Clifford algebra, geometric algebra, and applications
这些是克利福德代数理论课程的讲义，特别强调了它们在数学和物理中的广泛应用。克利福德代数是通过一个传统的张量代数结构（当时称为几何代数）与几何应用，以及在代数更一般的形式，这是非常适合组合，并定义和理解众多的产品和运算的代数。提出的各种应用包括向量空间和射影几何，正交映射和旋量，赋范划分代数，以及单纯复形和图论。
2009-07-30 math-ph math.MP math.RA
On Some Lie Groups in Degenerate Clifford Geometric Algebras
本文在退化 Clifford 几何代数中引入并研究了五族 Lie 群，证明它们在伴随与扭曲伴随表示下保持特定子空间，并包含退化旋量群等子群，具有多学科应用价值。
2024-01-08 math-ph math.MP math.RA
Generalized Degenerate Clifford and Lipschitz Groups in Geometric Algebras
本文在退化几何代数中定义并刻画广义 Clifford 群与 Lipschitz 群，借助中心化子、扭中心化子和范数函数揭示其结构，并讨论相关 Lie 代数及跨学科应用。
2025-06-06 math-ph math.MP math.RA
Concept of Lie Derivative of Spinor Fields. A Geometric Motivated Approach
本文利用Clifford丛（Cl（M，g））和自旋Clifford丛（Cl_{ Spin_{1,3} ^{e}}（M，g））形式，它允许给出Dirac-Hestenes旋量场的有意义的表示（Cl_{ Spin_{1,3} ^{e}}（M，g）的偶截面），给出了Lorentz结构（M，g）中旋量场的Lie导数的一个几何激发定义，g）其中M是流形使得dimM =4，g是签名（1，3）的洛伦兹。当应用于Clifford场和旋量场时，我们的李导数，称为旋量李导数（记为ε_{n}），由很好的公式给出，并且对于任何向量场ε_{n}，ε_{n}g=0.我们比较我们的定义和结果与许多其他出现在文献中的主题。
2015-11-30 math-ph math.MP
Events and cosmological spaces through twistors in the geometric (Clifford) algebra formalism
闵可夫斯基时空中的事件可以从两个没有螺旋度的扭曲的交点得到。这些可以在几何（克利福德）代数形式主义中表示，在一个特定的共形空间中，该空间由两个粒子的量子系统构成。实现发生在多粒子时空代数中。这种表示使我们能够用不带电的克莱因-戈登粒子的波函数来识别一个事件。如果空间是复杂的，并且扭子具有非零螺旋度，则还可以得到更一般的点。在这种情况下，这样的点不再是一个事件，但它可以用带电克莱因-戈登粒子的波函数来识别。其他与宇宙学相关的空间也可以用共形空间的2粒子表示来构造，如德西特空间和反德西特空间。此外，我们表明，Friedmann-Robertson-Walker空间，有和没有大爆炸，完全描述了通过两个扭曲，这是在我们的形式表示属于量子力学的实体：狄拉克矩阵$γ_0$，一个无质量的最大纠缠态和它的复共轭。
2006-09-23 math-ph math.MP
Noncommutative Vieta Theorem in Clifford Geometric Algebras
本文将Vieta定理推广至Clifford几何代数，借助Gelfand--Retakh非交换Vieta定理与行列式无基公式，证明任意维几何代数中的广义Vieta定理，可应用于符号计算及计算机科学等领域。
2023-04-03 math-ph math.MP math.RA
Geometric Algebra
这是一个介绍几何代数，替代传统的向量代数，扩大了它在两个方面：1。除了标量和向量之外，它还定义了表示任何维度的子空间的新对象。2.它定义了一个产品，强烈的几何动机，可以采取任何两个对象之间。例如，以某种方式取得的两个向量的乘积表示它们的公共平面。这个系统是由威廉·克利福德发明的，通常被称为克利福德代数。它实际上比我们今天使用的向量代数更古老（由于吉布斯），并将其作为一个子集。多年来，克利福德代数的各个部分已经被许多发现他们需要它的人独立地重新发明，通常没有意识到所有这些部分都属于一个系统。这表明克利福德的想法是正确的，几何代数，而不是我们今天使用的简化版本，应该成为标准的“向量代数”。“我在这些笔记中的目标是从这个角度描述几何代数，并说明它的有用性。这些笔记还在编写中;我会在自己学习的过程中不断添加新的主题。
