Fraïssé limit via forcing
Mohammad Golshani
给定一个Fraïssé类$\mathcal{K}$和一个无限基数$κ,$，我们定义了一个力迫概念，它使用$\mathcal{K}$的元素添加一个大小为$κ$的结构，这扩展了$κ=ω.$情况下的Fraïssé构造
Given a Fraïssé class $\mathcal{K}$ and an infinite cardinal $κ,$ we define a forcing notion which adds a structure of size $κ$ using elements of $\mathcal{K}$, which extends the Fraïssé construction in the case $κ=ω.$
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Higher-dimensional forcing
本文综述了构造ccc强迫的一种方法：假设首先给出一个沿$ω_1$索引的可数强迫之间的完全嵌入的连续交换系统。则它的直接极限满足ccc由一个著名的定理有限支撑迭代。但是，此限制的大小最多为$ω_1$。为了得到更大的力，我们不考虑线性系，而是考虑沿着简化的Morasses索引的高维系统。
The subcompleteness of diagonal Prikry forcing
设$D$是一个无限离散的可测基数集。证明了在$D$中的基数上加一个可数序列的广义Prikry强迫是次完备的.要做到这一点，它表明，简化版本的广义Prikry迫使下每个基数在$D$，称为广义对角Prikry迫使，增加了一个点，是次完全的。此外，与$D$相关的广义对角Prikry强迫在$μ$之上是次完全的，其中$μ$是$D$的第一极限点之下的任何正则基数。
Forcing with overlapping supercompact extenders
我们建立一个超紧凑版本的强制定义在\cite{gitik2019}。对于具有任何固定共尾性的基模型中的每个奇异基数，这是超紧基数的极限，可以强制使得奇异基数的幂集的大小任意大，同时保持奇异基数。这种强迫的一个重要特征是，可以定义强迫，使得奇异基数的后继者被折叠，但在它上面的所有基数都被保留。
Forcing Diamond and Applications to Iterability
本文证明高阶Sacks力迫与club Miller力迫可添加diamond序列，并肯定回答了κ-Sacks力迫的κ-支撑迭代不坍缩κ+且为κ-proper的长期问题，结果适用于其他高阶树力迫。
Sigma-Prikry forcing I: The Axioms
我们引入了一类强迫的概念，我们称之为$Σ$ -Prikry，并表明，许多已知的Prikry型强迫中心周围的可数共尾奇异基数的概念是$Σ$ -Prikry。我们证明了给定一个$Σ$ -Prikry偏序集$\mathbb P$和一个非反射平稳集$T$的名称，存在一个相应的$Σ$ -Prikry偏序集，它投射到$\mathbb P$并杀死$T$的平稳性.然后，在本文的续集，我们开发了一个迭代计划的$Σ$ -Prikry偏序集。把这两个作品放在一起，我们得到了以下证明。定理如果$κ$是超紧基数列的可数增序列的极限，则存在保共尾的力迫扩张，其中$κ$保持强极限，$κ^+$的每个有限集的平稳子集同时反映，并且$2^κ=κ^{++}$ .
Cohen Forcing with Fraïssé Classes Beyond $\aleph_1$
本文针对超越ℵ₁的弗赖塞类，研究用有限元力迫与科恩力迫的等价性，证明无三角图类在|X|≥ℵ₂时不满足等价性，结合科恩代数特征得到具(n+1)-不并合性质的类满足等价的正面结果。
Gap forcing: generalizing the Levy-Solovay theorem
具有里程碑意义的Levy-Solovay定理限制了可以存在于小力迫扩张中的大基数嵌入的类型。在这里，我宣布将这个定理推广到一个更广泛的新的力迫概念类。一个结果是，在大基数文献中最常见的许多强迫迭代不会产生新的弱紧基数、可测基数、强基数、Woodin基数、强紧基数、超紧基数、几乎巨基数、巨基数等。
Distributivity and Minimality in Perfect Tree Forcings for Singular Cardinals
