Fully polynomial time approximation schemes (FPTAS) for some counting problems
在这篇论文中，我们开发了FPTAS的计数问题的m元组，列联表与两行，和0/1背包。对于m元组的计数问题，我们设计了两个算法，一个是强多项式算法。据我们所知，这些是针对该问题的第一个FPTAS。对于问题的计数列联表，我们显着改善现有算法的运行时间。对于0/1背包解的计数问题，我们设计了一个简单的强多项式算法，其运行时间与现有算法相似。我们的结果来自使用，以及扩大，K-逼近集和函数的方法。
2016-11-03 cs.DS
An FPTAS for the parametric knapsack problem
本文研究了一类参数背包问题，其中物品收益是依赖于一个实值参数的仿射函数。目的是为参数的所有值提供解决方案。众所周知，该问题的任何精确算法都可能需要输出指数数量的背包解。我们提出了一个完全多项式时间近似方案（FPTAS）的问题，对于任何所需的精度$\varepsilon \in (0,1)$，计算$(1-\varepsilon)$的近似解决方案的所有值的参数。这是参数背包问题的第一个FPTAS，它不需要仿射函数的斜率和截距是非负的，但适用于任意积分值。我们的FPTAS输出$\mathcal{O}(\frac{n^2}{\varepsilon})$背包解决方案，并运行在强多项式时间$\mathcal{O}(\frac{n^4}{\varepsilon^2})$。即使对于正输入数据的特殊情况，这也是第一个具有强多项式运行时间的FPTAS。我们还表明，这个时间范围可以进一步提高到$\mathcal{O}(\frac{n^2}{\varepsilon} \cdot A(n,\varepsilon))$，其中$A(n,\varepsilon)$表示传统的（非参数）背包问题的任何FPTAS的运行时间。
2017-01-27 cs.CC cs.DS math.OC
An FPTAS for the Knapsack Problem with Parametric Weights
本文研究了参数权重背包问题，其中项目权重是$w_i(λ) = a_i + λ\cdot b_i$形式的仿射函数，其中$i \in \{1,\ldots,n\}$依赖于一个实值参数$λ$ .目的是为参数的所有值提供解决方案。众所周知，该问题的任何精确算法都可能需要输出指数数量的背包解。我们提出了第一个完全多项式时间近似方案（FPTAS）的问题，对于任何所需的精度$\varepsilon \in (0,1)$，计算$(1-\varepsilon)$的近似解决方案的所有值的参数。我们的FPTAS是基于两种不同的方法，并实现了运行时间的$\mathcal{O}(n^3/\varepsilon^2 \cdot \min\{ \log^2 P, n^2 \} \cdot \min\{\log M, n \log (n/\varepsilon) / \log(n \log (n/\varepsilon) )\})$，其中$P$是一个上限的最佳利润和$M := \max\{W, n \cdot \max\{a_i,b_i: i \in \{1,\ldots,n\}\}\}$的背包容量$W$。
2017-03-17 cs.CC cs.DS math.OC
A Faster FPTAS for Knapsack Problem With Cardinality Constraint
我们研究$K$ -item背包问题（即，$1.5$ -维KP），这是著名的0-1背包问题（即，$1$ -维KP），其中上限$K$被强加于所选择的项目的数量。这个问题具有根本的重要性，并且已知在各个领域中具有广泛的应用。众所周知，对于$d$维背包问题，当$d\geq 2$，除非P $=$ NP，否则不存在FPTAS。虽然已知$K$ -项目背包问题允许FPTAS，但是所有现有的FPTAS的复杂性都高度依赖于基数界限$K$和近似误差$\varepsilon$，这可能导致效率低下，特别是当$K$和$\varepsilon^{-1}$增加时。目前最好的结果是由于Mastrolilli和Hutter（2006），其中提出了两个方案，展示了空间-时间权衡-一个方案具有时间复杂度$O(n+Kz^{2}/\varepsilon^{2})$和空间复杂度$O(n+z^{3}/\varepsilon)$，而另一个方案需要$O(n+(Kz^{2}+z^{4})/\varepsilon^{2})$运行时，但只需要$O(n+z^{2}/\varepsilon)$空间，其中$z=\min\{K,1/\varepsilon\}$。在本文中，我们关闭的空间-时间的权衡表现在国家的最先进的设计一个新的FPTAS与运行时间的$\widetilde{O}(n+z^{2}/\varepsilon^{2})$，同时达到$O(n…
2020-12-12 cs.CC cs.DM cs.DS
