A potential analogue of Schinzel's hypothesis for polynomials with coefficients in Fq[t]
Schinzel假设本质上声称，Z上的一个变量中的无穷多个不可约多项式同时假定无穷多个素数值，除非有明显的理由说明这是不可能的。本文证明了在有限域Fq的特征限制和光滑性假设下，环Fq[t]上的许多单变量不可约多项式在对常数域作充分大的扩张后同时取素值.
2005-07-16 math.AG math.NT
A proof of the Schinzel-Zassenhaus conjecture on polynomials
我们证明，如果$P(X) \in \mathbb{Z}[X]$是一个整数多项式的次数$n$和有$P(0) = 1$，那么要么$P(X)$是一个产品的分圆多项式，否则至少有一个复根的$P$属于磁盘$|z| \leq 2^{ - 1 / (4n) }$。我们还得到了这个结果在$\mathbb{Q}$的所有交换扩张和所有全$p$-adic扩张的合成$\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t.}p}$上的一个相对版本，对于任何固定的素数~$p$，并应用它证明了乘法群上的一个$\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t.}p}$-相对标准高度下界.另一个推广是给出了$\mathbb{Q}[[X]]$中完整幂级数的一个与奇点总数成反比的一致正高度下界，而不是$p(X) / (X^k-1)^m$的形式，其中$p(X) \in \mathbb{Q}[X]$，并进一步应用于某些有理函数的小临界值的存在性.
2019-12-28 math.NT
The Erdős-Selfridge and the Schinzel-Tijdeman theorems hold in $PA^-$
我们证明了Schinzel和Tijdeman关于方程$y^m=P(x)$的解的几个结果，对于$m>1$，$y>1$和$P(x)$是一个具有有理系数和至少有两个不同零点的多项式，在Peano算术的一个弱片段$PA^-$中成立，它缺乏任何类型的归纳，其模型是离散序环的正锥。
2015-03-14 math.NT
On a question of Luca and Schinzel over Segal-Piatetski-Shapiro sequences
我们推广到Segal-Piatetski-Shapiro序列以前的结果Luca-Schinzel问题整值多项式序列。也就是说，我们证明了对于任何大于$1$的实$c$，序列$(\sum_{m\le n} φ(\lfloor m^c \rfloor) /\lfloor m^c \rfloor)_n$是稠密模$1$，其中$φ$表示欧拉函数。证明的主要部分在于表明，当$R$是一个大整数，序列的剩余$\lfloor m^c \rfloor$模$R$包含块的连续值是在一个等差数列。
2021-11-05 math.NT
The Davenport-Lewis-Schinzel problem on the reducibility of $f(X)-g(Y)$
Univ. Lille（里尔大学）；Korea National University of Education（韩国国立教育大学）；Technion - Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
本文解决Davenport-Lewis-Schinzel问题，确定多项式映射$f$的纤维在哪些整数上可约，并应用于算术动力学中的迭代稳定性及函数方程解法。
2026-03-29 math.AG math.GR math.NT
Irreducible values of polynomials
Schinzel假设H是数论中关于多项式的素数值的一般猜想，其推广了例如，孪生素数猜想和关于等差数列中素数的狄利克雷定理。我们证明了这个猜想的一个算术模拟的多项式环上的伪代数闭域。这意味着在大的有限域上的结果。证明中的一个主要工具是希尔伯特的不可约化定理。
2010-09-20 math.NT
Prime values of reducible polynomials, II
