Some ideas in need of clarification in resolution of singularities and the geometry of discriminants
本文提出了代数几何两个领域的问题：正特征下与非Abhyankar赋值相关的奇点解消，以及Thom意义下实极小通用展开判别式几何与配边上Morse函数运动的关系。
2023-11-21 math.AG
Whitney fold and cusp for algebraic surfaces, and singularities of discriminants
LIMS（离散数学与统计实验室）；HSE（高等经济大学）
本文研究代数曲面投影的Whitney型奇点稳定性，通过分析判别式奇点轨迹和Vandermonde/Schur矩阵退化，在温和组合条件下枚举所有稳定的多奇点类型。
2026-09-17 math.AG
The Hodge conjecture for Weil fourfolds with discriminant 1 via singular OG6-varieties
Humboldt-Universität zu Berlin（柏林洪堡大学）；Institut de Recherche Mathématique Avancée, Université de Strasbourg（斯特拉斯堡大学数学高级研究所）
通过奇异OG6型流形与Weil型判别式1的四维阿贝尔流形的几何关系，证明了Hodge猜想和Tate猜想。
2026-02-10 math.AG
Ranks and Singularities of Cubic Surfaces
我们探讨了多项式的秩和它的消失轨迹的奇异性之间的联系。我们首先描述的奇异性一般多项式的固定秩。然后，我们集中在三次曲面。已知具有孤立奇点的三次曲面可分为22种奇点类型。我们计算每种奇异类型的三次曲面的秩。这使我们能够找到可能的奇异轨迹的三次曲面的固定秩。最后，我们研究了与Hessian判别式的连接。我们证明了一个三次曲面的奇点不是普通的二重点在于Hessian判别式，和Hessian判别式是封闭的秩六三次曲面。
2020-06-12 math.AG
Low-dimensional Singularities with Free Divisors as Discriminants
我们提出了一个复杂的分析家庭，在一个光滑的基础和纤维尺寸为零，一，或两个，判别式构成一个自由因子。这些族包括有限平坦映射、约化曲线奇点的双曲形变和C^5中Gorenstein曲面奇点的双曲形变。它示出，这样的自由因子往往承认一个“快速规范化”，通过一个单一的应用程序获得的Grauert-Remmert规范化算法。对于C^5中的一个特殊Gorenstein曲面奇点，即\tilde A_4型的简单椭圆奇点，我们给出了一个显式的判别矩阵，并证明了对于一个固定的j-不变量，判别矩阵的切片是椭圆曲线的对偶簇上的锥。
2006-12-20 math.AC math.AG
How tangents solve algebraic equations, or a remarkable geometry of discriminant varieties
令$\mathcal D_{d,k}$表示在一个变量中的次数$d$多项式的判别簇，其至少一个根的重数为$\geq k$。我们证明了切锥$\mathcal D_{d,k}$跨度$\mathcal D_{d,k-1}$，从而揭示了这些品种的极端规则的性质。$\mathcal D_{d,k-1}$中$\mathcal D_{d,k}$的仿射切空间网的组合学直接与相关多项式的根重数相关。事实上，求解多项式方程$P(z) = 0$结果等价于找到通过给定点$P(z)\in \mathcal D_{d,1} \approx \A^d$的超平面，该超平面与判别超曲面$\mathcal D_{d,2}$相切。我们还连接的几何维埃特映射$\mathcal V_d: \A^d_{root} \to \A^d_{coef}$，由初等对称多项式，切线的判别品种$\{\mathcal D_{d,k}\}$。各种$d$ -分区$\{μ\}$提供了通过$\mathcal D_{d,k}$的$\A^d_{coef}$分层的细化$\{\mathcal D_μ^\circ\}$.我们的主要结果定理7.1描述了一元多项式的整除性和与各层相切的空间族$\{\mathcal D_μ^\circ\}$之间的复杂关系。
2002-11-18 math.AG
Smooth models of singular $K3$-surfaces
我们证明了经典的费马四次曲线恰好有三个光滑的空间模型。作为推广，我们给出了小判别式的奇异$K3$ -曲面的光滑空间（以及其他）模型的分类。作为一个副产品，我们观察到一个奇异的$K3$ -表面的判别式和其模型中的线的数量之间的相关性（达到一定的限制）。我们还构造了一个含有$52$直线和奇点的$K3$ -四次曲面，以及一些含有多条直线或多个模型的例子。
2017-06-20 math.AG
