Mapping class groups of once-stabilized Heegaard splittings
证明了如果Heegaard分裂是稳定高距离Heegaard分裂一次的结果，那么它的映射类群是可分解的.
2013-04-26 math.GT
On the disk complexes of weakly reducible, unstabilized Heegaard splittings of genus three III - Generalized Heegaard splittings and mapping classes
设$M$是一个可定向的不可约$3$ -流形，其亏格为弱可约的三个Heegaard分裂为极小亏格的Heegaard分裂.本文证明了：如果$[f]$，$[g]\in Mod(M)$给出亏格为2的两个广义Heegaard分裂所组成的两个广义Heegaard分裂的合痕类之间的相同对应，如$[\mathbf{H}]\to[\mathbf{H}']$，则存在差异$[h]=[g]\cdot[f]^{-1}$的代表性$h$，使得（i）$h$保留了通过从$\mathbf{H}'$合并获得的Heegaard表面$F'$的适当选择的嵌入，其中$\mathbf{H}'$是$[\mathbf{H}']$和（ii）$h$发送$F'$的唯一确定的弱还原对$(V',W')$到其自身直到合痕。此外，对于满足上述条件（i）和（ii）的保向自同构$\tilde{h}$，存在$Mod(M)$的两个元素给出对应$[\mathbf{H}]\to[\mathbf{H}']$，使得$\tilde{h}$属于它们之差的合痕类.
2015-09-01 math.GT
A closed orientable 3-manifold with distinct distance three genus two Heegaard splittings
本文给出了一个闭可定向三维流形的例子，它具有不同距离的三亏格两Heegaard分裂.这证明了Rubinstein和Scharlemann在1998年的论文Genus Two Heegaard Splittings of Orientable 3-Manifolds中描述的闭可定向3-流形的交替亏格2 Heegaard分裂的构造，并不产生所有的交替亏格2分裂，必须增广。
2009-12-07 math.GT
Scharlemann-Thompson untelescoping of Heegaard splittings is finer than Casson-Gordon's
通过具体的例子，我们证明了Scharlemann-Thompson非伸缩Heegaard分裂比Casson-Gordon分裂更精细。
2002-05-11 math.GT
On keen Heegaard splittings
本文引入了Heegaard分裂的新概念{ \it强敏锐}，并证明了对于任何整数$n\geq 2$和$g\geq 3$，存在亏格为$g$的强敏锐Heegaard分裂，其亨佩尔距离为$n$。
2016-05-15 math.GT
Mapping class groups of Heegaard splittings of surface bundles
每个亏格为$g$纤维的表面丛都有亏格为$2g+1$的典型Heegaard分裂.在曲面丛具有足够复杂的单值映射的情况下，我们对这类Heegaard分裂的映射类群进行了分类.
2012-04-06 math.GT
Stabilizations of Heegaard splittings of sufficiently complicated 3-manifolds (Preliminary Report)
我们构造的流形，有对属$g$ Heegaard分裂，必须稳定大约$g$倍，成为等价的家庭。我们还表明，当两个不稳定，边界不稳定的Heegaard分裂合并的“足够复杂”的地图，所产生的分裂是不稳定的。作为一个推论，我们产生一个流形，具有距离1 Heegaard分裂任意高的亏格。最后，我们表明，在一个3-流形形成的一个足够复杂的胶合，低属，不稳定的Heegaard分裂可以表示在一个独特的方式作为合并的胶合面。
2008-06-28 math.GT
On Heegaard splittings of knot exteriors with tunnel number degenerations