Schinzel假设声称（但似乎无法证明）任何没有常数因子的不可约Q [x]多项式在整数位置假设有无穷多个素数。另一方面，很容易看出，一个可约Q [x]多项式只能有1/2个这样的位置。本文证明了一个n次可约Z [x]多项式（其中n不为4或5）最多可有n +2个这样的位置，并且存在n +1个位置的例子。如果Schinzel假设和k-素数元组猜想是正确的，那么也有多项式有n +2个这样的位置。(For n = 4或5，最大可能值为8）。如果一个Z [x]多项式是两个非常数整数值Q [x]多项式的乘积，那么最多有1.87234个。n + o（n）这样的地方。即使在这种情况下，具有正素数值的整数位的数量至多为n。更一般地，如果f = gh \in R [x]是两个非常数实多项式的乘积，则实数位置x的数目使得|g（x）|= 1或|h（x）= 1|，当f（x）> 1时，至多为n。对于这最后一个陈述的自然复杂版本，我们给出一个反例。此外，我们简要地考虑了广义问题的假设值在一个固定的有限集的整数。
2005-10-17 math.NT
Le complémentaire des puissances $n$-ièmes dans un corps de nombres est un ensemble diophantien
给定数域$k$和正整数$n$，存在$k$上的代数簇$X$和$X$上的函数$f$，其在$X$的$k$ -点集上的值集$f(X(k))$是$n$ -次幂集的$k$的补。这一结果已被B. Poonen（2009）为$n$提供了$2$的幂。对于任意的$n$，T. Várilly-Alvarado和B. Viray（2012年）。而不是Schinzel的假设，我们使用“Salberger的技巧”，作为开发的论文Skorobogatov，Swinnerton戴尔和作者之一。
2014-01-05 math.AG math.NT
On the irreducibility of the non-cyclotomic part of most 0,1-polynomials with few terms
本文对Schinzel的结果给出另一种证明：对固定项数k≥2，几乎所有正整数指数选择下，少项0,1多项式去掉分圆因子后不可约。
2025-08-17 math.NT
The Hardy--Littlewood conjecture and rational points
辛策尔假说（H）被柯利奥特-泰伦和桑纳，以及后来的塞尔、斯温纳顿-戴尔和其他人用来证明布劳尔-马宁障碍控制着哈塞原理和二次曲线束的弱逼近。当基域为Q且束的退化几何纤维都定义在Q上时，用Green，Tao和Ziegler最近建立的广义Hardy-Littlewood猜想的有限复杂性情形代替假设（H），可以用这些方法得到无条件的结果.
2014-03-19 math.NT
Polynomial products modulo primes and applications
对于任何多项式$P(x)\in\mathbb{Z}[x],$我们研究算术动力系统产生的$\displaystyle{F_P(n)=\prod_{k\le n}}P(n)(\text{mod}\ p),$ $n\ge 1.$我们应用这一点来提高下界的数目不同的二次域的形式$\mathbb{Q}(\sqrt{F_P(n)})$在短时间间隔$M\le n\le M+H$以前由于Cilleruelo，卢卡，Quirós和Shparlinski。作为第二个应用程序，我们估计的平均数缺失值的$F_P(n)(\text{mod}\ p)$为特殊家庭的多项式，推广以前的工作银行，Garaev，卢卡，Schinzel，Shparlinski和其他人。
2018-10-15 math.NT
Common divisors of totients of polynomial sequences
出于Venkataramana的一个问题，我们考虑的最大公因数的$ϕ(f(n))$，其中$f$是一个本原多项式的整数系数，和$n$范围内的所有自然数。假设Schinzel的假设，我们建立，这个gcd可能只是在多项式$f$的次数有界。无条件地，我们建立这样的二次多项式，以及多项式完全分裂成线性因素的限制。本文还解决了Calegari的一个问题，并建立了有无穷多个$n$，使得$n^2+1$不能被任何素数$\equiv 1 \bmod 2^m$整除，只要$m$是一个大的固定整数。