2012-05-27 math-ph math.MP
Clifford Algebra with Mathematica
n维欧几里德向量空间的Clifford代数提供了一种通用语言，包括向量、复数、四元数、格拉斯曼代数、泡利和狄拉克矩阵。在这项工作中，我们提出了一个介绍Clifford代数的主要思想，主要目标是开发一个软件包的Clifford代数计算的计算机代数程序Mathematica。因此，Clifford代数包是一个强大的工具，因为它允许操纵所有Clifford数学对象。该软件包还提供了一个可视化工具的克利福德代数的元素在三维空间。clifford.m可从github.com/jlaragonvera/Geometric-Algebra获得
2018-01-22 math-ph math.MP
The Hyperbolic Clifford Algebra of Multivecfors
本文对与双曲空间自然相关的多向量双曲Clifford代数作了深入的阐述，双曲空间的元素称为向量。给出了向量和多向量的几何解释。引入了Poincare自同构（Hodge对偶算子），并导出了几个有用的公式.讨论了双曲Clifford代数中一个特殊理想的作用，该理想的元素是旋量的代表，恢复了Witten超场的代数性质。
2007-03-31 math-ph math.MP
Clifford algebra unveils a surprising geometric significance of quaternionic root systems of Coxeter groups
秩为3和4的Coxeter（反射）群以及E_8的Coxeter（反射）群的四元数表示在文献中得到了广泛的应用。本文分析了这样的考克斯特群的克利福德几何代数框架，它提供了一个简单的方法来执行反射和旋转，同时更清楚地揭示了底层的几何。克利福德方法表明，四元数表示实际上有非常简单的几何解释。秩为3的群A_1xA_1xA_1，A_3，B_3和H_3用纯四元数表示为确定Coxeter群反射面的Hodge对偶根向量。两个连续的反射导致旋转，由两个反射向量的几何积描述，给出Clifford旋量。秩为3的群A_1xA_1xA_1，A_3，B_3和H_3的旋量给出了二元多面体群的一个新的简单构造。这些又生成秩为4的群A_1 x A_1 x A_1 x A_1，D_4，F_4和H_4，它们广泛使用的四元数表示被证明是伪装的旋量。因此，Clifford几何积实际上是从秩3群导出秩4群。特别是D_4，F_4和H_4群是特殊的结构，我们的研究对它们有新的认识。
2012-05-07 hep-th math-ph math.MP
Relativity in Clifford's Geometric Algebras of Space and Spacetime
在各种形式主义发展来处理相对论现象，那些基于克利福德的几何代数是特别适合明确的几何解释和计算效率。本文研究了闵可夫斯基空间的时空代数（STA）Cl{1，3}和物理空间代数（APS）Cl{3}中的狭义相对论公式之间的关系。STA适合于相对论的绝对表述，其中路径，场和其他物理性质具有独立于任何其他物理性质的表示。APS中的描述通过从APS到STA的偶数子代数STA+的元素的一对一映射而相关。通过这种映射，APS中的回复对应于STA中的厄密共轭。STA+的元素是计算物理可测量量所需的全部，因为只有它们才需要任何物理测量中固有的观察者依赖性。因此，每一个可以在STA中建模的相对论性物理过程在APS中也有表示，反之亦然。在两个或两个以上的惯性观察员的存在下，两个版本的APS呈现自己。在绝对版本中，到STA+的映射和厄米共轭都是依赖于观察者的，并且适当的基向量是扫过类时平面的持久向量。在相对版本中，映射和厄密共轭对所有观察者都是相同的。相对APS给出了相对论物理的协变表示，时空多矢量由多副矢量表示。我们涉及的两个版本的APS作为一致的模型在同一代数。
2004-05-07 math-ph math.MP
On SVD and Polar Decomposition in Real and Complexified Clifford Algebras
本文提出在任意维度与符号的非退化实与复化 Clifford 几何代数中，仅用代数运算实现任意多重向量的奇异值分解（SVD）与极分解，并定义了相关结构，为计算机科学、工程和物理等领域的应用提供基础。
2024-04-18 math-ph math.MP math.RA
New spinor classes on the Graf-Clifford algebra
Pinor域和Spinor域是子丛的截面，其纤维是形式的Clifford代数的表示空间，配备有Graf积。在这种情况下，pinor和旋量在这里被认为是和几何广义Fierz身份提供了必要的框架，推导和构建新的旋量类的空间上的光滑部分的外部捆绑，赋予格拉夫产品，突出的具体签名，其应用进行了讨论。