Dobrinen，Hathaway和Prikry研究了由高度为$λ$和宽度为$κ$的完美树组成的强迫$\mathbb{P}_κ$，其中$κ$是奇异的$ω$ -共尾性强极限$λ$。他们表明，如果$κ$是奇异的可数共尾性，那么$\mathbb{P}_κ$是最小的$ω$ -序列假设$κ$是一个序列的可测基数的上确界。我们在没有可测性假设的情况下得到了这个结果。Prikry证明了$\mathbb{P}_κ$是$(ω,ν)$ -分布的所有$ν<κ$给定一个奇异的$ω$ -强极限基数$κ$可数共尾性，和Dobrinen等人$.$问是否这个结果推广，如果$κ$有不可数共尾性。我们回答他们的问题在否定的表明，$\mathbb{P}_κ$是不是$(λ,2)$ -分布，如果$κ$是一个$λ$ -强极限的不可数共尾性$λ$，我们得到了相同的结果为一系列类似的强迫，包括一个多布里宁等$.$认为，由预完美树。我们还表明，$\mathbb{P}_κ$特别是不是$(ω,\cdot,λ^+)$ -分布在这些假设下。在发展这些想法的同时，我们解决了关于红衣主教的极小和崩溃的自然问题。
Forcing "$\mathrm{NS}_{ω_1}$ is $ω_1$-dense" From Large Cardinals
本文回答 Woodin 的问题，证明在特定大基数假设下存在保持静态集的迫近使 NS_{ω_1} 为 ω_1-稠密，并引入新公理 QM 蕴含 Q_max-(*)，从而也蕴含该结论。
Generically supercompact cardinals by forcing with chain conditions
一个cc-类属超紧基数$κ$可以小于或等于连续统。另一方面，这样的基数$κ$仍然满足各种大的性质，如它是ccc-一般可测基数的平稳极限（定理4.1）。这与所有$σ$ -闭偏序集的类$\cal P$的$\cal P$ -一般超紧基数形成强烈对比，对于任何n>1，它可以是$\aleph_n$。
Cardinal collapsing and product forcing
设$κ$是可数共尾的奇异强极限基数，$\langle κ_{n}: n<ω\rangle$是$κ$中共尾的正则基数递增序列.我们表明，如果$cf(2^κ)= κ^+$，那么强制与完整的产品$\prod_{n<ω}Add(κ_n,1)$折叠$2^κ$到$κ^+$。这一结果对Sy Friedman的一个问题给出了一致的肯定回答。我们还给出了一个新的证明结果，由于希拉表明，如果序列进行的规模长度$κ^+,$然后强迫与$\prod_{n<ω}Add(κ_n,1)$增加了一个泛型滤子器$Add(κ^+, 1)$，实际上\[ \prod_{n<ω}Add(κ_n,1)/fin \simeq Add(κ^+, 1). \]
Subcomplete forcing principles and definable well-orders
它表明，黑体极大值原理的次完全强制，加上假设，宇宙只有一套多的理由，意味着存在一个（无参数）可定义的良好秩序的$\mathcal{P}(ω_1)$。同样的结论也可以从黑体的次完全强迫的最大值中得出，假设不存在具有可测基数的不可接近极限的内部模型。类似地，有界次完全强制公理，以及$x^\#$不存在的假设，对于某些$x\subseteqω_1$，暗示了$\mathcal{P}(ω_1)$的良序的存在，它是$Δ_1$ -可定义的，没有参数，和$Δ_1(H_{ω_2})$ -可定义的，使用$ω_1$的子集作为参数。此良序在$L(\mathcal{P}(ω_1))$中。加强版的有界强制公理是强大到足以有上述的极大性原则的影响。
A Framework for Forcing Constructions at Successors of Singular Cardinals
我们描述了一个框架来证明任意共尾性的奇异基数及其后继者的一致性结果。这个框架允许构建模型，其中奇异基数假设在不可数共尾的奇异基数处失败，而其后继者享有各种组合性质。作为一个示例应用程序，我们证明的一致性（相对于ZFC加上超紧基数）有一个强极限奇异基数$κ$的不可数共尾SCH失败，并有一个集合的图形在$κ^+$的大小小于$2^κ$，使任何图在$κ^+$嵌入到一个图的集合。
The effects of forcing on exacting and ultraexacting cardinals
本文研究集合论强制对exacting与ultraexacting基数的影响，证明I2嵌入产生具有真类exacting基数的ZFC模型，并探讨HOD猜想下相关性质及强制扩张。
On the strength of ultrafilters above choiceless large cardinals and their Prikry forcings
本文研究无选择大基数上超滤子强度与普利克里力迫，证明超滤子的大基数强度界，拓展普利克里力迫理论并限制可坍缩/奇异化基数，提出张量普利克里系统以构造无选择集合论的一致性结果（如所有不可数基数奇异的模型）。
Sigma-Prikry forcing II: Iteration Scheme
