Some new inequalities for Generalized Mathieu type series and Riemann zeta functions
本文的目的是证明Mathieu型级数和黎曼ζ函数的一些新的不等式。特别地，给出了这些特殊函数的一些Turán型不等式以及单调性和对数凸性的结果.对Mathie型级数和黎曼ζ函数给出了新的Laplace型整表示。
2017-01-14 math.CA
Some families of generalized Mathieu-type power series, associated probability distributions and related functional inequalities involving complete monotonicity and log-convexity
利用Mathieu级数及其推广，导出了若干新的整表示，并对Mathieu级数的某些推广所对应的概率密度函数和概率分布进行了系统的研究.特别是，数学期望，方差和特征函数，有关的概率密度函数的考虑概率分布推导。作为结果，一些有趣的不等式涉及完全单调性和对数凸性。
2016-10-17 math.CA
Exponentially small expansions associated with a generalised Mathieu series
我们考虑广义Mathieu系列\[\sum_{n=1}^\infty \frac{n^γ}{(n^λ+a^λ)^μ}\qquad (μ>0)\]时，参数$λ$（$>0$）和$γ$是偶数的大复杂$a$的部门$|\arg\,a|<π/λ$。在这种情况下的渐近性包括一个{ \it有限}代数展开以及一个无穷序列越来越次显性指数小的扩展。当$μ$也是一个正整数时，可以给出这个级数的封闭形式的求值。数值结果说明了所得到的展开式的精确性。
2016-01-28 math.CA
Generalized Volterra functions, its integral representations and applications to the Mathieu--type series
本文引入了一类新的广义Volterra函数。我们利用Fox-Wright H-函数和Meijer G-函数证明了它们的一些整表示。从这些表示中权的正性条件出发，得到了广义Volterra函数的参数的充分条件，证明了广义Volterra函数的完全单调性。作为应用，我们证明了广义Volterra函数的若干Turán型不等式，并导出了一类由广义Volterra函数定义的收敛Mathieu型级数的封闭形式整表示.
2018-05-31 math.CA
Continued fraction expression of the Mathieu series
本文利用拉马努金的连分数公式表示马蒂厄级数的连分数表达式。作为应用，我们得到了Mathieu级数的一些新的界。
2015-08-02 math.CA math.NT
Uniform asymptotic approximations for the Lamé and Mathieu functions and their respective eigenvalues with a large parameter
应用\cite{Olver1975}中关于二阶线性微分方程的两个转向点的理论，得到了具有大实参数的Lamé函数和Mathieu函数的一致渐近逼近.近似表示的抛物柱面函数，并在各自的实开区间一致有效。在所有情况下，都为与近似值相关的误差项提供了明确的界限。近似也得到了各自的特征值。
2015-07-30 math.CA
The asymptotic expansion of a Mathieu-exponential series
我们考虑$λ>0$和$μ\geq0$的函数列\[S_μ^\pm(a;λ)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(\pm 1)^n e^{-λn}}{(n^2+a^2)^μ}\]在扇区$|\arg\,a|<π/2$中的渐近展开为$|a|\to \infty$.该方法将$S_μ^\pm(a;λ)$表示为围道积分，并对积分路径进行适当的变形，数值例子说明了所得到的各种展开式的精度。
2021-12-06 math.CA
Asymptotic expoansions of mathieu-Bessel series. I