2018-08-18 math-ph math.MP
Geometric Spinors, Generalized Dirac Equation and Mirror Particles
证明了由于几何旋量是Clifford代数的元素，所以它们必须具有与其他Clifford数相同的变换性质。通常，克利福德数$Φ$根据$Φ\to Φ' = {\rm{R}}\,Φ\,{\rm{S}}$变换为新的克利福德数$Φ'$，即，通过从左和从右乘以两个Clifford数${\rm R}$和${\rm S}$。我们研究的情况下，$Cl(1,3)$，这是克利福德代数的闵可夫斯基时空。根据${\rm R}$和${\rm S}$的选择，有各种可能性，包括向量到3-向量的变换，以及$Cl(1,3)$的一个极小左理想的旋量到另一个极小左理想的变换。除其他外，这对理解观察到的奇偶性不守恒有影响。
2013-10-24 gr-qc hep-th math-ph
Nonholonomic Clifford and Finsler Structures, Non-Commutative Ricci Flows, and Mathematical Relativity
本文概述了作者18年来在数学物理、粒子物理和引力中的几何方法、修正和应用等方面的研究活动（1994年博士论文答辩后）。十个最相关的出版物按常规结构分为三个“战略方向”：1）非完整几何流的演化和Ricci孤子和场方程的精确解，（2）非线性动力学和各向异性场相互作用模型量子化的几何方法;（3）（非）交换几何，几乎Kaehler和Clifford结构，Dirac算子和有效的Lagrange-Hamilton和Riemann-Finsler空间。
2012-04-21 math-ph math.DG math.MP
Basis-free solution to Sylvester equation in Clifford algebra of arbitrary dimension
Sylvester方程和它的特殊情况，李雅普诺夫方程，广泛应用于图像处理，控制理论，稳定性分析，信号处理，模型简化等。给出了任意维Clifford（几何）代数中Sylvester方程的无基解.无基解仅涉及Clifford（几何）积、求和和共轭运算。利用Clifford代数中的特征多项式、行列式、伴随、逆等概念得到了这些结果。首次给出了Sylvester方程在$n=4$情形下的无基解的替代公式，并给出了$n=5$情形和任意维数$n$情形的证明.所得结果可用于符号计算。
2021-09-04 math-ph math.MP math.RA
Self-Dual Maxwell Fields from Clifford Analysis
本文借助几何代数分解一般克利福德代数的柯西-黎曼方程，证实时空代数$Cl(3,1)$下该方程对应无源自对偶麦克斯韦场与无质量不带电旋量，揭示了基础物理与时空克利福德几何的深层关联。
2025-01-14 math-ph math.MP
Multivector (MV) functions in Clifford algebras of arbitrary dimension: Defective MV case
本文针对任意维数 Clifford 代数，提出基于最小多项式根分析的无基显式公式，用于计算包括不可对角化情形在内的多向量函数，并可推广至矩阵函数与有限维线性算子。
2025-04-11 math-ph math.MP
Efficient unitary designs with a system-size independent number of non-Clifford gates
该研究量化了突破Clifford运算最多实现3-设计壁垒的非Clifford资源需求，证明注入与系统规模无关的O(t⁴log²(t)log(1/ε))个非Clifford门即可得到ε-近似t-设计，并推导了随机Clifford电路收敛的新界。
2023-06-11 math-ph math.MP quant-ph
Exponential and logarithm of multivector in low dimensional (n=p+q<3) Clifford algebras
在实Clifford几何代数Cl（p，q）中，当n=p+q=1（复数和双曲数）和n=2（Hamilton、分裂和锥心四元数）时，给出了多向量指数和对数的封闭形式表达式.从基向量的平方为-1或+1的Cl（0，1）和Cl（1，0）代数出发，将指数公式和对数公式推广到二维四元数代数Cl（0，2），Cl（1，1）和Cl（2，0）.在多向量系数空间中找到二维对数存在的扇区，它们与多向量的平方根有关。