The Product Knapsack Problem: Approximation and Complexity
我们考虑的产品背包问题，这是经典的0-1背包问题的变体，其中的目标包括最大化产品的利润所选择的项目。这些利润可以是正的，也可以是负的。我们表明，最近推出的背包问题的变种是弱NP-硬，并提出了一个完全多项式时间近似方案（FPTAS）的问题。此外，我们分析了由经典贪婪过程的自然扩张到产品背包问题所达到的近似质量。
2021-06-28 cs.DS math.OC
Faster Knapsack Algorithms via Bounded Monotone Min-Plus-Convolution
我们提出了新的精确和近似算法0-1-背包和无界背包：* 精确算法0-1-背包：0- 1-背包有已知的算法运行的时间$\widetilde{O}(n + \min\{n OPT, n W, OPT^2, W^2\})$，其中$n$是项目的数量，$W$是重量预算，$OPT$是最佳利润。我们提出了一个在时间上运行的算法$\widetilde{O}(n + (W + OPT)^{1.5})$。这在$n,W,OPT$大致相等的情况下改善了运行时间。* 无界背包的精确算法：无界背包具有在时间上运行的已知算法$\widetilde{O}(n + \min\{n \cdot p_{\max}, n \cdot w_{\max}, p_{\max}^2, w_{\max}^2\})$ [Axiotis，Tzamos '19，Jansen，Rohwedder '19，Chan，He '20]，其中$n$是物品的数量，$w_{\max}$是任何物品的最大重量，并且$p_{\max}$是任何物品的最大利润。我们提出了一个算法运行在时间$\widetilde{O}(n + (p_{\max} + w_{\max})^{1.5})$，给出了类似的改进0-1-背包。* 近似无限背包与资源扩增：无限背包有一个已知的FPTAS与运行时间$\widetilde{O}(\min\{n/\varepsilon, n + …
2022-05-17 cs.DS
An empirical analysis of exact algorithms for the unbounded knapsack problem
本文对无界背包问题的精确算法进行了实证分析，其中包括文献中的七种算法，两种商业求解器和一万多个实例。终止步进，一个动态规划算法从1966年，提出了最低的平均时间来解决最新的基准从文献。阈值和集体优势是1998年首次讨论的无界背包问题的属性，并利用当前最先进的算法。终止步离算法没有利用这种优势，但有一个替代机制，用于处理优势，不显式地利用集体和阈值优势。此外，定价子问题时，发现解决硬切割股票问题与列生成可能会导致分支定界算法显示最坏情况下的时间。作者提出了一类新的实例，有利于分支定界方法的动态规划方法，但没有大量的简单，多个和集体主导的项目。这种行为说明了硬实例的定义如何在算法方法中变化。用于解决无界背包问题的代码和例如生成都可以在线获得。
2019-03-21 cs.DS
A tight 1/3-approximation algorithm and fully polynomial-time approximation schemes for the Colored Knapsack Problem
Sapienza University of Rome（罗马第一大学）
针对彩色背包问题，提出首个近似算法（性能比1/3）及两个FPTAS，通过舍入LP解和利润缩放实现多项式时间近似。
2026-09-17 cs.DS math.OC
Stealing From the Dragon's Hoard: Online Unbounded Knapsack With Removal
Syddansk Universitet（南丹麦大学）；RWTH Aachen University（亚琛工业大学）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
本文研究带移除功能的在线无界背包问题，提出一般场景下竞争比约1.691的确定性算法，证明比例场景下确定性算法竞争比为3/2，随机算法竞争比介于6/5与4/3之间。
2026-08-19 cs.DS
Dynamic programming algorithms, efficient solution of the LP-relaxation and approximation schemes for the Penalized Knapsack Problem
0-1惩罚背包问题（PKP）每个项目都有一个利润，一个权重和一个惩罚，目标是最大化利润减去最大惩罚值的总和。我们提出了一个确切的方法依赖于一个程序，缩小了相关的处罚范围，在确定一个核心问题和动态规划。所提出的方法被证明是非常有效的解决硬PKP的情况下，并比较有利的商业求解器CPLEX 12.5适用于ILP制定的问题，并在文献中的最佳精确算法。然后，我们提出了一个一般的不可逼近的结果，并研究了几个相关的特殊情况下，允许完全多项式时间近似计划（FPTAS）。
