A set D of vertices of a graph G=(V,E) is irredundant if each v of D satisfies (a) v is isolated in the subgraph induced by D, or (b) v is adjacent to a vertex in V-D that is nonadjacent to all other vertices in D. The upper irredundance number IR(G) is the largest cardinality of an irredundant set of G; an IR(G)-set is an irredundant set of cardinality IR(G). The IR-graph of G has the IR(G)-sets as vertex set, and sets D and D' are adjacent if and only if D' is obtained from D by exchanging a single vertex of D for an adjacent vertex in D'. We study the realizability of graphs as IR-graphs and show that all disconnected graphs are IR-graphs, but some connected graphs (e.g. stars of order three or more, the paths of order 4 or 5, the 5-cycle) are not.
这个简要的说明提出了一个定理的简化由于Gyatri和一个算法由于Franzblau和Kleitman：给定一个家庭$F$的$m$间隔的线性有序集的$n$元素，我们可以在$O(m+n)^2$步骤建设一个无冗余的子家庭具有最大的基数，以及一个生成家庭具有最小的基数。该算法是特别感兴趣的，因为它解决了一个问题类似于找到一个最大的独立集，但在一类对象，这是更普遍的比拟阵。本笔记也是一个完整的、可运行的计算机程序，可用于与{ \sl The Stanford GraphBase}的公共域软件结合进行实验。
Asymptotic Bounds for t(3,n) and an Application to t(4,n)
Tianjin Normal University（天津师范大学）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）；Qinghai Normal University（青海师范大学）；Technische Universität Bergakademie Freiberg（弗莱贝格矿业科技大学）
The growth rate over trees of any family of set defined by a monadic second order formula is semi-computable
一元二阶逻辑可以用来表达图的顶点集合的许多经典概念，例如：支配集，诱导匹配，完美码，独立集或无冗余集。从组合的角度来看，任何这样的集合族的集合数的界都是有趣的，并且具有算法应用。许多这样的界限上的不同家庭的集合在不同类别的图已经在文献中提供。特别是，罗特最近表明，最小的控制集的数量在树的顺序$n$是最多$95^{\frac{n}{13}}$和这一界是渐近尖锐的乘法常数。我们建立在他的工作表明，他所做的最小支配集可以做任何家庭的集定义的一元二阶公式。我们首先证明，对于任何一元二阶公式的图，它的顶点的一个给定的子集的特征，在一棵树中的最大数量的这样的集可以表示为\textit{growth rate of a bilinear system}。这主要依赖于树上的一元二阶逻辑与树自动机和基本树自动机操作之间的众所周知的联系。然后我们证明了双线性系统的这种“增长率”可以从上面近似得到，并利用这个结果的实现给出了树上独立控制集、完全控制集、诱导匹配、最大诱导匹配、最小完全控制集、完美码和最大无冗余集的个数的界。我们还解决了D. Y. Kang等人关于$r$ -匹配，并改进了Górska和Skupiestan关于树上最大匹配数的界。注意，这种方法很容易推广到有界树宽度或团宽度的图（或树自动机有意义的任何类似的图类）。