2022-04-11 math-ph math.MP
From Clifford Bundles to Spinor Classification: Algebraic and Geometric Approaches, and New Spinor Fields in Flux Compactifications
本论文以Kähler-Atiyah丛为框架，结合代数与几何方法研究Clifford结构与旋量场，并通过双线性协变量和Fierz恒等式对旋量进行分类，进而在AdS$_3 \ imes M_8$翘曲通量紧化中识别出新的旋量场类。
2024-09-30 math-ph math.DG math.MP
Metric Clifford Algebra
本文引入了度量Clifford代数$\mathcal{C\ell}(V,g)$的概念，其中$n$维实向量空间$V$被赋予了一个度量扩张子$g$，其签名为$(p,q)$，具有$p+q=n$ . $\mathcal{C\ell}(V,g)$上的度量Clifford积表现为$\mathcal{C\ell}(V)$上的欧氏Clifford积的定义良好的\emph{deformation}（由$g$诱导）。与度量伸缩子$g,$相关联的是规范度量伸缩子$h$，其将刚刚包含在$g.$中的所有几何信息编码。这里确定这种$h$的精确形式。此外，我们提出并证明了所谓的\emph{golden formula,}，这是很重要的，在许多应用中，自然出现在我们的研究多向量函数，微分几何和理论物理。
2002-12-16 math-ph math.MP
Clifford Fibrations and Possible Kinematics
继Herranz和Santander之后[Herranz F. J.，Santander M.，Mem. Real Acad. Cienc。确切菲斯自然。Madrid 32（1998），59-84，physics/9702030]我们将基于可能的运动学代数和群构造齐性空间[Bacry H.，莱维-勒布隆德M.，J. Math.Phys.9（1967），1605-1614]及其对二维时空的压缩。我们的构造是不同的，因为它是基于广义Clifford纤维化：Alfred A.克诺夫公司，纽约，2005]我们将称我们的纤维化为Clifford纤维化而不是Hopf纤维化，因为我们的纤维化是一个几何构造。纤维化的简单代数性质描述了运动学代数和群的几何性质，以及由它们导出的时空。我们开发了一个代数框架，处理所有可能的运动代数保存一个，静态代数。
2009-07-14 math-ph math.MP math.RT
Quantum computing based on complex Clifford algebras
我们建议把$n$ --量子比特和作用于它们的量子门都表示为定义在$2n.$维复向量空间上的复Clifford代数中的元素。在这个框架中，Dirac形式主义可以以简单的方式实现。我们证明了它的功能，通过执行量子计算与几个众所周知的量子门的例子。我们还比较了我们的方法与使用真正的几何代数表示。
2022-03-03 math-ph math.MP quant-ph
Clifford and Grassmann Hopf algebras via the BIGEBRA package for Maple
霍普夫代数结构将取代群和群表示作为未来时代的主要范式。K-理论，上同调，纠缠，统计，表示类别，量化或扭曲结构以及不变理论的更多几何主题，例如，Grassmann-Cayley括号代数都是由Hopf代数框架所覆盖的。实验数学的新分支允许人们通过使用符号操作和计算机代数系统（CAS）的直接计算轻松地进入这些领域。我们讨论的问题时，解决了建设的BIGEBRA包Maple和CLIFFORD [见数学-ph/0212031]处理张量积，格拉斯曼和Clifford代数，余代数和Hopf代数。最近的研究结果表明，CAS的有用性调查新的和涉及的数学为我们提供了例子。展望了进一步的发展。
2002-12-10 math-ph math.MP
The characteristic polynomial in calculation of exponential and elementary functions in Clifford algebras
给出了任意Clifford几何代数Cl（p，q）在无基表示和正交基表示下的多重向量指数的计算公式.这些公式是基于对多重向量的特征多项式的根的分析。详细的例子，如何在实践中使用的公式。这些结果对量子线路和纠缠量子态演化分析等问题有一定的参考价值。
2022-05-24 math-ph math.MP quant-ph
