The open Gromov-Witten-Welschinger theory of blowups of the projective plane
我们计算了射影平面在任意共轭不变的点的配置爆破的Welschinger不变量。具体来说，WDVV方程和Kontsevich-Manin公理的开放式类似物导致递归算法，该算法从一小组已知的不变量中重建所有不变量。计算实例给出，包括非德尔佩佐的情况下。
2012-10-15 hep-th math.AG math.SG
Welschinger--Witt invariants
Welschinger不变量是满足约束的实有理曲线的符号数。二次Gromov-Witten不变量在特征不同于2和3的一般域上给出了这样的计数。对于域上的有理del Pezzo曲面，我们提出了Welschinger和二次Gromov-Witten不变量之间的关系。我们构造多变量unramified维特不变量，在塞尔的意义上，从Welschinger不变量，并称之为Welschinger-Witt不变量。我们表明，二次Gromov-Witten不变量也是Witt不变量，并控制其分歧。然后，我们猜想这些维特不变量之间的一个等式，特别是给所有的二次Gromov-Witten不变量的$k$ -有理曲面的代数计算。我们证明了这一猜想的$k$ -有理del Pezzo曲面的次数至少为6。
2025-09-04 math.AG math.KT math.SG
Solomon-Tukachinsky's vs. Welschinger's Open Gromov-Witten Invariants of Symplectic Sixfolds
本文从$A_{\infty}$-代数的几何视角证明在6维情形下Solomon-Tukachinsky的开Gromov-Witten不变量可归结为Welschinger不变量，并将开WDVV方程转译为Welschinger不变量的关系式。
2020-02-04 hep-th math.AG math.SG
A Caporaso-Harris type formula for Welschinger invariants of real toric Del Pezzo surfaces
我们定义了一系列相对热带Welschinger型不变量的真正复曲面。在Del Pezzo的例子中，这些不变量可以被看作是相对Gromov-Witten不变量的真实热带类似物，并且服从递归公式。作为应用，我们得到了复曲面Del Pezzo曲面的Welschinger不变量的新公式.
2009-01-20 math.AG
Welschinger invariants of real del Pezzo surfaces of degree $\ge2$
我们计算纯粹的真实Welschinger不变量，原始和修改，所有真正的del Pezzo表面的程度至少为2。我们表明，在一定的条件下，这样的表面$X$和真正的nef和大除数类$D$，通过任何通用的收集$-DK_X-1$真正的点躺在一个连接组件的$X$的实部可以跟踪一个真正的有理曲线$C\in|D|$。这是来自适当的Welschinger不变量的积极性。我们还表明，这些不变量是渐近等价的，在对数尺度上，相应的属零Gromov-Witten不变量。我们的方法包括在转换的Shoval-Shustin递归公式计算复杂的曲线在平面上炸毁在七个点和Vakil的扩展的阿布拉莫维奇-伯特伦公式Gromovov-Witten不变量到计算公式真正的枚举不变量。
2018-01-17 math.AG
Behavior of Welschinger Invariants under Morse Simplifications
我们涉及Welschinger不变量的有理实辛4-流形之前和之后的Morse简化（即删除一个球或处理的实部的表面）。这种关系是一个后果的一个真正的版本的Abramovich-Bertram公式计算Gromov-Witten不变量通过枚举的$J$ -全纯曲线与非通用的殆复结构$J$。此外，我们给出了一些定性的结果，我们的研究，例如在某些情况下，Welschinger不变量的消失。
2012-07-11 math.AG
Welschinger invariants of real Del Pezzo surfaces of degree $\ge 3$
我们给出了一个递归公式的纯实Welschinger不变量的真实Del Pezzo表面的程度$K^2\ge 3$，其中的情况下，表面的程度$3$与两个真正的组件，我们引入了一定的修改Welschinger不变量，并枚举专门的曲线跟踪的非定向组件。作为应用，我们证明了所考虑的不变量的正性和它们的对数渐近等价性，以及模$4$同余到亏格为零的Gromov-Witten不变量.