Geometry of the Discriminant Surface for Quadratic Forms
研究了n > 1元的具有重特征值的（实）二次型流形$\cal{M}$.除了已知的事实外，我们还证明了：1）$\cal{M}$是不可约的; 2）在n = 3的情况下，标量矩阵是$\cal{M}$上的奇点.对于$n = 3$，$\cal{M}$也被描述为$\cal{M}$ $_0$上的直圆柱，其中$\cal{M}$ $_0$是对角矩阵$\diag(1,1,-2)$通过坐标的正交变化的轨道上的圆锥。我们分析了这个轨道的某些性质，它发生在射影平面的一个单纯像上。
2011-10-05 math.AG
A Eudoxian study of discriminant curves associated to normal surface singularities
Universidad de La Laguna（拉古纳大学）；Université de Lille, CNRS, Laboratoire Paul Painlevé（里尔大学，法国国家科学研究中心，保罗·潘勒瓦实验室）
本文研究了正常表面奇点相关判别曲线的性质，通过推广已有定理，利用Lê等人的公式和Delgado等人的定理，分析了判别曲线与平面曲线的交数，并应用Eudoxian方法比较大小。
2026-03-12 math.AG
A discriminant criterion of irreducibility
本文利用关于任意方向定义的雅可比牛顿图的概念，给出了二元复幂级数不可约的一个判别准则。此外，我们还研究了在无穷远点有一个无穷远点的平面仿射曲线在无穷远点处的奇异性，我们的主要结果的整体对应部分也成立。
2009-11-19 math.AG
Singular cubic fourfolds containing a plane
本文考虑含有一个平面的三次4-折叠，其判别曲线是一个约化节面六次曲线。特别是，我们描述了这样的三次4倍的奇点，我们给的自由阿尔贝群产生的余维2的代数循环的等价类的秩的估计。此外，我们描述了一些条件的几何的平面六次曲线，使所有相关的三次4倍是奇异的，我们构造了一族光滑有理三次4倍，其判别曲线是减少，但可约。
2011-09-12 math.AG
Cubic fourfolds of discriminant 24 and rationality
本文研究判别式24的三次四重簇，通过其扭曲曲面中Brauer类消失的条件，证明了有理性质，并构造了可数无穷多个新的有理例子。
2024-11-06 math.AG
On Mordell-Weil group of isotrivial abelian varieties over function fields
我们表明，Mordell Weil秩的isovarious阿贝尔簇与循环holonomy只取决于基本群的补充判别式提供的判别式有奇点在这里介绍CM类。这类奇点包括所有单分支平面曲线的奇点。作为推论，我们给出了二元有理函数域上的一族简单Jacobian，其中Mordell Weil秩是任意大的。
2013-05-06 math.AG
The Entropic Discriminant
熵判别式是与矩阵相关联的非负多项式。它出现在从统计和线性规划到奇点理论和代数几何的各种背景中。它描述实超平面排列的极映射的复分支轨迹，当定义线性规划的解析中心的方程有复二重根时，它为零。我们研究的熵判别几何，我们表示其程度的特征多项式的基本拟阵。倒易线性空间的奇异性起着关键作用。在corank-one的情况下，熵判别式允许从对称矩阵的特征多项式的判别式导出的平方和表示。
2013-01-17 math.AG math.CO
ON THE DISTANCE TO DISCRIMINANTS AND OSCULATING VARIETIES
Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学）；Inria at Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学国家信息与自动化研究所）
本文从代数几何角度研究到奇异超曲面簇的距离问题，计算其欧氏距离度，并建立 Chebyshev 多项式的极值性质。
2026-10-06 math.AG
Extremal Real Algebraic Geometry and A-Discriminants
我们提出了一个新的，简单得多的家庭的反例Kushnirenko的猜想。一路上，我们说明了一个计算机辅助的方法来寻找稀疏多项式系统最大的许多实根，从而揭示了最佳的上界的性质，在真正的fewnomial理论。我们使用一个强大的最近公式的A-判别，并给出新的界限的拓扑结构的某些A-判别品种。后一结果的一个结果是由稀疏多项式方程定义的某些实代数集的拓扑型的数目的一个新的上界，例如，在某些实代数曲面族中可达到的光滑拓扑型的数目。
2007-02-03 math.AG math.GT
Fibrations of highly singular map germs