A Note on Centralizers and Twisted Centralizers in Clifford Algebras
本文研究了退化与非退化 Clifford 代数中的中心化子与扭曲中心化子，给出了固定次数子空间及其直和的显式形式，结果可应用于计算机科学、物理学和工程领域。
2024-08-24 math-ph math.MP math.RA
Exponentials of general multivector (MV) in 3D Clifford algebras
给出了Clifford几何代数Cl（p，q）中n=p+q=3的一般多向量指数的封闭表达式.将得到的指数公式应用于求解MV幅角的精确GA三角函数和双曲函数。证明了所提出的精确公式与MV双曲函数和三角函数的级数展开式是一致的。该指数可以应用于求解GA微分方程、信号和图像处理、自动控制和机器人技术中。
2021-02-18 math-ph math.MP math.RA
Three sides of the geometric Langlands correspondence for gl_N Gaudin model and Bethe vector averaging maps
考虑标准向量表示的张量幂幂的gl_N Gaudin模型. Gaudin模型中的几何朗兰兹对应将交换Gaudin Hamilton算子的Bethe代数与适当的N阶微分算子空间上的函数代数联系起来。在本文中，我们介绍了第三方面的对应关系：代数上的临界集的主功能的功能。我们构造了第三代数和前两个代数的同构。一个新的对象是贝特矢量平均图。
2009-07-19 math-ph math.MP math.QA
Clifford Algebras, Quantum Neural Networks and Generalized Quantum Fourier Transform
我们提出了量子神经网络模型，通过Clifford代数，它能够捕获系统的几何特征，并产生纠缠。由于它们的泡利矩阵表示，克利福德代数是在量子环境中进行多维数据分析的自然框架。实现激活功能和单一的学习规则进行了讨论。在这个方案中，我们还提供了量子傅里叶变换的代数推广，其中包含允许执行量子机器学习的附加参数。此外，还证明了广义量子傅里叶变换的一些有趣的性质。
2022-06-03 math-ph math.MP quant-ph
Clifford and Riemann-Finsler Structures in Geometric Mechanics and Gravity
这本书包含了一个收集的工作黎曼-嘉当和度量仿射流形提供非线性连接结构和广义芬斯勒-拉格朗日和嘉当-汉密尔顿几何和克利福德结构建模等流形。所提出的材料的选择已经从现代重力和几何力学中的各种应用以及对非对易黎曼-芬斯勒几何的某些推广中演变而来。本文发展和应用了具有非线性连接结构的非完整框架方法，并将其应用于一些具体问题：构造一般非对角精确解，一般具有非平凡挠率和非度量性，具有非对易对称性，描述了黑椭球/环面构形，局部各向异性虫洞，引力孤子和翘曲因子，并研究了这些解的稳定性; Lagrange/ Finsler -仿射空间的分类;非完整狄拉克算子的定义及其在交换和非交换Finsler几何中的应用。
2006-03-11 gr-qc hep-th math-ph
Clifford Algebras in Symplectic Geometry and Quantum Mechanics
克利福德代数在费米子量子描述中的必要出现促使我们重新审视四元数克利福德代数C（0，2）所扮演的基本角色。这个代数本质上是描述空间旋转性质的几何代数。隐藏在这个代数中的是以海森堡代数为核心的辛结构。这个代数也使我们能够定义一个泊松代数的所有齐次二次多项式的二维子空间，法的欧几里德三维空间。这使我们能够构建一个泊松Clifford代数，H（F），一个有限维的相空间，将进行动态。量子动力学表现为H（F）在由厄米算符组成的Clifford代数中的实现。
2012-03-03 math-ph math.MP quant-ph
Quregisters, symmetry groups and Clifford algebras
三维实线性空间上的Clifford代数包括它的线性结构和它的外代数，由同次多向量张成的子空间决定了Clifford代数的一个阶。通过这些几何概念，从$\mbox{SO}(3)$到$\mbox{SU}(2)$的自然一对一和二对一同态被常规地构建，并且量子位的集合被标识为$\mbox{SU}(2)$的子组。这些构造适合于推广到相应的张量幂。量子比特、量子寄存器和量子门的概念被翻译成对称群的语言。希尔伯特空间张量积中纠缠态的对应元素。在对称群的张量积中实现纠缠的概念。
2016-02-22 math-ph math.MP quant-ph