2019-09-24 math.NT
Integral points on generalised affine Châtelet surfaces
在辛兹尔假设下，一般化仿射切塔莱表面的整数Hass原理障碍仅由Brauer-Marinin障碍构成。
2019-02-07 math.AG math.NT
Rational points and prime values of polynomials in moderately many variables
我们在Colliot-Thélène，Santiago和Harpaz-Skorobogatov-Wittenberg的工作精神下导出了某些簇的束的Hasse原理和弱逼近。我们的品种被定义通过多项式在许多变量和我们的工作的一部分是致力于建立Schinzel的假设多项式这种。这最后一部分是通过使用参数背后的伯奇的著名结果哈塞原则完全相交的显着差异，我们证明我们的结果在50%的变量比在经典的伯奇设置。我们还研究了一个整数多项式的无平方值的问题，其中变量比Birch设置少66.6%。
2019-08-14 math.NT
On the arithmetic and the geometry of skew-reciprocal polynomials
我们重新制定莱默的问题从1933年和一个问题，由于Schinzel和Zassenhaus从1965年的比较方面的马勒措施和房屋，分别为一元整数倒数和斜倒数多项式的相同程度。这意味着理解方向保持和方向反转映射类之间的区别至少和回答这些问题一样复杂。
2020-03-26 math.GT math.NT
Coprime values of polynomials in several variables
给定两个多项式$P(\underline x)$、$Q(\underline x)$，它们是一个或多个变量的整数系数，它们互质的性质如何与它们在整数点$\underline n$的值$P(\underline n), Q(\underline n)$互质有关？我们证明了所有$\gcd (P(\underline n), Q(\underline n))$的集合在gcd和lcm下是稳定的。一个值得注意的结果是Schinzel的结果：如果另外$P$和$Q$没有固定的素除子（即，没有素数整除所有值$P(\underline n)$、$Q(\underline n)$），则$P$和$Q$假定在“许多”整数点处互质。相反，我们表明，如果“足够多”的整数点产生互质（或小gcd）的值，那么原来的多项式必须互质。另一个值得注意的后果，本文是一个版本的整数环的希尔伯特的不可约定理。
2022-09-29 math.NT
On parametric and generic polynomials with one parameter
给定域$k \subseteq L$，我们的结果涉及$k$上的单参数$L$ -参数多项式，以及它们与一般多项式的关系.前者是群$G$的多项式$P(T,Y) \in k[T][Y]$，其通过$T$在$L$中的特殊化来参数化群$G$的$L$的所有伽罗瓦扩张，而后者是对于每个域$L \supseteq k$都是$L$参数的多项式。我们表明，例如，是$L$参数与$L$采取的是单字段$\mathbb{C}((V))(U)$实际上是足够的多项式$P(T, Y) \in \mathbb{C}[T][Y]$是通用的。作为推论，我们得到一个完整的列表的一个参数一般多项式在一个给定的领域的特征0，补充经典文献的主题。我们的方法也适用于Schinzel的一个老问题：受桦树和Swinnerton-Dyer猜想，我们提供了一个参数家庭的仿射曲线在数域上，所有的有理点，但没有合理的通用点。
2021-02-15 math.NT
House of algebraic integers symmetric about the unit circle