我们考虑Mathieu-Bessel级数\[S_ν(a,b)=\sum_{n=1}^\infty \frac{n^γJ_ν(nb/a)}{(n^2+a^2)^μ}, \qquad (μ, b>0,\ γ, ν\in {\bf R})\]的渐近展开式为$a\to+\infty$，其中$J_ν(x)$是第一类阶$ν$的Bessel函数.当$γ+ν$是正偶数整数时，出现特殊情况，其中展开式包括有限代数项以及指数小展开式。数值例子来说明各种扩展的准确性。考虑了$S_ν(a,b)$的交替变体的扩展。简要介绍了用贝塞尔函数$Y_ν(x)$代替$J_ν(x)$函数时的系列。
2019-07-07 math.CA
Asymptotic expansion of Mathieu-Bessel series. II
我们考虑Mathieu-Bessel级数\[S_{ν,γ}^μ(a,b)=\sum_{n=1}^\infty \frac{n^γK_ν(nb/a)}{(n^2+a^2)^μ}, \qquad (μ>0, ν\geq 0, b>0, γ\in {\bf R})\]的渐近展开式为$|a|\to\infty$在$|\arg\,a|<π/2$中的渐近展开式，其中$K_ν(x)$是第二类阶修正Bessel函数$ν$ .我们采用梅林变换的方法来确定一个整表示的$S_{ν,γ}^μ(a,b)$涉及的黎曼ζ函数。这个积分的渐近估计涉及适当的留数计算。数值例子来说明每种类型的扩展获得的精度。还考虑了$S_{ν,γ}^μ(a,b)$的交替变体的扩展。
2021-08-31 math.CA
The Mathieu Differential Equation and Generalizations to Infinite Fractafolds
常微分方程理论中研究得很好的方程之一是马蒂厄微分方程。用于获得解的常见方法是通过将方程转换成用于傅里叶系数的无限线性方程组来经由傅里叶级数寻求解。我们研究这些傅里叶系数的渐近行为，并讨论如何在数字上近似解。我们提出了有关Mathieu微分方程的稳定性和解决方案的性质的理论和数值结果。进一步，基于傅里叶级数的思想，给出了将Mathieu微分方程推广到无限Sierpinski垫片上的方法.我们讨论了这个分形微分方程解的稳定性，并进一步描述了这些解的性质和行为的结果。
2019-04-15 math.CA
Asymptotics of a Mathieu-Gaussian series
我们考虑函数级数\[S_{μ,γ}(a;λ)=\sum_{n=1}^\infty \frac{n^γe^{-λn^2/a^2}}{(n^2+a^2)^μ}\]对参数$γ$、$λ>0$和$μ\geq0$的实值的渐近展开式为$|\arg\,a|<π/4$扇区中的$|a|\to \infty$.对于一般值的$γ$的扩展是代数类型的条款涉及黎曼ζ函数和终止的汇合型超几何函数。在这项研究中的主要兴趣是对应于甚至整数值的$γ$的情况下，代数型的扩展包括一个有限数量的条款一起的贡献，包括一个无限序列的越来越次显性指数小的扩张。这种情况类似于对应于$μ=γ=0$情况的众所周知的泊松-雅可比公式。数值例子说明了这些扩展的准确性。
2021-01-04 math.CA
On a new (p,q)-Mtahieu type power series and its applications
本文的目的是建立（p，q）-Mathieu-幂级数的某些新积分.特别地，我们研究了这种特殊函数的一种特殊情形的Mellin-Barnes型整表示.此外，我们引入了（p，q）-Mittag-Leffler函数的概念，并给出了这两个函数之间的关系。证明了其它一些应用，特别是证明了（p，q）-Mathieu级数的两个Turán型不等式.
2017-11-17 math.CA
Rigorous Asymptotics for the Lamé and Mathieu Functions and their Respective Eigenvalues with a Large Parameter
应用[Olver F. W. J.]中关于二阶线性微分方程的两个转向点的理论，Philos. Roy译。Soc. London Ser.A278（1975），137-174]，本文第一部分给出了具有大实参数的Lamé和Mathieu函数的一致渐近逼近。这些近似用抛物柱面函数表示，并且在它们各自的实开区间内一致有效。在所有情况下，都为与近似值相关的误差项提供了明确的界限。近似也得到了相应的特征值的大顺序的行为。我们只限于两项一致逼近。从理论上讲，这些近似中的更多项可以计算，但系数将非常复杂。在本文的第二部分中，我们用一种简化的方法得到了这些函数的一致渐近展开。系数只是多项式，并满足简单的递归关系。付出的代价是，这些渐近展开只在它们各自的参数变大时的收缩区间内成立;然而，这个区间包含了函数的所有有趣的振荡行为。这种简化的方法还给出了这些特征值的渐近展开中的许多项，这些项与函数展开中的系数同时导出。我们提供了严格的现实误差界截断时的函数展开和顺序估计的错误时，截断的特征值展开。本文证实了文献中的许多形式结果是正确的。
