和初始哈密顿量得到对偶括号和对偶哈密顿量，例如在常背景场中的闭弦模型.得到了流体动力学型方程。引入了两种非局部括号。常曲率和时间相关的度量被认为是。证明了非局部括号的Jacobi恒等式在时空坐标系下有特解，作为单李群的矩阵表示。
2005-01-12 hep-th math.DG nlin.SI
Shifted nonlocal Kundu type equations: Soliton solutions
研究了可积耦合Kundu型系统的局部约化和移位非局部约化。然后，我们考虑这个系统的特殊情况，即陈李刘，Gerdjikov-Ivanov和Kaup-Newell系统。我们得到了这些系统的一个和两个孤子的解决方案和他们的本地和移动的非局部约化的Hirota双线性方法。我们提出了一个和两个孤子的解决方案的减少本地和移动的非本地陈李刘，Gerdjikov-Ivanov和Kaup-Newell方程的具体例子。
2021-12-24 nlin.SI
Long-time asymptotics for the integrable nonlocal nonlinear Schrödinger equation with step-like initial data
研究了可积非局部非线性薛定谔（NNLS）方程\[ iq_{t}(x,t)+q_{xx}(x,t)+2 q^{2}(x,t)\bar{q}(-x,t)=0 \]的Cauchy问题，其中初始数据为：$q(x,0)=q_0(x)$，其中$q_0(x)=o(1)$为$x\to-\infty$，$q_0(x)=A+o(1)$为$x\to\infty$，具有任意的正常数$A>0$.主要目的是研究该问题解的长时间行为。我们表明，渐近有定性不同的形式在四分之一平面的半平面$-\infty<x<\infty$，$t>0$：（i）对于$x<0$，解决方案接近一个缓慢衰减，调制波的Zakharov-Manakov型;（ii）对于$x>0$，解决方案接近"调制常数"。主要的工具是表示的柯西问题的解决方案的相关矩阵黎曼-希尔伯特（RH）问题的解决方案和随之而来的这个RH问题的渐近分析。
2020-04-13 math.AP nlin.SI
Integrable coupled bosonic massive Thirring model and its nonlocal reductions
本文提出了可积的耦合玻色子型有质量Thirring模型（BMTM），通过场分量约化构建了五个非局域可积模型，求得Lax对与无穷守恒量，并证明其在Liouville意义下完全可积。
2023-07-01 hep-th math-ph math.MP
A new nonlocal nonlinear Schroedinger equation and its soliton solutions
提出了一个新的具有明确物理意义的可积非局部非线性薛定谔方程。这个方程是从Manakov系统的一个特殊的减少，它描述了Manakov解决方案，其两个组件是由宇称对称性。由于Manakov系统支配着各种物理系统中的波传播，因此这个新的非局部方程具有明确的物理意义。孤子和多孤子在这个非局部方程的Riemann-Hilbert公式的框架下进行了研究。令人惊讶的是，这个方程的离散散射数据的对称关系被发现是非常复杂的，其中散射数据中的本征向量之间的约束取决于底层离散本征值的数量和位置在一个非常复杂的方式。因此，一般的$N$ -孤子是很难得到的Riemann-Hilbert框架。然而，一个和两个孤子的推导，和他们的动力学研究。研究发现，双孤子一般不是单孤子的非线性叠加，它们表现出有趣的动力学行为，如曲折和突然的位置移动。作为推广，还提出了其它可积的、物理意义上的非局部方程，包括逆时、逆时空型的NLS方程以及逆空间、逆时、逆时空型的非局部Manakov方程.