2017-02-14 cs.DS
Online Unbounded Knapsack
该研究分析了在线无界背包问题的竞争比与建议复杂度，分别针对简单和一般两类无界背包问题，推导了确定性、随机算法及不同建议比特数下的竞争比上下界与相关算法结论。
2024-10-31 cs.DS
Hybrid Rounding Techniques for Knapsack Problems
我们解决经典的背包问题和一个变种，其中上限是强加的项目，可以选择的数量。我们表明，适当的舍入技术的组合产生新的和强大的舍入方式。作为这些技术的应用，我们提出了一个线性存储多项式时间近似方案（PTAS）和一个完全多项式时间近似方案（FPTAS），计算近似的解决方案，任何固定的精度，在线性时间。这个线性复杂性界给出了一个最好的以前已知的多项式界的实质性改进。
2003-05-02 cs.CC cs.DM cs.DS
On Problems Related to Unbounded SubsetSum: A Unified Combinatorial Approach
无界子集求和是一个经典的教科书问题：给定整数$w_1,w_2,\cdots,w_n\in [1,u],~c,u$，我们需要找出是否存在满足$c=\sum_{i=1}^n w_im_i$的$m_1,m_2,\cdots,m_n\in \mathbb{N}$。在它的全目标版本中，给出了$t\in \mathbb{Z}_+$，并且需要所有整数的答案$c\in[0,t]$。在本文中，我们研究了这个简单问题的三种推广：全目标无界背包，全目标硬币兑换和剩余表。通过对解的结构的新的组合见解，我们提出了一种新的两阶段方法来解决这类问题。因此，我们提出了CoinChange和Residue Table的第一个近线性算法，该算法在$\tilde{O}(u+t)$和$\tilde{O}(u)$中时间确定性地运行。我们还表明，如果我们可以计算$(\min,+)$卷积的$n$长度的阵列在$T(n)$时间，那么所有目标无界背包可以解决在$\tilde{O}(T(u)+t)$时间，从而建立次二次等价的所有目标无界背包和$(\min,+)$卷积。
2022-02-27 cs.DS
Complex-Demand Knapsack Problems and Incentives in AC Power Systems
我们考虑交流电气系统，其中每个电气设备具有表示为复数的功率需求，并且总功率供应的大小有限制。出于这种情况下，我们介绍了复杂的需求背包问题（C-KP），一个新的变化的传统背包问题，其中每个项目都与一个需求作为一个复数，而不是一个实数通常被解释为重量或大小的项目。在保持相同的目标，以最大限度地提高所选项目的价值之和，我们把容量限制在满足的需求之和的大小。对于C-KP，我们证明了它的不可逼近性的FPTAS（除非P = NP），以及提出了（1/2-ε）-近似算法。此外，我们研究了自私的多代理设置，每个代理人负责一个项目，和代理人可能会误报的需求和价值，他的项目为自己的利益。我们展示了一种简单的方法来将我们的近似算法调整为单调的，这足以满足激励兼容支付的存在，使得没有代理人有误报的动机。我们的研究结果揭示了智能电网的多代理系统的设计。
2014-01-26 cs.DS
Boolean function analysis meets stochastic optimization: An approximation scheme for stochastic knapsack
随机背包问题是经典背包问题的随机变体，在经典背包问题中，算法设计者被赋予具有给定容量和物品集合的背包，其中每个物品与利润和其大小的概率分布相关联。目标是选择具有最大利润的项目的子集，并且以至多$p$的概率（称为溢出概率）违反容量约束。虽然几个近似算法已经开发了这个问题，大多数这些算法放宽了背包的容量约束。在本文中，我们设计了有效的近似计划，这个问题没有放松的能力约束。(i)我们的第一个结果是在项目大小是伯努利随机变量的情况下。在这种情况下，我们设计了一个（几乎）完全多项式时间近似方案（FPTAS），它只放宽了溢出概率。(ii)我们的第二个结果将第一个结果推广到所有项目大小都支持一个（公共）恒定大小集的情况。(iii)我们的第三个结果是在项目大小是所谓的“超收缩”随机变量的情况下，即，二阶矩和四阶矩在彼此的常数因子内的随机变量。换句话说，随机变量的峰度的上限是一个常数。至关重要的是，我们所有的算法都完全满足容量约束，这一结果以前只有当项目大小是泊松或高斯随机变量时才知道。我们的研究结果依赖于布尔函数分析和随机优化之间的新的连接。我们相信，这些想法和技术可能被证明是有用的，以及在其他随机优化问题。
2017-12-04 cs.DS
Preemptive Two-stage Goal-Programming Formulation of a Strict Version of the Unbounded Knapsack Problem with Bounded Weights
