Casimir operators of centrally extended l-conformal Galilei algebra
Anton Galajinsky, Ivan Masterov
中心扩展的l-共形Galilei代数的Casimir元素的完整集合被发现在简单和易于处理的形式。
The full set of Casimir elements of the centrally extended l-conformal Galilei algebra is found in simple and tractable form.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Centrally Extended Conformal Galilei Algebras and Invariant Nonlinear PDEs
对任意给定的$ \ell = \frac{1}{2} + {\mathbb N}_0, $，构造了在中心扩张共形Galilei代数变换下不变的二阶\textit{nonlinear}偏微分方程.生成元由陪集构造得到，偏微分方程由标准李对称技术构造。观察到对于$ \ell > \frac{3}{2}. $，不变偏微分方程具有显著差异
Invariant PDEs with Two-dimensional Exotic Centrally Extended Conformal Galilei Symmetry
用$d,\ell$（其中$d$是空间维数，$\ell$表示自旋- ${\ell}$表示w.r.t. $\mathfrak{sl}(2)$子代数）允许两种类型的中心扩张，普通的中心扩张（对于任何$d$和半整数$\ell$）和只存在于$d=2$和${\ell}\in\mathbb{N}$的奇异中心扩张。对于这两种类型的中心扩张，文献[1]构造了具有连续谱的不变二阶偏微分方程。后来在[2]中证明了普通的中心扩张也会导致具有离散谱的类分解器偏微分方程。我们在本文中关闭现有的差距，构造\textcolor{black} {一个新的类的二阶不变偏微分方程的异国情调的中心扩展CGA，他们承认一个离散和有界的频谱时，适用于最低的重量表示。这些偏微分方程是显着不同的，相对于他们的普通同行。详细分析了${\ell}=1$情形（它是这类扩张的原型，就像$\ell=\frac{1}{2}$薛定谔代数是普通中心扩张CGA的原型一样）.
${\ell}$-oscillators from second-order invariant PDEs of the centrally extended Conformal Galilei Algebras
对于任意给定的${\ell}=\frac{1}{2}+{\mathbb{N}}_0$，我们构造了在中心扩展共形Galilei代数下不变的二阶线性偏微分方程。在给定的\par下，得到了在时间和${\ell}+\frac{1}{2}$空间坐标下的两个不变方程.第一个方程具有连续谱，推广了$1+1$维的自由薛定谔方程（对${\ell}=\frac{1}{2}$恢复）。第二个方程（“$\ell$ -振荡器”）具有离散的正谱。它推广了$1+1$维谐振子（恢复为$\ell=\frac{1}{2}$）. ${\ell}$振荡器的光谱，源自特定的$osp(1|2\ell+1)$ h.w.r.，是明确提出的。\par通过对{ \it度} $1$算子（具有连续谱的算子）和{ \it度} $0$算子（具有离散谱的算子）施加（依赖于表示的）{ \it壳不变条件}来确定两组不变偏微分方程。\par通过增加某些二阶微分算子来扩大共形Galilei代数，可以更好地理解在壳条件。两个兼容的结构（代数/超代数对偶）被定义为扩大的运营商。
On Casimir Operators of Conformal Galilei Algebras
在以前的工作中，我们介绍了一个算法，利用微分算子实现找到多项式卡西米尔算子的李代数。在这篇文章中，我们建立在这项工作的基础上，通过应用该算法的几类有限维共形Galilei代数的中心扩张。在这些情况下，我们强调了代数反自同构的效用，并通过关键的例子给出相关的细节。
Unitary representations of N-conformal Galilei group
构造了中心扩张（N-奇）N-共形Galilei群的所有酉不可约表示.在特殊但最重要的情况下，导出了群的“在壳上”作用，并证明与J. Gomis，K. Kamimura，Phys. Rev. { \bf D85}（2012），045023.
Coadjoint Orbits and Wigner functions of (1+1)-Extended Affine Galilei Group and Galilei Group
研究了非中心扩张（1+1）-仿射Galilei群的余伴随轨道，并计算了建立在其上的相关Wigner函数.本文的后半部分考虑了中心扩张的（1+1）-Galilei群，并研究了它的余伴随轨道。随后我们还计算了建立在相应的共伴轨道上的Wigner函数。最后，比较研究了扩展的（1+1）-仿射Galilei群和中心扩展的（1 + 1）-Galilei群的余伴随轨道和相应的Wigner函数的结构，并给出了可能的物理解释.