给出了根关于单位圆对称的一元整多项式的根的最大模的Schinzel-Zassenhaus型下界.我们的结果推广了Dimitrov的工作，Dimitrov利用整系数幂级数的Pólya合理性定理证明了一般的Schinzel-Zassenhaus猜想，并给出了集合的对数容量（超限直径）的一些估计.我们使用增强的Pólya的结果得到的罗宾逊，其中涉及劳伦特型有理函数与小的上确界规范，从而取代了对数容量与一个更小的数量。这个较小的量通过加权切比雪夫常数表示，该常数与罗宾逊合理性定理中使用的季米特洛夫函数相关联。我们的房子的下界证实了博伊德的一个猜想。
2021-01-17 math.CV math.NT
On a class of lacunary almost Newman polynomials modulo p and density theorems
研究了一类缺项整数多项式族的模$p$约化问题，该多项式族与$β$移位的动态zeta函数$ζ_β(z)$有关，其中$β> 1$接近于1.我们简要地回顾一下这个家庭是如何与莱默的问题。关于$\mathbb{F}_p$中零的个数及其因子分解，通过克罗内克平均值定理（被视为均匀分布理论的经典定理的模拟）提出了各种各样的问题。这些问题的部分答案使用结果Schinzel，重新访问的Sawin，Shusterman和斯托尔，和密度定理（Frobenius，Chebotarev，塞尔，罗森）。这些问题产生于寻找整数多项式的Mahler措施> 1小于最小的Salem数1.176280的存在。在某些情况下，得到了这些多项式的零点个数在$\mathbb{F}_p$中的模形式（或模表示）的显式关系。一般来说，它是预期的，因为它必须存在，根据朗兰兹纲领。
2022-01-10 math.NT
Reducible Fibers of Polynomial Maps
对于有理数上的次数$n$多项式$f$，根据希尔伯特不可约定理，对于大多数有理数值$a$，纤维$f^{-1}(a)$中的元素的次数为$\mathbb Q$上的$n$。确定一组例外的$a$的没有这个属性是一个长期存在的开放问题，是密切相关的达文波特-刘易斯-Schinzel问题（1959年）约简分离多项式。相对于以前的工作，主要涉及不可分解的$f$，我们回答这两个问题的可分解的$f=f_1\circ\cdots\circ f_r$，只要不可分解的因素$f_i\in\mathbb Q[x]$的程度至少$5$和不$x^n$或切比雪夫多项式组成的线性多项式。
2022-09-08 math.GR math.NT
Extremal invariant polynomials not satisfying the Riemann hypothesis
线性码的Zeta函数由Iwan Duursma在1999年定义。作者将其推广到了某些不变多项式的情况。其中最重要的问题之一是极值权枚举数是否满足黎曼假设。在这篇文章中，我们证明了存在权枚举型的极值多项式，它们在MacWilliams变换下是不变的，并且不满足黎曼假设。
2017-09-11 math.NT
An abundance of invariant polynomials satisfying the Riemann hypothesis
1999年，Iwan Duursma定义了线性码的zeta函数作为其汉明重量计数器的生成函数。它也可以定义为其他齐次多项式不对应于现有的代码。如果齐次多项式在MacWilliams变换下是不变的，那么它的zeta函数满足一个函数方程，我们可以用公式表示类似的黎曼假设。就现有的代码而言，黎曼假设被认为是密切相关的极值性质。本文证明了存在大量的满足黎曼假设的MacWilliams变换不变量多项式。证明进行了明确的建设，这样的多项式。为了证明某类不变多项式的黎曼假设，我们建立了类似于Enestrom Kakeya定理的一个定理。
2007-04-30 math.NT
Modulus representation of the Riemann $ξ$ function and polynomial inequalities equivalent to the Riemann hypothesis
本文利用 Jacobi theta 函数给出 Riemann ξ 函数的模表示，并证明 Riemann 假设等价于一族多项式不等式，同时给出初步结果。
2024-11-06 math.NT
Jensen polynomials are not a plausible route to proving the Riemann Hypothesis