2015-01-06 math.AG
A tropical calculation of the Welschinger invariants of real toric Del Pezzo surfaces
实有理代数曲面的Welschinger不变量是亏格为零的Gromov-Witten不变量的自然类似物。本文建立了一个计算复曲面Del Pezzo曲面的Welschinger不变量的热带公式。该公式表示Welschinger不变量通过总的多重性的某些热带曲线（非阿基米德变形虫）通过一般配置的点，然后通过总的多重性的一些晶格路径在凸晶格多边形与给定的表面。我们还提出了Welschinger不变量的计算结果，共同获得与I。Itenberg和V. Kharlamov.
2008-03-02 math.AG math.CO
Welschinger invariants of toric Del Pezzo surfaces with non-standard real structures
实有理代数曲面的Welschinger不变量是Gromov-Witten不变量的自然类似物，并且它们从通过点的指定配置的实有理曲线的数目以下估计。我们建立了一个热带公式的Welschinger不变量的四个复曲面Del Pezzo表面，配备了一个非标准的真正的结构。对于具有标准真实结构的真实复曲面Del Pezzo曲面（即，自然与复曲面结构兼容）是由Mikhalkin和作者建立的。作为结果，我们证明，对于任何真正的充足因子$D$在考虑下的表面$Σ$，通过任何一般配置的$c_1(Σ)D-1$一般的实点有通过真正的有理曲线属于线性系$|D|$。
2006-05-27 math.AC math.AG
Basepoint free cycles on $\overline{M}_{0,n}$ from Gromov-Witten theory
研究了使用光滑射影齐性空间X的Gromov-Witten不变量定义的稳定n点有理曲线的模空间$\overline{M}_{0,n}$上的基点自由圈。对于X是射影空间，X是光滑的射影二次超曲面，给出了求类的交公式，并给出了显式例子。当X是射影空间时，证明了因子在第一层上等价于A型的共形块因子，给出了从$\overline{M}_{0,n}$到构造为GIT因子的双有理模型的映射，参数化了（广义）Veronese曲线上支持的加权点的配置.
2018-09-09 math.AG
Point-like bounding chains in open Gromov-Witten theory
本文给出了任意维数的拉格朗日子流形在边界约束下定义亏格为零的开Gromov-Witten不变量的一个方法。以前，这样的不变量是已知的，只有在尺寸$2$和$3$从Welschinger的工作。我们的方法不需要拉格朗日是固定的反辛对合，但可以使用这样的对合，如果存在，以获得更强的结果。此外，非平凡的不变量定义为更广泛的类的内部约束和拉格朗日子流形比以前可能的反辛对合的存在下。不变量的目前的工作专门不变量的Welschinger，Chaleaya，和Georgieva在许多情况下。定义任意维数的带边界约束的Gromov-Witten不变量的主要障碍是$J$ -全纯圆盘的冒泡。不像在低维或内部约束，磁盘泡不取消对反辛对合对称。相反，我们使用的技术，绑定链中介绍的柳屋-哦-太田-小野的工作拉格朗日弗洛尔理论，以取消磁盘冒泡。同时，边界链的规范等价类独立地扮演边界约束的角色，而不是Gromov-Witten理论中通常充当约束的上同调类。在我们的建设中的一个关键步骤是确定一个规范的规范等价家庭的“点样”的边界链，专门在尺寸$2$和$3$的Welschinger考虑的点约束。
2021-09-12 hep-th math.AG math.SG
Refined broccoli invariants
我们引入了一个热带枚举不变量依赖于一个变量y，推广了热带精炼塞维里度。我们表明，这种精致的西兰花不变量确实是独立的点配置，它专门为热带后裔Gromov-Witten不变量y=1和相应的西兰花不变量y=-1。此外，我们定义了热带精炼后裔Gromov-Witten不变量，它等于相应的精炼西兰花不变量，从而对西兰花不变量的性质有了新的认识。我们讨论了各种可能的推广，例如桥曲线和Welschinger曲线的细化。
2016-06-30 math.AG
Real Gromov-Witten invariants on the moduli space of genus 0 stable maps to a smooth rational projective space