2015-11-24 math.CA
The power series expansion of Mathieu function and its integral formalism
Mathieu常微分方程具有两个正则奇点和一个非正则奇点，属于Fuchsian型。而Fuchsian型Heun方程则具有四个正则奇点。Heun方程有四种汇合形式：（1）汇合Heun（两个正则奇点和一个非正则奇点），（2）双汇合Heun（两个非正则奇点），（3）双汇合Heun（一个正则奇点和一个非正则奇点），（4）三汇合Heun方程（一个非正则奇点）.从Confluent Heun方程出发，通过改变所有系数，导出了代数形式的Mathieu方程。本文将三项递推公式[arXiv：1303.0806]应用于Mathieu方程的幂级数展开式及其包含A_n的所有高阶项的无穷级数积分形式。从计算中得到的一个有趣的观察是，一个修正的贝塞尔函数在每一个子积分形式中递归：第一个子积分形式包含A_n的零项，第二个子积分形式包含A_n的一项，第三个子积分形式包含A_n的两项，等等。第五节是Mathieu函数的另外两个例子。本文是“特殊函数与三项递推公式（3TRF）”系列文章10篇中的第5篇。请参阅第6节中的所有论文系列。上一篇系列论文涉及Heun函数的渐近行为及其积分形式[arXiv：1303.0876]。该系列的下一篇论文描述了代数形式和积分形式的Lame方程的封闭形式的幂级数展开[arXiv：1303.0873]。
2014-11-05 math-ph math.CA math.MP
Asymptotic expansions of several series and their application
发现了序列$\sum_{k=0}^\infty ε^k(k+a)^γe^{-(k+a)^αx}$和$\sum_{k=0}^\infty ε^k(k+a)^γ/ (x(k+a)^α+1)^μ}$在$x\to+0$的幂上的渐近展开式，其中$ε=1$或$ε=-1$。利用这些展开式得到了Mathieu级数的精确不等式。关键词：渐近展开，残基，广义马蒂厄级数，不等式。
2010-01-30 math.CA math.CV
On the robust stability of stationary solutions to a class of Mathieu-type equations
考虑一类带参数的二阶非线性常微分方程。我们建立了方程系数扰动的条件，在此条件下零解渐进稳定。得到了零解吸引集的估计和解在无穷远点的稳定率的估计。利用这些结果，证明了平稳解的鲁棒稳定性定理。
2022-12-21 math.CA math.DS
High-Index Asymptotics of Mathieu Spectral Gaps and Splittings
Özyeğin University（伊兹密尔经济大学）
该研究推导了马蒂厄算子在高指数n下的谱隙与分裂的渐近公式，补充了前人未得到的高阶相对修正项，并通过等谱性将结果推广到另一类势函数。
2026-10-12 math.CA math.SP
On a paper of Ž. Tomovski and R. Hilfer
在Journal of Mathematical Inequalities（2008）中，给出了交错Mathieu型级数不等式的证明。Tomovski和R.希尔弗有一个错误。在这里，我们给出了这些不等式不成立的参数的值。
2009-01-29 math.CA
Impossibility of convergence of a Heun function on the boundary of the disc of convergence
Heun方程是具有四个正则奇点的二阶Fuchsian方程。Heun函数推广了球面波、Lamé、Mathieu、超几何型函数等著名的特殊函数，通过在Heun方程中加入一个幂级数，可以得到系数的递归关系。局部Heun函数由其幂级数中的三项递推关系构成，证明了该函数在收敛圆盘的边界上不收敛.