最近的工作对詹森多项式的黎曼xi函数及其衍生物发现了连接到厄米多项式。这些结果被认为是黎曼假设的证据，而且这些结果还被认为是zeta函数零点的随机矩阵统计的一个重要结果。我们把这项工作的背景下，以前的结果，并解释为什么厄米多项式的外观是有趣的和令人惊讶的，并可能代表一种新的类型的普遍规律，细化M。贝瑞的“余弦是一个普遍吸引子”原理。然而，我们发现没有理由建议连接到黎曼假设，也没有建议连接到约束随机矩阵统计的L-函数的零点。这些考虑表明，詹森多项式，以及一大类相关的多项式，是没有用的攻击黎曼假设。我们提出了一般的标准，以确定是否等价的黎曼假设可能是有用的。
2022-11-09 math.NT
The Riemann Hypothesis for period polynomials of Hilbert modular forms
最近有一些关于周期多项式及其零点的理论的著作。特别是，零的周期多项式已被证明满足“黎曼假设“在经典的设置和上同调的版本扩展的情况下，更高的衍生物的$L$ -功能的经典设置。因此，在这些现象的背后似乎有一个普遍的现象。在本文中，我们探索进一步的推广，通过定义一个自然的模拟希尔伯特模形式。然后，我们证明，类似的黎曼假设，以及在这种情况下举行。
2020-05-21 math.NT
The Riemann Hypothesis For Period Polynomials Of Modular Forms
偶数权$k\geq 4$新形式$f\in S_k(Γ_0(N))$的周期多项式$r_f(z)$是$L(f,s)$的临界值的生成函数。它具有将$r_f(z)$与$r_f\left(-\frac{1}{Nz}\right)$关联的函数方程。我们证明了这些多项式的黎曼假设：$r_f(z)$的零点位于圆$|z|=\frac{1}{\sqrt{N}}$上。我们证明了当$k$或$N$较大时，这些零点是等分布的。
2016-02-09 math.NT
Construction of divisible formal weight enumerators and extremal polynomials not satisfying the Riemann hypothesis
形式权枚举数是由M.关它们形成了一个不变多项式环，类似于II型码的重量计数器。后来，发现了线性码的zeta函数，并发展了它们的理论。杜尔斯玛本文作者将它推广到某些不变多项式，包括Ozeki的形式权计数器.极值权计数器是否满足黎曼假设是一个著名而重要的问题。在本文中，我们首先制定的概念，可分的形式重量枚举，并提出了一个算法的有效搜索的形式重量枚举可被二分。主要工具是二项式矩。它导致发现了几个新的家庭的正式重量枚举。然后，作为一个结果，我们发现的极值形式的重量枚举不满足黎曼假设的例子。
2018-05-21 math.NT
The Riemann Hypothesis for period polynomials of cusp forms
本文证明了尖点形式周期多项式的“黎曼假设”不仅适用于本征形式，还适用于权$k \geq 120$时带正系数的本征形式线性组合等无穷族。
2023-05-06 math.NT
Conditional mean values of long Dirichlet polynomials
在黎曼假设的基础上，我们证明了包含vonMangoldt函数的各种长Dirichlet多项式的平均值的渐近公式。我们的研究结果避免了使用相关和估计，虽然除了黎曼假设，我们必须假设我们的狄利克雷多项式的权重从一个特定的类，其变换是足够集中的原点附近。我们也给出了这些长Dirichlet多项式的大偏差估计。
2022-01-06 math.NT
The $p$-adic Riemann Hypothesis For Expnonential Sums
研究了有限特征$p$域上以$n$为变量的一般$d$次多项式的指数和的$L$ -函数.定义了特征$p$的有限域上以$n$为变量的一般$d$次多项式的Frobenius多边形。提出了一个$p$ -adic黎曼假设.它断言当$p$足够大时，$L$ -函数的牛顿多边形与Frobenius多边形重合.当$p$和$p\equiv-1({\rm mod }\ d)$ .在一般情况下，证明了当$p$足够大时，$L$ -函数的牛顿多边形位于端点重合的Frobenius多边形之上.