令$K_1, K_2$为两个节点，分别为$t(K_1)+t(K_2)>2$和$t(K_1 # K_2)=2$。然后，本文证明了$E(K_1 # K_2)$的任何亏格为3的Heegaard分裂都是强不可约的，并且$E(K_1 # K_2)$至多有4个亏格为3的Heegaard分裂直到同胚.此外，我们将给出这四种三种Heegaard分裂的完整分类，并给出对应于这些Heegaard分裂的纽结$K_1 # K_2$的解结隧道系统。
2013-10-28 math.GT
Horizontal Heegaard splittings of Seifert fibered spaces
本文证明了，如果具有可定向亏格$g$底空间的可定向Seifert纤维空间$M$允许强不可约水平Heegaard分裂，则强不可约水平Heegaard分裂的合痕类与$\mathbf{Z}^{2g}$的元素之间存在一一对应.该对应关系由每个Heegaard分裂与$M$中的$2g$不可压缩环面的集合的交点的斜率确定。我们还表明，有塞弗特纤维空间与无限多的非同位素Heegaard分裂，确定尼尔森等价生成系统的基本群$M$。
2008-02-06 math.GT
Manifolds admitting both strongly irreducible and weakly reducible minimal genus Heegaard splittings
我们构造了无穷多个流形，其中既有强不可约的，又有弱可约的极小亏格Heegaard分裂。构造了闭流形和具有边界环面的流形。
2008-12-24 math.GT
Heegaard Splittings of Twisted Torus Knots
关于双曲三维流形的Heegaard分裂的分类知之甚少。虽然Kobayashi给出了2桥结外部的Heegaard分裂的完整分类，但我们对其他类别的知识非常有限。特别是，有很少的双曲流形，已知有一个唯一的最小亏格分裂。在这里，我们证明了一个无限类的双曲结的外部，即外部的某些“扭曲的环面结”最初研究的森本，佐久间和横田，有一个独特的最小的属Heegaard分裂属2。我们还推测，这些流形具有不可约但弱可约分裂亏格三。没有已知的例子，这样的Heegaard分裂。
2008-01-31 math.GT
On the weak reducing pairs in critical Heegaard splitting
本文研究临界 Heegaard 分裂中的弱约化对，分析其性质，并给出判定 Heegaard 曲面为临界曲面的必要条件。
2024-12-05 math.GT
Heegaard splittings with large subsurface distances
我们表明，子表面的Heegaard表面的相对Hempel距离的分裂是足够高的出现在任何Heegaard表面的属有界的一半的距离。
2010-02-16 math.GT
One-sided and two-sided Heegaard splittings
我们定义了一个概念的亨佩尔距离为单边Heegaard分裂，并表明，交替表面的存在限制距离为单边分裂的方式类似于Hartshorn的和Scharlemann-Tomova的结果为双边分裂。我们还证明了非Haken三维流形中的每一个几何可压缩的单侧Heegaard曲面都是稳定的，并且证明了由高距离单侧分裂引起的双侧Heegaard分裂的映射类群同构于单侧曲面的基本群.
2011-12-02 math.GT
3-Manifolds with irreducible Heegaard splittings of high genus
非极小亏格的非同位素Heegaard分裂以前只在非常特殊的3-流形上才知道。我们表明，在本文中，他们实际上是一个广泛传播的现象，在3-流形理论：我们展示了一大类的结和流形获得Dehn手术这些结，承认这样的分裂。许多流形具有任意大亏格的不可约Heegaard分裂。所有这些分裂都是水平的，并且在一次稳定化之后，与某些典型的低亏格垂直Heegaard分裂的多次稳定化是同位素的。
1998-03-19 math.GT
Surface bundles with genus two Heegaard splittings
已知存在亏格为任意高的曲面丛，它们具有亏格为2的Heegaard分裂。最简单的例子是塞弗特纤维空间，它以球体为底空间，有三根特殊的纤维，并允许有水平表面。我们的特点是monodromy地图的所有表面束属两个Heegaard分裂，并表明，每一个是积分Dehn手术的结果，在这些塞弗特纤维空间沿环路的Heegaard表面相交的水平面。(This一种类型的手术保留了束结构和Heegaard分裂。
2006-07-20 math.GT
Stabilizations of Heegaard splittings of graph manifolds