我们定义了严格正维判别式的实映射芽的局部纤维化结构：一个局部纤维化结构的补充判别式，和一个完整的局部纤维化结构，其中包括分层判别到图片。我们提供了新的类赋予这种局部纤维化结构的地图芽。
2019-05-14 math.AG math.CV
A geometric degree formula for $A$-discriminants and Euler obstructions of toric varieties
我们给出了由Gelfand-Kapranov-Zelevinsky引入的$A$ -判别簇的维数和度的显式公式。我们的公式也可以应用到的情况下，$A$判别品种是高余维和他们的程度所描述的几何配置$A$。此外，还将给出一般（不一定是正规的）复曲面簇的欧拉障碍的组合公式。
2008-12-14 math.AG
Enriched Relative Polar Curves and Discriminants
设$(f, g)$是奇异解析空间$X$上的一对复解析函数.给出了$(f, g)$的相对极曲线的“正确”定义，并对Lê的连接结果进行了形式化的推广，将相对极曲线与模超平面切片的Milnor纤维的相对上同调联系起来.我们还给出了技术参数，允许一个导出范畴版本的判别式和Cerf图的一对功能。从这一点上，我们得出了一些推广的结果，经典证明使用判别式。特别是，我们给家庭的孤立的"临界点“的应用程序。
2006-07-26 math.AG
Generalized weight properties of resultants and discriminants, and applications to projective enumerative geometry
本文研究了结果式和判别式的广义权重性质，并将其应用于射影计数几何中的计数问题。
2025-12-09 math.AC math.AG
The tropical discriminant in positive characteristic
研究了由正特征域上的赋值定义的热带超曲面的奇点。给出了一种计算正特征和p-adic情形下热带超曲面的奇点集的方法。该计算被应用于确定具有固定二重根的次数为$n$和特征$p$的一元多项式的热带线性空间的所有最大锥以及具有独立于特征的二重根的$0$的所有热带多项式的扇。我们还计算，由纯热带的手段，顶点，边和2-面的牛顿多面体的判别式的次数$p$在特征$p$的多项式。
2014-03-05 math.AG math.CO
Some observations about isogenies between $K3$ surfaces
即使在判别式72的奇异$K3$表面$Y_{10}$上有太多的椭圆纤维化需要研究和描述，并且属于Apéry-Fermi束$(Y_k)$，我们在它上面发现许多有趣的性质。例如，它的一些具有3-扭转截面的椭圆纤维化由3-等距引起$Y_2$的椭圆纤维化，判别式8的唯一$K3$表面，或判别式72的其他$K3$表面的椭圆纤维化。
2020-06-29 math.AG
Geometry and intersection theory on Hilbert schemes of families of nodal curves
我们研究了一族节点（或光滑）曲线的相对Hilbert方案，在任意维的基上，通过它的（双有理）循环映射，到相对对称积。我们证明了循环图是判别轨迹的爆破，它由具有重点的循环组成。我们计算了Hilbert格式中的一些自然循环的爆破或“判别”极化的作用，包括广义对角线和循环，称为“节点涡卷”，支持在奇点上的参数化格式.本文导出了重言式向量丛的陈类的交演算，这类向量丛与枚举几何密切相关。
2008-03-31 math.AG
On the geometry of the Humbert surface of square discriminant
该研究确定了平方判别式Humbert曲面的Enriques--Kodaira型，通过构造对角Hirzebruch--Zagier除子分析Fricke型对合不动点，得到含扩张Cartan子群模曲线情形的亏格公式。
2024-08-19 math.AG math.NT
The tropical discriminant of a polynomial map on a plane
多项式映射的判别式是仿射几何和奇点理论的核心问题。表征它的标准方法依赖于通常无效的消除技术。本文讨论了定义在一个域上的二维环面上的多项式映射。本文提出了一种计算由具有给定支集的一般多项式所确定的映射的判别式的热带曲线的组合方法。我们的结果使人们能够计算牛顿多面体的判别复多项式映射在平面上。
2022-09-13 math.AG math.CO
On singular fibres of complex Lagrangian fibrations
本文对四维全纯辛流形上射影复拉格朗日纤维化的判别轨迹的一般点上的奇异纤维进行了分类。奇异纤维F是以下任一种：F同构于椭圆曲线与Kodaira奇异纤维的乘积直到有限非分歧覆盖，或F是由极小椭圆直纹曲面的若干个副本组成的正规交叉簇，其对偶图是A_n，$\tilde{A_n}$，$\tilde{D_n}$或D_n型Dynkin图.