2020-09-02 math.NT
An optimal choice of Dirichlet polynomials for the Nyman-Beurling criterion
本文给出了黎曼假设的Nyman-Beurling判据的Báez-Duarte重新表述中常数的一个条件结果。我们表明，假设黎曼假设和$\sum_ρ\frac{1}{|ζ'(ρ)|^2}\ll T^{3/2-δ}$，对于某些$δ>0$，这个常数的值与伯诺尔给出的下界一致。
2012-11-22 math.NT
An arithmetic formula for certain coefficients of the Euler product of Hecke polynomials
在1997年，作者发现了一个标准的黎曼假设的黎曼ζ函数，涉及非负的某些系数与黎曼ζ函数。在1999年，Bubieri和Lagarias利用素数理论的“显式公式”得到了这些系数的算术公式。本文给出了Hecke多项式的Euler积的相应系数的一个计算公式，它实质上是Hecke同余子群上的L-函数与权为2的尖点形式（新形式和旧形式）的乘积.这些系数的非负性同时给出了所有这些L-函数的黎曼假设的判据。
2004-06-13 math.NT
The Jensen-Pólya program for various L-functions
波利亚证明，在1927年，黎曼假设是等价于双曲的所有詹森多项式的程度$d$和转移$n$的黎曼xi函数。最近，Griffin、Ono、Rolen和Zagier证明了，对于每一阶$d \geq 1$，除了可能有100多个$n$之外，黎曼Xi函数的所有詹森多项式都是双曲的。在这里，我们扩展他们的工作，显示相同的声明是真的合适的$L$ -功能。这为广义黎曼假设提供了证据。
2019-05-27 math.NT
Zero sums amongst roots and Cilleruelo's conjecture on the LCM of polynomial sequences
本文在多项式为偶多项式的附加假设下，利用多项式根之间的零和处理 $Q_f(N)$ 的大素数因子，推进了 Cilleruelo 关于不可约多项式连续值最小公倍数增长的猜想，并改进了 Sah 的相关猜想。
2024-01-11 math.NT
The "Riemann Hypothesis" is True for Period Polynomials of Almost All Newforms
权重$k \geq 3$新形式$f \in S_k(Γ_0(N),χ)$的周期多项式$r_f(z)$是$L(s,f)$的特殊值的生成函数。$L(s, f)$的函数方程导出了$r_f(z)$的函数方程。Jin，Ma，Ono，and Soundararajan证明了对于所有偶数权$k \ge 4$和平凡nebetypus的新形式$f$，“黎曼假设“对$r_f(z)$成立：也就是说，$r_f(z)$的所有根都位于对称圆$|z| =1/\sqrt{N}$上。我们推广他们的方法，证明这一现象适用于所有，但可能是许多新形式的重量$k \ge 3$ $f$与任何neumypus。我们还表明，根的$r_f(z)$均匀分布，如果$N$或$k$是足够大的。
2016-08-14 math.CV math.NT
A note on exponential-Möbius sums over $\mathbb{F}_q[t]$
1991年，Baker和Harman在广义黎曼假设下证明了$\max_{ θ\in [0,1) }\left|\sum_{ n \leq x } μ(n) e(n θ) \right| \ll_εx^{3/4 + ε}$ .本文的目的是利用对有限域上曲线的Weil黎曼假设，在有限域上多项式的上下文中推导出一个类似的界。我们的方法是基于海耶斯谁研究指数和不可约多项式的工作。
2017-11-29 math.NT
A trio of Bernoulli relations, their implications for the Ramanujan polynomials and the zeta constants
我们研究了递归zeta相关函数在整数值，'小角格' Toeplitz行列式和整数组成的总和之间的相互作用。我们的调查触及功能的身份由于Ramanujan和Grosswald，超越zeta函数在奇数值，李准则的黎曼假设和伪特征多项式zeta相关的功能。我们开始与最近的结果为（2s）和一些看似新的伯努利关系，我们用它来获得一个广义的拉马努金多项式及其性质。
2012-04-24 math.NT
Zeros of Jensen polynomials and asymptotics for the Riemann xi function
黎曼假设的经典Jensen准则是所有相关的Jensen多项式只有实零点。我们发现一个新的版本，这个标准，使用线性组合的埃尔米特多项式，并表明，这个条件在许多情况下。详细的渐近展开给出所需的泰勒系数的xi函数在$1/2$以及相关的数量。这些结果建立在Griffin，Ono，Rolen和Zagier最近的论文中。
2020-12-09 math.NT
Dynamical irreducibility of polynomials modulo primes
对于一类多项式$f \in \mathbb{Z}[X]$，其中特别包括所有的二次多项式，也三项式的一些特殊形式，我们表明，在某些自然条件下（必要的二次多项式），设置素数$p$，使所有的迭代$f$是不可约模$p$的相对密度为零。此外，我们给出了一个明确的限制，在一个区间$[1, Q]$作为$Q \to \infty$的密度衰减率的素数。对于这类多项式，这给出了A. Ferraguti（2018），它适用于任意多项式，但需要对它们的伽罗瓦群进行一定的假设。在广义黎曼假设下，我们得到了这个密度的一个更强的上界.