2020-02-05 math.CA
Asymptotic behavior of Heun function and its integral formalism
The Heun function generalizes all well-known special functions such as Spheroidal Wave, Lame, Mathieu, and hypergeometric functions. Heun functions are applicable to diverse areas such as theory of black holes , lattice systems in statistical mechanics , solution of the Schrodinger equation of quantum mechanics , and addition of three quantum spins. In this paper, applying three term recurrence formula, I consider asymptotic behaviors of Heun function and its integral formalism including all higher terms of A_n's. I will show how the power series expansion of Heun functions can be converted to…
2015-06-27 math-ph math.CA math.MP
An asymptotic formula of the divergent bilateral basic hypergeometric series
利用$q$ -Borel-Laplace方法给出了发散双边基本超几何级数${}_1ψ_0 (a;-;q,\cdot)$的一个渐近公式.我们还给出了渐近公式的极限$q\to 1-0$。
2012-05-09 math.CA
Asymptotic evaluation of a function defined by power series
我们提出了一个渐近评估酉公式存在的定义类函数的大辐角值。仅用函数的幂级数展开系数就得到了渐近估计，这是幂级数解析延拓理论中的一个新结果。
2010-06-28 math.CA
Asymptotic expansion of a function defined by power series
给出了由Taylor级数定义的函数的负幂级数渐近展开式存在的一个充分条件，并给出了该展开式系数的酉公式.给出了一个反正切函数的计算实例。
2010-06-18 math.CA
The asymptotic power series of three kinds of sequences
本文提出一种通用方法，为三类序列建立渐近幂级数，并给出系数递推关系，进而推导出若干著名序列和含参数积分的近似公式。
2023-06-20 math.CA
Scaled Asymptotics For Some $q$-Series As $q$ Approaching Unit
本文研究了一类$q$ -级数如$q\to1$的Plancherel-Rotach型渐近性。这些$q$ -级数推广了Ramanujan函数$A_{q}(z)$、Jackson的$q$ -Bessel函数$J_ν^{(2)}$（z;q）、Ismail-Masson正交多项式（$q^{-1}$ -Hermite多项式）$h_{n}(x|q)$、Stieltjes-Wigert正交多项式$S_{n}(x;q)$、$q$ -Laguerre正交多项式$L_{n}^{(α)}(x;q)$和合流基本超几何级数。
2007-11-27 math.CA
Asymptotics of alternating harmonic series with attenuation
我们发现级数$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n n^{-1} \exp(-t/n)$的渐近性为$t\to+\infty$。答案是$t$的振荡函数，受$\exp(-(2πt)^{1/2})$支配。中间步骤是找到函数$F(x)=(1+\exp(\|x\|^2))^{-1}$的二维傅里叶变换$\hat F(ξ)$的渐近性为$\|ξ\|\to\infty$。
2015-08-28 math.CA
On Divergence of Puiseux Series Asymptotic Expansions of Solutions to the Third Painlevé Equation
本文给出了第三类Painlevé方程的参数值族，使得形式上满足该方程的Puienix级数--被认为是$z^{2/3}$的级数--是精确Gevrey一阶级数.我们证明了这些级数的发散性，并提供了用它们在顶点在无穷远处的扇区中逼近的解析函数。
2017-02-21 math.CA
Asymptotic series and inequalities associated to some expressions involving the volume of the unit ball
本文的目的是揭示与n维单位球体积有关的某些表达式的渐近级数。所有的证据和方法用于改善宣布的经典不等式的最后一部分的第一部分是在一个扩展的形式中提交的论文由作者出版的期刊。
2015-01-07 math.CA
Asymptotics of Certain q-Series
本文研究了q-级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{b}}q^{n^{a}}$和$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{σ_α(n)}{n^{b}}q^{n^{a}}$在尺度函数$q\to1^{-}$中的完全渐近展开式，其中$a>0,\ q\in(0,1),\,b,α\in\mathbb{C}$和$σ_α(n)$是除数函数$σ_α(n)=\sum_{d\vert n}d^α$ .