Adinkras: Graphs of Clifford Algebra Representations, Supersymmetry, and Codes
Adinkra是粒子物理学中超对称性研究的一个图形，但它可以用于研究Clifford代数表示。在这种情况下的图被称为克利福德丁克拉，并把一些标准的想法在克利福德代数表示在几何和视觉的背景。在过去的几年里，Adinkras的发展表明它们如何与纠错码、代数拓扑、代数几何和组合学联系在一起。这些联系也出现在Cliffordinkras身上。本文介绍了Cliffordinkras和描述的关系，这些科目在这种情况下。没有以前的知识阿丁克拉斯和超对称性是假定的。
2021-10-04 hep-th math-ph math.MP
Logarithm of multivector in real 3D Clifford algebras
本文提出实三维Clifford代数中一般多向量对数的闭式表达式，涵盖所有p+q=3情形，并给出单刀片及组合的通用与特殊公式。
2023-04-01 math-ph math.MP math.RA
A special irreducible matrix representation of the real Clifford algebra C(3,1)
4x 4狄拉克（伽马）矩阵（Clifford代数C（3，1），C（1，3），C（4，0）的不可约矩阵表示）是量子物理中许多计算的重要组成部分。虽然最终的物理结果不依赖于狄拉克矩阵的应用表示（例如，由于狄拉克矩阵乘积的迹的不变性），但适当选择所使用的表示可能有助于分析。本文介绍了一个特别对称的实表示的4x 4狄拉克矩阵（马约拉纳表示），这可能会证明在未来的有用。作为一个副产品，（变换）Pauli矩阵的一个紧致公式被发现，这个考虑是基于实Clifford代数C（3，0）的几何中的等倾2-平面所起的作用，它为它提供了一个不变的几何框架，它可以推广到更大的Clifford代数。
1998-11-24 hep-th math-ph math.MP
Nonlinear Connections and Clifford Structures
本文介绍了高阶向量和余向量丛的几何（包括Finsler几何和Kaluza-Klein引力的高阶推广），并回顾了由高阶非线性联络模拟的具有一般局部各向异性的空间上Clifford和旋量结构的基本结果。局部各向异性重力和物质场相互作用的几何应用被认为是。这篇文章包含了这些作者和P. Stavrinos在他们的演讲中提供的材料的一部分。
2002-05-27 gr-qc hep-th math-ph
Iterants, Idempotents and Clifford algebra in Quantum Theory
投影算子是量子理论代数公式的核心，因为波函数和厄米算子（可观测量）都具有根据谱投影的谱分解。投影算子是厄米特算子，也是幂等元。我们称它们为量子幂等元。它们对于量子理论的概念理解也很重要，因为投影算符也代表了量子系统上的观测过程。在本文中，我们探讨了代数的量子幂等元，并表明，他们产生迭代代数（定义的文件），李代数，格拉斯曼代数和Clifford代数这是非常有趣的，因为这些后来的代数介绍了几何空间，因此被称为几何代数。因此，投影算子表示赋予了这些几何代数新的意义，因为它们也是量子过程的基础代数，并且它们使几何更接近量子理论。应该注意的是，投影算子不仅使量子逻辑格，但他们也跨越投影几何。我们将给出框架辫群代数、仿费米子代数和夸克的$su(3)$代数的迭代表示。这些表示是非常引人注目的，因为迭代代数编码递归过程的空间和时间方面。在这方面，我们对这些代数的物理表示开辟了看待费米子、自旋和副费米子（任意子）的全新视角。
2017-11-02 math-ph math.MP quant-ph
On Lie Groups Preserving Subspaces of Degenerate Clifford Algebras
HSE University（莫斯科大学）；Institute for Information Transmission Problems of the Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院信息传输问题研究所）
本文研究了保持退化克莱因代数子空间的李群及其代数，探讨其与海森堡群的关系及在等变神经网络中的应用。
2026-01-12 cs.LG math-ph math.MP
Equivariant Chern Weil Forms and The Families Index Theorem
本文将等变族原理应用于一类具有紧李群G作用的Clifford模丛几何族，证明了Bismut族指数定理关于该几何族的微分Borel商的等变形式.