(Anti)de Sitter/Poincare symmetries and representations from Poincare/Galilei through a classical deformation approach
一个经典的变形过程，基于通用包络代数，卡西米尔和曲率的对称均匀空间，适用于几种情况下的物理相关性。从（3+1）D Galilei代数，我们描述的水平表示的过程，导致其两个物理上有意义的变形邻居。庞加莱代数是通过在平坦的伽利略相空间（或世界线空间）中引入负曲率而得到的，同时保持平坦的时空。准确地说，从伽利略代数的一个表示开始，两个卡西米尔都不为零，我们得到了庞加莱代数的一个表示，两个卡西米尔都必须等于零。将庞加莱角动量、Pauli-Lubanski分量、位置和速度算符等用“伽利略”算符表示，通过对正常伽利略算符进行变形的表达式来表示。类似地，牛顿-胡克代数的出现是通过赋予时空非零曲率，同时保持平坦的相空间。同样的方法，从（3+1）D庞加莱代数开始，将（反）德西特表示为庞加莱变形。
Chiral and Real N=2 supersymmetric l-conformal Galilei algebras
利用N = 2超对称的手征（2，2）和实（1，2，1）基本超多重态构造了d维l-共形Galilei代数的N = 2不等超对称化.对于非负整数和半整数l，这两个超代数都允许有（不同的）有限个生成元的相容截断。实N=2的情形与Masterov引入的超代数一致，而手征N=2的情形是一个新的超代数。我们提出了这两个超代数的D-模表示。然后研究了由手征超多重态导出的新超代数。证明了它有两种中心扩张，一种是对任意d和半整数l都有中心扩张，另一种仅对d=2和整数l有中心扩张.对于每一个中心扩张，中心扩张l-超共形Galilei代数都是用它的超Heisenberg子代数生成元来实现的。
Local representations of the (1+1) quantum extended Galilei algebra
我们提出了（1+1）扩展Galilei群的局部表示的q-变形对应。这些表象作用于定义在时空中的波函数空间。与经典情形一样，q-局部表象是可约的，不可约的条件由q-卡西米尔方程给出，在变形参数趋于零的极限下，该方程变成自由粒子的薛定谔方程。
Invariant PDEs of Conformal Galilei Algebra as deformations: cryptohermiticity and contractions
本文研究了一般的二阶偏微分方程，它们在$d=1$ $\ell=\frac{1}{2}+{\mathbb N}_0$中心扩张共形Galilei代数下是不变的，指出它们是解耦系统的变形。对于$\ell=\frac{3}{2}$，唯一变形参数$γ$属于基本域$γ\in ]0,+\infty[$。我们证明了，对于任意的$γ\neq 0$，具有离散谱的不变偏微分方程（有界或无界）诱导隐厄米算子具有与两个解耦振子相同的谱，只要它们的频率在特殊的比率$r=\frac{ω_2}{ω_1}=\pm\frac{1}{3},\pm 3$（负能量解对应于Pais-Uhlenbeck振子的特殊情况），其中$ω_1,ω_2$是不变偏微分方程的两个不同参数.我们还考虑了$γ=0$解耦系统的任何值$r$的比率。它在临界值$r=\pm \frac{1}{3}, \pm 1,\pm 3$处具有增强的对称性。分别在$r =\pm\frac{1}{3},\pm 3$和$r=\pm 1$上发现了两个不等价的$12$生成元对称代数. $\ell=\frac{3}{2}$共形Galilei代数不是解耦对称代数的子代数。它的$γ\rightarrow 0$收缩对应于解耦的$r=\pm\frac{1}{3},\pm 3$对称代数的一个$8$生成子代数.简要讨论了$\ell\geq \frac{5}{2}$不变偏微分方程的特点。
On dynamical realizations of l-conformal Galilei and Newton-Hooke algebras