2018-12-08 math.CA
Asymptotic Approximations to Truncation Errors of Series Representations for Special Functions
通过求解一个线性方程组，构造了特殊函数的无穷级数$\sum_{ν=0}^{\infty} a_ν$的截断误差$r_n = - \sum_{ν=0}^{\infty} a_ν$的渐近逼近（$n \to \infty$）.线性方程组由非齐次差分方程$Δr_n = a_{n+1}$的近似解导出。对于黎曼ζ函数的狄利克雷级数的余项，线性方程组可以以封闭形式求解，再现相应的欧拉-麦克劳林公式。在考虑的其他系列的情况下-高斯超几何级数${}_2 F_1 (a, b; c; z)$和指数积分的发散渐近逆幂级数$E_1 (z)$ -相应的线性方程组的符号求解的帮助Maple。新的形式主义的实用性证明了一些数值例子。
2005-11-03 math.CA
Hardy type asymptotics for cosine series in several variables with decreasing power-like coefficients
研究三角级数在原点附近的渐近性是数学分析中的一个重要课题。对于单变量的三角级数，早在G. H.哈代1928年多元三角级数的研究较少。这项工作的目的是部分地填补这一空白，通过寻找渐近的三角级数在几个变量的条款，有一个形式的“一减余弦”到一个减少的权力一样的因素：\[ \sum_{z\in\mathbb{Z}^{d}\setminus\{0\}}\frac{1}{\|z\|^{d+α}}\left(1-\cos\langle z,θ\rangle\right), \qquad θ\in\mathbb{R}^{d}, \]其中$\langle\cdot,\cdot\rangle$是标准的内积和$\|\cdot\|$是最大范数$\mathbb{R}^{d}$。本文中开发的方法是相当初级的，基本上是代数的。它不依赖于经典的机械的渐近分析，如缓慢变化的功能，Tauberian定理或阿贝尔变换。然而，在我们的情况下，它允许获得显式表达式的渐近性和推广到一般情况下的$d\ge 1$经典结果G。H. Hardy和其他以$d=1$而闻名的作者。
2015-03-30 math.CA
Convergence of sub-series' and sub-signed series' in terms of the asymptotic $ψ$-density
本文研究发散非负级数在子集限制下的收敛与发散问题，利用渐近ψ-密度更精确地度量子集大小，并进一步讨论取值于{-1,0,1}的子符号级数的收敛性。
2024-08-07 math.CA
The analytic solution for the power series expansion of Heun function
Heun函数推广了所有著名的特殊函数，如球面波、Lame、Mathieu和超几何_2F_1、_1F_1和_0F_1函数。Heun函数适用于不同的领域，如黑洞理论，统计力学中的晶格系统，量子力学中薛定谔方程的解，以及三个量子自旋的添加。本文将应用三项递推公式（Choun，Y.S.，arXiv：1303.0806.，2013）推广到Heun函数（无穷级数和多项式）的封闭形式的幂级数展开，其中包含A_n的所有高阶项。第三部分是对Heun函数幂级数展开式在一篇论文中的应用的分析。（R.S. Maier，Math.Comp.33，2007）由于篇幅限制，192个Heun函数的最终方程未包含在本文中，但请随时与我联系以获得最终解决方案。第四节给出了Heun函数幂级数展开式的两个应用实例。本文是“特殊函数与三项递推公式（3TRF）”系列文章10篇中的第3篇。请参阅第5节中的所有论文系列。本文讨论了三项递推公式（3TRF）。下一篇文章在该系列描述积分形式的Heun函数及其渐近行为的分析。
2014-11-04 math-ph math.CA math.MP
Asymptotic Series for Some PainlevÉ VI Solutions
本文研究了Painlevé超越的第六个自变量趋于无穷大的渐近性。主要的工具是平均和Whitham方法。找到了PVI部分解的椭圆解、适当的调制方程和渐近解。
1999-09-28 math.AG math.CA
q-Algebraic Equations, their power series solutions, and the asymptotic behavior of their coefficients
对q-代数方程进行了系统的研究。在基于网格的Hahn级数空间中解决了解的存在性、唯一性和正则性问题。的规律性被理解的系数的渐近行为，是这项工作的主要重点。文中给出了计算结果和算法，并通过实例进行了说明.