有界权重的无界背包问题是传统二进制背包问题的一个变体;关键的变化是放松二进制约束，并允许每个项目的单位权重落在一个范围内。在本文中，我们制定了这个问题的一个变种，我们称之为严格无界背包问题与有界的重量，通过取代的不等式约束的总重量与一个等式。我们表明，这个问题可以分解成两个阶段，先发制人的目标规划问题，第一阶段是一个2维背包问题，第二阶段是一个线性可行性方案（每规范制定）或简单的线性约束程序在一般情况下。这种重新被证明是相当于原来的配方，但允许使用良好的研究，高效的多维背包问题的算法。此外，它将围绕背包中放置什么的建模工作与应该为每个物品类型分配什么单位重量的考虑分开，为建模者提供了更大的灵活性，而不会增加背包配置选择的复杂性。最后，我们表明，对于第二阶段的可行性版本，可以立即得到第一阶段的解决方案的可行解。
2021-09-26 cs.DS math.OC stat.OT
Multistage Knapsack
许多系统必须维持，而基本的限制，成本和/或利润随着时间的推移而变化。虽然系统的状态可能随时间而演变，但是从一个状态转换到另一个状态会产生不可忽略的转换成本。为了对这种情况进行建模，Gupta等人（ICALP 2014）和Eisenstat等人（ICALP 2014）引入了一个多阶段模型，其中输入是一系列实例（每个时间步一个），目标是找到一系列解决方案（每个时间步一个），这些解决方案（i）对于每个时间步都接近最优，（ii）尽可能稳定。我们专注于背包问题的多阶段版本，其中我们给定时间范围t= 1，2，.，T和背包实例序列I_1，I_2，. I_T，每个时间步长一个，定义在一组n个对象上。在每个时间步t中，我们必须选择I_t的一个可行背包S_t，它给出一个背包利润。为了衡量两个连续的解决方案S_t和S_{t+1}的稳定性/相似性，我们确定的对象的决策，被挑选或不被挑选，保持相同的S_t和S_{t+1}，给出一个过渡的利润。我们被要求产生一系列解S_1，S_2，.，S_T，使得总背包利润加上总转移利润最大化。我们提出了一个多阶段背包问题的PTAS。然后，我们证明了即使在T=2的情况下，也不存在问题的FPTAS，除非P=NP。此外，我们给出了一个伪多项式时间算法的情况下，步骤的数量是有界的一个固定的常数，我们表明，否则的问题仍然是NP-困难的，即使在所有的权重，利润和能力是0或1的情况下。
2019-01-31 cs.DS
Near-Optimal Sparsifiers for Stochastic Knapsack and Assignment Problems
University of Southern California（南加州大学）
本文提出了一种多面体稀疏化框架，用于解决随机背包和分配问题，证明其在多项式度下可实现近似最优解。
2025-12-01 cs.DS
On bounded pitch inequalities for the min-knapsack polytope
在最小背包问题中，目标是选择一组总成本最小且总利润高于给定阈值的对象。本文研究了最小背包的一类有效不等式--有界节距不等式，它推广了著名的无权覆盖不等式。虽然对音高1不等式的分离是NP困难的，但我们证明了对音高1和音高2不等式集合的近似分离可以在多项式时间内完成。当这些不等式相加时，我们还研究了最小背包的线性松弛的完整性缺口。在其他的结果中，我们证明了，对于任何固定的$t$，自然线性松弛的$t$ -th CG闭包具有无界的完整性间隙。
2018-01-26 cs.DS
Inclusion-wise extremal knapsack problems are (mostly) hard to approximate
Sapienza University of Rome（罗马大学）；University of Graz（格拉茨大学）
本文研究两种包含式极值背包问题，证明其大多难以近似，确定了可恢复可近似性的限制条件，并为部分限制情形给出近似方案或改进了已有结果。
2026-10-19 cs.DS math.OC
A constant time complexity algorithm for the unbounded knapsack problem with bounded coefficients
针对有界系数的无界背包问题，提出一种时间复杂度为 O(R^4)、空间复杂度为 O(R^3) 的精确算法，通过划分类型并利用分支定界和 Frobenius 问题结论求解。
2024-03-17 cs.CC cs.DS
Dependent randomized rounding for clustering and partition systems with knapsack constraints
本文研究带背包与分区约束的公平聚类，提出依赖随机舍入算法，为多背包中位数和中心问题给出新的近似与伪近似保证，并建立无界方差随机变量和的新尾界。
2024-05-11 cs.DS