我们刻画了亏格为0的稳定映射到有理射影曲面的模空间上的横截性和非横截性。若目标空间具有实结构，即反全纯对合，则所得结果具有实计数应用。首先，我们可以定义Gromov-Witten不变量的一个真实版本。其次，证明了Welschinger不变量在代数几何范畴中的不变性。
2007-12-14 math.AG math.SG
Relations on $\overline M_{g,n}$ via equivariant Gromov-Witten theory of $\mathbb P^1$
给出了$\overline M_{g,n}$的重言Chow环上的广义Faber-Zagier关系的一个证明.该策略非常类似于Pandharipande-Pixton-Zvonkine的工作，他们给出了上同调的相同结果的证明。主要工具是半单上同调域论的Givental-Teleman分类，虽然一般只知道上同调，但通过虚局部化可以证明在Chow中对于射影线的等变Gromov-Witten理论也是有效的。我们正是从这个理论中得到了这些关系。
2017-07-28 math.AG
WDVV-Type Relations for Disk Gromov-Witten Invariants in Dimension 6
本文应用已有框架为实辛六维流形的圆盘不变量获得了 WDVV 风格关系，证实并推广了 Alcolado 对 $\mathbb{P}^3$ 的预测，将不变量计算简化至小度数，并为实有理曲线计数提供下界。
2019-09-03 hep-th math.AG math.SG
Permutation-equivariant quantum K-theory I. Definitions. Elementary K-theory of $\overline{\mathcal M}_{0,n}/S_n$
紧Kahler流形$X$的K理论Gromov-Witten不变量定义为X中n点全纯曲线的模空间上的有趣丛的层上同调的超维数.通过这篇文章，我们开始了一系列关于K理论Gromov-Witten不变量的出版物，认识到层上同调的$S_n$ -模结构，由标记点的重新编号引起。在开幕式中，我们介绍了这样的不变量，解释如何与不同的$S_n$的表示理论的信息被纳入Gromov-Witten理论的生成函数，并计算其中之一，$X=pt$的小J函数，通过使用Kapranov的描述Deligne-Mumford空间$\overline{\mathcal M}_{0,n}$。
2015-08-11 math.AG
Equivariant Open Gromov-Witten Theory of $\mathbb{R}\mathbb{P}^{2m} \hookrightarrow \mathbb{C}\mathbb{P}^{2m}$
我们定义$\mathbb{R}\mathbb{P}^{2m} \hookrightarrow \mathbb{C}\mathbb{P}^{2m}$的等变开Gromov-Witten不变量为分解空间上等变形式的积分之和，分解空间是树上稳定圆盘映射的模空间的乘积的爆破.这些不变量编码的量子变形的等变上同调的$\mathbb{R}\mathbb{P}^{2m}$的全纯光盘在$\mathbb{C}\mathbb{P}^{2m}$，并为$m=1$，专门给Welschinger的签署计数的真正合理的平面曲线在非等变的限制。
2017-09-26 math-ph math.AG math.MP
Floor decompositions of tropical curves : the planar case
在以前的论文中，我们宣布了一个公式来计算Gromov-Witten和Welschinger不变量的一些环面品种，在组合对象称为地板图。我们在这里给出详细的证明，在热带几何框架的情况下，当周围的品种是一个复杂的表面，并给出一些例子的计算使用地板图。与任意维相比，二维的关注是由楼层图的特殊组合所激发的。我们对待一个一般复曲面的情况下，在这个维度：曲线是由一个任意的晶格多边形，并包括计算Welschinger不变量对的共轭点。另请参阅\cite{FM}，了解投影情况下楼层图的组合处理。
2019-07-01 math.AG math.CO
$\overline{Spec\mathbb Z}$ and the Gromov norm
定义了系数在Segal $Γ$ -集（$\mathbf S$ -模）中的单纯集的同调.我们显示的相关性，这个新的同源性与价值观的$\mathbf S$ -模块证明，作为系数的$\mathbf S$ -模块在阿基米德的地方在结构层上的$\overline{Spec\mathbb Z}$在我们以前的工作中介绍，一个获得的奇异同调与真正的系数的拓扑空间$X$，规范等价于Gromov规范。证明了当$X$是定向紧Riemann曲面时，这两个范数是一致的.