我们表明，一个稳定后，一个强不可约的Heegaard分裂适当大的图亏格流形是同位素的合并沿着一个修改后的版本的系统的典型环面在JSJ分解。作为推论，适当大亏格的图流形的两个强不可约Heegaard分裂在最多一次高亏格分裂稳定化之后是同位素的。
2006-04-05 math.GT
Surface bundles versus Heegaard splittings
本文利用纤维的曲线复形研究了曲面丛的Heegaard分裂。monodromy的平移距离是它移动曲线复合体的任何顶点的最小距离。我们证明了平移距离是上有界的任何强不可约Heegaard分裂的亏格。因此，如果分裂表面与单值的平移距离相比具有小的亏格，则分裂是标准的。
2002-12-06 math.GT
Automorphisms of the 3-sphere that preserve a genus two Heegaard splitting
1933年戈里茨定理的更新证明，展示了3-球面的自同构自同构群的生成元的有限集，该集合保持亏格2的Heegaard分裂。群通过它在某个连通2-复形上的作用来分析。(The更高亏格的Heegaard分裂的类似问题似乎仍未解决。
2003-07-16 math.GT
Stabilizations of Reducible Heegaard Splittings
C. Gordon证明了两个Heegaard分裂的连通和是稳定的，当且仅当两个因子中的一个是稳定的（Kirby问题列表中的问题3.91）。在本文中，我们将证明这个猜想。
2006-11-24 math.GT
Heegaard splittings of graph manifolds
设M是一个具有特征子流形T的全可定向图流形，M = Vcup_SW是一个Heegaard分裂.我们证明S是标准的。特别地，S是强不可约Heegaard分裂的合并。这些强不可约Heegaard分裂的分裂面Si具有这样的性质：对于M的每个顶点流形N，Si帽N是水平的、伪水平的、垂直的或伪垂直的。
2004-06-12 math.GT
Berge's distance 3 pairs of genus 2 Heegaard splittings
根据John Berge发现的一个例子，我们证明了存在一个4-分支链L \subset（S^1 x S^2）#（S^1 x S^2），使得一般地，L上的Dehn手术的结果是一个3-流形，具有两个不等亏格2的Heegaard分裂，并且每个Heegaard分裂的Hempel距离为3。
2010-02-25 math.GT
Heegaard splittings of the form H + nK
假设一个三流形M包含无穷多个不同的强不可约Heegaard分裂H + nK，通过Haken将曲面H与曲面K的n个副本求和得到。我们证明了K是不可压缩的。所有已知的例子，流形包含无限多个不可约Heegaard分裂，是这种形式。我们也给出了新的例子，这样的流形。
2004-07-30 math.GT
Heegaard splittings of distance exactly $n$
本文证明了对任意整数$n\geq 2$和$g\geq 2$，存在距离恰为$n$的紧致3-流形的亏格- $g$ Heegaard分裂.
2013-08-07 math.GT
An upper bound on common stabilizations of Heegaard splittings
我们证明了对于同一个3-流形，对亏格$p$和亏格$q$的任意两个Heegaard分裂，亏格至多在3/2 p +2 q- 1处有一个公共的稳定性.我们可以把这与最近的Heegaard分裂的例子相比较，Heegaard分裂的最小公共稳定化至少有$p+q$或$p + 1/2 q$的亏格，这取决于等价的概念。
2011-07-11 math.GT
Automorphisms of the three-torus preserving a genus three Heegaard splitting
Heegaard分裂的映射类群是将Heegaard曲面映射到其自身上的环境流形的自同构集合中的连通分量的群。对于亏格为3的Heegaard分裂的3-torus，我们找到了一个八元生成集这个组。其中6个生成元诱导出3-环面的映射类群的生成元，其余2个生成元在3-环面中是平凡的。
2007-08-20 math.GT
Heegaard splittings of Seifert manifolds without an orientable base space
利用Heath，Moriah和Schultens的结果证明了具有不可定向底空间的可定向Seifert流形的不可约Heegaard分裂是垂直的或水平的.