1999-11-22 math.AG
Torsion Trajectories from Local Discriminants to Global Obstructions
研究通过局部奇点数据到全局障碍理论的轨迹，揭示有限判别 torsion 的二维现象，提出 Enriques 2-torsion 的全球性问题。
2026-05-01 math.AG math.AT math.CT
Tropical Discriminants
热带几何是用来发展一种新的方法的判别式和结式的理论，在这个意义上的Gel'fand，Kapranov和Zelevinsky。热带A-判别式是由整数矩阵A给出的投射复曲面簇的对偶簇的热带化，它与A的行空间的Minkowski和和A的核的热带化相一致。这导致了一个明确的积极公式的极端单项式的任何A-判别式，没有任何光滑的假设。
2007-01-13 math.AG math.CO
An h-principle for complements of discriminants
本文建立丰富向量丛非奇异代数截面与射流丛连续截面之间的 h-原理型同调等价，并用于计算高次线丛截面空间的稳定有理上同调，同时证明整同调不稳定。
2022-10-10 math.AG math.AT
An algorithm to compute automorphism groups of K3 surfaces and an application to singular K3 surfaces
设X是复代数K3曲面或奇特征超奇异K3曲面。本文给出了一个算法，通过该算法，在对X的某些假设下，我们可以计算从X的自同构群到X的Néron-Severi格的正交群的自然同态的象的生成元的有限集.然后，我们将此算法应用到某些复杂的K3曲面，其中奇异K3曲面的超越格是小的判别式。
2015-02-07 math.AG
Conductors and minimal discriminants of hyperelliptic curves: A comparison in the tame case
设$C$是离散赋值环$R$的分数域$K$上亏格为$g$的超椭圆曲线.假设$R$的剩余字段$k$是完美的，并且$\mathrm{char}\ k > 2g+1$ .让$S = \mathrm{Spec}\ R$。设$X$是$S$上$C$的最小真正则模型.令$\mathrm{Art}\ (C/K)$表示$S$ -方案$X$的Artin导体，并且令$ν(Δ_C)$表示$C$的最小判别式。我们证明了$-\mathrm{Art}\ (C/K) \leq ν(Δ_C)$ .的关键成分是一个组合的改进本文介绍的判别式（称为度量树）和最近的改进Abhyankar的反演公式研究平面曲线奇点。我们还证明了组合限制$-\mathrm{Art}\ (C/K) = ν(Δ_C)$。
2021-08-29 math.AG math.NT
On the birational geometry of conic bundles over the projective space
本文研究射影空间上一般极小圆锥丛的反典范有效性，依据判别式次数证明 $-K_Z$ 的伪有效与有效倍数判据，并构造高次数光滑单有理例子。
2023-10-05 math.AG
Three Topological Results on the Twistor Discriminant Locus in the 4-Sphere
我们利用技术从经典的（实的和复杂的）代数几何的研究标准的扭量纤维化$π:\mathbb{CP}^{3}\to S^{4}$。证明了$\mathbb{CP}^{3}$中关于代数曲面扭量判别轨迹拓扑的三个结果。首先，我们证明，除了两个例外情况下，一个代数曲面的扭量判别轨迹的实维数总是等于2。其次，我们描述了一个一般的表面与家庭的扭量线的可能的交叉点：我们发现，只有4个配置是可能的，并为每一个我们计算的尺寸。最后，我们给出了给定锥的扭量判别轨迹的奇异轨迹和对偶簇的分解。
2018-08-23 math.AG math.CV math.DG
Using Algebraic Geometry to Reconstruct a Darboux Cyclide from a Calibrated Camera Picture
本文利用Darboux四次圆纹曲面沿绝对二次曲线的奇点性质，从标定相机图像的表观轮廓恢复其齐次方程，实现欧氏相似变换下的曲面识别。
2023-02-27 math.AG
Arithmetic of singular Enriques Surfaces
研究了泛覆盖为奇异K3曲面的Enriques曲面的算法。如果奇异K3曲面X具有判别式d，则它在环类域d上具有模型。我们的主要定理是，对于X的任何Enriques商，同样成立。它是基于奇异K3曲面的Neron-Severi群的研究。我们还评论伽罗瓦行动的约数的恩里克斯曲面。
2010-12-30 math.AG math.NT
Birational geometry of singular Fano varieties
证明了具有初等奇点的一般位置的Fano超曲面和对偶空间的除子标准性。