2019-05-08 math.AG math.AT math.NT
Towards quantum cohomology of real varieties
本文讨论Gromov-Witten-Welschinger（GWW）类及其应用。特别是，Horava的定义的量子上同调的实代数簇是重新使用GWW类，它被引入作为DG-操作。根据这个定义，我们推测了实簇的镜像对称性。
2007-10-04 hep-th math.AG math.QA
Floor diagrams relative to a conic, and GW-W invariants of Del Pezzo surfaces
我们列举，通过地板图，复杂的和真正的曲线在射影平面炸毁$n$点上的一个圆锥曲线。作为应用，我们推导了DelPezzo曲面的Gromov-Witten和Welschinger不变量。这些结果主要是利用李的退化公式和它的实对应公式得到的。
2016-01-21 math.AG math.SG
Comparing tautological relations from the equivariant Gromov-Witten theory of projective spaces and spin structures
Pandharipande-Pixton-Zvonkine在$\overline M_{g, n}$的重言环上证明了Pixton的广义Faber-Zagier关系，开创了从半单上同调域论研究重言关系的先河.在这篇文章中，我们比较了射影空间和自旋结构的等变Gromov-Witten理论的例子中得到的关系。我们证明了$\mathbb P^1$ -和3-自旋关系之间的等价性，以及更一般的限制$\mathbb P^m$ -关系和类似的限制（m + 2）-自旋关系之间的等价性。我们还证明了一般的$\mathbb P^m$ -关系蕴涵着（m + 2）-自旋关系.
2015-09-29 math.AG
Elliptic Gromov-Witten Invariants of Del-Pezzo Surfaces
给出了Del-Pezzo曲面上通过曲面上适当数目的类泛点的具有给定次数的变复结构的亏格1曲线的个数公式.这是通过使用Getzler的关系在$\overline{M}_{1,4}$中的某些余维2循环的上同调类和递归计算del Pezzo曲面的格一Gromov-Witten不变量来完成的。使用完全不同的方法，这个问题已经解决了早期的伯特伦和阿布拉莫维奇，拉维Vakil，Dubrovin和张和最近使用热带几何方法由M。Shoval和E.舒斯汀我们还将我们的公式进行了几次低度检查，并将它们与早期作者获得的数字进行了比较。
2019-01-07 math.AG
Intersection theory on the moduli space of holomorphic curves with Lagrangian boundary conditions
在拉格朗日子流形中具有边界的任意亏格的伪全纯曲线的模空间上，基于相交理论定义了一族新的开Gromov-Witten型不变量.我们假设拉格朗日子流形作为反辛对合的不动点而产生，并且具有2或3维。在强半正亏格为0的情况下，新的不变量与实拟全纯曲线的Welschinger不变量计数一致。此外，我们还计算了亏格为0，次数为1的实五次三重数的新不变量为30。
2006-06-18 math.AG math.SG
Quadratically Enriched Plane Curve Counting via Tropical Geometry
Università degli Studi di Catania（卡塔尼亚大学）；Universität Tübingen（蒂宾根大学）；TU Darmstadt（达姆施塔特工业大学）
本文通过热带几何中的地板图技术，证明光滑环面del Pezzo曲面中经过有理点和共轭点的有理曲线的二次加丰富计数可由特定多重性的垂直拉伸点条件的热带稳定映射计数确定，并给出计算算法。
2026-07-01 math.AG math.AT math.CO
Real Gromov-Witten Theory in All Genera and Real Enumerative Geometry: Construction
我们构造了许多实辛流形的Welschinger不变量的正亏格类似物，包括奇维射影空间和著名的五次三重空间。在某些情况下，我们的不变量提供了实代数簇中实正亏格曲线计数的下界。我们的方法的定向性问题是完全基于对称表面上的实丛对的拓扑结构，以前的尝试涉及直接计算的行列式线的弗雷德霍姆算子在有边表面。利用本文引入的实定向概念，得到了对称曲面族上实丛对的同构，并将行列式函子应用于这些同构。这使我们能够赋予所有拓扑型的对称曲面的实映射的非紧化模空间以自然方向，并验证它们延伸穿过这些空间的余维1边界，从而实现C. C.刘的论文为一个完全成熟的真正的Gromov-Witten理论。这项工作的第二和第三部分涉及应用：他们描述了重要的性质，我们的方向上的模空间，建立一些连接与真正的枚举几何，提供相关的等变本地化数据的射影空间，并获得消失的结果的精神Walcher的预测。
2018-02-26 math.AG math.SG
Computations of Gromov-Witten invariants of toric varieties
本文提出Julia软件包ToricAtiyahBott.jl，用于在光滑射影环面簇的亏格0稳定映射模空间上高效计算Atiyah-Bott公式，支持常见且可扩展的上同调闭链，并给出算法说明与实例。
2025-02-06 math.AG
Tropicalization of super Gromov-Witten invariants
Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京数学与应用数学研究所）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）
本文建立超 Gromov-Witten 不变量的热带几何定义与计算框架，并针对凸环簇给出 SUSY 法丛热带 Euler 类程序及实例。
2026-09-24 math-ph math.AG math.CO
Fixed-point Localization for $\mathbb{RP}^{2m} \subset \mathbb{CP}^{2m}$
本文给出了偶数维射影空间的稳定映射的模空间上积分的一个不动点公式。本文给出了（RP^{2 m}，CP^{2 m}）的等变开Gromov-Witten不变量和RP ^{2 m}在CP^{2 m}中具有体变形的等变A-无穷代数的结构常数的一个公式。该公式吸收了Givental闭理论的推广和圆盘的后代积分的贡献，并给出了平面上通过实共轭不变点对的实有理曲线的Welschinger数的新表达式.