2007-02-07 math.GT
Crossing changes and circular Heegaard splittings
我们利用缝合流形理论和赫高分裂理论中的技术，将S^3中纽结的亏格减少交叉变化与纽结补的圆形赫高分裂中产生的曲面扭曲联系起来。在另一篇目前正在准备的论文中，我们证明了这些圆形Heegaard分裂可以通过算法来搜索，我们的结果表明，检测两个不同亏格的双曲或纤维结何时通过交叉变化相关的算法将遵循确定S^3中两个紧致定向曲面是否通过单个扭曲相关的算法。
2012-10-22 math.GT
Genus one fibered knots in 3-manifolds with reducible genus two Heegaard splittings
给出了亏格为2的曲面边界上的简单闭曲线分解为具有一个边界分支的环面乘以[0，1]的充要条件.利用这一条件，我们可以判定亏格为2的Heegaard曲面上的简单闭曲线是否为GOF纽结（亏格为1的纤维纽结），从而导致Heegaard分裂。利用这一结果，我们确定了亏格为2的可约Heegaard分裂的3-流形中GOF-纽结的个数及其相对于Heegaard分裂的位置。这是Morimoto和Baker结果的另一个证明。
2017-04-28 math.GT
3-manifolding admitting locally large distance 2 Heegaard splittings
从Heegaard分裂的观点出发，我们知道，如果一个闭的可定向3-流形允许至少三个Heegaard分裂的距离，那么它是双曲的。然而，对于一个封闭的可定向3-流形只允许至多两个Heegaard分裂的距离，有例子表明它可以是可约的，Seifert的，环面的或双曲的。根据瑟斯顿的几何化猜想，八种几何中最重要的一种是双曲几何。因此，从远处读出双曲三维流形的两个Heegaard分裂对于研究Heegaard分裂至关重要。受距离为2的双曲3-流形构造的启发[Qiu，Zou and Guo，Pacific J. Math. 275（2015），no. 1，231-255]，我们引入了曲线复形中局部大测地线的定义，并进一步引入了局部大距离两个Heegaard分裂。然后证明了如果一个3-流形允许局部大距离2 Heegaard分裂，则它是一个沿不可压缩环面的双曲流形或一个双曲流形和一个seifert流形的合并，即，几乎双曲，而第3节的例子表明，在这种情况下，有一个非双曲3-流形。在考察了这些非双曲情形后，我们给出了双曲3-流形允许局部大距离2 Heegaard分裂的一个充分和必要条件.
2015-10-26 math.GT
Connected sums of knots and weakly reducible Heegaard splittings
本文研究了作为连通和的纽结的外空间的极小亏格Heegaard分裂是否弱可约的问题。此外，它表明，Heegaard分裂的节Morimoto用来表明隧道数可以是次可加的都是强不可约的。这些是第一个例子的强不可约最小亏格Heegaard分裂的复合结。我们还给出了一个刻划，当一个集合的本原环上的一个单一的身体同时本原。这一点与《易经》中的不同。
2003-03-12 math.GT
Strongly irreducible Heegaard splittings of hyperbolic 3-manifolds
Colding和Gabai给出了李的定理的一个有效版本，即非Haken双曲3-流形有2个不可约Heegaard分裂。作为推论，他们的工作，我们表明，哈肯双曲3-流形有一个有限的收集强不可约的Heegaard表面$S_i$和不可压缩曲面$K_j$，使任何强不可约的Heegaard表面是一个哈肯和$S_i + \sum_j n_j K_j$，单边协会的Heegaard表面。
2020-05-19 math.GT
Homeomorphisms of the 3-sphere that preserve a Heegaard splitting of genus two
令${\mathcal H}$是$S^3$的保向同胚的保向Heegaard分裂为亏格2的合痕类的群。本文利用分裂体的圆盘复形的重心重分中的一棵树，得到了${\mathcal H}$的有限表示。
2007-04-19 math.GT
Stabilization, amalgamation, and curves of intersection of Heegaard splittings
我们解决一个特殊的情况下的稳定化问题的Heegaard分裂，建立一个上界的数量稳定化所需的Haken 3-歧管同位素的Heegaard分裂的合并沿本质表面。结果表明，对于任意正整数$n$，存在包含本质环面和Heegaard分裂的3-流形，使得环面和分裂面至少相交于$n$简单闭曲线.这些给出了第一个例子的下界的最小数量的曲线之间的相交的基本表面和Heegaard表面是大于一。
2009-03-20 math.GT
One-sided Heegaard splittings of RP^3
利用单边Heegaard分裂的基本性质，给出了RP ^3的几何可压缩单边分裂是稳定的一个直接证明。这个论证是以瓦尔德豪森的论证为模型的，他用这个论证来证明S^3的双侧分裂是标准的。
2009-04-23 math.GT
Reducing spheres of genus-2 Heegaard splitting of $S^3$
三个球的标准格-g Heegaard分裂的Goeritz群，$G_g$，作用于这个Heegaard分裂的约化球的合痕类的空间。Scharlemann MR 2199366（2007 c：57020）使用此操作证明$G_2$是随机生成的。在这篇文章中，我们给出了一个算法，从一个标准的约化球构造任何约化球的亏格-2 Heegaard分裂的$S^3$。利用这一点，我们给出了另一个证明的有限代的$G_2$假设有限代的稳定剂的标准减少的领域。
2022-12-20 math.GT
Mapping class groups of medium distance Heegaard splittings