2008-07-24 math.AG
Basecondary polytopes
本文引入basecondary polytopes类多胞体，可统一研究次级多胞体、基多胞体及牛顿多胞体等，还涵盖无法归约为传统A-判别式与次级多胞体的Lyashko–Looijenga映射判别式，为相关几何研究提供统一框架。
2024-11-04 math.AG math.CO
Equivariant geometry of singular cubic threefolds, II
University of Edinburgh（爱丁堡大学）
本文研究具有非结点孤立奇点的三次三维簇上有限群作用的线性化问题，属于奇异三次三维簇等变几何研究的延续部分。
2025-11-13 math.AG
Hilbert modular surfaces for square discriminants and elliptic subfields of genus 2 function fields
通过将Hilbert模曲面与椭圆K3曲面的模空间相连接，计算了它们对应于平方判别式的显式有理模型.由于它们参数化了可分解的主极化阿贝尔曲面，它们也是亏格2曲线通过固定次数映射覆盖椭圆曲线的模空间。从而我们扩展了雅可比、埃尔米特、博尔扎等的经典工作，和最近的工作库恩，弗雷，卡尼，沙斯卡，Völklein，Magaard和其他人，生产明确的家庭可约雅可比。特别地，我们给出了亏格为2的曲线C和椭圆曲线E的模对（C，E）的模空间的双有理模型，该模型具有从C到E的n次映射，以及基上的重言式族，其中2 <= n <= 11.我们还从算术几何的角度分析了生成的模型，并在其上生成了几条有趣的曲线。
2016-09-26 math.AG math.NT
The Hesse pencil and polarizations of type $(1,3)$ on Abelian surfaces
本文证明了两个定理，第一个定理是Lange和Sernesi的一个结果的改进：具有$(1,3)$型不可约极化$D$的一般阿贝尔曲面$A$的判别曲线W是$18$次不可约曲线，其奇点恰为$36$节点和$72$尖点.此外，我们分析了判别曲线$W$的退化及其奇异性，因为$A$趋向于两个相等的椭圆曲线的乘积。第二个定理使用第一个定理来证明横截性断言，表明Alessandro和Catanese构造的曲面族的一般元素是光滑曲面，从而证明了具有$p_g=q=2, K^2=6$和Albanese的一般类型的新极小曲面族的存在性度映射$3$。
2022-12-30 math.AG math.CV
The geometry of secondary terms in arithmetic statistics
本文证明了函数域三次扩张计数中次级项的存在，利用几何参数化方法对光滑曲线计数，推广了有理数域上的结果。
2025-04-24 math.AG math.NT
Quasi-$F$-singularities and singularities in birational geometry
University of Tokyo（东京大学）；Institute of Science, Tokyo（东京理科大学）
综述拟$F$-奇点理论，重点阐述其与双有理几何中奇点的联系。
2026-07-01 math.AC math.AG
Invariants of models of genus one curves and modular forms
亏格为一的曲线的模型的不变量是在某些线性变换下稳定的模型的系数的多项式。不变量的经典例子是判别式，它描述了模型的奇异性。域上亏格1模型的不变量环由两个元素生成。Fisher对n= 2，3，4度模型的这些不变量进行了归一化，使得这些不变量在整数上定义。我们提供了另一种方法来表达这些规范化的不变量使用模形式。该方法依赖于基于其自身几何特性的判别式的直接计算。
2020-09-02 math.AG math.NT
Determinants of the Calabi-Yau Metrics on K3 Surfaces, Discriminants, Theta Lifts and Counting Problems in the A and B Models
戴德金η函数在数学和理论物理的不同分支中起着重要的作用。利用椭圆曲线上（0，1）型平坦度量作用的Laplacian的正则化行列式的显式公式（Kroncker极限公式）构造戴德金η函数的一种方法.正则化行列式的全纯部分是戴德金η函数。本文将上述方法推广到K3曲面的情形。根据R.波彻兹正则化行列式的全纯部分将是戴德金η函数的高维模拟。利用正则化行列式det_{(0,1)}的全纯部分exp_{3,19}，给出了Picard群幺模偶格K3曲面关于Hodge度量具有固定体积的非奇异有理曲线个数的显式表达式.给出了A和B模型中自守形式exp_{3,19}对具有么模Picard晶格的K3曲面模的限制的组合解释。本文所得结果与Bershadsky，Cecotti，Ouguri和Vafa的一些结果有关.参见BCOV。
2006-12-09 hep-th math.AG math.SG