2020-09-24 math.NT
On Hypothesis H of Rudnick and Sarnak
Shandong University（山东大学）
本文利用数域幂筛与迭代论证突破函子性限制，证明任意数域上 GL_n 的 Rudnick–Sarnak 假设 H，并推出 GUE 零点统计、强重数一多项式界及 Selberg 正交性猜想。
2026-11-03 math.NT
On the error term of a lattice counting problem, II
在黎曼假设下，我们改进了第一部分研究的计数格问题的渐近公式中的误差项。改进来自使用外尔界的指数和多项式和一个设备由于波波夫允许我们得到一个改进的主要条款的总和的某些小数部分的多项式。
2017-09-25 math.NT
On the Erdös flat polynomials problem, Chowla conjecture and Riemann Hypothesis
不存在$$\frac{1}{\sqrt q}( ε_0 + ε_1z + ε_2z^2 + \cdots + ε_{q-2}z^{q-2} +ε_q z^{q-1}),$$类型的多项式的平方$L^2$平坦序列，其中对于每个$j,~~ 0 \leq j\leq q-1,~ε_j = \pm 1$。由此可见，埃尔德什关于利特尔伍德多项式的理论成立。因此，Turyn-Golay的猜想是正确的，也就是说，只有1000个巴克序列。进一步得到了由连续Morse序列产生的动力系统的谱是奇异的。这解决了M.基恩将我们的推论应用于Liouville函数，得到了关于Liouville函数的%Bernouillicity正态性的Chowla猜想蕴含着黎曼假设.
2017-01-11 math.CO math.CV math.NT
When are the roots of a polynomial real and distinct? A graphical view
我们证明了经典的结果，这至少可以追溯到傅立叶，一个多项式与实际系数的所有零实和独特的当且仅当多项式，也是所有的非常衍生物只有负极小值和正极大值。直觉的结果，涉及照明图片，详细描述。傅立叶定理推广到某些一阶整函数（这是自然的）表明，黎曼假设千年问题的官方描述错误地描述了黎曼假设的等价性。这篇论文是合理的独立的，旨在让那些已经学了两个学期微积分的学生（可能在一些帮助下）可以阅读。
2020-10-29 math.CA math.NT
Brenke polynomials with real zeros and the Riemann Hypothesis
本文研究Brenke多项式的实零点性质，给出了使$\mathcal{R}_B=\mathcal{L}\text{-}\mathcal{P}$成立的充要条件，推广了Appell多项式的经典刻画，并应用于黎曼zeta函数，得到黎曼猜想的新的实根性等价条件。
2024-05-29 math.CA math.CV math.NT
A finiteness property of postcritically finite unicritical polynomials
设$k$是一个具有代数闭包$\bar{k}$的数域，$S$是$k$的一个包含所有阿基米德位的有限位集.修复$d\geq 2$和$α\in \bar{k}$，使映射$z\mapsto z^d+α$不是后临界有限的。假设一个技术假设$α$，我们证明，只有100多个参数$c\in\bar{k}$为$z\mapsto z^d+c$是后临界有限的，$c$是$S$ -积分相对于$(α)$。也就是说，在d次单临界多项式的模空间中，只有1000个PCF $\bar{k}$ -有理点是$((α),S)$ -积分的。我们推测，如果没有技术假设，同样的陈述也是正确的。
2020-10-29 math.DS math.NT
The Riemann Hypothesis for Function Fields over a Finite Field