证明了如果Heegaard分裂的Hempel距离大于3，则Heegaard分裂的映射类群同构于周围3-流形的映射类群的子群.这意味着，给定一个曲面的曲线复形中的两个至少相距4的体集，保持两个体集的曲线复形的自同构自同构群是有限的。
2009-10-27 math.GT
Bounding the stable genera of Heegaard splittings from below
对每个正整数$k$，我们描述了一个3-流形，其Heegaard曲面的亏格为$2k$和$2k-1$，使得这两个曲面的任何公共稳定化至少亏格为$3k-1$ .我们还表明，对于每一个积极的$n$，有一个3-流形，有$n$成对非同位素Heegaard分裂的相同的属，所有这些都是稳定的。
2008-07-17 math.GT
Heegaard Splittings of Boundary Reducible 3-Manifolds
本文证明了$\partial$ -可约3-流形$M$的任何Heegaard分裂，即$M=W\cup V$，都可以由$n$流形$M_{1},..., M_{n}$的Heegaard分裂求出连通和、边界连通和及自边界连通和，其中$M_{i}$是一个实心环面或一个$\partial$ -不可约流形.此外，当且仅当其中一个因子稳定时，$W\cup V$才稳定。
2004-09-26 math.GT
Heegaard splittings of exteriors of, two bridge knots
本文证明了对每个非平凡二桥纽结K和对每个g > 2，K的外部E（K）的每个亏格gHeegaard分裂都是可约的.
2001-06-28 math.GT
Decomposing Heegaard splittings along separating incompressible surfaces in 3-manifolds
本文通过将三维流形中的一个分离不可压缩曲面置于与一个强不可约Heegaard分裂相关联的高度函数的Morse位置，证明了通过沿分离曲面分解三维流形，可以找到一个Heegaard分裂的不可压缩子空间.此外，如果Heegaard表面的Hempel距离至少为4，则在给定分离表面的两侧上存在一对这样的子表面。这给出了3-流形的一个特别简单的层次。
2018-03-24 math.GT
Locally unknotted spines of Heegaard splittings
证明了在一定的条件下，强不可约Heegaard分裂的凸体的刺将与图中的闭球相交，且该闭球的边界与图中的闭球是同位素的.这在某种意义上是一个推广的结果Scharlemann如何一个强不可约Heegaard分裂表面可以相交的球。
2005-11-28 math.GT
On p-symmetric Heegaard splittings
我们证明了$S^3$中b-桥链的每个p-重严格循环分支覆盖都允许亏格$g=(b-1)(p-1)$的p-对称Heegaard分裂（在Birman和Hilden的意义下）.这给出了一个完全相反的结果之一的两个作者。此外，我们引入了弱p-对称Heegaard分裂的概念，并证明了类似的结果，在这个更一般的情况下。
2000-07-26 math.GT
Stable functions and common stabilizations of Heegaard splittings
本文给出了Reidemeister和Singer定理的一个新的证明：同一个三维流形的任意两个Heegaard分裂有一个公共的稳定性。证明导致一个共同的稳定的负斜率拐点和类型2尖点的Rubinstein-Scharlemann图形的两个分裂的数量方面的最小亏格的上界。
2007-05-25 math.GT
On non-compact Heegaard splittings
一个开的3-流形的Heegaard分裂是将流形划分成两个相交于它们公共边界的非紧的平行体。本文证明了紧Heegaard分裂定理的几个非紧类似定理。主要定理是：如果N是一个紧致的、连通的、可定向的、具有非空边界的3-流形，不包含S^2分支，并且如果M是从N中去掉边界得到的，则M的任何两个Heegaard分裂都是真环境同位素的。这是沙里曼-汤普森和舒尔滕斯对（闭曲面）x I和（闭曲面）x S^1的分裂分类的非紧类比。Frohman-Meeks的工作和弱可约Heegaard分裂的Casson-Gordon定理的非紧模拟是关键工具。
2006-04-11 math.GT
The girth of a Heegaard splitting
我们构造简单的曲线，从浸入曲线的设置中的体和Heegaard分裂。我们定义了一个复杂性的度量，我们称之为围长的闭曲线在一个光滑的身体。我们将这种复杂性推广到Heegaard分裂，并对所有的Heegaard分裂提出一个猜想。我们证明了这个猜想的一个测试案例。设S是嵌入在可积体H边界上的紧致曲面。则S中所有曲线的最小围长可由一条简单闭曲线求得。我们还提出了算法来计算曲线和曲面的周长。
2005-06-28 math.GT
Non-isotopic Heegaard splittings of Seifert fibered spaces
我们找到了环面三维流形的强不可约Heegaard分裂的合痕类的一个几何不变量。结合这一不变量与R魏德曼定理，证明在这里的附录中，我们表明，一个封闭的，完全定向塞弗特纤维空间M有无穷多个合痕类的Heegaard分裂的相同属当且仅当M有一个不可约的，水平Heegaard分裂，有一个基地orbifold的正亏格，是不是一个圆丛。这正好刻画了哪些塞弗特纤维空间满足瓦尔德豪森猜想的逆。
2009-03-06 math.GT
High distance Heegaard splittings via fat train tracks
我们定义了“胖”训练轨道，并利用它们给出了封闭可定向三维流形Heegaard分裂的Hempel距离的一个组合判据。我们应用这个标准3-流形从手术结在三个球。
2008-07-06 math.GT
Are large distance Heegaard splittings generic ?