2018-07-05 nlin.SI
Lax pairs for the equations describing compatible nonlocal Poisson brackets of hydrodynamic type, and integrable reductions of the Lame equations
导出了流体动力学型相容非局部泊松括号的一般非奇异对的非线性方程组，并用逆散射问题的方法证明了这些方程组的可积性。对于这些方程，提出了具有谱参数的Lax对。此外，我们证明了一些特别重要的部分类的相容的非局部泊松括号的流体动力学类型的方程的可积性，特别是，最重要的情况下，当一个兼容的泊松括号是本地的情况下，也为兼容的泊松括号是由常数黎曼曲率的度量产生。
2002-02-05 math-ph math.DG math.MP
Long-time asymptotics for the integrable nonlocal focusing nonlinear Schrödinger equation for a family of step-like initial data
研究了可积非局部聚焦非线性薛定谔（NNLS）方程$ iq_{t}(x,t)+q_{xx}(x,t)+2 q^{2}(x,t)\bar{q}(-x,t)=0 $的Cauchy问题，其中初始值为"移位阶跃函数“$χ_R(x)=AH(x-R)$的阶跃形式，其中$H(x)$为Heaviside阶跃函数，$A>0$和$R>0$为任意常数.我们的主要目的是研究该问题解的大PDMATHAMR行为.我们发现，对于$R\in\left(\frac{(2n-1)π}{2A},\frac{(2n+1)π}{2A}\right)$，$n=1,2,\dots$，$(x,t)$平面分裂成$4n+2$部门表现出不同的渐近行为。即，存在解衰减到$0$的$2n+1$扇区，而在其他$2n+1$扇区（与衰减的扇区交替）中，解沿着每条射线接近（不同的）常数$x/t=const$。我们的主要技术工具是表示的柯西问题的解决方案的一个相关的矩阵Riemann-Hilbert问题的解决方案和随后的渐近分析以下的思想的非线性最速下降法。
2019-08-18 math.AP nlin.SI
Loop Algebra Splitting and Darboux Transformations for Nonlocal Derivative Nonlinear Schrödinger Hierarchies
School of Mathematics (Zhuhai) Sun Yat-sen University（中山大学数学学院（珠海））
该研究为非局部导数非线性薛定谔型层级开发统一代数框架，基于环代数分裂，通过代数约束实现约化，推导达布变换并用于构造显式解。
2026-07-28 nlin.SI
Second order integrability conditions for difference equations. An integrable equation
给出了含有二阶形式递归算子的差分方程的可积性条件，讨论了对称性和正则守恒律的推导。在一般情况下，也产生非局部守恒律。提出了一个新的满足二阶可积条件的可积方程，并通过构造对称性、守恒律和一个3 × 3 Lax表示证明了它的可积性.最后，导出了该方程的对称性与广义Bogoyavlensky格和一个新的可积格的关系。
2013-05-19 nlin.SI
On Solutions to the Nonlocal $\overline{\partial}$ Problem and (2+1) Dimensional Completely Integrable Systems
在这篇短文中，我们讨论了一个新的解决非局部$\overline{\partial}$ -问题的公式，并讨论了Manakov-Zakharov敷料方法的应用。然后，我们显式地应用这个公式求解复（2+1）维Kadomtsev-Petviashvili方程和复（2+ 1）维Kaup-Broer（或Kaup-Boussinesq）系统的完全可积推广.我们还将讨论如何使用这种形式表示实（1+1）D解决方案。利用本文的形式，可以很容易地表达文[10]，[8]中有限间隙原始解的形式。本文还讨论了（1+1）维Korteweg-de Vries方程和（2+1）维Kaup-Broer系统的无限孤子极限的最新结果。在附录中，给出了Whittaker提出的三维Laplace方程（2+1）D d 'Alembert波动方程的经典解。包括本附录是为了阐明敷料方法和惠特克解决方案之间的类比。
2021-04-04 math-ph math.MP nlin.PS
Weakly nonlocal Poisson brackets, Schouten brackets and supermanifolds