我们讨论了恩里科·贝耶里证明的黎曼假设曲线在有限域。重新表述后，它指出定义在有限域$\F_q$上的曲线$\C$上的点数为$q+O(\sqrt{q})$阶。第一个证明是由安德烈·韦尔在1942年给出的。这个证明使用了$\C\times\C$上除数的交集，使得到目前为止对原始黎曼假设的应用不成功，因为$\spec\Z\times\spec\Z=\spec\Z$是一维的。1969年，S. A.斯捷潘诺夫1973年，这种方法被Bubieri大大简化和推广。Bubieri的方法使用$\C\times\C$上的函数，再次排除了直接转换为原始黎曼假设的证明。然而，$\C\times\C$上的两个坐标具有不同的角色，一个坐标扮演多项式的变量的几何角色，而另一个坐标扮演该多项式的系数的算术角色。$\C$的弗罗贝尼乌斯自同构作用于$\C\times\C$的几何坐标。在最后一节中，我们提出了一些建议如何Nevanlinna理论可以提供一个模型的$\spec\Z\times\spec\Z$，是二维的，并进行了一个行动的Frobenius的几何坐标。
2008-06-09 math.AG math.NT
Dedekind Zeta Zeroes and Faster Complex Dimension Computation
由于Koiran的早期工作，人们知道广义黎曼假设（GRH）的真理意味着复数上代数集的维数可以在多项式层次内确定。因此，GRH的真理性在具体的代数几何问题和P vs. NP问题之间提供了一种直接的联系，这与几何复杂性理论对VP vs. VNP的研究方向完全不同。我们探索更合理的假设产生相同的速度。我们推导出的一个最小假设涉及改进素数$p\!\leq\!x$的分数上的误差项（作为度、系数高度和$x$的函数），对于该素数，一元多项式具有mod $p$的根。第二个最低限度的假设涉及锐化当前零自由区域的戴德金zeta函数。我们的两个假设都允许GRH失败，但仍然能够在多项式层次结构中进行复杂的维数计算。
2018-03-12 cs.CC math.AG math.NT
Orbits of Polynomial Dynamical Systems Modulo Primes
给出了定义在整数上的参数多项式动力系统的约化模素数轨道长度的下界，并对$\mathbb C$上的预周期点集作了适当的假设.应用Baker和DeMarco~（2011）以及Ghioca，Krieger，Nguyen和Ye~（2017）的最新结果，我们得到了参数多项式和初始点的显式族，使得模素数的约简具有长轨道，除了参数的有限个值。这推广了Chang~（2015）提出的一个下界。作为副产品，我们还稍微改进了Silverman~（2008）的结果，并恢复了Akbary和Ghioca~（2009）的结果，作为我们估计的特殊极端情况。
2017-02-07 math.DS math.NT
Polynomials whose nth powers have prescribed multiple-of-nth-degree coefficients
本文在温和假设下证明了存在 m 次多项式，其 n 次幂的指定阶系数等于给定域元素，并为 n=2 的情况提供了更具构造性的替代证明。
2025-05-29 math.AG math.NT
A random polynomial with multiplicative coefficients is almost surely irreducible
Centre for Mathematical Sciences（数学科学中心）；Tsinghua University（清华大学）
在戴德金ζ函数满足黎曼假设的前提下，研究证明了具有随机乘法±1系数的d次多项式在整数环上不可约的概率为1-O(d^{-1/2+ε})
2026-08-17 math.CO math.NT math.PR
$\mathcal{P}$-schemes and Deterministic Polynomial Factoring over Finite Fields
我们引入了一类称为$\mathcal{P}$ -概型的数学对象，其中$\mathcal{P}$是有限群$G$的子群的偏序集. $\mathcal{P}$ -scheme是右陪集空间$H\backslash G$的划分的集合，由$H\in\mathcal{P}$索引，满足公理列表。这些对象概括了关联方案的经典概念以及$m$ -方案的概念（Ivanyos等人，2009）。基于$\mathcal{P}$ -格式，我们对广义黎曼假设（GRH）下有限域上一元多项式的确定性因子分解问题建立了一个统一的框架。
2017-09-23 cs.CC cs.SC math.GR