在前一篇文章中，我们引入了曲面S的曲线复形中的可数曲线集的“genericity”的概念，这是基于S中的射影测度叠层空间上的勒贝格测度。利用这一定义，我们证明了对每个固定g > 1，在所有不可约Heegaard分裂的集合中，高距离的不可约亏格g的Heegaard分裂的集合是通有的。我们对“泛型”的定义是不同的，比通过随机游动给出的定义更内在。
2010-02-23 math.GT
Heegaard splittings of sufficiently complicated 3-manifolds II: Amalgamation
设M_1和M_2是紧致的可定向的3-流形，M是由\bdy M_1的某个分支F通过同胚同构F与\bdy M_2的某个分支粘合而成的流形。我们证明了当M是“充分复杂的”时，（1）M_i的低亏格、不稳定、边界不稳定的Heegaard分裂的合并是M的不稳定分裂，（2）M的每一个低亏格、不稳定的Heegaard分裂都可以表示为M_i的不稳定、边界不稳定分裂的合并，也可能表示为F \times I的II型分裂，以及（3）如果在这样的表达式中不存在II型分裂，则它是唯一的。
2009-04-02 math.GT
How a strongly irreducible Heegaard splitting intersects a handlebody
在其他地方已经证明，紧致可定向3-流形M的强不可约Heegaard分裂曲面Q在合理的边条件下，只能以几种可能的方式与M中的球或实心环面相交。在这里，我们将这些结果推广到描述Q如何与M中的一个平行体相交。
1999-02-01 math.GT
A refinement of Johnson's bounding for the stable genera of Heegaard splittings
对于每个整数k > 1，Johnson给出了一个具有亏格为2k和2k-1的Heegaard分裂的3-流形，使得这两个曲面的任何公共稳定化至少有亏格为3 k-1。我们修改了他的论点，以产生一个3-流形的两个Heegaard分裂的亏格2k，使任何共同的稳定，他们有亏格至少3 k。
2011-12-26 math.GT
High Distance Heegaard Splittings via Dehn Twists
在2001年，J.Hempel利用伪Anosov映射的高次幂作为两个刚体之间的胶合映射，证明了任意高距离的Heegaard分裂的存在性。我们表明，下界的距离也可以得到使用适当选择的德恩扭曲的高功率时。在某些情况下，我们可以确定产生分裂的确切距离。这些结果可以看作是A. Casson和C. Gordon在1987年提出的关于强不可约Heegaard分裂的理论。
2012-12-05 math.GT
Stabilizing Heegaard Splittings of High-Distance Knots
假设$K$是$S^3$中的一个结，桥号为$n$，桥距大于$2n$。证明了$S^3\setminusη(K)$至多存在${2n\choose n}$不同的极小亏格Heegaard分裂.这些分裂可以分为两个家族。来自同一族的两个分裂在至多一次稳定化之后变为等价。如果$K$的桥距至少为$4n$，则来自不同族的两个分裂只有在$n-1$稳定化之后才变得相等。此外，我们构造的最小隧道系统的$K$对应于这些Heegaard表面的合痕类的代表。
2015-07-26 math.GT