在本系列的第一部分中，我们介绍了一类我们称之为Sigma-Prikry的强迫概念，并证明了许多已知的以可数共尾性的奇异基数为中心的强迫概念都是Sigma-Prikry。我们证明了，给定一个Sigma-Prikry偏序集P和一个非反射平稳集T的P-名称，存在一个对应的Sigma-Prikry偏序集，它投射到P并杀死T的平稳性。在本文中，我们发展了一个迭代Sigma-Prikry偏序集的一般方案，作为应用，我们爆破了Laver-不可破坏超紧基数的可数极限的幂，然后迭代地杀死其后继者的所有非反射平稳子集。这产生了一个模型，其中的奇异基数假设失败，同时反映有限家庭的固定集举行。
Category forcings, $MM^{+++}$, and generic absoluteness for the theory of strong forcing axioms
本文引入一类以保持平稳集的完备布尔代数为对象，以保持平稳集的商的完备同态为箭头的范畴。我们证明了这个范畴在高度为超紧的宇宙的秩初始段上的割是一个保持偏序的平稳集，它迫使$MM^{++}$并使它的大小坍缩成为第二个不可数基数.接下来，我们认为，任何已知的方法，以产生一个模型的$MM^{++}$崩溃的superhuge基数成为第二个不可数基数产生的模型中，截断的类别的平稳集保持强迫在任何排名初始段的宇宙足够大的高度迫使相当于一个预饱和塔正常过滤器。我们让$MM^{+++}$表示这一声明，我们证明了理论的$L(Ord^{ω_1})$参数$P(ω_1)$是一般不变的平稳集保持强迫，保持$MM^{+++}$。最后，我们认为，Larson的工作，并表明，这是一个下一个最佳的推广到张模型$L(Ord^{ω_1})$的吴丁的通用的绝对性结果张模型$L(Ord^ω)$。$MM^{+++}$和$MM^{++}$是否是模大基数的等价公理以及$MM^{++}$是否足以证明张模型$L(Ord^{ω_1})$的相同的一般绝对性结果仍然是开放的。
Forcing Axioms and construction schemes
该研究推进ω₁上构造方案理论，引入基数𝔪ⁿ_ℱ并利用其一致性证明ω上间隙与几乎不交族的相关结论，得到构造方案的限制性结果并解答已有问题，还证明PID蕴含2-捕获方案不存在。
Limits to joining with generics and randoms
Posner和Robinson（1981）证明了如果$S \subseteq ω$是不可计算的，则存在一个$G \subseteq ω$使得$S \oplus G \geq_T G'$。Shore和Slaman（1999）将这一结果推广到所有的$n \in ω$，表明如果$S \nleq_T \emptyset^{(n-1)}$，则存在一个$G$，使得$S \oplus G \geq_T G^{(n)}$。他们的论证使用了Kumabe-Slaman强迫，因此他们得到的集合与波斯纳-罗宾逊定理不同，在任何方面都不是科恩强迫的通用集合。我们回答的问题，这是否是一个必要的复杂性表明，对于所有的$n \geq 1$，设置$G$的海岸，Slaman定理不能被选择为甚至弱2-通用。我们的结果适用于其他几个有效的强制概念中常用的可计算性理论，我们还证明了集$G$不能被选为2-随机。
Perfect Tree Forcings for Singular Cardinals
我们调查强迫性质的完美树强迫定义的Prikry回答Solovay在20世纪60年代后期的问题，关于第一次失败的分配。给定一个严格递增的正则基数序列$\langle κ_n: n< ω\rangle$，Prikry定义了强制$\mathbb{P}$是$\prod_{n<ω}κ_n$的所有完美子树，并证明了对于$κ=\sup_{n<ω}κ_n$，假设必要的基数算术，$\mathbb{P}$的布尔完备化$\mathbb{B}$对所有$μ<κ$是$(ω,μ)$ -分布的，但$(ω,κ,δ)$ -分布对所有$δ<κ$失败，意味着$(ω,κ)$ -d. l失败。这些迄今未发表的结果包括在内，为以下最近的结果奠定了基础。$\mathbb{P}$满足Sacks型性质，这意味着$\mathbb{B}$是$(ω,\infty,<κ)$ -分布的。$(\mathfrak{h},2)$ -d.l.和$(\mathfrak{d},\infty,<κ)$ -d.l.在$\mathbb{B}$中失败。$\mathcal{P}(ω)/\mbox{Fin}$完全嵌入$\mathbb{B}$。此外，$\mathbb{B}$将$κ^ω$折叠为$\mathfrak{h}$。我们进一步证明，如果$κ$是一个有限的可数许多可测的基数，然后$\mathbb{B}$增加了一个最小程度的新的$ω$序列的可构造性。这些结果推广到基数…
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