Capacitated Dynamic Programming: Faster Knapsack and Graph Algorithms
背包问题是计算机科学中最基本的问题之一。给定一组具有不同权重和值的n个项目，它要求选择总权重低于容量阈值T的最有价值子集。尽管它在计算机科学、运筹学和金融等各个领域都有广泛的适用性，但该问题最著名的运行时间是O（Tn）。我们的工作的主要结果是一个改进的算法运行时间O（TD），其中D是不同的权重的数量。以前，只有当权重和值分别由M和V限制时，背包才可能有更快的运行时间，运行时间为O（nMV）[Pisinger'99]。相比之下，我们的算法意味着在不依赖于V的情况下O（nM^2），或者在不依赖于M的情况下O（nV^2）。另外，对于无界背包问题，我们提供了一个时间复杂度为O（M^2）或O（V^2）的算法。我们的两个算法都匹配最近的条件下界显示背包问题[Cygan等人'17，Künnemann等人'17]。系统地研究了以背包问题为核心的一般能力约束动态规划。这个问题要求计算边或节点加权有向无环图中长度为k的最大权路径。在一个有m条边的图中，这些问题可以用动态规划在时间O（km）内解决，并且我们探索在什么条件下可以消除对k的依赖。我们确定大类的图形，这是可能的，并应用我们的研究结果，以获得线性时间算法的问题，k-稀疏三角洲分离序列。我们的研究结果背后的主要技术创新是识别和利用我们考虑的任务的松弛和子问题中出现的问题。
2018-07-12 cs.DS
A PTAS for Non-Adaptive Stochastic Top-$k$ Sum under General Combinatorial Constraints
该研究针对一般组合约束下的非自适应随机Top-k和问题，利用近似最大和预言机与打包LP等技术，为固定维打包族（含背包问题）构造了PTAS，并证明其为通用最优方案
2026-09-04 cs.CC cs.DS
0-1 Knapsack in Nearly Quadratic Time
本文针对0-1背包问题提出确定性算法，将时间复杂度改进至O(n + w_max^2 log^4 w_max)，通过推广细粒度邻近性技术和扩展见证传播方法，弥合了上界与条件下界之间的差距。
2024-04-01 cs.DS
Solving Knapsack with Small Items via L0-Proximity
本文利用Erdős-Sárközy加性组合定理建立ℓ0邻近性界，并结合ℓ0与ℓ1邻近性设计动态规划算法，将0-1背包问题时间复杂度改进为\tilde O(n+w_max^{2.5})，Subset Sum改进为\tilde O(n+w_max^{1.5})。
2023-08-09 cs.DS
A Lasserre Lower Bound for the Min-Sum Single Machine Scheduling Problem
最小和单机排序问题（记为1|| sum f_j）推广了大量的排序问题。第一常数近似保证最近才获得，并且是基于用所谓的Knapsack-Cover不等式加强的自然时间索引LP松弛（参见Bansal和Pruhs，Cheung和Shmoys以及Mestre和Verschae最近的4+ε近似）。这些松弛有一个完整性差距为2，因为最小背包问题是一个特殊情况。没有APX硬度结果是已知的，仍然可以想象存在PTAS。有趣的是，当目标函数作为约束加入时，Lasserre层次松弛将最小背包问题的完整性间隙减小到1+ε。本文研究了最小和单机排序问题在Lasserre层次算法下的复杂性。我们证明了这个模型的第一个下界，显示的完整性差距是无界的水平Ω（\sqrt{n}），即使是在O（n log n）的时间内由Moore-Hodgson算法，即最小数目的误工问题的一个变种。我们考虑一个自然的配方，将目标函数作为一个约束，并证明了部分对角化的矩阵与放松和利用这种特性的结果。
2015-11-27 cs.DS
An Algorithm-to-Contract Framework without Demand Queries
MIT（麻省理工学院）；Technion（以色列理工学院）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）
本文提出一种无需需求查询的算法-合同框架，通过局部到全局的方法将算法转化为合同设计问题，解决了预算最大化问题的近似最优合同设计。
2026-09-15 cs.DS cs.GT
Removable Online Knapsack and Advice
本文研究可移除在线背包问题的建议复杂度，证明仅需常数比特建议即可使竞争比从无界提升至接近最优，并改进了多个相关模型的下界。
2024-02-28 cs.CC cs.DS
Fair Assortment Planning
针对在线平台物品组合优化算法忽视机会公平的问题，提出基于成对公平的公平组合规划模型，设计基于椭球法与近似分离预言机的近似算法，实验验证了算法有效性并分析了公平性代价。
2025-02-21 cs.DS math.OC