2017-03-08 hep-th math.AG math.SG
Gromov-Witten invariants of $\mathbb{P}^1$ coupled to a KdV tau function
考虑上同调类$Θ_{g,n}\in H^{2(2g-2+n)}(\overline{\cal M}_{g,n})$的自然序列到稳定映射${\cal M}^g_n(\mathbb{P}^1,d)$的模空间的拉回.这些类通过$Z^{BGW}(\hbar,t_0,t_1,...)=\exp\sum\frac{\hbar^{2g-2}}{n!}\int_{\overline{\cal M}_{g,n}}Θ_{g,n}\cdot\prod_{j=1}^nψ_j^{k_j}\prod t_{k_j}$与KdV层次的Brézin-Gross-Witten tau函数相关。插入的拉回类$Θ_{g,n}$到定义Gromov-Witten不变量的积分定义新的不变量，我们在目标$\mathbb{P}^1$的情况下，由一个随机矩阵积分给出，并满足户田方程。
2020-04-06 math-ph math.AG math.MP
K-theoretic Gromov-Witten invariants of line degrees on flag varieties
本文研究旗簇上线次数的K理论Gromov-Witten不变量，证明其量子不变量等于相应旗簇上的经典相交数，并与完全旗簇不变量一致，从而便于计算大量子K理论环。
2024-09-15 math.AG
Gromov-Witten theory of $\mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$ and Noether-Lefschetz theory of $\mathcal{A}_g$
本文研究平面点Hilbert概形的亏格1 GW理论，借助与模空间上族局部曲线GW理论的对应计算基本一点不变量，发现其与主极化Abel簇模空间的NL理论平行结果一致，证明闭链类同态性质，并在非退化猜想下确定完整理论。
2025-08-30 math.AG
Cobordism-valued intersection theory on $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$
Northwestern University（西北大学）
本文通过细化弦方程，计算了$\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$上cobordism值Gromov-Witten不变量，并给出了相关psi类交的显式公式。
2026-03-04 math.AG math.AT math.KT
Topological recursion relations from Pixton's formula
本文利用 Pixton 公式证明了模空间上度数为 g 的 $ψ$-类多项式可表示为无 $κ$-类的边界示性类之和，此类拓扑递归关系可用于推导任意目标的 Gromov-Witten 不变量的普适方程。
2023-10-21 math.AG
Tropical Methods for Counting Plane Curves -- Complex, Real and Quadratically Enriched
Università di Catania（卡塔尼亚大学）；Universität Tübingen（蒂宾根大学）；TU Darmstadt（达姆施塔特工业大学）
本文综述了利用热带方法在实数和复数域上计数平面曲线，并介绍二次丰富计数的新发展。
2026-01-20 math.AG math.CO
Numerical invariants of normed matrix factorizations
本文构造赋范矩阵分解范畴与 Dirac factorization，通过边界上链分类定义数值不变量，并在单形情形验证其与实射影空间的开 Gromov-Witten 型不变量一致。
2024-12-05 hep-th math.AG math.SG
Categorical enumerative invariants of the ground field
Institute of Mathematical Sciences, ShanghaiTech University（上海科技大学数学科学学院）
本文引入了$S^1$-framed模操作的Feynman紧化，证明其同调操作与Deligne-Mumford操作同构，并通过Sen-Zwiebach的弦顶点得到地面域的范畴计数不变量与点的Gromov-Witten不变量一致。
2026-03-18 math.AG math.AT math.QA