守恒量之间的泊松括号是可积系统理论中的一个基本工具。弱非局部Poisson括号子类出现在许多重要的可积系统中。证明弱非局部微分算子定义泊松括号可能具有挑战性。我们提出了一个计算方法来解决这个问题，通过识别这样的运营商与超函数的超流形。
2021-12-18 math-ph math.MP nlin.SI
Painlevé property, local and nonlocal symmetries and symmetry reductions for a (2+1)-dimensional integrable KdV equation
本文证明了(2+1)维cKP3-4方程的Painlevé性质，利用截断展开求得非局部对称性及Bäcklund变换，基于局部点对称性的Kac-Moody-Virasoro代数导出群不变约化及新Lax可积模型。
2020-07-05 math-ph math.MP nlin.PS
$N$-double poles solutions for nonlocal Hirota equation with nonzero boundary conditions using Riemann-Hilbert method and PINN algorithm
利用Riemann-Hilbert方法和多层物理信息神经网络算法，系统地研究了具有非零边界条件的非局部Hirota方程.从非零非局部Hirota方程的拉克斯对出发，首先给出了Jost函数、散射矩阵及其对称性和渐近性。然后，构造了具有非零边界条件的Riemann-Hilbert问题，用行列式写出了$N$ -双极点解和$N$ -单极点解的精确公式.与定域Hirota方程不同，非定域Hirota方程散射数据的对称性完全不同，从而导致离散谱分布的不同。特别是在双极点的情况下，散射数据的对称性的获得会更加复杂和困难。此外，我们还分析了单双极点解的渐近状态为$t\rightarrow \infty$。然后，利用Riemann-Hilbert方法得到的训练数据，利用PINN算法研究了非零非局部Hirota方程的数据驱动孤子解.最引人注目的是，可积的非局部方程的第一次求解PINN算法。众所周知，非局部方程具有不同于局部方程的$\mathcal{PT}$对称性$\mathcal{P}:x\rightarrow -x,$或$\mathcal{T}:t\rightarrow -t,$。通过在神经网络中加入非局部项，我们可以用PINN算法成功地求解可积非局部Hirota方程。数值结果表明，该算法可以很好地恢复可积非局部方程的数据驱动孤子解。本文首次讨论了可积非局部方程的反问题，利用PINN算法从孤子解的角…
2021-12-24 math-ph math.MP nlin.SI
Non-local symmetries of the Hirota-Satsuma coupled KdV system and their applications
从Hirota-Satsuma耦合KdV（HS-cKdV）系统的已知达布变换（DT）推导出非局部对称性，并通过引入一些内部参数获得了无限多个非局部对称性。通过将HS-cKdV系统推广到一个含有五个因变量的辅助系统，我们发现这种推广使DT相关的非局部对称性局部化。在此基础上，计算了HS-cKdV系统的有限对称变换和局部对称的相似约化，得到了新的精确解.这些解包含了通过有限对称变换从旧解中得到的新解，以及通过相似约化得到的孤子与包括椭圆余弦波和Painlevé波在内的其它复杂波相互作用的精确解。从两个方面得到了与DT相关的非局部对称性的可积模型：引入内参数得到的负HS-cKdV族和通过限制对称性约束得到的低维和高维可积模型.
2013-01-03 nlin.SI
Generating Finite Dimensional Integrable Nonlinear Dynamical Systems
在这篇文章中，我们提出了一个简短的概述，在确定和生成有限维可积非线性动力系统，表现出有趣的振荡和其他解决方案的性质，包括量子方面的一些最新进展。特别地，我们集中于Lienard型非线性振荡器及其推广和耦合版本。具体的系统包括Mathews-Lakshmanan振子，修正的Emden方程，等熵振子和推广。其中一些系统的非标准拉格朗日和哈密顿公式也简要触及。非局部变换和线性化方面进行了讨论。
2013-07-01 nlin.SI
New Hierarchies of Derivative nonlinear Schrödinger-Type Equation
我们生成的衍生非线性薛定谔型方程和他们的非局部扩展李代数分裂和自同构的层次。这为可积系统中一些已知约化和新建立的非局部约化提供了代数解释。
2017-04-07 nlin.SI
On the models of nonlocal nonlinear optics
我们证明了在一定的假设下，1+1维非局部非线性响应的一般模型等价于Krolikowski和Bang所考虑的克尔型介质模型。我们导出了弱非定域性在高频区的极限，并讨论了可积的情形。
2005-11-30 nlin.SI physics.optics