2022-08-10 math-ph math.DG math.MP
On Rank of Multivectors in Geometric Algebras
该研究在任意维度Clifford几何代数中，仅用几何代数运算、结合特征多项式概念与SVD方法定义了多重向量的秩，成果可应用于计算机科学、工程、物理等多领域的几何代数相关场景。
2025-04-28 math-ph math.MP math.RA
Grade free product formulae from Grassmann Hopf gebras
在Clifford代数的传统方法中，Clifford积是通过递归应用一个向量（生成元的跨度）在齐次（即可分解（格拉斯曼），多向量和上的乘积来计算的，后来通过双线性扩展。Hestenesian的“点”积，扩展了单向量标量积，甚至更糟糕，有标量的例外，并且需要在不同的时间应用等级运算符。此外，多重向量阶不是一般的Clifford代数概念。在几何应用中，如果必须计算相交、连接或收缩，则情况变得更糟。从自然分次的Grassmann霍普夫代数出发，推导出乘积的一般公式：相遇和连接、相遇和共连接、左/右收缩、左/右共收缩、Clifford和coClifford乘积。这些乘积公式对任意双线性形式的Clifford代数的任意阶数和任意非齐次多向量因子都是有效的，包括非对称和退化形式。我们推导出三个著名的Chevalley公式作为我们的方法的专业化，并将显示合作Chevalley公式。Rota-Steinclifford化是Chevalley变形的推广。我们的乘积公式基于不变理论，不依赖于表示/矩阵，计算效率很高。该方法也适用于辛Clifford代数。
2002-08-13 math-ph math.MP math.RA
Fluid Models from Kinetic Models using a Geometric Averaging Procedure
本文通过几何平均过程，将洛伦兹力方程视为测地线方程，证明在超相对论条件下窄分布带电粒子束可由带电冷流体模型描述，无需额外假设高阶矩，方法可推广至温等离子体等模型。
2010-02-25 gr-qc math-ph math.MP
A Geometric Action Principle for Unification of Yang-Mills Fields, Gravity and Matter Fermions
Facultad de Ingeniería, Universidad San Sebastián（圣塞巴斯蒂安大学工程学院）；Centro de Estudios Científicos, Universidad San Sebastián（圣塞巴斯蒂安大学科学研究中心）
提出一个单一几何不变量统一规范引力、杨-米尔斯理论和费米子动能项，无需额外维度或人为对称性破缺。
2026-09-07 gr-qc hep-th math-ph
On computing the determinant, other characteristic polynomial coefficients, and inverse in Clifford algebras of arbitrary dimension
本文解决了任意维Clifford代数的逆的计算问题。本文给出了任意维向量空间$n$上实Clifford代数（或几何代数）的行列式、其他特征多项式系数、伴随和逆的不同类型（显式和递归）的无基公式.这些公式只涉及乘法、求和和共轭运算，而没有明确使用矩阵表示。我们使用Clifford代数的方法（包括作者在以往文献中提出的四元数类型化方法和本文提出的特殊类型共轭运算方法）和矩阵论数值方法的推广（基于Cayley-Hamilton定理的Faddeev-LeVerrier算法;利用Bell多项式计算特征多项式系数的方法）推广到Clifford代数的情形。给出了一类特殊类型共轭运算的构造，并研究了它们与Clifford代数不动点子空间上的投影运算之间的关系。我们使用这种结构中的行列式，其他特征多项式系数的公式的分析证明，辅，逆Clifford代数。无基求逆公式给出了线性代数方程组的无基解，广泛应用于计算机科学、图像与信号处理、物理学、工程学、控制理论等领域。
2022-09-06 cs.NA math-ph math.MP
Topological Preparation of Non-Stabilizer States and Clifford Evolution in $SU(2)_1$ Chern-Simons Theory
University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）；Arizona State University（亚利桑那州立大学）；Brandeis University（布兰迪斯大学）
本文提出在$SU(2)_1$ Chern-Simons理论中通过拓扑方法制备非稳定子态并研究其纠缠性质，建立了Clifford群作用与模变换的对应关系，拓展了拓扑构造的几何解释。
2026-09-07 hep-th math-ph math.MP
Machine Learning Clifford invariants of ADE Coxeter elements