在最近的两篇论文[N。Aizawa，Y. Kimura，J. Segar，J.Phys.A46（2013）405204]和[N. Aizawa，Z. Kuznetsova，F. Toppan，J.Math.Phys.56（2015）031701]，应用了具有半整数l的中心扩展l-共形Galilei代数的表示理论，以便构造将对应群表现为运动对称的二阶微分方程。有人建议将它们视为薛定谔方程，其中包含描述没有高阶导数的动力系统的哈密顿量。然而，汉密尔顿有两个不寻常的特征。首先，它们只涉及一个自由度的标准动力学项，而其余的变量提供线性动量的贡献。这是典型的Ostrogradsky的规范方法来描述更高的衍生系统。第二，第二篇论文中的哈密顿量不是传统意义上的厄米算符。本文研究了量子哈密顿量的经典极限，证明了量子哈密顿量与描述自由高阶导数非相对论粒子的哈密顿量等价，而量子哈密顿量与频率构成等差数列Ω_k=（2k-1），k=1，.的Pais-Uhlenbeck振子有关，n.我们还用我们最近的工作[A.加拉金斯基岛Masterov，Nucl.Phys.B866（2013）212]，其针对l=3/2进行了详细讨论。
Generalized conformal pseudo-Galilean algebras and their Casimir operators
引入了共形Galilei代数$\mathfrak{g}_{\ell}(d)$的一个推广$\mathfrak{Gal}_{\ell}(p,q)$，其中Levi子代数与$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})\oplus\mathfrak{so}(p,q)$同构，并构造了后者在扩张的包络代数中的一个虚拷贝.由多项式矩阵的行列式得到了Casimir算子的显式表达式。对于中心因子$\overline{\mathfrak{Gal}}_{\ell}(p,q)$，给出了不变量个数的精确公式，并给出了不依赖于Levi子代数变量的不变量函数的计算方法.它进一步表明，这样的解决方案确定完整的不变量集，只要满足关系$d\leq 2\ell+2$。
2+1 Kinematical expansions: from Galilei to de Sitter algebras
李代数的扩张是与收缩相反的过程。从一个李代数开始，展开过程转到另一个，非同构的和较少的交换。我们提出了一种扩展方法的基础上的Casimir不变量的初始和扩展代数和自由参数参与的扩展是其相关的齐次空间的曲率。这种方法适用于3d空间和（2+1）d运动代数的李代数族内的展开。我们表明，这些扩展分为两种类型。第一种类型使空间或时空的曲率不同于零（即，它引入了一个空间或宇宙半径），而另一个对世界线空间的曲率有类似的解释，它是非正的，等于运动学代数中的$-1/c^2$。我们得到了从伽利略到Newton-Hooke或Poincaré代数的展开式，以及从这些展开式到de Sitter代数的展开式，以及其他一些例子。
Casimir invariants for the complete family of quasi-simple orthogonal algebras
在统一的条件下，得到了任意维数的正交型实拟单李代数的包络代数的中心生成元的完全选择。这些结果同时包含了伪正交代数$so(p,q)$的多项式不变量，以及非齐次$iso(p,q)$、Newton-Hooke和Galilei型等非单代数的Casimirs不变量，其通过从单代数$so(p,q)$开始的收缩而获得。一个拟单正交代数的包络代数的中心维数与它们通过收缩而得的单$so(p,q)$代数的包络代数的中心维数相同。高阶不变量的结构给出了一个方便的“金字塔”的方式，在某些套“保利-鲁班斯基”元素的包络代数。作为一个例子，该方案被应用于恢复（3+1）运动学代数的Casimirs。对这些结果与展开式研究的相关性也作了一些展望。
(1+1) Schrodinger Lie bialgebras and their Poisson-Lie groups
导出了（1 + 1）维中心扩张Schrodinger代数的所有李双代数结构，并证明了它们都是上边界型的。因此，由于它们都来自一个经典的r-矩阵，薛定谔泊松-李群的完整的家庭可以通过Sklyanin括号推出。研究了谐振子、广义Galilei和gl（2）李双代数在薛定谔分类中的所有可能嵌入。作为应用，构造了Schrodinger代数的新量子（霍普夫代数）变形，包括相应的量子泛R-矩阵.
The Lie algebra of the lowest transitively differential group of degree three
本文研究了满足特定条件的一阶多项式系数微分算子的实李代数，确定了其为一个39维的六变量最小不可分解代数，并展示了其结构、分解、子代数及Casimir不变量的构造。
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