2020-06-16 math.CA math.CO
Scaled Asymptotics For Some $q$-Series
在这项工作中，我们调查的渐近欧拉的$q$ -指数$E_{q}(z)$，$q$ -Γ函数$Γ_{q}(z)$，Ramanujan的功能$A_{q}(z)$，杰克逊的$q$ -贝塞尔函数$J_ν^{(2)}$（z;q）的第二类，Stieltjes-Wigert正交多项式$S_{n}(x;q)$和$q$ -Laguerre多项式$L_{n}^{(α)}(x;q)$作为$q$接近1。
2007-05-05 math.CA math.CV
Lame equation in the algebraic form
拉梅方程是在椭球坐标系下推导拉普拉斯方程而得到的，即椭球调和方程。Lame函数可应用于不同的领域，如椭球几何中的边值问题，混沌Hamilton系统，玻色-爱因斯坦凝聚体理论等。本文将应用三项递推公式[arXiv：1303.0806]对代数形式（无穷级数和多项式）的Lame函数及其包含所有高阶项的积分形式的封闭形式的幂级数展开。我将展示如何将拉梅函数的幂级数展开转换为无穷级数和多项式情况下的数学积分形式。从计算中得到的一个有趣的观察结果是，高斯超几何函数在每一个子积分形式中递归：第一个子积分形式包含A_n的零项，第二个子积分形式包含A_n的一项，第三个子积分形式包含A_n的两项，等等。本文是“特殊函数与三项递推公式（3TRF）”系列文章10篇之6。见第7节的所有文件在该系列。上一篇系列论文涉及Mathieu函数的幂级数展开及其积分形式[arXiv：1303.0820]。该系列的下一篇论文描述了Weierstrass形式的Lame方程的幂级数和积分形式及其渐近行为[arXiv：1303.0878]。
2015-06-27 math-ph math.CA math.MP
Infinite series asymptotic expansions for decaying solutions of dissipative differential equations with non-smooth nonlinearity
本文研究了耗散非线性常微分方程系统的非平凡解的精确渐近性态，当时间趋于无穷大时，该解收敛到零。方程的非线性项可能不具有关于原点的泰勒级数展开式。这种缺乏技术上削弱了以前的证明，在建立一个渐近展开，作为一个无穷级数，这样一个衰减的解决方案。在本文中，我们克服了这一限制，并获得了一个无穷级数的渐近展开，随着时间的推移到无穷大。该级数展开提供了解的大时间近似，误差以任何给定的速率呈指数衰减。其主要思想是将非线性项的泰勒展开的中心移动到非零点。这一点原来是来自非平凡的渐近行为的解决方案，我们证明了一个新的和简单的方法。我们的结果适用于不同类别的非线性方程，以前没有处理。
2021-07-02 math.CA math.DS
Integral representations and asymptotic expansions for the second type Neumann series of Bessel functions of the first kind
本文针对一类含参数的第一类贝塞尔函数第二类诺伊曼级数，推导出完全显式的积分表示，并给出带显式项的渐近展开，从而揭示贝塞尔函数导数级数的渐近行为。
2023-12-03 math.CA math.SP
On an Asymptotic Series of Ramanujan
一个渐近级数在拉马努金的第二个笔记本（条目10，第3章）是关心的行为的期望值的$ϕ(X)$为大$λ$其中$X$是一个泊松随机变量的平均值$λ$和$ϕ$是一个函数满足一定的增长条件。我们通过研究$ϕ(X)$的期望值的渐近性来推广这一点，当$X$的分布属于由卷积参数索引的合适的家族时。例子包括分布族的逆矩问题，如二项分布或负二项分布。
2009-04-07 math.CA math.ST stat.TH
Plancherel-Rotach Asymptotics for $q$-Series
本文研究了具有复尺度的$q$ -级数和$q$ -正交多项式的Plancherel-Rotach型渐近性。我们所涉及的$q$ -级数有Euler的$q$ -指数、Ramanujan函数、Jackson的$q$ -第二类Bessel函数、Ismail-Masson正交多项式、Stieltjes-Wigert多项式和$q$ -Laguerre多项式。对于具有$0<q<1$的固定$q$，在每种情况下，渐近公式的主项可以包含Ramanujan函数或θ函数，这取决于缩放参数的值。此外，当标度参数在复平面的某个带内时，其数论性质完全决定了误差项的阶数。在每一种情况下，我们还调查了所提到的$q$ -系列的渐近行为时，$q$接近1的限制方式。这些渐近公式可以为新的随机矩阵模型提供启示。
2007-03-28 math-ph math.CA math.CV
Trans-Series Asymptotics of Solutions to the Degenerate Painlevé III Equation: A Case Study
本文通过等单值形变形方法，将退化 Painlevé III 方程（DP3E）解的跨级数渐近用相关线性辅助问题的单值性数据参数化，并获得了相关哈密顿量、辅助函数及 sigma 形式解的渐近，同时推导了 DP3E 的李点对称性作用。
2025-08-09 math-ph math.CA math.MP
Asymptotic formulae of two divergent bilateral basic hypergeometric series
利用$q$ -Borel-Laplace变换，给出了双边基本超几何函数${}_1ψ_1 ( a; b; q, z )$退化的新公式.这是构造${}_1ψ_1 ( a; b; q, z )$的$q$ -差分方程的连接公式的第一步.此外，我们证明了我们的公式具有$q \to 1 - 0$极限。
2016-11-15 hep-th math-ph math.CA