Stony Brook University（石溪大学）；University of Leeds（利兹大学）；London Institute for Mathematical Sciences（伦敦数学科学研究所）；City, University of London（伦敦城市大学）；Queen Mary University of London（伦敦玛丽女王大学）
本文利用高性能计算穷举计算 A8、D8 和 E8 的 Coxeter 变换的 Clifford 不变量，通过神经网络分类和主成分分析实现高精度机器学习，揭示新型几何不变量间关系。
2024-05-26 cs.LG hep-th math-ph
Equivariant Quantum Cohomology of Grassmannians via the Clifford algebra
University of Glasgow（格拉斯哥大学）
本文通过构造显式的等变量子Satake映射，将Grassmannian的环面等变量子上同调表示为射影空间的等变量子上同调，并利用Clifford代数结构导出等变Gromov-Witten不变量的新递推关系，从而给出其基于Wick定理的计算方法，并应用于证明等变量子Pieri规则的Graham正性。
2026-06-04 math-ph math.CO math.MP
A Clifford algebraic framework for Coxeter group theoretic computations
具有反射和旋转对称性的真实物理系统，如病毒、富勒烯和准晶体，最近已经成功地用三维（仿射）Coxeter群建模。受此进展的启发，我们在这里探索在几何代数框架中执行相关计算的好处，该框架特别适合于描述反射。从考克斯特发电机的反射，我们描述了如何相关的手征（旋转），充分（考克斯特）和二元多面体群可以很容易地产生和处理在一个统一的方式在一个versor形式主义。特别地，这产生了二元多面体群作为离散旋量群的简单构造。这些又被称为生成四维李群和考克斯特群，特别是例外群D_4，F_4和H_4。克利福德代数的方法，从而揭示了一个意想不到的连接之间的考克斯特群的秩3和4。我们将讨论如何将这些考虑和计算扩展到共形几何代数的设置，特别是对于非晶体组，并构建根系和准晶点阵列。最后，我们以二维非晶体Coxeter群I_2（n）和三维群A_3，B_3以及二十面体群H_3为例，说明了Clifford变换框架是如何阐明Coxeter元和Coxeter平面的几何的。
2013-07-26 cond-mat.mtrl-sci hep-ph hep-th
Clifford spinors and root system induction: $H_4$ and the Grand Antiprism
最近的工作表明，每一个三维根系允许建设一个相应的四维根系通过“归纳定理”。在本文中，我们看在二十面体的情况下，$H_3\rightarrow H_4$的详细和执行的计算明确。Clifford代数用于基于Versor定理和Cartan-Dieudonné定理执行群论计算，给出Pin和Spin覆盖的简单构造。通过归纳定理将这种联系与$H_3$联系起来，可以阐明$H_4$根系（$600$ -细胞）的几何方面，以及其他相关的多面体及其对称性，如著名的大反棱柱和snub 24-细胞。从3D的根系的统一建设和统一的程序分裂根系相对于subrootsystems到单独的不变集允许进一步系统的洞察到潜在的几何形状。所有的计算都在Cl（3）的偶子代数中进行，包括Coxeter平面的构造，它用于可视化不变多面体的互补对，并作为补充计算工作表共享。因此，这种方法构成了一个更系统和一般的方式执行计算有关的群体，特别是反射群和根系，在克利福德代数框架。
2021-04-10 hep-th math-ph math.GR
The $E_8$ geometry from a Clifford perspective
本文认为几何的$E_8$从克利福德的角度来看，在三个互补的方式。首先，在早期的工作中，我已经展示了如何使用Clifford技巧从3D根系构造四维例外根系，通过在3D Clifford代数的4D偶子代数中构造它们;例如二十面体根系$H_3$产生了最大的（因此是例外的）非晶体学根系$H_4$。阿诺德的三位一体和麦凯的对应暗示了二十面体和$E_8$之间可能存在间接的联系。其次，在一个相关的构造中，我现在第一次明确了这种联系：在三维空间的8D Clifford代数中，二十面体群$H_3$的$120$元素被$240$ 8分量对象双重覆盖，这些对象被赋予“约化内积”，正是$E_8$的根系。我们以前知道，$E_8$分裂成$H_4$ -不变子空间，我们讨论的折叠结构有关的两个图片。这种折叠是一个部分版本的一个用于建设的Coxeter平面，所以第三，我们讨论几何的Coxeter平面的Clifford代数框架。我们主张完全因式分解的Coxeter versor的Clifford代数到双向量的指数描述旋转正交平面的旋转角度给出正确的指数，这给了更多的几何洞察力比通常的方法复杂化和搜索复杂的特征值。特别是，我们明确地找到这些factorisations的二维，三维和四维根系，$D_6$以及$E_8$，其Coxeter versor factorises作为$W=\exp(\fracπ{30}B_C)\ex…
2016-02-18 hep-th math-ph math.GR
